Страница 74, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

311 Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь?

1) A (-9), B (-8), C (-5), D (-4), E (-1), F (0), G (3), H (4) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A ($2\frac{3}{4}$), B (1,5), C (0,25), D (-1), E ($-2\frac{1}{4}$), F (-3,5) (единичный отрезок – 4 клетки);

3) A (1,4), B (0,8), C (0,2), D (-0,4), E (-1), F (-1,6) (единичный отрезок – 10 клеток);

4) A ($-2\frac{1}{2}$), B ($-1\frac{1}{3}$), C ($-\frac{5}{6}$), D ($\frac{5}{6}$), E ($1\frac{1}{3}$), F (2,5) (единичный отрезок – 3 клетки).

Для решения задачи начертим координатную прямую. Выберем на ней начало отсчета — точку $F(0)$, положительное направление (вправо) и единичный отрезок, равный 2 клеткам. Положение каждой точки на прямой определяется ее координатой: положительные числа откладываются вправо от нуля, отрицательные — влево. Расстояние от нуля в клетках равно модулю координаты, умноженному на 2.

Отметим заданные точки:
$A(-9)$: расположена в $9 \times 2 = 18$ клетках слева от $F(0)$.
$B(-8)$: расположена в $8 \times 2 = 16$ клетках слева от $F(0)$.
$C(-5)$: расположена в $5 \times 2 = 10$ клетках слева от $F(0)$.
$D(-4)$: расположена в $4 \times 2 = 8$ клетках слева от $F(0)$.
$E(-1)$: расположена в $1 \times 2 = 2$ клетках слева от $F(0)$.
$F(0)$: расположена в начале отсчета.
$G(3)$: расположена в $3 \times 2 = 6$ клетках справа от $F(0)$.
$H(4)$: расположена в $4 \times 2 = 8$ клетках справа от $F(0)$.

Расположив точки на прямой, можно заметить, что точки $D(-4)$ и $H(4)$ находятся на одинаковом расстоянии ($8$ клеток) от начала отсчета, но в противоположных направлениях. Их координаты, $-4$ и $4$, являются противоположными числами. Такие точки называются симметричными относительно начала координат.

Ответ: Точки $D$ и $H$ симметричны относительно начала координат (точки $F$).

Начертим координатную прямую, приняв за единичный отрезок 4 клетки. Для удобства размещения точек на прямой представим их координаты в виде десятичных дробей: $A(2\frac{3}{4}) = A(2,75)$ и $E(-2\frac{1}{4}) = E(-2,25)$.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(2,75)$: $2,75 \times 4 = 11$ клеток вправо.
$B(1,5)$: $1,5 \times 4 = 6$ клеток вправо.
$C(0,25)$: $0,25 \times 4 = 1$ клетка вправо.
$D(-1)$: $1 \times 4 = 4$ клетки влево.
$E(-2,25)$: $2,25 \times 4 = 9$ клеток влево.
$F(-3,5)$: $3,5 \times 4 = 14$ клеток влево.

Отметив точки, можно заметить, что они образуют три пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно некоторой точки. Центр симметрии для каждой пары можно найти как среднее арифметическое их координат. Например, для пары $A$ и $F$: $\frac{2,75 + (-3,5)}{2} = \frac{-0,75}{2} = -0,375$. Проверка для других пар дает тот же результат: $\frac{1,5 + (-2,25)}{2} = -0,375$ и $\frac{0,25 + (-1)}{2} = -0,375$.

Ответ: Точки образуют пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно точки с координатой $-0,375$.

Начертим координатную прямую с единичным отрезком в 10 клеток. Координаты всех точек даны в виде десятичных дробей.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(1,4)$: $1,4 \times 10 = 14$ клеток вправо.
$B(0,8)$: $0,8 \times 10 = 8$ клеток вправо.
$C(0,2)$: $0,2 \times 10 = 2$ клетки вправо.
$D(-0,4)$: $0,4 \times 10 = 4$ клетки влево.
$E(-1)$: $1 \times 10 = 10$ клеток влево.
$F(-1,6)$: $1,6 \times 10 = 16$ клеток влево.

Можно заметить, что точки образуют симметричные пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$). Найдем их общий центр симметрии как среднее арифметическое координат, например, для крайних точек $A$ и $F$: $\frac{1,4 + (-1,6)}{2} = \frac{-0,2}{2} = -0,1$. Аналогичные расчеты для других пар ($B$ и $E$, $C$ и $D$) также дают $-0,1$.

