Страница 81, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

340 1) Замени проценты числами, выражающими части величин: 3%; 18%; 7,5%; $11\frac{13}{17}\%$; 150%; 528%.

2) Замени числа, выражающие части величин, процентами: 0,05; 0,28; 0,9; 0,045; $\frac{3}{25}$; 1,8; 4.

1) Замени проценты числами, выражающими части величин

Чтобы заменить проценты числом, нужно данное число процентов разделить на 100.

• $3\% = 3 : 100 = 0,03$

• $18\% = 18 : 100 = 0,18$

• $7,5\% = 7,5 : 100 = 0,075$

• Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $11\frac{13}{17} = \frac{11 \cdot 17 + 13}{17} = \frac{187 + 13}{17} = \frac{200}{17}$.

  Теперь разделим на 100: $11\frac{13}{17}\% = \frac{200}{17}\% = \frac{200}{17} : 100 = \frac{200}{17 \cdot 100} = \frac{2}{17}$.

• $150\% = 150 : 100 = 1,5$

• $528\% = 528 : 100 = 5,28$

Ответ: 0,03; 0,18; 0,075; $\frac{2}{17}$; 1,5; 5,28.

2) Замени числа, выражающие части величин, процентами

Чтобы заменить число процентами, нужно это число умножить на 100 и добавить знак %.

• $0,05 = 0,05 \cdot 100\% = 5\%$

• $0,28 = 0,28 \cdot 100\% = 28\%$

• $0,9 = 0,9 \cdot 100\% = 90\%$

• $0,045 = 0,045 \cdot 100\% = 4,5\%$

• $\frac{3}{25} = \frac{3}{25} \cdot 100\% = \frac{300}{25}\% = 12\%$

• $1,8 = 1,8 \cdot 100\% = 180\%$

• $4 = 4 \cdot 100\% = 400\%$

Ответ: 5%; 28%; 90%; 4,5%; 12%; 180%; 400%.

340 1) Замени проценты числами, выражающими части величин: 3%; 18%; 7,5%; $11 \frac{13}{17}\%$; 150%; 528%.

2) Замени числа, выражающие части величин, процентами: 0,05; 0,28; 0,9; 0,045; $\frac{3}{25}$; 1,8; 4.

341 Найди равносильные утверждения:

A каждое восьмое издание выходит на английском языке;

B на английском языке выходит $12.5\%$ всех изданий;

C на каждые $8$ изданий одно приходится на английском языке;

D на английском языке печатается $8\%$ всех изданий;

E на каждые $7$ изданий только одно приходится на английском языке;

F из каждых $25$ изданий $2$ публикуются на английском языке;

K издания на английском языке составляют восьмую часть всех изданий;

L издания на английском языке составляют седьмую часть всех изданий.

Для того чтобы найти равносильные утверждения, необходимо выразить каждое из них в виде одного и того же математического представления, например, в виде обыкновенной дроби, которая показывает долю изданий на английском языке от общего числа всех изданий. Затем мы сравним полученные дроби.

A каждое восьмое издание выходит на английском языке

Это утверждение означает, что из каждых 8 изданий одно выходит на английском языке. Таким образом, доля изданий на английском языке составляет $1/8$.

B на английском языке выходит 12,5 % всех изданий

В этом утверждении доля указана в процентах. Чтобы сравнить её с другими, переведем проценты в обыкновенную дробь:$12,5\% = {12,5 \over 100} = {125 \over 1000} = {1 \over 8}$.Доля изданий на английском языке составляет $1/8$.

C на каждые 8 изданий одно приходится на английском языке

Это утверждение прямо указывает на соотношение: 1 издание на английском из каждых 8. Следовательно, доля составляет $1/8$.

D на английском языке печатается 8 % всех изданий

Здесь доля изданий на английском языке дана в процентах. Переведем 8% в дробь:$8\% = {8 \over 100} = {2 \over 25}$.Доля изданий на английском языке составляет $2/25$.

E на каждые 7 изданий только одно приходится на английском языке

Это утверждение указывает, что доля изданий на английском языке составляет $1/7$.

F из каждых 25 изданий 2 публикуются на английском языке

Здесь указано соотношение 2 к 25. Доля изданий на английском языке составляет $2/25$.

K издания на английском языке составляют восьмую часть всех изданий

Это утверждение прямо указывает, что доля изданий на английском языке равна одной восьмой, то есть $1/8$.

L издания на английском языке составляют седьмую часть всех изданий

Здесь доля изданий на английском языке указана как одна седьмая, то есть $1/7$.

Теперь, сравнив все полученные доли, мы можем сгруппировать равносильные (эквивалентные) утверждения:

• Доля $1/8$ соответствует утверждениям: A, B, C, K.
• Доля $2/25$ соответствует утверждениям: D, F.
• Доля $1/7$ соответствует утверждениям: E, L.

Ответ: Равносильными являются следующие группы утверждений:
1. A, B, C, K (все они означают, что доля изданий на английском языке составляет $1/8$ или $12,5\%$).
2. D, F (оба означают, что доля изданий на английском языке составляет $2/25$ или $8\%$).
3. E, L (оба означают, что доля изданий на английском языке составляет $1/7$).

341 Найди равносильные утверждения:

A каждое восьмое издание выходит на английском языке;

B на английском языке выходит $12,5\%$ всех изданий;

C на каждые 8 изданий одно приходится на английском языке;

D на английском языке печатается $8\%$ всех изданий;

E на каждые 7 изданий только одно приходится на английском языке;

F из каждых 25 изданий 2 публикуются на английском языке;

K издания на английском языке составляют восьмую часть всех изданий;

L издания на английском языке составляют седьмую часть всех изданий.

342 Построй графическую модель и реши задачу.

1) Биржевые цены на акции предприятия А уменьшились на 75 %. Во сколько раз уменьшились цены?

2) За последний год в городе N цены на услуги пассажирского транспорта увеличились в 2,5 раза. На сколько процентов увеличились цены?

1)

Чтобы решить задачу, сначала построим графическую модель. Примем первоначальную цену акций за 100%. Это можно изобразить в виде прямоугольника.

Цены уменьшились на 75%. Это означает, что новая цена составляет $100\% - 75\% = 25\%$ от первоначальной. На графической модели это выглядит так:

Теперь найдем, во сколько раз уменьшились цены. Для этого нужно разделить первоначальную величину (100%) на конечную (25%).
Пусть $P_{нач}$ — начальная цена, а $P_{кон}$ — конечная цена.
$P_{кон} = P_{нач} - 0.75 \cdot P_{нач} = 0.25 \cdot P_{нач}$
Отношение начальной цены к конечной: $$ \frac{P_{нач}}{P_{кон}} = \frac{P_{нач}}{0.25 \cdot P_{нач}} = \frac{1}{0.25} = 4 $$ Таким образом, цены уменьшились в 4 раза.
Ответ: в 4 раза.

2)

Сначала построим графическую модель. Примем первоначальную цену за 100% и изобразим ее в виде прямоугольника.

