Страница 67, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

264 1) Ихтиолог проводит измерение веса рыбы горбуши в реке Камчатка. Пробный улов показал, что среди выловленных рыб 4 горбуши весят по 1,2 кг, 5 горбуш — по 1,4 кг, ещё 5 горбуш — по 1,6 кг и остальные 6 горбуш — по 1,7 кг. Чему равен средний вес пойманных рыб?

2) Смешали 2 кг конфет по цене 142,6 р. за килограмм и 3 кг конфет по цене 189,6 р. за килограмм. Сколько стоит 1 кг ассорти?

1) Для того чтобы найти средний вес пойманной рыбы, необходимо сначала вычислить общий вес всего улова, а затем разделить его на общее количество рыб. Средний вес (или среднее арифметическое) вычисляется по формуле: $Среднее = \frac{Сумма~всех~значений}{Количество~значений}$

1. Найдем общее количество выловленных рыб:

$4 + 5 + 5 + 6 = 20$ рыб.

2. Вычислим общий вес всех рыб. Для этого вес каждой группы рыб умножим на их количество и сложим полученные результаты:

$(4 \times 1,2) + (5 \times 1,4) + (5 \times 1,6) + (6 \times 1,7) = 4,8 + 7,0 + 8,0 + 10,2 = 30$ кг.

3. Теперь найдем средний вес, разделив общий вес на общее количество рыб:

$30 \div 20 = 1,5$ кг.

Ответ: средний вес пойманных рыб равен 1,5 кг.

2) Чтобы найти стоимость 1 кг ассорти, нужно вычислить общую стоимость всех конфет и разделить ее на общий вес смеси. Этот тип задачи решается нахождением средневзвешенной цены.

1. Найдем общую стоимость конфет:

Стоимость первого вида конфет: $2~кг \times 142,6~р/кг = 285,2$ р.

Стоимость второго вида конфет: $3~кг \times 189,6~р/кг = 568,8$ р.

Общая стоимость всех конфет: $285,2 + 568,8 = 854$ р.

2. Найдем общий вес смеси конфет:

$2~кг + 3~кг = 5$ кг.

3. Рассчитаем стоимость 1 кг ассорти, разделив общую стоимость на общий вес:

$854~р \div 5~кг = 170,8$ р/кг.

Ответ: 1 кг ассорти стоит 170,8 р.

264 1) Ихтиолог проводит измерение веса рыбы горбуши в реке Камчатка. Пробный улов показал, что среди выловленных рыб 4 горбуши весят по 1,2 кг, 5 горбуш – по 1,4 кг, еще 5 горбуш – по 1,6 кг и остальные 6 горбуш – по 1,7 кг. Чему равен средний вес пойманных рыб?

2) Смешали 2 кг конфет по цене 142,6 р. за килограмм и 3 кг конфет по цене 189,6 р. за килограмм. Сколько стоит 1 кг ассорти?

265 Для проверки всхожести семян нового сорта цветов посадили 5 сотен семян. Из первой сотни взошло 95 семян, из второй – 84, из третьей – 72, из четвёртой – 78, а из пятой – 86. Сколько в среднем взошло семян на одну сотню?

Чтобы найти, сколько в среднем взошло семян на одну сотню, необходимо вычислить среднее арифметическое. Для этого нужно найти общую сумму всех взошедших семян и разделить её на количество сотен.

1. Сначала найдем общее количество взошедших семян, сложив данные по всем пяти сотням:

$95 + 84 + 72 + 78 + 86 = 415$ (семян)

2. Теперь разделим полученную сумму на количество сотен (на 5), чтобы найти среднее значение:

$415 / 5 = 83$ (семени)

Следовательно, в среднем на одну сотню взошло 83 семени.

Ответ: 83.

265 Для проверки всхожести семян нового сорта цветов посадили 5 сотен семян. Из первой сотни взошло 95 семян, из второй – 84, из третьей – 72, из четвертой – 78, а из пятой – 86. Сколько в среднем взошло семян на одну сотню?