Ответ: Точки образуют пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно точки с координатой $-0,1$.

Начертим координатную прямую с единичным отрезком в 3 клетки. Чтобы отметить точки, необходимо их координаты (или их модули) умножить на 3.

Найдем положение каждой точки в клетках от начала отсчета (0):
$A(-2\frac{1}{2})$ или $A(-2,5)$: $2,5 \times 3 = 7,5$ клеток влево.
$B(-1\frac{1}{3})$: $|-1\frac{1}{3}| \times 3 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ клетки влево.
$C(-\frac{5}{6})$: $|-\frac{5}{6}| \times 3 = \frac{5}{6} \times 3 = \frac{5}{2} = 2,5$ клетки влево.
$D(\frac{5}{6})$: $\frac{5}{6} \times 3 = \frac{5}{2} = 2,5$ клетки вправо.
$E(1\frac{1}{3})$: $1\frac{1}{3} \times 3 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ клетки вправо.
$F(2,5)$: $2,5 \times 3 = 7,5$ клеток вправо.

Отметив точки, можно заметить, что они образуют три пары, симметричные относительно начала координат: $A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$. Координаты точек в каждой паре являются противоположными числами: ($-2\frac{1}{2}$ и $2,5$), ($-1\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{3}$), ($-\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{6}$).

Ответ: Точки образуют три пары ($A$ и $F$, $B$ и $E$, $C$ и $D$), симметричные относительно начала координат.

311 Начерти координатную прямую и отметь на ней точки. Что ты замечаешь?

1) A (-9), B (-8), C (-5), D (-4), E (-1), F (0), G (3), H (4) (единичный отрезок – 2 клетки);

2) A ($2\frac{3}{4}$), B (1,5), C (0,25), D (-1), E ($-2\frac{1}{4}$), F (-3,5) (единичный отрезок – 4 клетки);

3) A (1,4), B (0,8), C (0,2), D (-0,4), E (-1), F (-1,6) (единичный отрезок – 10 клеток);

4) A ($-2\frac{1}{2}$), B ($-1\frac{1}{3}$), C ($-\frac{5}{6}$), D ($\frac{5}{6}$), E ($1\frac{1}{3}$), F (2,5) (единичный отрезок – 6 клеток).

312. На координатной прямой даны точки $A(3)$ и $B(-2)$. Отметь на этой прямой начало отсчёта и единичный отрезок. Запиши координаты точек C, D и E.

D, $B(-2)$, C, $A(3)$, E

Чтобы найти координаты точек C, D и E, сначала необходимо определить масштаб координатной прямой, то есть найти длину единичного отрезка и положение начала отсчета (точки 0).

1. Определение единичного отрезка.
Нам даны координаты точек $A(3)$ и $B(-2)$. Найдем расстояние между ними в единицах:$d(A, B) = |3 - (-2)| = |3 + 2| = 5$ единиц.Теперь посчитаем количество маленьких делений между точками A и B на рисунке. Между ними 10 делений.Это означает, что 5 единиц на прямой соответствуют 10 делениям. Следовательно, один единичный отрезок равен:$10 \text{ делений} \div 5 \text{ единиц} = 2$ деления.

2. Определение начала отсчета.
Начало отсчета (точка с координатой 0) находится на 2 единицы правее точки $B(-2)$. Так как один единичный отрезок — это 2 деления, то начало отсчета будет на $2 \times 2 = 4$ деления правее точки B. Также можно найти начало отсчета от точки A: 3 единицы левее точки $A(3)$, что составляет $3 \times 2 = 6$ делений влево.

Теперь, зная, что 1 единица = 2 деления, найдем координаты искомых точек.

Координаты точки C
Точка C находится на 6 делений правее точки $B(-2)$. Расстояние в единицах составляет $6 \div 2 = 3$ единицы.Чтобы найти координату точки C, нужно к координате точки B прибавить это расстояние:$-2 + 3 = 1$.Таким образом, координата точки C равна 1.
Ответ: $C(1)$

Координаты точки D
Точка D находится на 4 деления левее точки $B(-2)$. Расстояние в единицах составляет $4 \div 2 = 2$ единицы.Чтобы найти координату точки D, нужно из координаты точки B вычесть это расстояние, так как D находится левее:$-2 - 2 = -4$.Таким образом, координата точки D равна -4.
Ответ: $D(-4)$

Координаты точки E
Точка E находится на 4 деления правее точки $A(3)$. Расстояние в единицах составляет $4 \div 2 = 2$ единицы.Чтобы найти координату точки E, нужно к координате точки A прибавить это расстояние, так как E находится правее:$3 + 2 = 5$.Таким образом, координата точки E равна 5.
Ответ: $E(5)$

312 На координатной прямой даны точки $A(3)$ и $B(-2)$. Отметь на этой прямой начало отсчета и единичный отрезок. Запиши координаты точек $C$, $D$ и $E$.