Цены увеличились в 2,5 раза. Это значит, что новая цена составляет $2.5 \times 100\% = 250\%$ от первоначальной. Графически новая цена будет представлена прямоугольником, который в 2,5 раза длиннее исходного.

Чтобы найти, на сколько процентов увеличились цены, нужно из новой процентной величины (250%) вычесть первоначальную (100%).
Процентное увеличение = $250\% - 100\% = 150\%$.
Проверим математически. Пусть $P_{нач}$ — начальная цена, а $P_{кон}$ — конечная цена.
$P_{кон} = 2.5 \cdot P_{нач}$
Увеличение цены составляет: $P_{кон} - P_{нач} = 2.5 \cdot P_{нач} - P_{нач} = 1.5 \cdot P_{нач}$.
Чтобы выразить это увеличение в процентах, разделим его на начальную цену и умножим на 100%: $$ \frac{1.5 \cdot P_{нач}}{P_{нач}} \times 100\% = 1.5 \times 100\% = 150\% $$ Цены увеличились на 150%.
Ответ: на 150%.

342 Построй графическую модель и реши задачу:

1) Биржевые цены на акции предприятия А уменьшились на 75%. Во сколько раз уменьшились цены?

2) За последний год в городе N цены на услуги пассажирского транспорта увеличились в 2,5 раза. На сколько процентов увеличились цены?

343 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $\frac{324}{576}$;

2) $\frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28}$;

3) $\frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85}$;

4) $\frac{9a^2}{30ab}$;

5) $\frac{x - 2}{5x - 10}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{324}{576}$, найдем общие делители числителя и знаменателя. Можно заметить, что оба числа являются полными квадратами: $324 = 18^2$ и $576 = 24^2$.
Тогда дробь можно переписать как:
$\frac{324}{576} = \frac{18^2}{24^2} = (\frac{18}{24})^2$.
Теперь сократим дробь $\frac{18}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.
$\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$.
Подставим полученное значение обратно в выражение:
$(\frac{3}{4})^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Ответ: $\frac{9}{16}$.

2) Чтобы сократить данную дробь, не будем перемножать числа в числителе и знаменателе, а сразу будем сокращать общие множители.
$\frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28}$
Представим числа в виде произведения их множителей для удобства сокращения:
$72 = 8 \cdot 9$
$39 = 3 \cdot 13$
$75 = 3 \cdot 25$
$40 = 5 \cdot 8$
$28 = 4 \cdot 7$
Подставим это в дробь:
$\frac{(8 \cdot 9) \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{(3 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 25) \cdot (5 \cdot 8) \cdot (4 \cdot 7)}$
Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: 8, 25, 13.
$\frac{9 \cdot 16}{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 7}$
Поскольку $3 \cdot 3 = 9$, сокращаем 9 в числителе и знаменателе:
$\frac{16}{5 \cdot 4 \cdot 7}$
Сокращаем 16 и 4 на 4:
$\frac{4}{5 \cdot 7} = \frac{4}{35}$.
Ответ: $\frac{4}{35}$.

3) В числителе и знаменателе дроби вынесем общий множитель за скобки.
$\frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85}$
В числителе общий множитель — 34. Выносим его: $34 \cdot (85 - 15) = 34 \cdot 70$.
В знаменателе общий множитель — 34. Выносим его: $34 \cdot (15 + 85) = 34 \cdot 100$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{34 \cdot 70}{34 \cdot 100}$.
Сокращаем общий множитель 34:
$\frac{70}{100}$.
Сокращаем полученную дробь на 10:
$\frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.

4) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{9a^2}{30ab}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.
Сократим числовой коэффициент $\frac{9}{30}$. Наибольший общий делитель чисел 9 и 30 равен 3.
$\frac{9}{30} = \frac{9 \div 3}{30 \div 3} = \frac{3}{10}$.
Сократим переменные. Запишем $a^2$ как $a \cdot a$: $\frac{a^2}{ab} = \frac{a \cdot a}{a \cdot b}$.
Сокращаем общий множитель $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\frac{a}{b}$.
Объединяем результаты:
$\frac{9a^2}{30ab} = \frac{3a}{10b}$.
Ответ: $\frac{3a}{10b}$.

5) Чтобы сократить дробь $\frac{x-2}{5x-10}$, необходимо разложить знаменатель на множители.
Знаменатель: $5x - 10$. Вынесем общий множитель 5 за скобки:
$5x - 10 = 5(x-2)$.
Теперь подставим разложенный знаменатель в дробь:
$\frac{x-2}{5(x-2)}$.
Числитель и знаменатель имеют общий множитель $(x-2)$. Сократим на него (при условии, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$):
$\frac{1 \cdot (x-2)}{5 \cdot (x-2)} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

343 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

1) $ \frac{324}{576} $;

2) $ \frac{72 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 13}{39 \cdot 75 \cdot 40 \cdot 28} $;

3) $ \frac{34 \cdot 85 - 34 \cdot 15}{15 \cdot 34 + 34 \cdot 85} $;

4) $ \frac{9a^2}{30ab} $;

5) $ \frac{x - 2}{5x - 10} $.

344 1) Вычислили значения дробей А и В.

A $ = \frac{(2,448 : \frac{4}{5} - 1,56) \cdot 0,73 : 0,1 - 3 \frac{1}{4}}{[0,3567 : (2,9 \cdot \frac{3}{50}) + 3,45] \cdot 0,01} $

B $ = \frac{[3 \frac{1}{3} + 1 \frac{2}{7} : (2 \frac{3}{7} - 1 \frac{11}{14}) \cdot (3,5 - 0,5 \cdot \frac{1}{3})] \cdot 17,5}{1 \frac{8}{9} \cdot 1,8 : 3 \frac{2}{5} - (8 \frac{2}{11} - 8 \frac{2}{11}) \cdot (4,01 + 1 \frac{6}{13} \cdot 3,9)} $

2) Определи, на сколько процентов А меньше, чем В.

На сколько процентов В больше, чем А?

1) Вычисли значения дробей А и В.

Сначала вычислим значение дроби А:

$A = \frac{(2,448 : \frac{4}{5} - 1,56) \cdot 0,73 : 0,1 - 3\frac{1}{4}}{[0,3567 : (2,9 \cdot \frac{3}{50}) + 3,45] \cdot 0,01}$

Выполним вычисления по действиям.

Числитель:

1) $2,448 : \frac{4}{5} = 2,448 : 0,8 = 3,06$

2) $3,06 - 1,56 = 1,5$

3) $1,5 \cdot 0,73 = 1,095$

4) $1,095 : 0,1 = 10,95$

5) $3\frac{1}{4} = 3,25$

6) $10,95 - 3,25 = 7,7$

Знаменатель:

1) $2,9 \cdot \frac{3}{50} = \frac{29}{10} \cdot \frac{3}{50} = \frac{87}{500} = 0,174$

2) $0,3567 : 0,174 = 2,05$

3) $2,05 + 3,45 = 5,5$

4) $5,5 \cdot 0,01 = 0,055$

Значение дроби А:

$A = \frac{7,7}{0,055} = \frac{7700}{55} = 140$

Теперь вычислим значение дроби B:

$B = \frac{[3\frac{1}{3} + 1\frac{2}{7} : (2\frac{3}{7} - 1\frac{11}{14}) \cdot (3,5 - 0,5 \cdot \frac{1}{3})] \cdot 17,5}{1\frac{8}{9} \cdot 1,8 : 3\frac{2}{5} - (8\frac{2}{11} - 8\frac{2}{11}) \cdot (4,01 + 1\frac{6}{13} \cdot 3,9)}$

Выполним вычисления по действиям.