266 1) Лыжная трасса 2,4 км идёт на подъём, 3,2 км – на спуск, а остальные 5,2 км – по равнине. Лыжник прошёл эту трассу за 40 мин. С какой средней скоростью он шёл?

2) Расстояние от дома до дачи 75,6 км. По пути от дома до дачи отец с сыном ехали на автомобиле сначала по шоссе в течение 0,8 ч, затем по грунтовой дороге 0,4 ч и, наконец, по просёлочной дороге 0,2 ч. С какой средней скоростью они ехали?

1) Для нахождения средней скорости необходимо разделить весь пройденный путь на общее время, затраченное на этот путь.
Сначала найдём общую длину лыжной трассы, сложив длины всех её участков:
$S_{общ} = 2,4\ \text{км} + 3,2\ \text{км} + 5,2\ \text{км} = 10,8\ \text{км}$.
Затем переведём время из минут в часы, так как расстояние дано в километрах. В одном часе 60 минут.
$t = 40\ \text{мин} = \frac{40}{60}\ \text{ч} = \frac{2}{3}\ \text{ч}$.
Теперь вычислим среднюю скорость ($V_{ср}$) по формуле: $V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t}$.
$V_{ср} = \frac{10,8}{\frac{2}{3}} = 10,8 \cdot \frac{3}{2} = 5,4 \cdot 3 = 16,2\ \text{км/ч}$.
Ответ: 16,2 км/ч.

2) Средняя скорость вычисляется как отношение всего пройденного расстояния ко всему времени движения.
Общее расстояние известно из условия задачи:
$S_{общ} = 75,6\ \text{км}$.
Найдём общее время в пути, сложив время движения на каждом из участков:
$t_{общ} = 0,8\ \text{ч} + 0,4\ \text{ч} + 0,2\ \text{ч} = 1,4\ \text{ч}$.
Теперь рассчитаем среднюю скорость ($V_{ср}$):
$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{75,6}{1,4} = \frac{756}{14} = 54\ \text{км/ч}$.
Ответ: 54 км/ч.

266 1) Лыжная трасса $2,4 \text{ км}$ идет на подъем, $3,2 \text{ км}$ – на спуск, а остальные $5,2 \text{ км}$ – по равнине. Лыжник прошел эту трассу за $40 \text{ мин}$. С какой средней скоростью он шел?

2) Расстояние от дома до дачи $75,6 \text{ км}$. По пути от дома до дачи отец с сыном ехали на автомобиле сначала по шоссе в течение $0,8 \text{ ч}$, затем по грунтовой дороге $0,4 \text{ ч}$ и, наконец, по проселочной дороге $0,2 \text{ ч}$. С какой средней скоростью они ехали?

267 1) Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 ч он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определи среднюю скорость велосипедиста.

2) Геологи шли 1,5 ч со скоростью 5,8 км/ч, следующие 3,2 ч – со скоростью 4,5 км/ч и последние 0,3 ч – со скоростью 3 км/ч. С какой средней скоростью прошли геологи весь маршрут?

1) Чтобы найти среднюю скорость, необходимо общее пройденное расстояние разделить на общее время в пути. Средняя скорость вычисляется по формуле: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

1. Найдем расстояние, которое велосипедист проехал за вторые 2 часа. Для этого умножим его скорость на время:

$S_2 = 13,5 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 27$ км.

2. Найдем общее расстояние, которое проехал велосипедист. Для этого сложим расстояние за первый час и за следующие два часа:

$S_{общ} = 12,6 \text{ км} + 27 \text{ км} = 39,6$ км.

3. Найдем общее время в пути:

$t_{общ} = 1 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 3$ ч.

4. Вычислим среднюю скорость, разделив общее расстояние на общее время:

$v_{ср} = \frac{39,6 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 13,2$ км/ч.

Ответ: 13,2 км/ч.