$C(1)$, $D(-4)$, $E(4)$

313 По данным выражениям придумай задачи о доходах и расходах и реши их. Запиши эти выражения без скобок, используя представления об изменении величин. Проверь ответы с помощью координатной прямой.

a) $ (-4) + (+6); $

б) $ (+3) + (-7); $

в) $ (-2) + (-5); $

г) $ (-1) + (+4) + (-1). $

а)

Задача: Утром температура воздуха была -4 градуса. К обеду она повысилась на 6 градусов. Какой стала температура воздуха к обеду?

Решение:

Запишем выражение без скобок. Сложение с положительным числом $ (+6) $ можно представить как простое прибавление 6. Таким образом, изменение величины выглядит так: из начального значения $ -4 $ происходит увеличение на 6.

Выражение без скобок: $ -4 + 6 $.

Вычисляем: $ -4 + 6 = 2 $.

Проверка с помощью координатной прямой:

Находим на прямой точку $ -4 $. Прибавление $ +6 $ означает движение вправо на 6 единичных отрезков. Отсчитываем от $ -4 $ шесть шагов вправо: $ -3, -2, -1, 0, 1, 2 $. Мы попадаем в точку 2.

Ответ: 2

б)

Задача: На счету у школьника было 3 рубля. Он купил ручку за 7 рублей, взяв недостающую сумму в долг. Каким стал баланс на его счету?

Решение:

Запишем выражение без скобок. Сложение с отрицательным числом $ (-7) $ можно представить как вычитание 7. Таким образом, изменение величины выглядит так: из начального значения $ +3 $ происходит уменьшение на 7.

Выражение без скобок: $ 3 - 7 $.

Вычисляем: $ 3 - 7 = -4 $.

Проверка с помощью координатной прямой:

Находим на прямой точку $ 3 $. Прибавление $ -7 $ означает движение влево на 7 единичных отрезков. Отсчитываем от $ 3 $ семь шагов влево: $ 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4 $. Мы попадаем в точку -4.

Ответ: -4

в)

Задача: У предпринимателя был долг 2 тысячи рублей. Он взял в кредит еще 5 тысяч рублей. Каким стал его общий долг?

Решение:

Запишем выражение без скобок. Сложение с отрицательным числом $ (-5) $ можно представить как вычитание 5. Таким образом, к начальному долгу $ -2 $ добавляется еще один расход (уменьшение) на 5.

Выражение без скобок: $ -2 - 5 $.

Вычисляем: $ -2 - 5 = -7 $.

Проверка с помощью координатной прямой:

Находим на прямой точку $ -2 $. Прибавление $ -5 $ означает движение влево на 5 единичных отрезков. Отсчитываем от $ -2 $ пять шагов влево: $ -3, -4, -5, -6, -7 $. Мы попадаем в точку -7.

Ответ: -7

г)

Задача: В начале недели долг фирмы составлял 1 миллион рублей. За неделю фирма получила прибыль 4 миллиона рублей, но ей пришлось выплатить налоги и зарплаты в размере 1 миллиона рублей. Каким стало финансовое состояние фирмы к концу недели?

Решение:

Запишем выражение без скобок, последовательно раскрывая их. Сложение с $ (+4) $ это прибавление 4, а сложение с $ (-1) $ это вычитание 1. Получаем последовательное изменение величины: начальное значение $ -1 $, затем увеличение на 4, а потом уменьшение на 1.

Выражение без скобок: $ -1 + 4 - 1 $.

Вычисляем по порядку: $ -1 + 4 = 3 $, затем $ 3 - 1 = 2 $.

Проверка с помощью координатной прямой:

Находим на прямой точку $ -1 $. Прибавление $ +4 $ означает движение вправо на 4 единичных отрезка: $ 0, 1, 2, 3 $. Попадаем в точку 3. Теперь из точки 3 прибавляем $ -1 $, то есть двигаемся влево на 1 единичный отрезок. Попадаем в точку 2.