Числитель:

1) $2\frac{3}{7} - 1\frac{11}{14} = \frac{17}{7} - \frac{25}{14} = \frac{34 - 25}{14} = \frac{9}{14}$

2) $3,5 - 0,5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{2} - \frac{1}{6} = \frac{21 - 1}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

3) $1\frac{2}{7} : \frac{9}{14} \cdot \frac{10}{3} = \frac{9}{7} \cdot \frac{14}{9} \cdot \frac{10}{3} = 2 \cdot \frac{10}{3} = \frac{20}{3}$

4) $3\frac{1}{3} + \frac{20}{3} = \frac{10}{3} + \frac{20}{3} = \frac{30}{3} = 10$

5) $10 \cdot 17,5 = 175$

Знаменатель:

1) Заметим, что выражение $(8\frac{2}{11} - 8\frac{2}{11}) = 0$. Следовательно, все второе слагаемое в знаменателе равно нулю: $(8\frac{2}{11} - 8\frac{2}{11}) \cdot (...) = 0$.

2) Вычислим первое слагаемое: $1\frac{8}{9} \cdot 1,8 : 3\frac{2}{5} = \frac{17}{9} \cdot \frac{18}{10} : \frac{17}{5} = \frac{17 \cdot 2}{10} : \frac{17}{5} = \frac{17}{5} : \frac{17}{5} = 1$

3) Знаменатель равен $1 - 0 = 1$.

Значение дроби B:

$B = \frac{175}{1} = 175$

Ответ: $A = 140, B = 175$.

2) Определи, на сколько процентов A меньше, чем B. На сколько процентов B больше, чем A?

Мы нашли, что $A = 140$ и $B = 175$.

Чтобы определить, на сколько процентов A меньше, чем B, мы принимаем B за 100%.

Разница между числами: $B - A = 175 - 140 = 35$.

Находим процентное отношение разницы к числу B:

$\frac{B - A}{B} \cdot 100\% = \frac{35}{175} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%$

Следовательно, A меньше, чем B, на 20%.

Чтобы определить, на сколько процентов B больше, чем A, мы принимаем A за 100%.

Разница между числами остается той же: $B - A = 35$.

Находим процентное отношение разницы к числу A:

$\frac{B - A}{A} \cdot 100\% = \frac{35}{140} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$

Следовательно, B больше, чем A, на 25%.

Ответ: A меньше, чем B, на 20%. B больше, чем A, на 25%.

344 1) Вычисли значения дробей А и В:

А
$\frac{(2,448 : \frac{4}{5} - 1,56) \cdot 0,73 : 0,1 - 3\frac{1}{4}}{[0,3567 : (2,9 \cdot \frac{3}{50}) + 3,45] \cdot 0,01}$

В
$\frac{[3\frac{1}{3} + 1\frac{2}{7} : (2\frac{3}{7} - 1\frac{11}{14}) \cdot (3,5 - 0,5 \cdot \frac{1}{3})] \cdot 17,5}{1\frac{8}{9} \cdot 1,8 : 3\frac{2}{5} - (8\frac{2}{11} - 8\frac{2}{11}) \cdot (4,01 + 1\frac{6}{13} \cdot 3,9)}$

2) Определи, на сколько процентов А меньше, чем В?

На сколько процентов В больше, чем А?

353 Запиши множество чисел, модуль которых равен:

а) $39$;

б) $\frac{5}{17}$;

в) $4,8$;

г) $2\frac{11}{56}$;

д) $0$.

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль любого положительного числа равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу, а модуль нуля равен нулю.

Иначе говоря, для любого положительного числа $a$ ($a > 0$) существует два числа, модуль которых равен $a$: это $a$ и $-a$. Если $|x| = a$, то $x = a$ или $x = -a$.

Для нуля существует только одно число, модуль которого равен нулю: это само число 0. Если $|x| = 0$, то $x = 0$.

а) Найдём множество чисел, модуль которых равен 39.

Так как 39 — положительное число, то уравнение $|x| = 39$ имеет два решения: $x = 39$ и $x = -39$.

Ответ: $\{-39; 39\}$.

б) Найдём множество чисел, модуль которых равен $\frac{5}{17}$.

Так как $\frac{5}{17}$ — положительное число, то уравнение $|x| = \frac{5}{17}$ имеет два решения: $x = \frac{5}{17}$ и $x = -\frac{5}{17}$.

Ответ: $\{-\frac{5}{17}; \frac{5}{17}\}$.

в) Найдём множество чисел, модуль которых равен 4,8.

Так как 4,8 — положительное число, то уравнение $|x| = 4,8$ имеет два решения: $x = 4,8$ и $x = -4,8$.

Ответ: $\{-4,8; 4,8\}$.

г) Найдём множество чисел, модуль которых равен $2\frac{11}{56}$.

Так как $2\frac{11}{56}$ — положительное число, то уравнение $|x| = 2\frac{11}{56}$ имеет два решения: $x = 2\frac{11}{56}$ и $x = -2\frac{11}{56}$.

Ответ: $\{-2\frac{11}{56}; 2\frac{11}{56}\}$.

д) Найдём множество чисел, модуль которых равен 0.

Единственное число, модуль которого равен нулю, — это 0. Уравнение $|x| = 0$ имеет одно решение: $x = 0$.

Ответ: $\{0\}$.

353 Запиши множество чисел, модуль которых равен:

а) $39;$

б) $\frac{5}{17};$

в) $4,8;$

г) $2\frac{11}{56};$

д) $0.$

a) 39; б) $2.\overline{17}$; в) 4,8; г) $2.\overline{56}$; д) 0.

354 Найди модули чисел и запиши значение модулей.

Расположи данные числа в порядке убывания модулей, сопоставь им соответствующие буквы, и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков. На каком материке находится эта точка?

+42; 0; -96; +8; $+1\frac{3}{49}$; -45; -0,02; -100.

Ю Н Е С К Л И Ч

Найди модули чисел и запиши значение модулей.

Модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда является неотрицательной величиной. Найдем модули для каждого из данных чисел:
$|+42| = 42$ (буква Ю)
$|0| = 0$ (буква Н)
$|-96| = 96$ (буква Е)
$|+8| = 8$ (буква С)
$|+1\frac{3}{49}| = 1\frac{3}{49}$ (буква К)
$|-45| = 45$ (буква Л)
$|-0,02| = 0,02$ (буква И)
$|-100| = 100$ (буква Ч)

Расположи данные числа в порядке убывания модулей, сопоставь им соответствующие буквы, и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков.