2) Для нахождения средней скорости геологов также воспользуемся формулой $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

1. Сначала найдем расстояние, пройденное на каждом из трех участков пути, умножая скорость на время.

Расстояние на первом участке:

$S_1 = 5,8 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 8,7$ км.

Расстояние на втором участке:

$S_2 = 4,5 \text{ км/ч} \times 3,2 \text{ ч} = 14,4$ км.

Расстояние на третьем участке:

$S_3 = 3 \text{ км/ч} \times 0,3 \text{ ч} = 0,9$ км.

2. Теперь найдем общее расстояние, сложив расстояния всех участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 = 8,7 \text{ км} + 14,4 \text{ км} + 0,9 \text{ км} = 24$ км.

3. Найдем общее время в пути, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_{общ} = 1,5 \text{ ч} + 3,2 \text{ ч} + 0,3 \text{ ч} = 5$ ч.

4. Вычислим среднюю скорость, разделив общее расстояние на общее время:

$v_{ср} = \frac{24 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 4,8$ км/ч.

Ответ: 4,8 км/ч.

267 1) Велосипедист за первый час проехал 12,6 км, а в следующие 2 часа он ехал со скоростью 13,5 км/ч. Определи среднюю скорость велосипедиста.

2) Геологи шли 1,5 ч со скоростью 5,8 км/ч, следующие 3,2 ч – со скоростью 4,5 км/ч и последние 0,3 ч – со скоростью 3 км/ч. С какой средней скоростью прошли геологи весь маршрут?

268 1) Фермер имеет 3 делянки с картофелем площадью соответственно 10 а, 20 а и 30 а. С первой делянки он собрал урожай 17,4 ц, со второй – 30 ц, а с третьей – 46,8 ц. Определи урожайность картофеля на каждой из делянок и среднюю урожайность всего картофельного поля.

2) Колхоз засеял пшеницей два поля. Площадь первого поля 75 га, а площадь второго поля на 50 га меньше. С первого поля собрали урожай 2580 ц, а со второго – 720 ц. На сколько урожайность первого поля была выше, чем второго? Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом колхозе?

1) Урожайность — это количество урожая, собранного с единицы площади. Чтобы найти урожайность каждой делянки, нужно разделить массу собранного урожая на площадь этой делянки.
1. Урожайность первой делянки: $17,4 \text{ ц} \div 10 \text{ а} = 1,74 \text{ ц/а}$.
2. Урожайность второй делянки: $30 \text{ ц} \div 20 \text{ а} = 1,5 \text{ ц/а}$.
3. Урожайность третьей делянки: $46,8 \text{ ц} \div 30 \text{ а} = 1,56 \text{ ц/а}$.
Чтобы найти среднюю урожайность всего картофельного поля, необходимо общий собранный урожай разделить на общую площадь всех делянок.
4. Общий урожай: $17,4 + 30 + 46,8 = 94,2 \text{ ц}$.
5. Общая площадь: $10 + 20 + 30 = 60 \text{ а}$.
6. Средняя урожайность: $94,2 \text{ ц} \div 60 \text{ а} = 1,57 \text{ ц/а}$.
Ответ: урожайность первой делянки – 1,74 ц/а, второй – 1,5 ц/а, третьей – 1,56 ц/а; средняя урожайность всего поля – 1,57 ц/а.

2) Сначала найдем все необходимые данные для расчетов: площадь второго поля, урожайность каждого поля, а затем разницу и среднюю урожайность.
1. Площадь второго поля: $75 \text{ га} - 50 \text{ га} = 25 \text{ га}$.
2. Урожайность первого поля: $2580 \text{ ц} \div 75 \text{ га} = 34,4 \text{ ц/га}$.
3. Урожайность второго поля: $720 \text{ ц} \div 25 \text{ га} = 28,8 \text{ ц/га}$.
4. Теперь найдем, на сколько урожайность первого поля была выше, чем второго, вычтя из урожайности первого поля урожайность второго: $34,4 \text{ ц/га} - 28,8 \text{ ц/га} = 5,6 \text{ ц/га}$.
5. Для нахождения средней урожайности пшеницы в колхозе, сложим общий урожай и разделим на общую площадь обоих полей.
Общий урожай: $2580 + 720 = 3300 \text{ ц}$.
Общая площадь: $75 + 25 = 100 \text{ га}$.
Средняя урожайность: $3300 \text{ ц} \div 100 \text{ га} = 33 \text{ ц/га}$.
Ответ: урожайность первого поля была выше на 5,6 ц/га; средняя урожайность пшеницы в этом колхозе равна 33 ц/га.

268 1) Фермер имеет 3 делянки с картофелем площадью соответственно 10 а, 20 а и 30 а. С первой делянки он собрал урожай 17,4 ц, со второй – 30 ц, а с третьей – 46,8 ц. Определи урожайность картофеля на каждой из делянок и среднюю урожайность всего картофельного поля.

2) Колхоз засеял пшеницей два поля. Площадь первого поля 75 га, а площадь второго поля на 50 га меньше. С первого поля собрали урожай 2580 ц, а со второго – 720 ц. На сколько урожайность первого поля была выше, чем второго? Чему равна средняя урожайность пшеницы в этом колхозе?

269 1) Среднее арифметическое двух чисел равно 8,2, а одно из них равно 4,5. Найди второе число.

2) Среднее арифметическое двух чисел равно 21,8, причём одно из них на 6,8 больше другого. Найди эти числа.

3) Первое число в 5 раз меньше второго, а их среднее арифметическое равно 12,6. На сколько второе число больше первого?

4) Среднее арифметическое трёх чисел равно 10,4. Первое число равно 9,6, а второе в 2 раза больше третьего. Найди эти числа. Какую часть меньшее число составляет от 9,6? Вырази эту часть в процентах.

1) Среднее арифметическое двух чисел — это их сумма, делённая на 2. Пусть неизвестное второе число — это $x$. Составим уравнение:
$\frac{4,5 + x}{2} = 8,2$
Чтобы найти сумму чисел, умножим среднее арифметическое на 2:
$4,5 + x = 8,2 \cdot 2$
$4,5 + x = 16,4$
Теперь найдём $x$:
$x = 16,4 - 4,5$
$x = 11,9$
Ответ: второе число равно 11,9.

2) Пусть меньшее число равно $x$, тогда большее число равно $x + 6,8$. Составим уравнение на основе определения среднего арифметического:
$\frac{x + (x + 6,8)}{2} = 21,8$
Упростим выражение в числителе:
$\frac{2x + 6,8}{2} = 21,8$
Найдём сумму чисел:
$2x + 6,8 = 21,8 \cdot 2$
$2x + 6,8 = 43,6$
$2x = 43,6 - 6,8$
$2x = 36,8$
$x = 36,8 : 2$
$x = 18,4$ (это меньшее число).
Найдём большее число:
$18,4 + 6,8 = 25,2$.
Ответ: эти числа 18,4 и 25,2.

3) Пусть первое число равно $x$. По условию, оно в 5 раз меньше второго, значит, второе число равно $5x$. Их среднее арифметическое равно 12,6. Составим уравнение:
$\frac{x + 5x}{2} = 12,6$
$\frac{6x}{2} = 12,6$
$3x = 12,6$
$x = 12,6 : 3$
$x = 4,2$ (это первое число).
Второе число равно: $5x = 5 \cdot 4,2 = 21$.
Чтобы узнать, на сколько второе число больше первого, вычтем из второго первое:
$21 - 4,2 = 16,8$.
Ответ: второе число больше первого на 16,8.

4) Сначала найдём сумму трёх чисел. Она равна их среднему арифметическому, умноженному на их количество:
$10,4 \cdot 3 = 31,2$.
Пусть первое число $a = 9,6$, второе — $b$, третье — $c$. Их сумма $a + b + c = 31,2$.
Найдём сумму второго и третьего чисел:
$b + c = 31,2 - a = 31,2 - 9,6 = 21,6$.
По условию второе число в 2 раза больше третьего: $b = 2c$. Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
$2c + c = 21,6$
$3c = 21,6$
$c = 21,6 : 3 = 7,2$ (третье число).
Теперь найдём второе число:
$b = 2 \cdot 7,2 = 14,4$.
Таким образом, мы нашли все три числа: 9,6; 14,4 и 7,2.
Меньшее из этих трёх чисел — 7,2. Найдём, какую часть оно составляет от числа 9,6:
$\frac{7,2}{9,6} = \frac{72}{96} = \frac{3 \cdot 24}{4 \cdot 24} = \frac{3}{4}$.
Выразим эту часть в процентах:
$\frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$.
Ответ: эти числа — 9,6, 14,4 и 7,2. Меньшее число составляет $\frac{3}{4}$ или 75% от числа 9,6.

269 1) Среднее арифметическое двух чисел равно 8,2, а одно из них равно 4,5. Найди второе число.

2) Среднее арифметическое двух чисел равно 21,8, причем одно из них на 6,8 больше другого. Найди эти числа.

3) Первое число в 5 раз меньше второго, а их среднее арифметическое равно 12,6. На сколько второе число больше первого?

4) Среднее арифметическое трех чисел равно 10,4. Первое число равно 9,6, а второе в 2 раза больше третьего. Найди эти числа. Какую часть меньшее число составляет от 9,6? Вырази эту часть в процентах.

286. Пусть длина шага пешехода равна $l$, а число сделанных им шагов – $n$.

1) Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния $s$, пройденного пешеходом, от $l$ и $n$.

2) Какие из двух величин в этой формуле при постоянной третьей прямо пропорциональны, а какие – обратно пропорциональны?

3) Вырази из этой формулы величины $l$ и $n$.

1) Расстояние, пройденное пешеходом, равно произведению длины одного шага на количество сделанных шагов. Если длина шага равна $l$, а число шагов равно $n$, то пройденное расстояние $s$ можно выразить следующей формулой:
$s = l \cdot n$
Эта формула показывает, что общее расстояние является произведением длины шага и количества шагов.
Ответ: $s = l \cdot n$.

2) Для анализа зависимостей в формуле $s = l \cdot n$ рассмотрим, как изменяются две величины при условии, что третья остается постоянной.
- Прямая пропорциональность: Две величины прямо пропорциональны, если их отношение постоянно.

• Если количество шагов $n$ постоянно ($n = const$), то формула принимает вид $s = l \cdot const$. Отсюда $\frac{s}{l} = const$. Это означает, что расстояние $s$ прямо пропорционально длине шага $l$. Чем длиннее шаг, тем большее расстояние будет пройдено за то же количество шагов.
• Если длина шага $l$ постоянна ($l = const$), то формула принимает вид $s = const \cdot n$. Отсюда $\frac{s}{n} = const$. Это означает, что расстояние $s$ прямо пропорционально количеству шагов $n$. Чем больше шагов сделано, тем большее расстояние пройдено.

• Если расстояние $s$ постоянно ($s = const$), то формула принимает вид $const = l \cdot n$. Это означает, что длина шага $l$ и количество шагов $n$ обратно пропорциональны. Чтобы пройти одно и то же расстояние, чем длиннее шаг, тем меньшее количество шагов потребуется.

Ответ: При постоянной третьей величине прямо пропорциональны: расстояние $s$ и длина шага $l$; расстояние $s$ и число шагов $n$. Обратно пропорциональны: длина шага $l$ и число шагов $n$.

3) Чтобы выразить величины $l$ и $n$ из основной формулы $s = l \cdot n$, необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования.
- Чтобы выразить длину шага $l$, разделим обе части уравнения на количество шагов $n$ (при условии, что $n \ne 0$):
$\frac{s}{n} = \frac{l \cdot n}{n}$
$l = \frac{s}{n}$
- Чтобы выразить количество шагов $n$, разделим обе части уравнения на длину шага $l$ (при условии, что $l \ne 0$):
$\frac{s}{l} = \frac{l \cdot n}{l}$
$n = \frac{s}{l}$
Ответ: $l = \frac{s}{n}$ и $n = \frac{s}{l}$.

286 Пусть длина шага пешехода равна $l$, а число сделанных им шагов – $n$.

1) Запиши формулу, выражающую зависимость расстояния $s$, пройденного пешеходом, от $l$ и $n$.

2) Какие из двух величин в этой формуле при постоянной третьей прямо пропорциональны, а какие – обратно пропорциональны?

3) Вырази из этой формулы величины $l$ и $n$.

287 Волк гонится за зайцем. Скорость волка 12 м/с, а скорость зайца – 8 м/с. Сейчас между ними 100 м. Пусть через $t$ с расстояние между волком и зайцем станет $d$ м. Запиши формулу зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$ до момента их встречи.

Чтобы составить формулу зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$, рассмотрим, как изменяется расстояние между волком и зайцем.

Нам известны следующие данные:
Скорость волка: $v_{в} = 12$ м/с.
Скорость зайца: $v_{з} = 8$ м/с.
Начальное расстояние между ними: $d_{0} = 100$ м.

Волк гонится за зайцем, значит, они движутся в одном направлении. Поскольку скорость волка больше скорости зайца, он будет догонять зайца. Скорость, с которой расстояние между ними сокращается, называется скоростью сближения ($v_{сбл}$). Она равна разности скоростей волка и зайца.

1. Найдем скорость сближения:
$v_{сбл} = v_{в} - v_{з} = 12 - 8 = 4$ (м/с).
Это означает, что каждую секунду волк приближается к зайцу на 4 метра.

2. За время $t$ (в секундах) расстояние между ними сократится на $v_{сбл} \times t$, то есть на $4t$ метров.

3. Расстояние $d$ между волком и зайцем через время $t$ будет равно начальному расстоянию $d_{0}$ минус расстояние, на которое они сблизились за это время.
Таким образом, формула зависимости расстояния $d$ от времени $t$ выглядит следующим образом:
$d = d_{0} - v_{сбл} \times t$
Подставим известные значения в формулу:
$d = 100 - 4t$

Ответ: $d = 100 - 4t$.

287 Волк гонится за зайцем. Скорость волка 12 м/с, а скорость зайца – 8 м/с. Сейчас между ними 100 м. Пусть через $t$ секунд расстояние между волком и зайцем станет $d$ м. Запиши формулу зависимости расстояния $d$ от времени движения $t$ до момента их встречи.

288 Для определения возможностей спортсменов А, В и С тренер предложил им бежать по шоссе «как можно быстрее и дальше». Используя графики их бега, ответь на вопросы.

1) Кто пробежал дальше всех?

2) Кто бежал дольше всех?

3) Сколько километров пробежал спортсмен А за первый час? Где в это время находились спортсмены В и С – впереди или позади А?

4) Сколько времени бежал спортсмен В? Сколько километров он пробежал? Чему равна его средняя скорость?

5) Кто бежал быстрее всех (с наибольшей средней скоростью)?

6) Сколько километров пробежал спортсмен В, когда С пробежал 12 км?

$s$ км

$t$ ч

A

B

C

1) Кто пробежал дальше всех?

Чтобы определить, кто пробежал дальше всех, необходимо найти точку на графиках с наибольшим значением по оси расстояния (s).
- Конечная точка графика спортсмена А соответствует расстоянию примерно в 36 км.
- Конечная точка графика спортсмена B соответствует расстоянию примерно в 34 км.
- Конечная точка графика спортсмена C соответствует расстоянию в 28 км.
Сравнивая эти значения ($36 > 34 > 28$), видим, что наибольшее расстояние пробежал спортсмен А.
Ответ: Спортсмен А.

2) Кто бежал дольше всех?

Чтобы определить, кто бежал дольше всех, необходимо найти точку на графиках с наибольшим значением по оси времени (t).
- Спортсмен А бежал 4 часа.
- Спортсмен B бежал 5 часов.
- Спортсмен C бежал 2 часа.
Сравнивая эти значения ($5 > 4 > 2$), видим, что дольше всех бежал спортсмен В.
Ответ: Спортсмен В.

3) Сколько километров пробежал спортсмен А за первый час? Где в это время находились спортсмены B и C — впереди или позади А?

Найдём на оси времени отметку $t=1$ ч и определим соответствующие расстояния для каждого спортсмена.
- Для спортсмена А при $t=1$ ч расстояние $s_A = 16$ км.
- Для спортсмена В при $t=1$ ч расстояние $s_B = 10$ км.
- Для спортсмена С при $t=1$ ч расстояние $s_C = 20$ км.
Так как расстояние спортсмена B (10 км) меньше расстояния спортсмена A (16 км), то B находился позади А. Так как расстояние спортсмена C (20 км) больше расстояния спортсмена A (16 км), то С находился впереди А.
Ответ: За первый час спортсмен А пробежал 16 км. В это время спортсмен B находился позади А, а спортсмен C — впереди А.

4) Сколько времени бежал спортсмен B? Сколько километров он пробежал? Чему равна его средняя скорость?

Найдём конечную точку графика для спортсмена В. Её координаты соответствуют общему времени и общему расстоянию.
- Общее время бега спортсмена В: $t_B = 5$ ч.
- Общее расстояние, которое пробежал спортсмен В: $s_B = 34$ км.
- Средняя скорость вычисляется по формуле $v = s/t$.
Средняя скорость спортсмена В: $v_B = \frac{34 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 6,8$ км/ч.
Ответ: Спортсмен В бежал 5 часов, пробежал 34 км, его средняя скорость равна 6,8 км/ч.

5) Кто бежал быстрее всех (с наибольшей средней скоростью)?

Чтобы определить, кто бежал быстрее всех, нужно рассчитать среднюю скорость для каждого спортсмена, разделив весь пройденный путь на всё затраченное время.
- Средняя скорость спортсмена А: $v_A = \frac{36 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 9$ км/ч.
- Средняя скорость спортсмена В: $v_B = \frac{34 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 6,8$ км/ч.
- Средняя скорость спортсмена С: $v_C = \frac{28 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 14$ км/ч.
Сравнивая скорости ($14 \text{ км/ч} > 9 \text{ км/ч} > 6,8 \text{ км/ч}$), видим, что наибольшая средняя скорость у спортсмена С.
Ответ: Спортсмен С.

6) Сколько километров пробежал спортсмен B, когда C пробежал 12 км?

Сначала найдём на графике С, за какое время он пробежал 12 км. На оси расстояний s находим отметку 12 км, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком С и опускаем перпендикуляр на ось времени t. Получаем $t = 0,5$ ч.
Теперь найдём, какое расстояние пробежал спортсмен В за это же время ($t = 0,5$ ч). Поднимаемся от отметки 0,5 ч на оси времени до графика В и находим соответствующее расстояние по оси s. Оно равно 6 км.
Ответ: 6 км.

288 Для определения возможностей спортсменов $A$, $B$ и $C$ тренер предложил им бежать по шоссе “как можно быстрее и дальше”. Используя графики их бега, определи:

1) Кто пробежал дальше всех?

2) Кто бежал дольше всех?

3) Сколько километров пробежал спортсмен $A$ за первый час? Где в это время находились спортсмены $B$ и $C$ – впереди или позади $A$?

4) Сколько времени бежал спортсмен $B$? Сколько километров он пробежал? Чему равна его средняя скорость?

5) Кто бежал быстрее всех (с наибольшей средней скоростью)?

6) Сколько километров пробежал спортсмен $B$, когда $C$ пробежал 12 км?

289 Какие из приведённых ниже формул являются прямой пропорциональ-ностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1 $s = 7a$

2 $v = \frac{40}{t}$

3 $k = 8 : M$

4 $a = b + 3$

5 $c = \frac{n}{3}$

6 $A = 0,5t$

7 $d = 3m^2$

8 $an = 7,2$

9 $b = 2k - 3$

Для определения типа зависимости между переменными в каждой формуле, необходимо вспомнить определения прямой и обратной пропорциональности.

Прямая пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их отношение постоянно. Формула прямой пропорциональности имеет вид $y = kx$, где $k$ — постоянный коэффициент пропорциональности, не равный нулю.

Обратная пропорциональность — это зависимость между двумя величинами, при которой их произведение постоянно. Формула обратной пропорциональности имеет вид $y = \frac{k}{x}$ (или $xy = k$), где $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю.

Проанализируем каждую формулу:

1. Формула $s = 7a$.
Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y=s$, $x=a$, а коэффициент пропорциональности $k = 7$. При увеличении $a$ в несколько раз, $s$ увеличивается во столько же раз. Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

2. Формула $v = \frac{40}{t}$.
Эта зависимость имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $y=v$, $x=t$, а коэффициент $k = 40$. При увеличении $t$ в несколько раз, $v$ уменьшается во столько же раз. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

3. Формула $k = 8 : M$.
Эту формулу можно записать в виде $k = \frac{8}{M}$. Эта зависимость имеет вид $y = \frac{k}{x}$, где $y=k$, $x=M$, а коэффициент $k = 8$. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

4. Формула $a = b + 3$.
Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью. Для прямой пропорциональности отношение $a/b$ должно быть постоянным, но здесь $\frac{a}{b} = \frac{b+3}{b} = 1 + \frac{3}{b}$, что зависит от $b$. Для обратной пропорциональности произведение $ab$ должно быть постоянным, но здесь $ab = b(b+3) = b^2+3b$, что также зависит от $b$. Это линейная зависимость, но не пропорциональность.
Ответ: не является ни тем, ни другим.

5. Формула $c = \frac{n}{3}$.
Эту формулу можно записать в виде $c = \frac{1}{3}n$. Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y=c$, $x=n$, а коэффициент пропорциональности $k = \frac{1}{3}$. Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

6. Формула $A = 0,5t$.
Эта зависимость имеет вид $y = kx$, где $y=A$, $x=t$, а коэффициент пропорциональности $k = 0,5$. Следовательно, это прямая пропорциональность.
Ответ: прямая пропорциональность.

7. Формула $d = 3m^2$.
Эта зависимость не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью. Здесь $d$ пропорционально квадрату $m$, а не первой степени $m$. Отношение $\frac{d}{m} = \frac{3m^2}{m} = 3m$ не является постоянным. Это квадратичная зависимость.
Ответ: не является ни тем, ни другим.

8. Формула $an = 7,2$.
Эта зависимость имеет вид $xy = k$, где $x=a$, $y=n$, а коэффициент $k = 7,2$. Произведение переменных постоянно. Эту формулу также можно записать как $a = \frac{7,2}{n}$. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: обратная пропорциональность.

9. Формула $b = 2k - 3$.
Эта зависимость, как и в пункте 4, не является ни прямой, ни обратной пропорциональностью из-за наличия постоянного слагаемого (-3). Отношение $b/k$ не является постоянным, как и произведение $bk$. Это линейная зависимость, но не пропорциональность.
Ответ: не является ни тем, ни другим.

289 Какие из приведенных ниже формул являются прямой пропорциональностью, обратной пропорциональностью или не являются ни тем, ни другим?

1 $s = 7a$

2 $v = \frac{40}{t}$

3 $k = \frac{8}{M}$

4 $a = b + 3$

5 $c = \frac{n}{3}$

6 $A = 0.5t$

7 $d = 3m^2$

8 $an = 7.2$

9 $b = 2k - 3$