Ответ: 2

313 По данным выражениям придумай задачи о доходах и расходах и реши их. Запиши эти выражения без скобок, используя представления об изменении величин. Проверь ответы с помощью координатной прямой.

а) $(-4) + (+6)$;

б) $(+3) + (-7)$;

в) $(-2) + (-5)$;

г) $(-1) + (+4) + (-1)$.

314 Запиши сумму чисел и найди её с помощью координатной прямой. Что ты замечаешь?

1) $+5$ и $-3$;

2) $-3$ и $+5$;

3) $-4$ и $-1$;

4) $-1$ и $-4$;

5) $-8$ и $+2$;

6) $+2$ и $-8$;

7) $-5$ и $0$;

8) $0$ и $-5$;

9) $+7$ и $-7$;

10) $-7$ и $+7$.

1) +5 и -3

Запишем сумму: $(+5) + (-3)$. На координатной прямой это означает, что от точки 0 мы сначала перемещаемся на 5 единиц вправо, попадая в точку 5. Затем из этой точки перемещаемся на 3 единицы влево (так как прибавляем отрицательное число). В результате мы оказываемся в точке 2.

$(+5) + (-3) = 5 - 3 = 2$.

Ответ: 2.

2) -3 и +5

Запишем сумму: $(-3) + (+5)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 3 единицы влево, попадая в точку -3. Затем из этой точки перемещаемся на 5 единиц вправо. В результате мы оказываемся в точке 2.

$(-3) + (+5) = -3 + 5 = 2$.

Ответ: 2.

3) -4 и -1

Запишем сумму: $(-4) + (-1)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 4 единицы влево, попадая в точку -4. Затем из этой точки перемещаемся еще на 1 единицу влево. В результате мы оказываемся в точке -5.

$(-4) + (-1) = -4 - 1 = -5$.

Ответ: -5.

4) -1 и -4

Запишем сумму: $(-1) + (-4)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 1 единицу влево, попадая в точку -1. Затем из этой точки перемещаемся еще на 4 единицы влево. В результате мы оказываемся в точке -5.

$(-1) + (-4) = -1 - 4 = -5$.

Ответ: -5.

5) -8 и +2

Запишем сумму: $(-8) + (+2)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 8 единиц влево, попадая в точку -8. Затем из этой точки перемещаемся на 2 единицы вправо. В результате мы оказываемся в точке -6.

$(-8) + (+2) = -8 + 2 = -6$.

Ответ: -6.

6) +2 и -8

Запишем сумму: $(+2) + (-8)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 2 единицы вправо, попадая в точку 2. Затем из этой точки перемещаемся на 8 единиц влево. В результате мы оказываемся в точке -6.

$(+2) + (-8) = 2 - 8 = -6$.

Ответ: -6.

7) -5 и 0

Запишем сумму: $(-5) + 0$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 5 единиц влево, попадая в точку -5. Прибавление нуля означает, что мы остаемся на месте. Результат: -5.

$(-5) + 0 = -5$.

Ответ: -5.

8) 0 и -5

Запишем сумму: $0 + (-5)$. Мы начинаем в точке 0 и перемещаемся на 5 единиц влево. В результате мы оказываемся в точке -5.

$0 + (-5) = -5$.

Ответ: -5.

9) +7 и -7

Запишем сумму: $(+7) + (-7)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 7 единиц вправо, попадая в точку 7. Затем из этой точки перемещаемся на 7 единиц влево. В результате мы возвращаемся в точку 0.

$(+7) + (-7) = 7 - 7 = 0$.

Ответ: 0.

10) -7 и +7

Запишем сумму: $(-7) + (+7)$. На координатной прямой от точки 0 мы перемещаемся на 7 единиц влево, попадая в точку -7. Затем из этой точки перемещаемся на 7 единиц вправо. В результате мы возвращаемся в точку 0.

$(-7) + (+7) = -7 + 7 = 0$.

Ответ: 0.

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что результаты в парах примеров, где слагаемые поменялись местами, одинаковы:

• 1) и 2): $(+5) + (-3) = (-3) + (+5) = 2$
• 3) и 4): $(-4) + (-1) = (-1) + (-4) = -5$
• 5) и 6): $(-8) + (+2) = (+2) + (-8) = -6$
• 7) и 8): $(-5) + 0 = 0 + (-5) = -5$
• 9) и 10): $(+7) + (-7) = (-7) + (+7) = 0$

Это наблюдение иллюстрирует переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Для любых чисел $a$ и $b$ верно равенство: $a + b = b + a$.