Сравним полученные значения модулей и расположим их в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему):
$100 > 96 > 45 > 42 > 8 > 1\frac{3}{49} > 0,02 > 0$
Теперь сопоставим этому порядку соответствующие буквы:
1. $100 \rightarrow$ Ч (число -100)
2. $96 \rightarrow$ Е (число -96)
3. $45 \rightarrow$ Л (число -45)
4. $42 \rightarrow$ Ю (число +42)
5. $8 \rightarrow$ С (число +8)
6. $1\frac{3}{49} \rightarrow$ К (число $+1\frac{3}{49}$)
7. $0,02 \rightarrow$ И (число -0,02)
8. $0 \rightarrow$ Н (число 0)
Составив буквы в этом порядке, получаем слово ЧЕЛЮСКИН.

Ответ: Название самой северной точки — мыс Челюскин.

На каком материке находится эта точка?

Мыс Челюскин является крайней северной точкой полуострова Таймыр и всего материка Евразия.

Ответ: Эта точка находится на материке Евразия.

354 Найди модули чисел и запиши значение модулей. Расположи данные числа в порядке убывания модулей, сопоставь им соответствующие буквы, и ты узнаешь название самой северной точки одного из материков. На каком материке находится эта точка?

$+42; 0; -96; +8; +1\frac{3}{49}; -45; -0,02; -100.$

Ю Н Е С К Л И Ч

355 Сравни модули чисел. Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей рациональных чисел.

а) 2 и -5;

б) -8 и -6;

в) -3 и 2,96;

г) -4,2 и -0,45;

д) $ \frac{3}{7} $ и $ -\frac{5}{7} $;

е) $ -\frac{4}{5} $ и $ -\frac{4}{9} $;

ж) $ -\frac{5}{3} $ и $ -\frac{2}{11} $;

з) $ \frac{5}{12} $ и $ -\frac{8}{15} $.

356 Вычисли:

а) Сравним модули чисел 2 и -5.

Модуль числа 2 равен $|2| = 2$.

Модуль числа -5 равен $|-5| = 5$.

Сравниваем полученные значения: $2 < 5$.

Следовательно, $|2| < |-5|$.

Ответ: $|2| < |-5|$.

б) Сравним модули чисел -8 и -6.

Модуль числа -8 равен $|-8| = 8$.

Модуль числа -6 равен $|-6| = 6$.

Сравниваем полученные значения: $8 > 6$.

Следовательно, $|-8| > |-6|$.

Ответ: $|-8| > |-6|$.

в) Сравним модули чисел -3 и 2,96.

Модуль числа -3 равен $|-3| = 3$.

Модуль числа 2,96 равен $|2,96| = 2,96$.

Сравниваем полученные значения: $3 > 2,96$.

Следовательно, $|-3| > |2,96|$.

Ответ: $|-3| > |2,96|$.

г) Сравним модули чисел -4,2 и -0,45.

Модуль числа -4,2 равен $|-4,2| = 4,2$.

Модуль числа -0,45 равен $|-0,45| = 0,45$.

Сравниваем полученные значения: $4,2 > 0,45$.

Следовательно, $|-4,2| > |-0,45|$.

Ответ: $|-4,2| > |-0,45|$.

д) Сравним модули чисел $\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$.

Модуль числа $\frac{3}{7}$ равен $|\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$.

Модуль числа $-\frac{5}{7}$ равен $|-\frac{5}{7}| = \frac{5}{7}$.

Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями: $\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$, так как $3 < 5$.

Следовательно, $|\frac{3}{7}| < |-\frac{5}{7}|$.

Ответ: $|\frac{3}{7}| < |-\frac{5}{7}|$.

е) Сравним модули чисел $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{4}{9}$.

Модуль числа $-\frac{4}{5}$ равен $|-\frac{4}{5}| = \frac{4}{5}$.

Модуль числа $-\frac{4}{9}$ равен $|-\frac{4}{9}| = \frac{4}{9}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{5}$ и $\frac{4}{9}$, приведем их к общему знаменателю 45:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{36}{45}$

$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{20}{45}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{36}{45} > \frac{20}{45}$, так как $36 > 20$. Значит, $\frac{4}{5} > \frac{4}{9}$.

Следовательно, $|-\frac{4}{5}| > |-\frac{4}{9}|$.

Ответ: $|-\frac{4}{5}| > |-\frac{4}{9}|$.

ж) Сравним модули чисел $-\frac{5}{3}$ и $-\frac{2}{11}$.

Модуль числа $-\frac{5}{3}$ равен $|-\frac{5}{3}| = \frac{5}{3}$.

Модуль числа $-\frac{2}{11}$ равен $|-\frac{2}{11}| = \frac{2}{11}$.

Сравниваем дроби $\frac{5}{3}$ и $\frac{2}{11}$. Дробь $\frac{5}{3}$ — неправильная ($>1$), а дробь $\frac{2}{11}$ — правильная ($<1$).

Следовательно, $\frac{5}{3} > \frac{2}{11}$.

Значит, $|-\frac{5}{3}| > |-\frac{2}{11}|$.

Ответ: $|-\frac{5}{3}| > |-\frac{2}{11}|$.

з) Сравним модули чисел $\frac{5}{12}$ и $-\frac{8}{15}$.

Модуль числа $\frac{5}{12}$ равен $|\frac{5}{12}| = \frac{5}{12}$.

Модуль числа $-\frac{8}{15}$ равен $|-\frac{8}{15}| = \frac{8}{15}$.

Чтобы сравнить дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{8}{15}$, приведем их к общему знаменателю 60:

$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$

$\frac{8}{15} = \frac{8 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{32}{60}$

Сравниваем полученные дроби: $\frac{25}{60} < \frac{32}{60}$, так как $25 < 32$. Значит, $\frac{5}{12} < \frac{8}{15}$.

Следовательно, $|\frac{5}{12}| < |-\frac{8}{15}|$.

Ответ: $|\frac{5}{12}| < |-\frac{8}{15}|$.

Анализ и гипотеза

Во всех случаях мы находили модуль каждого числа, отбрасывая знак минус у отрицательных чисел, а затем сравнивали полученные неотрицательные числа. Модуль числа геометрически представляет собой расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчета (нуля). Поэтому, чтобы сравнить модули двух чисел, нужно сравнить их расстояния до нуля.

Гипотеза о сравнении модулей рациональных чисел:

Чтобы сравнить модули двух рациональных чисел, необходимо найти модуль каждого из них. Модуль положительного числа или нуля равен самому числу, модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. Далее следует сравнить полученные неотрицательные значения. Из двух рациональных чисел модуль больше у того, которое на координатной прямой расположено дальше от нуля.

355 Сравни модули чисел. Проанализируй полученный результат и сформулируй гипотезу о сравнении модулей рациональных чисел.

а) $2$ и $-5$;

б) $-8$ и $-6$;

в) $-3$ и $2.96$;

г) $-4.2$ и $-0.45$;

д) $\frac{3}{7}$ и $-\frac{5}{7}$;

е) $-\frac{4}{5}$ и $-\frac{4}{9}$;

ж) $-\frac{5}{3}$ и $-\frac{2}{11}$;

з) $\frac{5}{12}$ и $-\frac{8}{15}$.

