Страница 73, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

297 1) $3,6 \cdot \frac{2}{9};$

2) $7\frac{1}{5} - 3,059;$

3) $\frac{1}{8} : 12,5;$

4) $2\frac{3}{11} \cdot 0,22.$

1) Чтобы вычислить произведение $3.6 \cdot \frac{2}{9}$, представим десятичное число $3.6$ в виде обыкновенной дроби.
$3.6 = \frac{36}{10}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{36}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{36 \cdot 2}{10 \cdot 9}$.
Сократим дробь, разделив $36$ в числителе и $9$ в знаменателе на $9$:
$\frac{4 \cdot 2}{10} = \frac{8}{10}$.
Представим результат в виде десятичной дроби:
$\frac{8}{10} = 0.8$.
Ответ: $0.8$

2) Чтобы найти разность $7\frac{1}{5} - 3.059$, удобнее всего представить смешанное число в виде десятичной дроби.
Дробная часть $\frac{1}{5}$ равна $\frac{2}{10}$, то есть $0.2$.
Значит, $7\frac{1}{5} = 7.2$.
Теперь выполним вычитание, уравняв количество знаков после запятой:
$7.2 - 3.059 = 7.200 - 3.059 = 4.141$.
Ответ: $4.141$

3) Для решения примера $\frac{1}{8} : 12.5$ представим десятичное число $12.5$ в виде обыкновенной дроби.
$12.5 = 12\frac{5}{10} = 12\frac{1}{2}$.
Запишем смешанное число в виде неправильной дроби:
$12\frac{1}{2} = \frac{12 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{25}{2}$.
Теперь выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{1}{8} : \frac{25}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{25} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 25} = \frac{2}{200}$.
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{2}{200} = \frac{1}{100}$.
Представим результат в виде десятичной дроби:
$\frac{1}{100} = 0.01$.
Ответ: $0.01$

4) Для решения примера $2\frac{3}{11} \cdot 0.22$ преобразуем оба множителя в обыкновенные дроби, так как перевод $\frac{3}{11}$ в десятичную дробь дает бесконечную периодическую дробь.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$2\frac{3}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{25}{11}$.
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0.22 = \frac{22}{100}$.
Теперь выполним умножение дробей и сократим:
$\frac{25}{11} \cdot \frac{22}{100} = \frac{25 \cdot 22}{11 \cdot 100} = \frac{25}{100} \cdot \frac{22}{11} = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Переведем результат в десятичную дробь:
$\frac{1}{2} = 0.5$.
Ответ: $0.5$

297 1) $3,6 \cdot \frac{2}{9}$;

2) $7\frac{1}{5} - 3,059$;

3) $\frac{1}{8} : 12,5$;

4) $2\frac{3}{11} \cdot 0,22$.

298 1) $ \frac{3,9 \cdot 0,7 \cdot 4,8 \cdot 0,03}{0,91 \cdot 5,4 \cdot 0,032} $

2) $ \frac{4\frac{1}{8} \cdot 2,5 \cdot 1,6}{0,5 \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 8,8} $

3) $ \frac{\left(3\frac{1}{3} : 10 + 2\frac{1}{6} : 3,25\right) : 0,125}{\frac{2}{13} \cdot 5,2 + 3 \cdot \frac{2}{13} + 4,8 \cdot \frac{2}{13}} $

1) Решим выражение $\frac{3,9 \cdot 0,7 \cdot 4,8 \cdot 0,03}{0,91 \cdot 5,4 \cdot 0,032}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы все десятичные дроби стали целыми числами. В числителе в общей сложности 5 знаков после запятой ($3,9; 0,7; 4,8; 0,03$), а в знаменателе 6 знаков ($0,91; 5,4; 0,032$). Умножим числитель и знаменатель на $10^6=1000000$.

$\frac{3,9 \cdot 0,7 \cdot 4,8 \cdot 0,03 \cdot 1000000}{0,91 \cdot 5,4 \cdot 0,032 \cdot 1000000} = \frac{(3,9 \cdot 10) \cdot (0,7 \cdot 10) \cdot (4,8 \cdot 10) \cdot (0,03 \cdot 100) \cdot 10}{(0,91 \cdot 100) \cdot (5,4 \cdot 10) \cdot (0,032 \cdot 1000)} = \frac{39 \cdot 7 \cdot 48 \cdot 3 \cdot 10}{91 \cdot 54 \cdot 32}$

Теперь сократим полученную дробь, раскладывая числа на множители:

$\frac{39 \cdot 7 \cdot 48 \cdot 3 \cdot 10}{91 \cdot 54 \cdot 32} = \frac{(3 \cdot 13) \cdot 7 \cdot (3 \cdot 16) \cdot 3 \cdot 10}{(7 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 27) \cdot (2 \cdot 16)}$

Сокращаем общие множители $13, 7, 16$:

$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10}{2 \cdot 27 \cdot 2} = \frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 4}$

Сокращаем $27$:

$\frac{10}{4} = 2,5$

Ответ: $2,5$.

2) Решим выражение $\frac{4\frac{1}{8} \cdot 2,5 \cdot 1,6}{0,5 \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 8,8}$.

Для удобства вычислений переведем все смешанные числа и десятичные дроби в неправильные дроби:

$4\frac{1}{8} = \frac{4 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

$2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$

$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$8,8 = \frac{88}{10} = \frac{44}{5}$

Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$\frac{\frac{33}{8} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{44}{5}}$

Вычислим отдельно числитель и знаменатель.
Числитель: $\frac{33}{8} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{33 \cdot 5 \cdot 8}{8 \cdot 2 \cdot 5}$. Сократив $8$ и $5$, получаем $\frac{33}{2}$.
Знаменатель: $\frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{44}{5} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 44}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{9 \cdot (4 \cdot 11)}{2 \cdot 4 \cdot 5}$. Сократив $4$, получаем $\frac{99}{10}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{\frac{33}{2}}{\frac{99}{10}} = \frac{33}{2} \cdot \frac{10}{99} = \frac{33 \cdot 10}{2 \cdot 99}$

Сокращаем $33$ и $99$ на $33$, а $10$ и $2$ на $2$:

$\frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 3} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$.

3) Решим выражение $\frac{(3\frac{1}{3}:10 + 2\frac{1}{6}:3,25):0,125}{\frac{2}{13} \cdot 5,2 + 3 \cdot \frac{2}{13} + 4,8 \cdot \frac{2}{13}}$.

Решим задачу по действиям, сначала вычислим значение числителя, затем знаменателя.

Вычисление числителя: $(3\frac{1}{3}:10 + 2\frac{1}{6}:3,25):0,125$

1. $3\frac{1}{3}:10 = \frac{10}{3} : 10 = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{3}$

2. $2\frac{1}{6}:3,25 = \frac{13}{6} : 3\frac{1}{4} = \frac{13}{6} : \frac{13}{4} = \frac{13}{6} \cdot \frac{4}{13} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$

4. $1:0,125 = 1 : \frac{1}{8} = 1 \cdot 8 = 8$.
Итак, числитель равен $8$.

Вычисление знаменателя: $\frac{2}{13} \cdot 5,2 + 3 \cdot \frac{2}{13} + 4,8 \cdot \frac{2}{13}$

Вынесем общий множитель $\frac{2}{13}$ за скобки:

$\frac{2}{13} \cdot (5,2 + 3 + 4,8)$

Сложим числа в скобках: $5,2 + 3 + 4,8 = (5,2 + 4,8) + 3 = 10 + 3 = 13$.

Теперь умножим: $\frac{2}{13} \cdot 13 = 2$.
Итак, знаменатель равен $2$.

Итоговый результат:

$\frac{\text{Числитель}}{\text{Знаменатель}} = \frac{8}{2} = 4$.

Ответ: $4$.

298 1) $ \frac{3,9 \cdot 0,7 \cdot 4,8 \cdot 0,03}{0,91 \cdot 5,4 \cdot 0,032} $

2) $ \frac{4\frac{1}{8} \cdot 2,5 \cdot 1,6}{0,5 \cdot 2\frac{1}{4} \cdot 8,8} $

3) $ \frac{\left(3\frac{1}{3} : 10 + 2\frac{1}{6} : 3,25\right) : 0,125}{\frac{2}{13} \cdot 5,2 + 3 \cdot \frac{2}{13} + 4,8 \cdot \frac{2}{13}} $

299 $(1.6 : \frac{2}{3} + 1\frac{1}{7} \cdot 1.4) : 0.08 - (9 - 9 : 4\frac{2}{7}) : 0.23 \cdot (2.25 - 1\frac{1}{4}).$

Для решения данного примера необходимо выполнить действия в определенном порядке, соблюдая правила приоритета операций (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Вычислим значение выражения в первых скобках: $(1,6 : \frac{2}{3} + 1\frac{1}{7} \cdot 1,4)$.

   Для удобства вычислений представим десятичные дроби и смешанные числа в виде обыкновенных дробей.

   $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$; $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$; $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

   Сначала выполним деление: $1,6 : \frac{2}{3} = \frac{8}{5} : \frac{2}{3} = \frac{8}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

   Затем выполним умножение: $1\frac{1}{7} \cdot 1,4 = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{5} = \frac{8 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{8}{5}$.

   Сложим полученные результаты: $\frac{12}{5} + \frac{8}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

2. Результат из первых скобок разделим на $0,08$.

   $4 : 0,08 = 4 : \frac{8}{100} = 4 \cdot \frac{100}{8} = \frac{400}{8} = 50$.

3. Вычислим значение выражения во вторых скобках: $(9 - 9 : 4\frac{2}{7})$.

   Переведем смешанное число в неправильную дробь: $4\frac{2}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{30}{7}$.

   Выполняем деление: $9 : \frac{30}{7} = 9 \cdot \frac{7}{30} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}$.

   Выполняем вычитание: $9 - \frac{21}{10} = \frac{90}{10} - \frac{21}{10} = \frac{69}{10} = 6,9$.

4. Результат из вторых скобок разделим на $0,23$.

   $6,9 : 0,23 = \frac{6,9}{0,23} = \frac{690}{23} = 30$.

5. Вычислим значение выражения в третьих скобках: $(2,25 - 1\frac{1}{4})$.

   Переведем смешанное число в десятичную дробь: $1\frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = 1 + 0,25 = 1,25$.

   $2,25 - 1,25 = 1$.

6. Найдем произведение результатов действий 4 и 5.

   Это соответствует части выражения $(9 - 9 : 4\frac{2}{7}) : 0,23 \cdot (2,25 - 1\frac{1}{4})$.

   $30 \cdot 1 = 30$.

7. Выполним последнее действие — вычитание.

   Вычтем из результата действия 2 (значение левой части выражения) результат действия 6 (значение правой части выражения).

   $50 - 30 = 20$.

Ответ: 20

299 $(1.6: \frac{2}{3} + 1\frac{1}{7} \cdot 1.4) : 0.08 - (9 - 9 : 4\frac{2}{7}) : 0.23 \cdot (2.25 - 1\frac{1}{4}).$

300 Катер прошёл против течения реки 21,6 км за 1,2 ч, а по течению реки за то же время – расстояние на 4,8 км больше. Чему равна собственная скорость катера и скорость течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $V_{соб}$ – собственная скорость катера (в км/ч) и $V_{теч}$ – скорость течения реки (в км/ч).

Скорость катера при движении против течения реки равна разности собственной скорости и скорости течения: $V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$.

Скорость катера при движении по течению реки равна сумме собственной скорости и скорости течения: $V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$.

1. Найдем скорость катера против течения. Известно, что катер прошел расстояние $S_{против} = 21,6$ км за время $t = 1,2$ ч. Чтобы найти скорость, разделим расстояние на время:

$V_{против} = \frac{21,6}{1,2} = \frac{216}{12} = 18$ км/ч.

Таким образом, мы получаем первое уравнение: $V_{соб} - V_{теч} = 18$.

2. Найдем расстояние, которое катер прошел по течению. По условию, оно на 4,8 км больше, чем расстояние, пройденное против течения:

$S_{по} = 21,6 + 4,8 = 26,4$ км.

3. Найдем скорость катера по течению. Это расстояние катер прошел за то же время $t = 1,2$ ч:

$V_{по} = \frac{26,4}{1,2} = \frac{264}{12} = 22$ км/ч.

Таким образом, мы получаем второе уравнение: $V_{соб} + V_{теч} = 22$.

4. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} V_{соб} - V_{теч} = 18 \\ V_{соб} + V_{теч} = 22 \end{cases}$

Для нахождения $V_{соб}$ сложим первое и второе уравнения:

$(V_{соб} - V_{теч}) + (V_{соб} + V_{теч}) = 18 + 22$

$2 \cdot V_{соб} = 40$

$V_{соб} = \frac{40}{2} = 20$ км/ч.

Для нахождения $V_{теч}$ подставим найденное значение $V_{соб}$ во второе уравнение:

$20 + V_{теч} = 22$

$V_{теч} = 22 - 20 = 2$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера – 20 км/ч, скорость течения реки – 2 км/ч.

300 Катер прошел против течения реки 21,6 км за 1,2 ч, а по течению реки за то же время – расстояние на 4,8 км большее. Чему равна собственная скорость катера и скорость течения реки?

301 Слесарь получил в январе зарплату 18 350 р., в феврале – 18 470 р., а в марте – 18 500 р. Он узнал, что на соседнем предприятии средний заработок слесаря за этот же период составил 18 460 р. На каком предприятии зарплата слесаря выше?

Для того чтобы определить, на каком предприятии зарплата выше, необходимо вычислить средний заработок слесаря на его текущем месте работы за три месяца и сравнить его со средним заработком на соседнем предприятии.

1. Найдем общую сумму, которую слесарь получил за январь, февраль и март. Для этого сложим его зарплаты за эти месяцы:
$18350 + 18470 + 18500 = 55320$ рублей.

2. Теперь рассчитаем средний заработок слесаря на его предприятии. Для этого разделим общую сумму на количество месяцев, то есть на 3:
$ \frac{55320}{3} = 18440$ рублей.

3. Сравним полученный средний заработок ($18440$ р.) со средним заработком на соседнем предприятии ($18460$ р.):
$18440 < 18460$.

Сравнение показывает, что средний заработок на соседнем предприятии выше.

Ответ: зарплата слесаря выше на соседнем предприятии.

301 Слесарь получил в январе зарплату 18 350 р., в феврале – 18 470 р., а в марте – 18 500 р. Он узнал, что на соседнем предприятии средний заработок слесаря за этот же период составил 18 460 р. На каком предприятии зарплата слесаря выше?

302 Пароход плыл $1,5 \text{ ч}$ по реке со скоростью $36,4 \text{ км/ч}$, а затем ещё $0,5 \text{ ч}$ по озеру со скоростью $33,6 \text{ км/ч}$. С какой средней скоростью он плыл?

Чтобы найти среднюю скорость движения, нужно весь пройденный путь разделить на всё время движения.

1. Найдём расстояние, которое пароход проплыл по реке.

Для этого умножим его скорость на реке на время движения по реке. Обозначим это расстояние как $S_1$.

$S_1 = 36,4 \, \text{км/ч} \times 1,5 \, \text{ч} = 54,6 \, \text{км}$

2. Найдём расстояние, которое пароход проплыл по озеру.

Для этого умножим его скорость на озере на время движения по озеру. Обозначим это расстояние как $S_2$.

$S_2 = 33,6 \, \text{км/ч} \times 0,5 \, \text{ч} = 16,8 \, \text{км}$

3. Найдём общий пройденный путь.

Сложим расстояния, пройденные по реке и по озеру.

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 54,6 \, \text{км} + 16,8 \, \text{км} = 71,4 \, \text{км}$

4. Найдём общее время в пути.

Сложим время движения по реке и по озеру.

$t_{общ} = 1,5 \, \text{ч} + 0,5 \, \text{ч} = 2 \, \text{ч}$

5. Найдём среднюю скорость парохода.

Разделим общий путь на общее время.

$V_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{71,4 \, \text{км}}{2 \, \text{ч}} = 35,7 \, \text{км/ч}$

Ответ: 35,7 км/ч.

302 Пароход плыл 1,5 ч по реке со скоростью 36,4 км/ч, а затем еще 0,5 ч по озеру со скоростью 33,6 км/ч. С какой средней скоростью он плыл?

303 Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 385 км. Скорость первого поезда в 1,2 раза больше скорости второго поезда. Какое расстояние прошёл первый поезд до его встречи со вторым?

Для решения задачи обозначим скорость второго поезда как $v_2$, а расстояние, которое он прошел до встречи, — $S_2$. Тогда, согласно условию, скорость первого поезда будет $v_1 = 1.2 \times v_2$, а пройденное им расстояние — $S_1$. Общее расстояние между городами составляет $S = 385$ км.

Поскольку поезда выехали одновременно, время $t$, которое они были в пути до встречи, для них одинаково. Расстояние, пройденное каждым поездом, можно найти по формуле: $S_{поезда} = v_{поезда} \times t$.

Так как время движения $t$ одинаково, отношение пройденных расстояний будет равно отношению их скоростей:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{v_1 \times t}{v_2 \times t} = \frac{v_1}{v_2}$

Подставим в это соотношение известное нам отношение скоростей ($v_1 = 1.2 \times v_2$):$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1.2 \times v_2}{v_2} = 1.2$

Из этого следует, что $S_1 = 1.2 \times S_2$. То есть первый поезд до встречи прошел расстояние в 1,2 раза больше, чем второй.

Вместе поезда прошли всё расстояние между городами, поэтому сумма пройденных ими расстояний равна 385 км:$S_1 + S_2 = 385$

Теперь подставим выражение $S_1 = 1.2 \times S_2$ в уравнение суммы расстояний:$1.2 \times S_2 + S_2 = 385$

Решим полученное уравнение, чтобы найти расстояние, пройденное вторым поездом:$2.2 \times S_2 = 385$
$S_2 = \frac{385}{2.2} = \frac{3850}{22} = 175$ км.

Теперь, зная расстояние, которое прошел второй поезд, мы можем найти расстояние, которое прошел первый поезд:$S_1 = 385 - S_2 = 385 - 175 = 210$ км.

Ответ: 210 км.

303 Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми равно 385 км. Скорость первого поезда в 1,2 раза больше скорости второго поезда. Какое расстояние прошел первый поезд до его встречи со вторым?

304 По лыжной трассе в одном направлении идут два лыжника. Сейчас расстояние между ними 2,4 км. Скорость лыжника, идущего впереди, равна 9,6 км/ч, а скорость лыжника, идущего сзади, – 13,2 км/ч. Через сколько времени второй лыжник догонит первого?

Данная задача решается с помощью нахождения скорости сближения двух объектов, движущихся в одном направлении.

Обозначим данные:

• Скорость первого лыжника (идущего впереди): $v_1 = 9,6$ км/ч.
• Скорость второго лыжника (идущего сзади): $v_2 = 13,2$ км/ч.
• Начальное расстояние между ними: $S = 2,4$ км.

Решение состоит из двух шагов:

1. Найти скорость сближения лыжников.

Поскольку лыжники движутся в одном направлении, скорость, с которой второй лыжник догоняет первого (скорость сближения $v_{сбл}$), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 13,2 - 9,6 = 3,6$ км/ч.

Это значит, что расстояние между лыжниками сокращается на 3,6 километра каждый час.

2. Найти время, через которое второй лыжник догонит первого.

Время $t$ можно найти, разделив начальное расстояние $S$ на скорость сближения $v_{сбл}$:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{2,4}{3,6}$ ч.

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на 10:

$t = \frac{24}{36}$ ч.

Сократим дробь на 12:

$t = \frac{2}{3}$ ч.

Для удобства переведем время в минуты. В 1 часе 60 минут:

$t = \frac{2}{3} \times 60 = 40$ минут.

Ответ: второй лыжник догонит первого через 40 минут.

304 По лыжной трассе в одном направлении идут два лыжника. Сейчас расстояние между ними 2,4 км. Скорость лыжника, идущего впереди, равна 9,6 км/ч, а скорость лыжника, идущего сзади, – 13,2 км/ч. Через сколько времени второй лыжник догонит первого?

305. Из одного и того же города одновременно в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста в 3 раза меньше скорости мотоциклиста. С какими скоростями они едут, если через 1 ч 20 мин после выезда расстояние между ними стало 96 км?

1. Введем переменные.Пусть скорость велосипедиста равна $x$ км/ч. По условию задачи, его скорость в 3 раза меньше скорости мотоциклиста. Это значит, что скорость мотоциклиста в 3 раза больше, то есть она равна $3x$ км/ч.

2. Переведем время в часы.Время движения составляет 1 час 20 минут. Для использования в формуле расстояния переведем это время в часы:$t = 1 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 1 + \frac{20}{60} \text{ ч } = 1 + \frac{1}{3} \text{ ч } = \frac{4}{3} \text{ ч }$.

3. Найдем скорость удаления.Поскольку велосипедист и мотоциклист движутся в противоположных направлениях из одной точки, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна сумме их скоростей:$v_{удаления} = v_{велосипедиста} + v_{мотоциклиста} = x + 3x = 4x$ км/ч.

4. Составим и решим уравнение.Расстояние равно произведению скорости на время ($S = v \cdot t$). В нашем случае общее расстояние между ними через $\frac{4}{3}$ часа составило 96 км. Подставим известные значения в формулу:$96 = v_{удаления} \cdot t$$96 = 4x \cdot \frac{4}{3}$$96 = \frac{16x}{3}$Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3 и разделим на 16:$16x = 96 \cdot 3$$16x = 288$$x = \frac{288}{16}$$x = 18$Таким образом, скорость велосипедиста составляет 18 км/ч.

5. Найдем скорость мотоциклиста.Скорость мотоциклиста равна $3x$:$3 \cdot 18 = 54$ км/ч.

Проверка:За 1 ч 20 мин ($\frac{4}{3}$ ч) велосипедист проедет: $18 \cdot \frac{4}{3} = 24$ км.Мотоциклист проедет: $54 \cdot \frac{4}{3} = 72$ км.Расстояние между ними: $24 + 72 = 96$ км. Условие выполняется.

Ответ: скорость велосипедиста – 18 км/ч, скорость мотоциклиста – 54 км/ч.

305 Из одного и того же города одновременно в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста в 3 раза меньше скорости мотоциклиста. С какими скоростями они едут, если через 1 ч 20 мин после выезда расстояние между ними стало 96 км?

306 К бассейну подведены 2 трубы. Через первую трубу бассейн может наполниться за 9 ч, а через две трубы, открытые одновременно, – за 3 ч 36 мин. За сколько времени наполнится пустой бассейн через одну вторую трубу?

Для решения задачи примем весь объем бассейна за 1 (единицу). Решение будет основано на понятии производительности (скорости выполнения работы).

1. Находим производительность первой трубы
Первая труба наполняет весь бассейн (1) за 9 часов. Следовательно, ее производительность ($P_1$), то есть часть бассейна, которую она наполняет за 1 час, составляет:
$P_1 = \frac{1}{9}$ (бассейна/час)

2. Находим совместную производительность двух труб
Обе трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 минут. Для удобства вычислений переведем это время в часы.
Поскольку в 1 часе 60 минут, то 36 минут это:
$36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = \frac{3}{5} \text{ ч} = 0,6 \text{ ч}$
Общее время работы двух труб ($T_{1+2}$) составляет:
$T_{1+2} = 3 + 0,6 = 3,6 \text{ ч}$
Представим это время в виде неправильной дроби для дальнейших расчетов:
$T_{1+2} = 3 \frac{3}{5} = \frac{18}{5} \text{ ч}$
Совместная производительность двух труб ($P_{1+2}$) равна:
$P_{1+2} = \frac{1}{T_{1+2}} = \frac{1}{18/5} = \frac{5}{18}$ (бассейна/час)

3. Находим производительность второй трубы
Совместная производительность равна сумме производительностей каждой трубы: $P_{1+2} = P_1 + P_2$.
Чтобы найти производительность второй трубы ($P_2$), вычтем из совместной производительности производительность первой трубы:
$P_2 = P_{1+2} - P_1 = \frac{5}{18} - \frac{1}{9}$
Приведем дроби к общему знаменателю 18:
$P_2 = \frac{5}{18} - \frac{2}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$ (бассейна/час)

4. Находим время, за которое вторая труба наполнит бассейн
Зная, что производительность второй трубы равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час, мы можем найти время ($T_2$), за которое она одна наполнит весь бассейн (1):
$T_2 = \frac{1}{P_2} = \frac{1}{1/6} = 6 \text{ часов}$

Ответ: 6 часов.

306 К бассейну подведены 2 трубы. Через первую трубу бассейн может наполниться за 9 ч, а через две трубы, открытые одновременно, – за 3 ч 36 мин. За сколько времени наполнится пустой бассейн через одну вторую трубу?

307 При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов в 2 раза больше другого. Найди величины всех образовавшихся углов и построй их.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла: две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Сумма смежных углов равна $180°$.

Из условия задачи известно, что один из углов в 2 раза больше другого. Так как вертикальные углы всегда равны друг другу, это соотношение может выполняться только для смежных углов.

Пусть величина меньшего угла составляет $x$. Тогда величина большего угла, смежного с ним, будет $2x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма смежных углов равна $180°$:

$x + 2x = 180°$

Решим полученное уравнение:

$3x = 180°$

$x = 180° / 3$

$x = 60°$

Таким образом, меньший угол равен $60°$. Больший угол равен $2x = 2 \cdot 60° = 120°$.

Поскольку при пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов, то в результате мы имеем два угла по $60°$ и два угла по $120°$.

Построение прямых, образующих такие углы, показано на рисунке:

Ответ: Величины образовавшихся углов равны $60°$, $120°$, $60°$ и $120°$.

307 При пересечении двух прямых один из образовавшихся углов в 2 раза больше другого. Найди величины всех образовавшихся углов и построй их.

306 Изобрази в тетради шкалу термометра и отметь на ней температуру:

a) $ +6 \text{ °C}$;

б) $ -2 \text{ °C}$;

в) $ -7 \text{ °C}$;

г) $ +3,6 \text{ °C}$;

д) $ -5,8 \text{ °C}$;

е) $ -4,3 \text{ °C}$.

Для того чтобы изобразить шкалу термометра и отметить на ней заданные температуры, представим шкалу в виде вертикальной числовой прямой. На этой прямой есть начальная точка — $0$ °C. Все значения со знаком «+» (положительные температуры) находятся выше нуля, а все значения со знаком «–» (отрицательные температуры) — ниже нуля. Для удобства можно выбрать масштаб, например, 1 см на шкале будет соответствовать $1$ °C.

а) +6 °C
Температура $+6$ °C — положительная. Чтобы отметить ее на шкале, нужно отсчитать 6 единичных делений (например, 6 см) вверх от отметки $0$ °C.
Ответ: Точка, соответствующая температуре $+6$ °C, находится на 6 делений выше отметки $0$ °C.

б) -2 °C
Температура $-2$ °C — отрицательная. Для ее отметки на шкале нужно отсчитать 2 единичных деления вниз от отметки $0$ °C.
Ответ: Точка, соответствующая температуре $-2$ °C, находится на 2 деления ниже отметки $0$ °C.

в) -7 °C
Температура $-7$ °C — отрицательная. Эта точка будет расположена на 7 единичных делений ниже отметки $0$ °C.
Ответ: Точка, соответствующая температуре $-7$ °C, находится на 7 делений ниже отметки $0$ °C.

г) +3,6 °C
Температура $+3,6$ °C — положительная. Она находится между целыми значениями $+3$ °C и $+4$ °C. Чтобы точно отметить эту точку, нужно интервал между $+3$ °C и $+4$ °C разделить на 10 равных частей (десятых долей градуса) и отсчитать 6 таких частей от отметки $+3$ °C вверх.
Ответ: Точка, соответствующая температуре $+3,6$ °C, находится выше отметки $0$ °C, между делениями $+3$ °C и $+4$ °C, на $6/10$ расстояния от $+3$ °C к $+4$ °C.

д) -5,8 °C
Температура $-5,8$ °C — отрицательная. Она находится между целыми значениями $-5$ °C и $-6$ °C. Для ее отметки нужно разделить интервал между $-5$ °C и $-6$ °C на 10 равных частей и отсчитать 8 таких частей от отметки $-5$ °C вниз (в сторону $-6$ °C).
Ответ: Точка, соответствующая температуре $-5,8$ °C, находится ниже отметки $0$ °C, между делениями $-5$ °C и $-6$ °C, на $8/10$ расстояния от $-5$ °C к $-6$ °C.

е) -4,3 °C
Температура $-4,3$ °C — отрицательная. Она находится между целыми значениями $-4$ °C и $-5$ °C. Для ее отметки нужно разделить интервал между $-4$ °C и $-5$ °C на 10 равных частей и отсчитать 3 таких части от отметки $-4$ °C вниз (в сторону $-5$ °C).
Ответ: Точка, соответствующая температуре $-4,3$ °C, находится ниже отметки $0$ °C, между делениями $-4$ °C и $-5$ °C, на $3/10$ расстояния от $-4$ °C к $-5$ °C.

306 Изобрази в тетради шкалу термометра и отметь на ней температуру:

а) $+6^\circ$

б) $-2^\circ$

в) $-7^\circ$

г) $+3,6^\circ$

д) $-5,8^\circ$

е) $-4,3^\circ$

307 Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия «координатная прямая»:

а) на прямой выбрано начало отсчёта;

б) на прямой выбран единичный отрезок;

в) на прямой выбрано направление;

г) прямая расположена горизонтально?

Сформулируй определение координатной прямой, перечислив все её существенные признаки. Сравни построенное тобой определение с определением, приведённым в тексте учебника на с. 70.

Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия «координатная прямая»:

Чтобы прямая стала координатной, на ней необходимо задать систему отсчета. Проанализируем каждый из предложенных признаков на предмет его необходимости:

а) на прямой выбрано начало отсчёта;
Это точка, которой сопоставляется число $0$. Она служит отправной точкой для определения координат всех остальных точек. Без начала отсчёта невозможно задать координаты. Этот признак является существенным.

б) на прямой выбран единичный отрезок;
Этот отрезок задаёт масштаб на прямой. Его длина принимается за единицу измерения. Зная масштаб, можно найти точку для любого числа и определить число для любой точки. Этот признак является существенным.

в) на прямой выбрано направление;
Направление (обычно указывается стрелкой) определяет, в какую сторону от начала отсчёта располагаются положительные числа, а в какую — отрицательные. Без него нельзя было бы различить, например, точки с координатами $5$ и $-5$. Этот признак является существенным.

г) прямая расположена горизонтально?
Координатная прямая может быть расположена в пространстве как угодно: горизонтально, вертикально или под любым углом. Её ориентация — это лишь вопрос удобства изображения, а не её определяющее свойство. Этот признак не является существенным.

Ответ: Существенными признаками являются: а) на прямой выбрано начало отсчёта; б) на прямой выбран единичный отрезок; в) на прямой выбрано направление.

Сформулируй определение координатной прямой, перечислив все её существенные признаки.

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта (точка, соответствующая нулю), единичный отрезок (задающий масштаб) и положительное направление (указывающее сторону возрастания чисел).

Ответ: Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление.

Сравни построенное тобой определение с определением, приведённым в тексте учебника на с. 70.

Данное задание предполагает, что ученик самостоятельно сравнит полученное определение с текстом в своем учебнике. Однако стандартное определение в большинстве учебников математики гласит: «Прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и направление, называется координатной прямой». Таким образом, построенное на основе существенных признаков определение полностью совпадает с общепринятым.

Ответ: Сформулированное определение совпадает со стандартным определением координатной прямой из учебников.

307 Какие из перечисленных ниже признаков являются существенными для понятия “координатная прямая”:

а) на прямой выбрано начало отсчета;

б) на прямой выбран единичный отрезок;

в) на прямой выбрано направление;

г) прямая расположена горизонтально?

Сформулируй определение координатной прямой, перечислив все ее существенные признаки. Сравни построенное тобой определение с определением, приведенным в тексте учебника на стр. 70.

308 Какие из прямых на рисунке являются координатными прямыми, а какие – нет?

а) Вертикальная прямая с делениями и числами: $0$, $1$.

б) Горизонтальная прямая с делениями и числами: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

в) Горизонтальная прямая с делениями, числами и стрелкой вправо: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

г) Горизонтальная прямая с делениями, числами и стрелкой влево: $3$, $2$, $1$, $0$, $-1$, $-2$, $-3$.

д) Горизонтальная прямая с делениями, числами и стрелками в обе стороны: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

е) Наклонная прямая с делениями, числами и стрелкой вправо: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

ж) Горизонтальная прямая с делениями, числами и стрелками в обе стороны: $-30$, $-20$, $-10$, $0$, $10$, $20$, $30$.

з) Горизонтальная прямая с делениями, числами и стрелками в обе стороны, и точкой на числе $-3$: $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$.

а) Прямая на рисунке а) является координатной прямой. Это вертикальная прямая, на которой выбрано начало отсчёта (точка с координатой 0), задан единичный отрезок (расстояние между отметками 0 и 1) и указано положительное направление (стрелкой вверх).

Ответ: является.

б) Прямая на рисунке б) не является координатной прямой. Хотя на ней отмечены целые числа и соблюдается масштаб (единичный отрезок), на прямой не указано положительное направление (отсутствует стрелка).

Ответ: не является.

в) Прямая на рисунке в) является координатной прямой. На ней есть все необходимые атрибуты: начало отсчёта (0), единичный отрезок (расстояние между соседними целыми числами) и положительное направление, указанное стрелкой вправо.

Ответ: является.

г) Прямая на рисунке г) является координатной прямой. На ней выбрано начало отсчёта (0), задан единичный отрезок. Положительное направление указано стрелкой влево, и числа возрастают в этом же направлении (от $-3$ к $3$), что соответствует определению координатной прямой.

Ответ: является.

д) Прямая на рисунке д) не является координатной прямой. Стрелка указывает направление влево, однако числа на прямой возрастают вправо. На координатной прямой стрелка должна указывать направление, в котором увеличиваются числа.

Ответ: не является.

е) Прямая на рисунке е) является координатной прямой. Несмотря на то, что прямая наклонная, на ней есть начало отсчёта (0), постоянный единичный отрезок и стрелка, указывающая положительное направление.

Ответ: является.

ж) Прямая на рисунке ж) является координатной прямой. На ней выбрано начало отсчёта (0), задан единичный отрезок (равный 10 единицам) и указано положительное направление стрелкой вправо.

Ответ: является.

з) Прямая на рисунке з) не является координатной прямой. На ней не соблюдается единый масштаб: расстояние между отметками $-3$ и $-2$ заметно больше, чем расстояние между другими соседними целыми числами. Единичный отрезок должен быть постоянным на всей прямой.

Ответ: не является.

308 Какие из прямых на рисунке являются координатными прямыми, а какие – нет?

а) $0$

$1$

б) $-3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

в) $-3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

г) $3 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad -1 \quad -2 \quad -3$

д) $-3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

е) $-3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

ж) $-30 \quad -20 \quad -10 \quad 0 \quad 10 \quad 20 \quad 30$

з) $-3 \quad -2 \quad -1 \quad 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3$

309 Найди в тексте учебника на с. 70 определение координаты точки. Построй на координатной прямой точки $O(0)$, $A(1)$, $B(-3)$, $C(5,8)$, $D(-12\frac{3}{4})$.

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны:

• начало отсчёта (точка О, соответствующая числу 0);
• единичный отрезок, определяющий масштаб;
• положительное направление, которое обычно указывается стрелкой.

Каждой точке на координатной прямой соответствует число, которое называется её координатой. Координата точки показывает расстояние от начала отсчёта до этой точки, выраженное в единичных отрезках.

Числа, расположенные справа от нуля, называются положительными, а слева от нуля — отрицательными. Координата начала отсчёта (точки O) равна нулю.

Ответ: Координата точки на прямой — это число, показывающее положение точки на этой прямой. Оно равно расстоянию от точки до начала отсчёта, взятому со знаком «+», если точка лежит в положительном направлении от начала отсчёта, и со знаком «–», если она лежит в отрицательном направлении.

Для построения заданных точек начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчёта (точку О), выберем единичный отрезок и укажем стрелкой положительное направление (вправо). Затем отметим положение каждой точки в соответствии с её координатой:

• Точка $O(0)$ — совпадает с началом отсчёта.
• Точка $A(1)$ — находится на расстоянии 1 единичного отрезка вправо от начала отсчёта.
• Точка $B(-3)$ — находится на расстоянии 3 единичных отрезков влево от начала отсчёта.
• Точка $C(5,8)$ — находится на расстоянии 5,8 единичных отрезков вправо от начала отсчёта (между 5 и 6, ближе к 6).
• Точка $D(-12\frac{3}{4})$ — преобразуем координату в десятичную дробь: $-12\frac{3}{4} = -12,75$. Точка находится на расстоянии 12,75 единичных отрезков влево от начала отсчёта (между -12 и -13, ближе к -13).

Ответ:

309 Найди в тексте учебника на стр. 70 определение координаты точки. Построй на координатной прямой точки $O(0)$, $A(1)$, $B(-3)$, $C(5,8)$, $D(-12\frac{3}{4})$.

310 На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D, E и F. Запиши их координаты. Какие закономерности ты наблюдаешь?

1) A: $-5$

B: $-3$

C: $-1$

D: $1$

E: $3$

F: $5$

2) A: $-2.5$

B: $-1.5$

C: $-0.5$

D: $0.5$

E: $1.5$

F: $2.5$

3) A: $-2.5$

C: $-1.5$

E: $-0.5$

F: $0.5$

D: $1.5$

B: $2.5$

4) C: $-36$

A: $-28$

F: $-14$

B: $14$

D: $28$

E: $36$

1) На данной координатной прямой цена одного деления равна 1. Координаты точек определяются числами, на которых они расположены.

• Точка A соответствует числу -5, координата A(-5).
• Точка B соответствует числу -3, координата B(-3).
• Точка C соответствует числу -1, координата C(-1).
• Точка D соответствует числу 1, координата D(1).
• Точка E соответствует числу 3, координата E(3).
• Точка F соответствует числу 5, координата F(5).

Закономерность: Координаты точек образуют последовательность чисел: -5, -3, -1, 1, 3, 5. Каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=2$.

Ответ: A(-5), B(-3), C(-1), D(1), E(3), F(5). Закономерность: каждая следующая координата на 2 больше предыдущей.

2) На этой координатной прямой расстояние между соседними целыми числами разделено на два равных отрезка. Следовательно, цена одного деления равна $1 \div 2 = 0.5$.

• Точка A находится посередине между -3 и -2, ее координата A(-2.5).
• Точка B находится посередине между -2 и -1, ее координата B(-1.5).
• Точка C находится посередине между -1 и 0, ее координата C(-0.5).
• Точка D находится посередине между 0 и 1, ее координата D(0.5).
• Точка E находится посередине между 1 и 2, ее координата E(1.5).
• Точка F находится посередине между 2 и 3, ее координата F(2.5).

Закономерность: Координаты точек -2.5, -1.5, -0.5, 0.5, 1.5, 2.5 также образуют арифметическую прогрессию, но с разностью $d=1$. Каждая следующая координата на 1 больше предыдущей.

Ответ: A(-2.5), B(-1.5), C(-0.5), D(0.5), E(1.5), F(2.5). Закономерность: каждая следующая координата на 1 больше предыдущей.

3) На этой координатной прямой расстояние между соседними целыми числами разделено на четыре равных отрезка. Цена одного деления равна $1 \div 4 = 0.25$.

• Координата A: $-2 - 0.25 = -2.25$.
• Координата B: $2 + 0.25 = 2.25$.
• Координата C: $-2 + 0.25 = -1.75$.
• Координата D: $1 + 3 \times 0.25 = 1.75$.
• Координата E: -1.
• Координата F: 1.

Закономерность: Точки образуют пары, координаты которых являются противоположными числами (симметричны относительно точки 0):
A(-2.25) и B(2.25)
C(-1.75) и D(1.75)
E(-1) и F(1)

Ответ: A(-2.25), B(2.25), C(-1.75), D(1.75), E(-1), F(1). Закономерность: точки образуют пары (A, B), (C, D), (E, F), координаты точек в каждой паре являются противоположными числами.

4) Здесь расстояние между основными отметками (например, от -40 до -30) равно 10. Это расстояние разделено на пять равных отрезков. Значит, цена одного деления равна $10 \div 5 = 2$.

• Координата A: $-30 + 1 \times 2 = -28$.
• Координата B: $10 + 2 \times 2 = 14$.
• Координата C: $-40 + 2 \times 2 = -36$.
• Координата D: $20 + 4 \times 2 = 28$.
• Координата E: $30 + 3 \times 2 = 36$.
• Координата F: $-20 + 2 \times 2 = -16$.

Закономерность: Для некоторых пар точек наблюдается симметрия относительно начала координат:
Координаты точек A(-28) и D(28) являются противоположными числами.
Координаты точек C(-36) и E(36) также являются противоположными числами.
Точки B(14) и F(-16) данной закономерности не подчиняются.

Ответ: A(-28), B(14), C(-36), D(28), E(36), F(-16). Закономерность: координаты точек A и D, а также C и E являются противоположными числами.

310 На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D, E и F. Запиши их координаты. Какие закономерности ты наблюдаешь?

1) $A(-5)$, $B(-3)$, $C(-1)$, $D(1)$, $E(3)$, $F(5)$

2) $A(-2.5)$, $B(-1.5)$, $C(-0.5)$, $D(0.5)$, $E(1.5)$, $F(2.5)$

3) $A(-2.5)$, $C(-1.5)$, $E(-0.5)$, $F(1)$, $D(2)$, $B(2.5)$

4) $C(-35)$, $A(-25)$, $F(-15)$, $B(15)$, $D(25)$, $E(35)$