314 Запиши сумму чисел и найди ее с помощью координатной прямой. Что ты замечаешь?

1) $+5 + (-3)$;

2) $-3 + (+5)$;

3) $-4 + (-1)$;

4) $-1 + (-4)$;

5) $-8 + (+2)$;

6) $+2 + (-8)$;

7) $-5 + 0$;

8) $0 + (-5)$;

9) $+7 + (-7)$;

10) $-7 + (+7)$.

315 Переведи запись на язык «изменения температуры». Найди результаты этих изменений, пользуясь координатной прямой:

а) $1 - 3$;

б) $-4 - 6$;

в) $-2 + 7$;

г) $5 - 8$;

д) $-1 + 5$;

е) $-3 - 4$;

ж) $2 - 4 + 1$;

з) $-3 - 2 + 6$.

а) Выражение $1 - 3$ можно перевести на язык «изменения температур» следующим образом: начальная температура была $+1$ градус, а затем она понизилась на $3$ градуса. На координатной прямой это означает, что мы начинаем в точке 1 и двигаемся влево (в сторону уменьшения) на 3 единицы. Сделав 3 шага влево, мы попадаем в точку -2. Таким образом, $1 - 3 = -2$.
Ответ: -2

б) Выражение $-4 - 6$ означает, что начальная температура была $-4$ градуса (4 градуса мороза), а затем она понизилась еще на $6$ градусов. На координатной прямой мы начинаем в точке -4 и двигаемся влево на 6 единиц. Это приведет нас в точку -10. Таким образом, $-4 - 6 = -10$.
Ответ: -10

в) Выражение $-2 + 7$ означает, что начальная температура была $-2$ градуса, а затем она повысилась (потеплело) на $7$ градусов. На координатной прямой мы начинаем в точке -2 и двигаемся вправо (в сторону увеличения) на 7 единиц. Это приведет нас в точку 5. Таким образом, $-2 + 7 = 5$.
Ответ: 5

г) Выражение $5 - 8$ означает, что начальная температура была $+5$ градусов, а затем она понизилась на $8$ градусов. На координатной прямой мы начинаем в точке 5 и двигаемся влево на 8 единиц. Пройдя через 0, мы попадем в точку -3. Таким образом, $5 - 8 = -3$.
Ответ: -3

д) Выражение $-1 + 5$ означает, что начальная температура была $-1$ градус, а затем она повысилась на $5$ градусов. На координатной прямой мы начинаем в точке -1 и двигаемся вправо на 5 единиц. Это приведет нас в точку 4. Таким образом, $-1 + 5 = 4$.
Ответ: 4

е) Выражение $-3 - 4$ означает, что начальная температура была $-3$ градуса, а затем она понизилась еще на $4$ градуса. На координатной прямой мы начинаем в точке -3 и двигаемся влево на 4 единицы. Это приведет нас в точку -7. Таким образом, $-3 - 4 = -7$.
Ответ: -7

ж) Выражение $2 - 4 + 1$ означает, что начальная температура была $+2$ градуса, затем она понизилась на $4$ градуса, а после этого повысилась на $1$ градус. На координатной прямой: начинаем в точке 2, двигаемся на 4 единицы влево и попадаем в точку -2. Затем из точки -2 двигаемся на 1 единицу вправо и попадаем в точку -1. Таким образом, $2 - 4 + 1 = -1$.
Ответ: -1

з) Выражение $-3 - 2 + 6$ означает, что начальная температура была $-3$ градуса, затем она понизилась еще на $2$ градуса, а после этого повысилась на $6$ градусов. На координатной прямой: начинаем в точке -3, двигаемся на 2 единицы влево и попадаем в точку -5. Затем из точки -5 двигаемся на 6 единиц вправо и попадаем в точку 1. Таким образом, $-3 - 2 + 6 = 1$.
Ответ: 1

315 Переведи запись на язык "изменения температур". Найди результаты этих изменений, пользуясь координатной прямой:

а) $1-3$;

б) $-4-6$;

в) $-2+7$;

г) $5-8$;

д) $-1+5$;

е) $-3-4$;

ж) $2-4+1$;

з) $-3-2+6$.

316 $A = \{7; -2; 0; 3,6; \frac{4}{9}; 54; -1 \frac{2}{3}; -3108\}$. Назови элементы множества A, которые являются натуральными числами, целыми числами, рациональными числами.