356 Вычисли:

а) $|-4|+|-5|;$

б) $|-1,8|:|\frac{3}{25}|;$

в) $|-5,6|\cdot|-1|;$

г) $|2,25|-|-1\frac{3}{4}|;$

д) $|-24,5|+|0|;$

е) $|-3\frac{8}{9}|\cdot|-0,54|;$

ж) $|8,2|-|-0,32|;$

з) $|-7,42|:|-\frac{1}{10}|;$

и) $|-6|-|-4,2|:|0,7|;$

к) $|-1\frac{1}{4}|\cdot|-0,1|+|-0,125|;$

л) $|-3|:|-7|\cdot|-3,5|-0,6;$

м) $|-\frac{5}{18}|\cdot|-9|-|-0,25|\cdot|0|.$

Основное свойство, используемое для решения данных задач, — это определение модуля (абсолютной величины) числа. Модуль числа $a$, обозначаемый как $|a|$, равен самому числу $a$, если $a$ неотрицательно ($a \geq 0$), и равен противоположному числу $-a$, если $a$ отрицательно ($a < 0$). Проще говоря, модуль "убирает" знак минус у отрицательных чисел.

а) $|-4| + |-5|$

1. Находим модули чисел: $|-4| = 4$ и $|-5| = 5$.

2. Складываем полученные значения: $4 + 5 = 9$.

Ответ: 9

б) $|-1,8| : |\frac{3}{25}|$

1. Находим модули чисел: $|-1,8| = 1,8$ и $|\frac{3}{25}| = \frac{3}{25}$.

2. Для выполнения деления представим десятичную дробь $1,8$ в виде обыкновенной дроби: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.

3. Выполняем деление дробей, заменяя его умножением на обратную дробь: $\frac{9}{5} : \frac{3}{25} = \frac{9}{5} \cdot \frac{25}{3}$.

4. Сокращаем дробь и вычисляем результат: $\frac{9 \cdot 25}{5 \cdot 3} = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

в) $|-5,6| \cdot |-1|$

1. Находим модули чисел: $|-5,6| = 5,6$ и $|-1| = 1$.

2. Выполняем умножение: $5,6 \cdot 1 = 5,6$.

Ответ: 5,6

г) $|2,25| - |-1\frac{3}{4}|$

1. Находим модули чисел: $|2,25| = 2,25$ и $|-1\frac{3}{4}| = 1\frac{3}{4}$.

2. Для удобства вычислений преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $1\frac{3}{4} = 1 + \frac{3}{4} = 1 + 0,75 = 1,75$.

3. Выполняем вычитание: $2,25 - 1,75 = 0,5$.

Ответ: 0,5

д) $|-24,5| + |0|$

1. Находим модули чисел: $|-24,5| = 24,5$ и $|0| = 0$.

2. Выполняем сложение: $24,5 + 0 = 24,5$.

Ответ: 24,5

е) $|-3\frac{8}{9}| \cdot |-0,54|$

1. Находим модули чисел: $|-3\frac{8}{9}| = 3\frac{8}{9}$ и $|-0,54| = 0,54$.

2. Для выполнения умножения преобразуем оба числа в обыкновенные дроби.

$3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9}$

$0,54 = \frac{54}{100} = \frac{27}{50}$

3. Перемножаем полученные дроби: $\frac{35}{9} \cdot \frac{27}{50} = \frac{35 \cdot 27}{9 \cdot 50} = \frac{7 \cdot 3}{10} = \frac{21}{10} = 2,1$.

Ответ: 2,1

ж) $|8,2| - |-0,32|$

1. Находим модули чисел: $|8,2| = 8,2$ и $|-0,32| = 0,32$.

2. Выполняем вычитание: $8,2 - 0,32 = 8,20 - 0,32 = 7,88$.

Ответ: 7,88

з) $|-7,42| : |-\frac{1}{10}|$

1. Находим модули чисел: $|-7,42| = 7,42$ и $|-\frac{1}{10}| = \frac{1}{10}$.

2. Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{1}{10} = 0,1$.

3. Выполняем деление: $7,42 : 0,1 = 74,2$.

Ответ: 74,2

и) $|-6| - |-4,2| : |0,7|$

1. Сначала находим модули всех чисел в выражении: $|-6|=6$, $|-4,2|=4,2$, $|0,7|=0,7$.

2. Подставляем значения в выражение: $6 - 4,2 : 0,7$.

3. Согласно порядку выполнения действий, сначала выполняем деление: $4,2 : 0,7 = 42 : 7 = 6$.

4. Затем выполняем вычитание: $6 - 6 = 0$.

Ответ: 0

к) $|-1\frac{1}{4}| \cdot |-0,1| + |-0,125|$

1. Находим модули чисел: $|-1\frac{1}{4}| = 1\frac{1}{4}$, $|-0,1| = 0,1$, $|-0,125| = 0,125$.

2. Подставляем значения в выражение: $1\frac{1}{4} \cdot 0,1 + 0,125$.

3. Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $1\frac{1}{4} = 1,25$.

4. Выражение принимает вид: $1,25 \cdot 0,1 + 0,125$.

5. Выполняем сначала умножение: $1,25 \cdot 0,1 = 0,125$.

6. Затем выполняем сложение: $0,125 + 0,125 = 0,25$.

Ответ: 0,25

л) $|-3| : |-7| \cdot |-3,5| - 0,6$

1. Находим модули чисел: $|-3|=3$, $|-7|=7$, $|-3,5|=3,5$. В выражении также есть число $0,6$.

2. Подставляем значения: $3 : 7 \cdot 3,5 - 0,6$.

3. Выполняем действия деления и умножения слева направо: $3 : 7 = \frac{3}{7}$.

4. Затем $\frac{3}{7} \cdot 3,5$. Преобразуем $3,5$ в дробь $\frac{7}{2}$: $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.

5. Выполняем вычитание: $1,5 - 0,6 = 0,9$.

Ответ: 0,9

м) $|-\frac{5}{18}| \cdot |-9| - |-0,25| \cdot |0|$

1. Находим модули чисел: $|-\frac{5}{18}| = \frac{5}{18}$, $|-9| = 9$, $|-0,25| = 0,25$, $|0| = 0$.

2. Подставляем значения в выражение: $\frac{5}{18} \cdot 9 - 0,25 \cdot 0$.

3. Выполняем действия умножения:

$\frac{5}{18} \cdot 9 = \frac{5 \cdot 9}{18} = \frac{5}{2} = 2,5$.

$0,25 \cdot 0 = 0$.

4. Выполняем вычитание: $2,5 - 0 = 2,5$.

Ответ: 2,5

356 Вычисли:

а) $|-4| + |-5|;$

б) $|-1,8| : |\frac{3}{25}|;$

в) $|-5,6| \cdot |-1|;$

г) $|2,25| - |-1\frac{3}{4}|;$

д) $|-24,5| + |0|;$

е) $|-3\frac{8}{9}| \cdot |-0,54|;$

ж) $|8,2| - |-0,32|;$

з) $|-7,42| : |-\frac{1}{10}|;$

и) $|-6| - |-4,2| : |0,7|;$

к) $|-1\frac{1}{4}| \cdot |-0,1| + |-0,125|;$

л) $|-3| : |-7| \cdot |-3,5| - 0,6;$

м) $|-\frac{5}{18}| \cdot |-9| - 0,25 \cdot |0|.$

357 Известно, что $|a| = 5$. Чему равен $|-a|$? Сделай вывод.

Чему равен $|-a|$?

По определению, модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой.

Условие $|a| = 5$ означает, что число a находится на расстоянии 5 единиц от нуля. Таких чисел два: 5 и -5.

Рассмотрим оба возможных случая для значения a:

1. Если $a = 5$, то нам нужно найти значение $|-a|$. Подставляем значение a:
   $|-a| = |-5| = 5$.

2. Если $a = -5$, то нам также нужно найти значение $|-a|$. Подставляем значение a:
   $|-a| = |-(-5)| = |5| = 5$.

В обоих случаях значение выражения $|-a|$ равно 5.

Ответ: $|-a| = 5$.

Сделай вывод.

Мы видим, что при $|a| = 5$ также и $|-a| = 5$. Это иллюстрирует общее свойство модуля: модули противоположных чисел равны. Противоположные числа (такие как a и -a) находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой, поэтому их абсолютные величины всегда совпадают.

Ответ: Модули противоположных чисел равны. Для любого числа a справедливо равенство: $|a| = |-a|$.

357 Известно, что $|a| = 5$. Чему равен $|-a|$? Сделай вывод.

358 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall a \in Q: |-a| = |a|;$

2) $\exists a \in Q: |-a| = -|a|;$

3) $\forall a \in Q: |a| > 0;$

4) $\exists a \in Q: |a| \le 0.$

1) $ \forall a \in Q: |-a| = |a| $

Это высказывание утверждает, что для любого рационального числа $a$ модуль числа $-a$ равен модулю числа $a$. По определению, модуль (абсолютная величина) числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Числа $a$ и $-a$ всегда находятся на одинаковом расстоянии от нуля, поэтому их модули равны. Это свойство верно для всех действительных чисел, а значит, и для всех рациональных чисел. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

2) $ \exists a \in Q: |-a| = -|a| $

Это высказывание утверждает, что существует хотя бы одно рациональное число $a$, для которого выполняется равенство $|-a| = -|a|$. Так как $|-a| = |a|$, мы можем переписать равенство как $|a| = -|a|$. Перенеся $-|a|$ в левую часть, получим $|a| + |a| = 0$, или $2|a| = 0$, что равносильно $|a| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, — это само число ноль, то есть $a=0$. Поскольку $0$ является рациональным числом ($0 \in Q$), такое число существует. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

3) $ \forall a \in Q: |a| > 0 $

Это высказывание утверждает, что модуль любого рационального числа строго больше нуля. Однако, если мы возьмем рациональное число $a=0$, то его модуль $|0|=0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным. Поскольку мы нашли хотя бы одно рациональное число (контрпример), для которого утверждение не выполняется, данное высказывание ложно.
Построим отрицание ложного высказывания. Отрицанием для высказывания с квантором всеобщности "$ \forall a: P(a) $" является высказывание с квантором существования "$ \exists a: \neg P(a) $". Отрицанием условия $|a|>0$ является условие $|a| \le 0$. Таким образом, отрицание исходного высказывания выглядит так: $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $.
Ответ: ложно. Отрицание: $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $.

4) $ \exists a \in Q: |a| \le 0 $

Это высказывание утверждает, что существует рациональное число $a$, модуль которого меньше или равен нулю. По определению, модуль любого числа всегда неотрицателен, то есть $|a| \ge 0$ для любого $a$. Единственное число, которое удовлетворяет одновременно двум условиям, $|a| \ge 0$ и $|a| \le 0$, — это число, для которого $|a|=0$. Это равенство выполняется при $a=0$. Поскольку $0$ является рациональным числом ($0 \in Q$), такое число существует. Следовательно, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

358 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $ \forall a \in Q: |-a| = |a|; $

2) $ \exists a \in Q: |-a| = -|a|; $

3) $ \forall a \in Q: |a| > 0; $

4) $ \exists a \in Q: |a| \le 0. $

359 Реши уравнения с объяснением, пользуясь понятием «расстояние»:

а) $|x| = 3$;

б) $5 = |y|$;

в) $|z| = -2$;

г) $-9 = |t|$;

д) $|-a| = 8$;

е) $|-b| = 1$;

ж) $|-c| = -6$;

з) $|-d| = -4$;

и) $|m| = 0$;

к) $-|n| = 0$;

л) $|x - 4| = 0$;

м) $|2y| = 0$;

н) $-|k| = -7$;

о) $-|p| = 10$;

п) $-|-a| = 5$;

р) $-|-b| = -6$.

а) Уравнение $|x| = 3$ означает, что расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат (точки 0) равно 3. На координатной прямой есть две такие точки: 3 и -3.
Ответ: $x = 3$ или $x = -3$.

б) Уравнение $5 = |y|$ эквивалентно $|y| = 5$. Это означает, что расстояние от точки с координатой $y$ до начала координат равно 5. Таких точек две: 5 и -5.
Ответ: $y = 5$ или $y = -5$.

в) Уравнение $|z| = -2$ означает, что расстояние от точки с координатой $z$ до начала координат равно -2. Расстояние не может быть отрицательным числом, поэтому у этого уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

г) Уравнение $-9 = |t|$ эквивалентно $|t| = -9$. Расстояние от точки с координатой $t$ до начала координат не может быть отрицательным, следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

д) По свойству модуля $|-a| = |a|$. Поэтому уравнение можно переписать как $|a| = 8$. Это означает, что расстояние от точки с координатой $a$ до начала координат равно 8. Этому условию удовлетворяют две точки: 8 и -8.
Ответ: $a = 8$ или $a = -8$.

е) Так как $|-b| = |b|$, уравнение принимает вид $|b| = 1$. Расстояние от точки с координатой $b$ до начала координат равно 1. Следовательно, есть два решения: 1 и -1.
Ответ: $b = 1$ или $b = -1$.

ж) Используя свойство $|-c| = |c|$, получаем уравнение $|c| = -6$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому у этого уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

з) Уравнение $|-d| = -4$ можно переписать как $|d| = -4$, поскольку $|-d| = |d|$. Так как расстояние не может быть отрицательным, у уравнения нет решений.
Ответ: решений нет.

и) Уравнение $|m| = 0$ означает, что расстояние от точки с координатой $m$ до начала координат равно 0. Единственная точка, расстояние от которой до начала координат равно нулю, — это сама точка 0.
Ответ: $m = 0$.

к) Умножим обе части уравнения $-|n| = 0$ на -1, получим $|n| = 0$. Расстояние от точки с координатой $n$ до начала координат равно 0. Это возможно только в том случае, если точка совпадает с началом координат.
Ответ: $n = 0$.

л) Выражение $|x - 4|$ представляет собой расстояние между точками с координатами $x$ и 4. Уравнение $|x - 4| = 0$ означает, что это расстояние равно 0. Расстояние между двумя точками равно нулю только тогда, когда эти точки совпадают. Следовательно, $x$ должен быть равен 4.
Ответ: $x = 4$.