Проанализируем каждый элемент данного множества $A = \{7; -2; 0; 3,6; \frac{4}{9}; 54; -1\frac{2}{3}; -3108\}$ и определим его принадлежность к различным числовым множествам.

натуральными числами
Натуральные числа — это числа, которые используются для счета (1, 2, 3, ...). Они являются целыми и положительными. Из множества $A$ к натуральным числам относятся 7 и 54.
Ответ: 7; 54.

целыми числами
Целые числа — это натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...). Из множества $A$ целыми являются числа 7, -2, 0, 54, -3108.
Ответ: 7; -2; 0; 54; -3108.

рациональными числами
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Все элементы множества $A$ являются рациональными, так как каждое из них можно представить в таком виде:
$7 = \frac{7}{1}$;
$-2 = \frac{-2}{1}$;
$0 = \frac{0}{1}$;
$3,6 = \frac{36}{10}$;
$\frac{4}{9}$ — уже представлено в виде дроби;
$54 = \frac{54}{1}$;
$-1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$;
$-3108 = \frac{-3108}{1}$.
Следовательно, все элементы множества $A$ являются рациональными числами.
Ответ: 7; -2; 0; 3,6; $\frac{4}{9}$; 54; $-1\frac{2}{3}$; -3108.

316 $A = \{7; -2; 0; 3.6; \frac{4}{9}; 54; -1\frac{2}{3}; -3108\}$. Назови элементы множества A, которые являются натуральными числами, целыми числами, рациональными числами.

317 Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q}$, где $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $\mathbb{Z}$ – множество целых чисел, а $\mathbb{Q}$ – множество рациональных чисел. Отметь на диаграмме числа: $3$; $-0.2$; $5\frac{3}{7}$; $0$; $-1$; $24$; $1.8$; $-\frac{1}{6}$.

Для построения диаграммы Эйлера-Венна сначала определим отношения между множествами натуральных чисел (N), целых чисел (Z) и рациональных чисел (Q).

• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Это числа, используемые при счете.
• Множество целых чисел $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Оно включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль. Таким образом, множество N является подмножеством Z, что записывается как $N \subset Z$.
• Множество рациональных чисел Q — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in Z$), а $q$ — натуральное число ($q \in N$). Любое целое число $z$ можно представить как дробь $\frac{z}{1}$, поэтому все целые числа являются рациональными. Следовательно, Z является подмножеством Q: $Z \subset Q$.

Таким образом, мы имеем следующую вложенность множеств: $N \subset Z \subset Q$. Это означает, что на диаграмме Эйлера-Венна область для N будет находиться внутри области для Z, а область для Z — внутри области для Q.

Теперь классифицируем данные числа и определим их место на диаграмме:

1. Числа 3 и 24 — это положительные целые числа, они принадлежат множеству натуральных чисел N. На диаграмме они будут находиться в самой внутренней области.
2. Числа 0 и -1 — это целые числа, но не натуральные. Они принадлежат множеству Z, но не N. На диаграмме они будут находиться в области Z, но за пределами области N.
3. Числа -0,2, $5\frac{3}{7}$, 1,8 и $-\frac{1}{6}$ являются дробными (нецелыми). Их можно представить в виде обыкновенной дроби:
   • $-0,2 = -\frac{2}{10}$
   • $5\frac{3}{7} = \frac{38}{7}$
   • $1,8 = \frac{18}{10}$
   • $-\frac{1}{6}$
   Эти числа принадлежат множеству рациональных чисел Q, но не Z. На диаграмме они будут находиться в самой внешней области Q, но за пределами области Z.

На основе этого анализа строим диаграмму.

Ответ:

Ниже представлена диаграмма Эйлера-Венна для множеств N, Z и Q, на которой отмечено расположение заданных чисел.

317 Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств $N$, $Z$ и $Q$, где $N$ – множество натуральных чисел, $Z$ – множество целых чисел, а $Q$ – множество рациональных чисел. Отметь на диаграмме числа: 3; -0,2; $5\frac{3}{7}$; 0; -1; 24; 1,8; $-\frac{1}{6}$.

К 324 Татьяна и Пётр дали следующие определения квадрата.

• Татьяна: «Квадратом называется четырёхугольник с равными сторонами».

• Пётр: «Квадратом называется параллелограмм, все углы которого прямые».

Почему нельзя согласиться с такими вариантами определения? Предложи свой вариант и сравни его с вариантом, данным в тексте учебника.