м) Уравнение $|2y| = 0$ означает, что расстояние от точки с координатой $2y$ до начала координат равно 0. Это возможно только если $2y = 0$. Решая это уравнение, получаем $y = 0$.
Ответ: $y = 0$.

н) Умножим обе части уравнения $-|k| = -7$ на -1, чтобы получить $|k| = 7$. Это уравнение означает, что расстояние от точки с координатой $k$ до начала координат равно 7. Есть две такие точки: 7 и -7.
Ответ: $k = 7$ или $k = -7$.

о) Умножим обе части уравнения $-|p| = 10$ на -1. Получим $|p| = -10$. Расстояние от точки $p$ до начала координат не может быть отрицательным числом. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

п) Поскольку $|-a| = |a|$, уравнение можно переписать в виде $-|a| = 5$. Умножив обе части на -1, получим $|a| = -5$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому решений у этого уравнения нет.
Ответ: решений нет.

р) Используя свойство $|-b| = |b|$, перепишем уравнение как $-|b| = -6$. Умножим обе части на -1, что даст нам $|b| = 6$. Это означает, что расстояние от точки с координатой $b$ до начала координат равно 6. Существует две такие точки: 6 и -6.
Ответ: $b = 6$ или $b = -6$.

359 Реши уравнения с объяснением, пользуясь понятием “расстояние”:

а) $|x| = 3;$

б) $5 = |y|;$

в) $|z| = -2;$

г) $-9 = |t|;$

д) $|-a| = 8;$

е) $|-b| = 1;$

ж) $|-c| = -6;$

з) $|-d| = -4;$

и) $|m| = 0;$

к) $-|n| = 0;$

л) $|x - 4| = 0;$

м) $|2y| = 0;$

н) $-|k| = -7;$

о) $-|p| = 10;$

п) $-|-a| = 5;$

р) $-|-b| = -6.$

353 a) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Запиши определение равнобедренного треугольника с помощью знака $\Leftrightarrow$. На какие понятия опирается это определение?

b) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона называется основанием. Нарисуй в тетради несколько равнобедренных треугольников с одним и тем же основанием. Где расположены их вершины? Сформулируй гипотезу.

а)

Определение равнобедренного треугольника, записанное с помощью знака логической эквивалентности, выглядит следующим образом:

Треугольник является равнобедренным $\Leftrightarrow$ две его стороны равны.

Данное определение опирается на следующие базовые понятия: треугольник (как геометрическая фигура), сторона треугольника (как отрезок), длина отрезка и равенство (в данном случае, равенство длин). Чтобы понять определение, нужно сначала знать, что такое треугольник, его стороны и как сравнивать их длины.

Ответ: Треугольник является равнобедренным $\Leftrightarrow$ две его стороны равны. Это определение опирается на понятия: треугольник, сторона треугольника, длина отрезка и равенство.

б)

Пусть у нас есть общее основание — отрезок $AB$. Равнобедренный треугольник с таким основанием должен иметь третью вершину $C$, для которой выполняется условие равенства боковых сторон: $AC = BC$. Это означает, что вершина $C$ должна быть равноудалена от точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (концов отрезка), представляет собой прямую, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку.

Таким образом, если нарисовать несколько равнобедренных треугольников с одним и тем же основанием, все их вершины, противолежащие основанию, будут расположены на одной прямой — серединном перпендикуляре к этому основанию.

Гипотеза:

Все вершины равнобедренных треугольников, имеющих общее основание, лежат на серединном перпендикуляре к этому основанию.

Ответ: Вершины равнобедренных треугольников с одним и тем же основанием расположены на серединном перпендикуляре к этому основанию. Гипотеза: геометрическим местом вершин (противолежащих основанию) всех равнобедренных треугольников с общим основанием является серединный перпендикуляр к этому основанию (за исключением середины самого основания, так как в этой точке треугольник вырождается в отрезок).

353 a) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Запиши определение равнобедренного треугольника с помощью знака $\Leftrightarrow$. На какие понятия опирается это определение?

б) Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья сторона называется основанием. Нарисуй в тетради несколько равнобедренных треугольников с одним и тем же основанием. Где расположены их вершины? Сформулируй гипотезу.

354. а) Треугольник называется равносторонним, если у него все стороны равны. Запиши определение равностороннего треугольника с помощью знака $\Leftrightarrow$. На какие понятия опирается это определение?

б) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? А наоборот? Нарисуй диаграмму Эйлера – Венна, иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников, множеством равнобедренных и множеством равносторонних треугольников.

Определение равностороннего треугольника с помощью знака эквивалентности ($ \Leftrightarrow $), который читается как «тогда и только тогда, когда», можно записать следующим образом:
Треугольник является равносторонним $ \Leftrightarrow $ все стороны этого треугольника равны.

Данное определение опирается на следующие фундаментальные понятия геометрии:
1. Треугольник — как определенный вид многоугольника.
2. Сторона треугольника — как отрезок, образующий его границу.
3. Равенство — в данном контексте, равенство длин сторон.

Ответ: Треугольник является равносторонним $ \Leftrightarrow $ все его стороны равны. Это определение опирается на понятия: треугольник, сторона треугольника, равенство длин сторон.

Является ли равнобедренный треугольник равносторонним?
Нет, не всегда. По определению, у равнобедренного треугольника должны быть равны как минимум две стороны. Если третья сторона им не равна, то такой треугольник не является равносторонним. Например, треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 7 см является равнобедренным, но не равносторонним.

А наоборот?
Да, любой равносторонний треугольник является равнобедренным. Так как у равностороннего треугольника равны все три стороны, то у него выполняется и более слабое условие равенства двух сторон. Таким образом, множество равносторонних треугольников является частным случаем (подмножеством) множества равнобедренных треугольников.

Диаграмма Эйлера – Венна, иллюстрирующая взаимосвязь между множествами:

Ответ: Равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним, но равносторонний треугольник всегда является равнобедренным. Диаграмма выше иллюстрирует, что множество равносторонних треугольников является подмножеством множества равнобедренных треугольников, которое, в свою очередь, является подмножеством множества всех треугольников.

354 а) Треугольник называется равносторонним,если у него все стороны равны.

Запиши определение равностороннего треугольника с помощью знака $\Leftrightarrow$.

На какие понятия опирается это определение?

б) Является ли равнобедренный треугольник равносторонним? А наоборот?

Нарисуй диаграмму Эйлера–Венна, иллюстрирующую взаимосвязь между множеством всех треугольников, множеством равнобедренных и множеством равносторонних треугольников.

355 Определи на глаз, какие из треугольников, изображённых на рисунке, являются:

а) остроугольными

Треугольники: a, e, f

б) прямоугольными

Треугольники: b, k

в) тупоугольными

Треугольники: c, d, m

г) равнобедренными

Треугольники: a, b, f, m

д) равносторонними

Треугольники: нет таких

Есть ли треугольники, которые обладают сразу несколькими из перечисленных свойств?

Да, есть:

• Треугольник a: остроугольный, равнобедренный.
• Треугольник b: прямоугольный, равнобедренный.
• Треугольник f: остроугольный, равнобедренный.
• Треугольник m: тупоугольный, равнобедренный.

а) остроугольными

Остроугольным называется треугольник, у которого все три угла острые, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. Визуально к таким треугольникам можно отнести e и f.

Ответ: e, f.

б) прямоугольными

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен $90^\circ$. На рисунке такими треугольниками выглядят b и k.

Ответ: b, k.

в) тупоугольными

Тупоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов тупой, то есть его градусная мера больше $90^\circ$. На глаз можно определить, что это треугольники a, c, d и m.

Ответ: a, c, d, m.

г) равнобедренными

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны имеют одинаковую длину. К таким треугольникам относятся a, f, k, m. Также равносторонний треугольник e является частным случаем равнобедренного, так как у него равны все три стороны.

Ответ: a, e, f, k, m.

д) равносторонними

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. На рисунке таким является треугольник e.

Ответ: e.

Есть ли треугольники, которые обладают сразу несколькими из перечисленных свойств?

Да, такие треугольники есть, поскольку классификация по углам и по сторонам дополняют друг друга. На рисунке представлены следующие комбинации свойств:

• Треугольник e является одновременно остроугольным, равнобедренным и равносторонним.
• Треугольники a и m являются тупоугольными и равнобедренными.
• Треугольник f является остроугольным и равнобедренным.
• Треугольник k является прямоугольным и равнобедренным.

Ответ: Да, есть.

355 Определи на глаз, какие из треугольников, изображенных на рисунке, являются: а) остроугольными; б) прямоугольными; в) тупоугольными; г) равнобедренными; д) равносторонними? Есть ли треугольники, которые обладают сразу несколькими из перечисленных свойств?

356 a) Может ли быть треугольник равнобедренным и тупоугольным? А равнобедренным и прямоугольным? Сделай рисунки.

б) Нарисуй в тетради диаграмму Эйлера – Венна, показывающую классификацию треугольников по виду углов. Покажи, как располагаются на ней подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников. Какие сочетания видов треугольников возможны?

а)

Да, треугольник может быть равнобедренным и тупоугольным.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Тупой угол (больше $90^\circ$) может быть только один, и это будет угол при вершине, противолежащей основанию. Если бы тупыми были углы при основании, их сумма уже превысила бы $180^\circ$.
Например, пусть угол при вершине равен $120^\circ$. Тогда на два угла при основании остается $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Следовательно, каждый из углов при основании равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$ является равнобедренным и тупоугольным.

Рисунок равнобедренного тупоугольного треугольника:

Да, треугольник может быть равнобедренным и прямоугольным.
В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Этот угол не может быть одним из двух равных углов, так как их сумма составила бы $180^\circ$, не оставляя градусов для третьего угла. Следовательно, равными должны быть два других угла (острые углы).
На их сумму приходится $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Значит, каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Треугольник с углами $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$ является равнобедренным и прямоугольным. У такого треугольника равны катеты.

Рисунок равнобедренного прямоугольного треугольника:

Ответ: Да, треугольник может быть равнобедренным и тупоугольным. Да, треугольник может быть равнобедренным и прямоугольным.

б)

Диаграмма Эйлера — Венна для классификации треугольников.
Множество всех треугольников делится на три непересекающихся подмножества по виду углов: остроугольные (все углы острые), прямоугольные (один угол прямой) и тупоугольные (один угол тупой).
Множество равнобедренных треугольников пересекается с каждым из этих трех подмножеств.
Множество равносторонних треугольников (все стороны равны, все углы по $60^\circ$) является подмножеством как равнобедренных, так и остроугольных треугольников.

Возможны следующие сочетания видов треугольников (классификация по сторонам и углам одновременно):

• Остроугольный разносторонний
• Остроугольный равнобедренный
• Остроугольный равносторонний (является частным случаем равнобедренного)
• Прямоугольный разносторонний
• Прямоугольный равнобедренный
• Тупоугольный разносторонний
• Тупоугольный равнобедренный

Ответ: Диаграмма представлена выше. Возможны сочетания остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников с разносторонними и равнобедренными. Равносторонние треугольники всегда являются остроугольными.

356 a) Может ли быть треугольник равнобедренным и тупоугольным? А равнобедренным и прямоугольным? Сделай рисунки.

б) Нарисуй в тетради диаграмму Эйлера–Венна, показывающую классификацию треугольников по виду углов. Покажи, как располагаются на ней подмножества равнобедренных и разносторонних треугольников. Какие сочетания видов треугольников возможны?

357 a) Начерти равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и измерь транспортиром углы при основании $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

б) Начерти равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и проведи медиану к его основанию $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Как ты считаешь, на какие виды треугольников можно распространить построенные гипотезы? Обоснуй свой ответ.

а) Построив равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC$ и измерив транспортиром углы при основании $AC$, можно заметить, что их градусные меры совпадают, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.
На основе этого наблюдения можно сформулировать гипотезу: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Ответ: Замечено, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Гипотеза: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

б) Построив равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и проведя медиану $BM$ к основанию $AC$, можно заметить, что:
1. Медиана $BM$ также является высотой, так как образует с основанием прямые углы: $\angle BMA = \angle BMC = 90^{\circ}$.
2. Медиана $BM$ также является биссектрисой, так как делит угол при вершине пополам: $\angle ABM = \angle CBM$.
Отсюда можно сформулировать гипотезу: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и высотой, и биссектрисой.
Ответ: Замечено, что медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Гипотеза: в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является его высотой и биссектрисой.

Как ты считаешь, на какие виды треугольников можно распространить построенные гипотезы? Обоснуй свой ответ.
Построенные гипотезы можно распространить на равносторонние треугольники.
Обоснование: Равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного, у которого любая сторона может считаться основанием. Поэтому свойства, характерные для основания равнобедренного треугольника, в равностороннем будут верны для любой стороны.
1. Для гипотезы (а): так как в равностороннем треугольнике $ABC$ можно взять сторону $AC$ за основание ($AB=BC$), то $\angle A = \angle C$. Взяв $AB$ за основание ($AC=BC$), получим $\angle A = \angle B$. Следовательно, все углы равны: $\angle A = \angle B = \angle C$.
2. Для гипотезы (б): так как любая сторона может быть основанием, то медиана, проведенная к любой стороне, будет являться высотой и биссектрисой.
Данные гипотезы неверны для разносторонних треугольников, так как в них все стороны и углы имеют разную величину, а медиана, высота и биссектриса, проведенные из одной вершины, в общем случае не совпадают.
Ответ: Построенные гипотезы можно распространить на равносторонние треугольники, так как они являются частным случаем равнобедренных. Гипотезы неверны для разносторонних треугольников.

357 a) Начерти равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и измерь транспортиром углы при основании $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

б) Начерти равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = BC$) и проведи медиану к его основанию $AC$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Как ты считаешь, на какие виды треугольников можно распространить построенные гипотезы? Обоснуй свой ответ.