В № 325–329 по определениям сделай рисунки, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Построй логическую последовательность введения этих определений и установи, в каких случаях её можно изменить, а в каких – нет.

Татьяна: Определение Татьяны: «Квадратом называется четырёхугольник с равными сторонами».
Это определение является неполным. Четырёхугольник с равными сторонами называется ромбом. У ромба углы не обязательно прямые. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы равны $90^\circ$. Таким образом, определение Татьяны описывает более широкий класс фигур (все ромбы), а не только квадраты. Например, ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ подходит под это определение, но не является квадратом.
Ответ: Определение Татьяны неверно, так как оно описывает ромб. В нём отсутствует важное условие о том, что все углы должны быть прямыми.

Пётр: Определение Петра: «Квадратом называется параллелограмм, все углы которого прямые».
Это определение также является неполным. Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником. У прямоугольника равны только противоположные стороны, но не обязательно все четыре. Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны. Таким образом, определение Петра описывает все прямоугольники, а не только квадраты. Прямоугольник со сторонами 5 см и 10 см подходит под это определение, но квадратом не является.
Ответ: Определение Петра неверно, так как оно описывает прямоугольник. В нём отсутствует важное условие о том, что все стороны должны быть равны.

Почему нельзя согласиться с такими вариантами определения? Предложи свой вариант и сравни его с вариантом, данным в тексте учебника.
С предложенными вариантами нельзя согласиться, потому что они не содержат достаточного набора признаков, однозначно определяющих квадрат. Каждое из этих определений описывает более общее понятие (ромб или прямоугольник), для которого квадрат является лишь частным случаем. Правильное определение должно сочетать в себе признаки обоих этих фигур.

Свой вариант определения:
Можно предложить несколько эквивалентных определений.
1. На основе понятия "прямоугольник": Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
2. На основе понятия "ромб": Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые.
3. На основе понятия "четырёхугольник": Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые.

Сравнение с вариантом из учебника:
Все три предложенных варианта являются классическими и часто используются в учебниках геометрии. Как правило, в учебнике приводится одно из них в качестве основного. Например, если тема "Квадрат" изучается после темы "Прямоугольник", то логично использовать определение 1. Если после темы "Ромб" — то определение 2. Определение 3 является наиболее полным, но и наиболее избыточным, так как из равенства всех углов выпуклого четырехугольника уже следует, что они прямые, а из того, что это прямоугольник с равными сторонами, следует, что это и ромб. Все эти определения математически верны и эквивалентны.
Ответ: Нельзя согласиться с определениями Татьяны и Петра, так как они неполные. Корректный вариант: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны». Этот вариант является стандартным и равносилен другим правильным определениям, которые можно встретить в учебниках.

К 324 Татьяна и Петр дали следующие определения квадрата.

Татьяна:

«Квадратом называется четырехугольник с равными сторонами».

Петр:

«Квадратом называется параллелограмм, все углы которого прямые».

Почему нельзя согласиться с такими вариантами определения? Предложи свой вариант и сравни его с вариантом, данным в тексте учебника.

В № 325 – 329 по определениям сделай рисунки, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Построй логическую последовательность введения этих определений и установи, в каких случаях ее можно изменить, а в каких – нет.

325 а) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

б) Треугольником называется фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

в) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

г) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки принадлежат отрезку и называются его концами.

а) Данное утверждение является точным определением средней линии треугольника. Средняя линия — это отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника. Таким образом, это определение является верным.
Ответ: верно.

б) Это классическое и полное определение треугольника в геометрии. Оно корректно указывает на все его составные части: три точки, не лежащие на одной прямой (вершины), и три отрезка, соединяющие эти точки (стороны). Определение является верным.
Ответ: верно.

в) Это утверждение является точным определением медианы треугольника. Медиана — это отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине противоположной стороны. Определение является верным.
Ответ: верно.

г) Это стандартное определение отрезка. Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, называемыми его концами. Эти точки также являются частью отрезка. Определение является верным.
Ответ: верно.

325 а) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

б) Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

в) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

г) Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки принадлежат отрезку и называются его концами.

326 а) Два луча с общим началом, составляющие прямую, называются дополнительными лучами.

б) Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом.

в) Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого.

г) Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.

Для решения задачи проанализируем каждое из представленных утверждений на предмет его математической корректности.

а)

Данное утверждение гласит: "Два луча с общим началом, составляющие прямую, называются дополнительными лучами".

Это определение является полностью верным. Если на прямой $a$ отметить точку $O$, она разделит эту прямую на два луча, выходящие из точки $O$ в противоположных направлениях. Эти два луча вместе образуют исходную прямую $a$. Такие лучи по определению называются дополнительными или противоположными.

Ответ: Утверждение верное.

б)

Данное утверждение гласит: "Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом".

Это определение также является верным. Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и продолжается бесконечно только в одном направлении. Фраза "ограниченная только одной точкой" точно описывает это свойство, в отличие от отрезка (который ограничен двумя точками) и прямой (которая не ограничена). Вторая часть утверждения корректно уточняет, что начальная точка является частью самого луча.

Ответ: Утверждение верное.

в)

Данное утверждение гласит: "Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого".

Это классическое и абсолютно точное определение вертикальных углов. При пересечении двух прямых образуется две пары вертикальных углов. Если один угол, скажем $\angle AOB$, образован лучами $OA$ и $OB$, то вертикальный ему угол $\angle COD$ будет образован лучами $OC$ и $OD$, где луч $OC$ является дополнительным к лучу $OA$, а луч $OD$ — дополнительным к лучу $OB$.

Ответ: Утверждение верное.

г)

Данное утверждение гласит: "Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла".

Это определение содержит существенную неточность, которая делает его неполным или некорректным в рамках строгой аксиоматики. В определении не указано, что лучи, образующие угол, должны быть **различными**. Если этого не потребовать, то два совпадающих луча также будут образовывать "угол" согласно этому определению. Такая фигура (один луч) соответствует нулевому углу, который является частным, вырожденным случаем. Стандартное определение угла в школьном курсе геометрии обычно подразумевает фигуру, образованную двумя *различными* лучами. Отсутствие этого уточнения делает определение нестрогим.

Ответ: Утверждение неверное (неточное).

326 а) Два луча с общим началом, составляющие прямую, называются дополнительными лучами.

б) Лучом называется часть прямой, ограниченная только одной точкой. Эта точка принадлежит лучу и называется его началом.

в) Два угла называются вертикальными, если стороны одного из них являются дополнительными лучами для сторон другого.

г) Углом называется геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.

327 а) Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой.

б) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

в) Прямым углом называется угол, величина которого равна $90^\circ$.

г) В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.

а) Данное утверждение является классическим определением прямоугольного треугольника в евклидовой геометрии. Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. У любого треугольника три угла, и сумма их величин всегда равна $180^\circ$. Если один из этих углов является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$, то такой треугольник называется прямоугольным. Два других угла в прямоугольном треугольнике всегда острые (меньше $90^\circ$), так как их сумма должна быть равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Ответ: Данное утверждение является определением прямоугольного треугольника.

б) Это точное определение косинуса острого угла в контексте прямоугольного треугольника. Косинус — одна из основных тригонометрических функций. Для любого острого угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике его косинус ($\cos(\alpha)$) вычисляется как отношение длины катета, прилежащего к этому углу, к длине гипотенузы. Например, рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты — это стороны $AC$ и $BC$, а гипотенуза — $AB$. Для острого угла $A$ прилежащим катетом будет $AC$. Таким образом, косинус угла $A$ равен:
$\cos(A) = \frac{\text{длина прилежащего катета}}{\text{длина гипотенузы}} = \frac{AC}{AB}$
Аналогично для острого угла $B$ прилежащим катетом будет $BC$, и его косинус равен:
$\cos(B) = \frac{BC}{AB}$
Ответ: Данное утверждение является определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника.

в) Это утверждение является определением прямого угла. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла). Величина угла измеряется в градусах или радианах. Угол, величина которого равна ровно $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан), называется прямым. Прямой угол составляет четверть полного оборота ($360^\circ$). На чертежах прямой угол обычно обозначается маленьким квадратом в вершине.
Ответ: Данное утверждение является определением прямого угла.

г) Данное утверждение вводит специальные названия для сторон прямоугольного треугольника. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника. Это следует из теоремы Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$, где $c$ — гипотенуза, а $a$ и $b$ — катеты), а также из того факта, что напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона (прямой угол $90^\circ$ — самый большой угол в прямоугольном треугольнике). Например, в треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами, а сторона $AB$ — гипотенузой.
Ответ: Данное утверждение является определением названий сторон (гипотенузы и катетов) в прямоугольном треугольнике.

327 a) Треугольник называется прямоугольным, если один его угол прямой.

б) Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

в) Прямым углом называется угол, величина которого равна $90^\circ$.

г) В прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами.