Страница 83, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

364 Найди координаты точек координатной прямой, удалённых:

а) на 3 единицы от точки A $(1)$;

б) на 2 единицы от точки B $(-1)$;

в) на 4 единицы от начала координат.

а) Чтобы найти координаты точек на координатной прямой, удалённых на заданное расстояние от точки, нужно к координате этой точки прибавить и вычесть данное расстояние. Для точки А(1) и расстояния в 3 единицы получим две точки.

1. Первая точка находится правее точки А. Её координата равна сумме координаты точки А и расстояния:

$1 + 3 = 4$

2. Вторая точка находится левее точки А. Её координата равна разности координаты точки А и расстояния:

$1 - 3 = -2$

Следовательно, искомые координаты: -2 и 4.

Ответ: -2; 4.

б) Найдём координаты точек, удалённых на 2 единицы от точки В(-1). Аналогично предыдущему пункту, выполним сложение и вычитание.

1. Координата точки, расположенной справа от В:

$-1 + 2 = 1$

2. Координата точки, расположенной слева от В:

$-1 - 2 = -3$

Следовательно, искомые координаты: -3 и 1.

Ответ: -3; 1.

в) Найдём координаты точек, удалённых на 4 единицы от начала координат. Начало координат — это точка с координатой 0.

1. Координата точки, расположенной справа от начала координат:

$0 + 4 = 4$

2. Координата точки, расположенной слева от начала координат:

$0 - 4 = -4$

Следовательно, искомые координаты: -4 и 4.

Ответ: -4; 4.

364 Найди координаты точек координатной прямой, удаленных:

а) на 3 единицы от точки $A(1)$;

б) на 2 единицы от точки $B(-1)$;

в) на 4 единицы от начала координат.

365 $A=\{-16; -\frac{4}{7}; -0.3; 9; 1\frac{3}{4}; 0; -5; 2; 4.8\}$. Составь из элементов этого множества подмножества:

1) B – отрицательных рациональных чисел;

2) C – натуральных чисел;

3) D – целых чисел;

4) E – целых отрицательных чисел.

Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств A, B, C, D и E.

Дано множество $A = \{-16; -\frac{4}{7}; -0,3; 9; 1\frac{3}{4}; 0; -5; 2; 4,8\}$.

Составим из его элементов требуемые подмножества.

1) B – отрицательных рациональных чисел

Отрицательными рациональными числами являются все отрицательные числа из данного множества. Рациональными являются все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ - целое, а $q$ - натуральное число. Все элементы множества А являются рациональными. Выберем из них отрицательные.

Это числа: -16, $-\frac{4}{7}$, -0,3, -5.

Ответ: $B = \{-16; -\frac{4}{7}; -0,3; -5\}$.

2) C – натуральных чисел

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые для счета. Из множества А выберем такие числа.

Это числа: 9, 2.

Ответ: $C = \{2; 9\}$.

3) D – целых чисел

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Из множества А выберем все целые числа (без дробной части).

Это числа: -16, 9, 0, -5, 2.

Ответ: $D = \{-16; -5; 0; 2; 9\}$.

4) E – целых отрицательных чисел

Целые отрицательные числа — это целые числа, которые меньше нуля. Из множества А выберем такие числа.

Это числа: -16, -5.

Ответ: $E = \{-16; -5\}$.

Диаграмма Эйлера — Венна множеств А, В, С, D и Е

Для построения диаграммы учтем следующие соотношения между множествами:

• Множества B, C, D, E являются подмножествами множества A.
• Множество E (целые отрицательные) является подмножеством и множества D (целые числа), и множества B (отрицательные рациональные). Фактически, $E = B \cap D$.
• Множество C (натуральные числа) является подмножеством множества D (целые числа), но не имеет общих элементов с множеством B (отрицательные числа).

На диаграмме множество А представляет собой самый большой прямоугольник, внутри которого расположены остальные множества.

365 $A = \{-16; -\frac{4}{7}; -0,3; 9; 1\frac{3}{4}; 0; -5; 2; 4,8\}$. Составь из элементов этого множества подмножества:

1) B – отрицательных рациональных чисел;

2) C – натуральных чисел;

3) D – целых чисел;

4) E – целых отрицательных чисел.

Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств A, B, C, D и E.

366 Определи координаты точек A, B, C и D.

1) D($-3$), B($-1$), 0($0$), n($3$), A($5$), C($8$)

2) D($k-5$), B($k-2$), A($k+3$), C($k+6$)

1)

На данной координатной прямой определим цену одного деления (длину единичного отрезка). Расстояние от начала отсчета (точки 0) до точки с координатой $n$ разделено на 3 равных отрезка. Следовательно, длина одного отрезка равна $\frac{n}{3}$.

Теперь найдем координаты заданных точек, считая количество делений от нуля:

• Точка A находится на 5 делений правее нуля. Ее координата: $5 \cdot \frac{n}{3} = \frac{5n}{3}$.
• Точка B находится на 4 деления левее нуля. Ее координата: $-4 \cdot \frac{n}{3} = -\frac{4n}{3}$.
• Точка C находится на 8 делений правее нуля. Ее координата: $8 \cdot \frac{n}{3} = \frac{8n}{3}$.
• Точка D находится на 7 делений левее нуля. Ее координата: $-7 \cdot \frac{n}{3} = -\frac{7n}{3}$.

Ответ: $A(\frac{5n}{3})$; $B(-\frac{4n}{3})$; $C(\frac{8n}{3})$; $D(-\frac{7n}{3})$.

2)

На второй координатной прямой найдем цену одного деления. Расстояние между точками с координатами $k$ и $k+1$ равно $(k+1) - k = 1$. Этот отрезок длиной 1 разделен на 3 равных деления. Значит, цена одного деления составляет $\frac{1}{3}$.

Определим координаты точек, отсчитывая деления от точки $k$:

• Точка A находится на 4 деления правее точки $k$. Ее координата: $k + 4 \cdot \frac{1}{3} = k + \frac{4}{3}$.
• Точка B находится на 3 деления левее точки $k$. Ее координата: $k - 3 \cdot \frac{1}{3} = k - 1$.
• Точка C находится на 9 делений правее точки $k$. Ее координата: $k + 9 \cdot \frac{1}{3} = k + 3$.
• Точка D находится на 5 делений левее точки $k$. Ее координата: $k - 5 \cdot \frac{1}{3} = k - \frac{5}{3}$.

Ответ: $A(k + \frac{4}{3})$; $B(k - 1)$; $C(k + 3)$; $D(k - \frac{5}{3})$.

366 Определи координаты точек A, B, C и D:

1) D B $0$ $n$ A C

2) D B $k$ $k+1$ A C

367 Прочитай неравенство и найди множество его целых решений. Сделай чертёж.

1) $-2 < x \le 3$;

2) $-5 \le x < -1$;

3) $-3 < x < 1,8$;

4) $-1,2 \le x \le 4\frac{2}{3}$.

1)

Двойное неравенство $ -2 < x \le 3 $ читается: "икс больше минус двух и меньше или равен трём".

Найдём множество его целых решений. Это все целые числа, которые находятся в промежутке от $-2$ (не включая) до $3$ (включая).

Такими числами являются: $-1, 0, 1, 2, 3$.

Изобразим это решение на числовой прямой. Точка $-2$ выколотая (так как неравенство строгое), а точка $3$ закрашенная (так как неравенство нестрогое).

Чертёж:

Ответ: $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$.

2)

Неравенство $ -5 \le x < -1 $ читается: "икс больше или равен минус пяти и меньше минус одного".

Целые решения — это целые числа, которые не меньше $-5$ и строго меньше $-1$.

К ним относятся: $-5, -4, -3, -2$.

На числовой прямой точка $-5$ будет закрашенной, а точка $-1$ — выколотой.

Чертёж:

Ответ: $\{-5, -4, -3, -2\}$.

3)

Неравенство $ -3 < x < 1,8 $ читается: "икс больше минус трёх и меньше одной целой восьми десятых".

Ищем целые числа, которые строго больше $-3$ и строго меньше $1,8$.

Это числа: $-2, -1, 0, 1$.

На чертеже обе граничные точки, $-3$ и $1,8$, будут выколотыми, так как оба неравенства строгие.

Чертёж:

Ответ: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

4)

Неравенство $ -1,2 \le x \le 4\frac{2}{3} $ читается: "икс больше или равен минус одной целой двум десятым и меньше или равен четырём целым двум третьим".

Целые решения должны быть не меньше $-1,2$ и не больше $4\frac{2}{3}$ (что примерно равно $4,67$).

Этому условию удовлетворяют числа: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.

На числовой прямой обе граничные точки, $-1,2$ и $4\frac{2}{3}$, будут закрашенными, так как оба неравенства нестрогие.

Чертёж:

Ответ: $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$.

367 Прочитай неравенство и найди множество его целых решений. Сделай чертеж.

1) $-2 < x \le 3;$

2) $-5 \le x < -1;$

3) $-3 < x < 1.8;$

4) $-1.2 \le x \le 4 \frac{2}{3}.$

368 Что общего и что различного в данных выражениях? Какое выражение может быть «лишним»? Запиши остальные выражения в общем виде с помощью переменной $x$:

1) $2a + 3$; $2n + 3$; $2c + 3$; $2b^2 + 3$; $2d + 3$;

2) $0,4b^2 + 5$; $5 + 0,4n^2$; $0,4c + 5$; $0,4d^2 + 5$; $5 + 0,4a^2$;

3) $n^2 + n + 1$; $a + a^2 + 1$; $1 + b + b^2$; $d^2 + 1 + d$; $c + 2c + 1$.

1) В выражениях $2a + 3$; $2n + 3$; $2c + 3$; $2b^2 + 3$; $2d + 3$ общим является то, что все они представляют собой сумму, в которой одно слагаемое равно 3, а второе слагаемое содержит числовой множитель 2. Различаются данные выражения переменной частью второго слагаемого ($a, n, c, b^2, d$).
«Лишним» является выражение $2b^2 + 3$, так как в нем переменная $b$ находится во второй степени, в то время как во всех остальных выражениях переменные ($a, n, c, d$) находятся в первой степени.
Остальные выражения можно записать в общем виде: $2x + 3$.
Ответ: $2x + 3$.

2) В выражениях $0,4b^2 + 5$; $5 + 0,4n^2$; $0,4c + 5$; $0,4d^2 + 5$; $5 + 0,4a^2$ общим является то, что все они представляют собой сумму, в которой одно слагаемое равно 5, а второе слагаемое содержит числовой множитель 0,4. Различаются выражения переменной частью второго слагаемого ($b^2, n^2, c, d^2, a^2$).
«Лишним» является выражение $0,4c + 5$, так как в нем переменная $c$ находится в первой степени, а во всех остальных выражениях переменные ($b, n, d, a$) возведены во вторую степень.
Остальные выражения можно записать в общем виде: $0,4x^2 + 5$.
Ответ: $0,4x^2 + 5$.

3) Рассмотрим выражения $n^2 + n + 1$; $a + a^2 + 1$; $1 + b + b^2$; $d^2 + 1 + d$; $c + 2c + 1$. Первые четыре выражения, несмотря на разный порядок слагаемых, имеют общую структуру: они являются суммой квадрата переменной, этой же переменной в первой степени и числа 1. Различаются они только буквами, обозначающими переменную ($n, a, b, d$).
«Лишним» является выражение $c + 2c + 1$. Оно не содержит переменную в квадрате, а после приведения подобных слагаемых принимает вид $3c + 1$, что отличает его по структуре от остальных.
Остальные выражения можно записать в общем виде: $x^2 + x + 1$.
Ответ: $x^2 + x + 1$.

368 Что общего и что различного в данных выражениях? Какое выражение может быть “лишним”? Запиши остальные выражения в общем виде с помощью переменной $x$:

1) $2a + 3$; $2n + 3$; $2c + 3$; $2b^2 + 3$; $2d + 3$;

2) $0.4b^2 + 5$; $5 + 0.4n^2$; $0.4c + 5$; $0.4d^2 + 5$; $5 + 0.4a^2$;

3) $n^2 + n + 1$; $a + a^2 + 1$; $1 + b + b^2$; $d^2 + 1 + d$; $c + 2c + 1$.

369 Прочитай и сравни выражения – в чём их сходство и в чём отличие? Найди значения этих выражений:

1) $3a^2$ и $(3a)^2$, если $a = 5; 0,2; \frac{1}{6};$

2) $2b^3$ и $(2b)^3$, если $b = 2; 0,5; \frac{2}{3}.$

Сравнение выражений

Сходство: Выражения в каждой паре состоят из одинаковых чисел, переменных и операции возведения в степень. Например, в первой паре это число 3, переменная $a$ и возведение во вторую степень (в квадрат).

Отличие: Отличие заключается в порядке выполнения действий.
В выражении $3a^2$ (читается "три а в квадрате") сначала переменная $a$ возводится в квадрат, а затем результат умножается на 3.
В выражении $(3a)^2$ (читается "три а в скобках в квадрате") сначала 3 умножается на $a$, а затем полученное произведение возводится в квадрат. Используя свойство степени, это выражение можно записать как $3^2 \cdot a^2 = 9a^2$.
Аналогично, в выражении $2b^3$ в куб возводится только переменная $b$, а в выражении $(2b)^3$ в куб возводится всё произведение $2b$, что равно $2^3 \cdot b^3 = 8b^3$.
Таким образом, из-за разного порядка действий значения выражений в парах, как правило, не равны.

Нахождение значений выражений

1) $3a^2$ и $(3a)^2$, если $a = 5; 0,2; \frac{1}{6}$

При $a = 5$:
$3a^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$
$(3a)^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225$

При $a = 0,2$:
$3a^2 = 3 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,04 = 0,12$
$(3a)^2 = (3 \cdot 0,2)^2 = (0,6)^2 = 0,36$

При $a = \frac{1}{6}$:
$3a^2 = 3 \cdot (\frac{1}{6})^2 = 3 \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$
$(3a)^2 = (3 \cdot \frac{1}{6})^2 = (\frac{3}{6})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Ответ: при $a=5$ значения равны 75 и 225; при $a=0,2$ — 0,12 и 0,36; при $a=\frac{1}{6}$ — $\frac{1}{12}$ и $\frac{1}{4}$.

2) $2b^3$ и $(2b)^3$, если $b = 2; 0,5; \frac{2}{3}$

При $b = 2$:
$2b^3 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16$
$(2b)^3 = (2 \cdot 2)^3 = 4^3 = 64$

При $b = 0,5$:
$2b^3 = 2 \cdot (0,5)^3 = 2 \cdot 0,125 = 0,25$
$(2b)^3 = (2 \cdot 0,5)^3 = 1^3 = 1$

При $b = \frac{2}{3}$:
$2b^3 = 2 \cdot (\frac{2}{3})^3 = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}$
$(2b)^3 = (2 \cdot \frac{2}{3})^3 = (\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$

Ответ: при $b=2$ значения равны 16 и 64; при $b=0,5$ — 0,25 и 1; при $b=\frac{2}{3}$ — $\frac{16}{27}$ и $\frac{64}{27}$.

369 Прочитай и сравни выражения – в чем их сходство и в чем отличие? Найди значения этих выражений:

1) $3a^2$ и $(3a)^2$, если $a = 5; 0,2; \frac{1}{6};$

2) $2b^3$ и $(2b)^3$, если $b = 2; 0,5; \frac{2}{3}. $

370 Сравни числа:

а) 29 374 и 9537;

б) 805 168 и 840 168;

в) 3,57 и 3,517;

г) 12,042 и 15,032;

д) $\frac{2}{11}$ и $\frac{6}{11}$;

е) $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{8}$;

ж) $\frac{5}{6}$ и $\frac{13}{9}$;

з) $\frac{4}{17}$ и $\frac{5}{18}$.

а) Чтобы сравнить два натуральных числа, нужно сначала посмотреть на количество цифр в них. Число, в котором больше цифр, является большим. Число 29 374 состоит из пяти цифр, а число 9537 — из четырех. Так как 5 > 4, то и число 29 374 больше числа 9537.
Ответ: $29 374 > 9537$

б) Если натуральные числа имеют одинаковое количество цифр, их сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо). В числах 805 168 и 840 168 по шесть цифр. Цифры в разряде сотен тысяч у них совпадают (8 = 8). Сравним цифры в следующем, старшем разряде — в разряде десятков тысяч. В первом числе это 0, во втором — 4. Так как $0 < 4$, то первое число меньше второго.
Ответ: $805 168 < 840 168$

в) При сравнении десятичных дробей сначала сравнивают их целые части. Если они равны, то сравнивают дробные части поразрядно, начиная с разряда десятых. У чисел 3,57 и 3,517 целые части равны (3 = 3). Цифры в разряде десятых также равны (5 = 5). Сравним цифры в разряде сотых: у первого числа это 7, у второго — 1. Так как $7 > 1$, то первое число больше второго.
Ответ: $3,57 > 3,517$

г) Чтобы сравнить две десятичные дроби, в первую очередь нужно сравнить их целые части. Та дробь будет больше, у которой целая часть больше. У числа 12,042 целая часть равна 12, а у числа 15,032 целая часть равна 15. Поскольку $12 < 15$, то и $12,042 < 15,032$.
Ответ: $12,042 < 15,032$

д) Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. В дробях $\frac{2}{11}$ и $\frac{6}{11}$ знаменатели равны 11. Сравниваем их числители: $2 < 6$. Следовательно, первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{2}{11} < \frac{6}{11}$

е) Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. В дробях $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{8}$ числители равны 3. Сравниваем их знаменатели: $7 < 8$. Следовательно, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{3}{7} > \frac{3}{8}$

ж) Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, можно сравнить их с единицей. Дробь $\frac{5}{6}$ является правильной, так как ее числитель 5 меньше знаменателя 6, а значит $\frac{5}{6} < 1$. Дробь $\frac{13}{9}$ является неправильной, так как ее числитель 13 больше знаменателя 9, а значит $\frac{13}{9} > 1$. Так как $\frac{5}{6} < 1$ и $\frac{13}{9} > 1$, то $\frac{5}{6} < \frac{13}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{13}{9}$

з) Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{4}{17}$ и $\frac{5}{18}$ наименьшим общим знаменателем будет произведение их знаменателей: $17 \cdot 18 = 306$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{4}{17} = \frac{4 \cdot 18}{17 \cdot 18} = \frac{72}{306}$; $\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 17}{18 \cdot 17} = \frac{85}{306}$. Теперь сравним числители полученных дробей: $72 < 85$. Следовательно, $\frac{72}{306} < \frac{85}{306}$, а значит и $\frac{4}{17} < \frac{5}{18}$.
Ответ: $\frac{4}{17} < \frac{5}{18}$

370 Сравни числа:

а) 29 374 и 9537;

б) 805 168 и 840 168;

в) 3,57 и 3,517;

г) 12,042 и 15,032;

д) $\frac{2}{11}$ и $\frac{6}{11}$;

е) $\frac{3}{7}$ и $\frac{3}{8}$;

ж) $\frac{5}{6}$ и $\frac{13}{9}$;

з) $\frac{4}{17}$ и $\frac{5}{18}$.

365 Как найти часть от числа? Как найти число по его части? Найди:

а) $\frac{4}{9}$ от 16,2;

б) 15 % от 3,04;

в) $\frac{4}{11}$ от a;

г) 58 % от b;

д) число, $\frac{3}{5}$ которого равны 1,5;

е) число, 6 % которого составляют 4,2;

ж) число, $\frac{2}{7}$ которого составляют x;

з) число, 140 % которого равны y.

Как найти часть от числа?
Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно умножить это число на данную дробь. Если часть выражена в процентах, то сначала нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделив на 100), а затем умножить число на полученную дробь.

Как найти число по его части?
Чтобы найти число по его части, выраженной дробью, нужно значение этой части разделить на данную дробь. Если часть выражена в процентах, то сначала нужно перевести проценты в десятичную дробь (разделив на 100), а затем разделить значение части на полученную дробь.

а) Чтобы найти $\frac{4}{9}$ от 16,2, умножим число на дробь:
$16,2 \cdot \frac{4}{9} = \frac{162}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{18 \cdot 4}{10} = \frac{72}{10} = 7,2$.
Ответ: 7,2.

б) Переведем проценты в десятичную дробь: $15~\% = 0,15$. Теперь найдем 15% от 3,04:
$3,04 \cdot 0,15 = 0,456$.
Ответ: 0,456.

в) Чтобы найти $\frac{4}{11}$ от $a$, умножим $a$ на дробь:
$a \cdot \frac{4}{11} = \frac{4a}{11}$.
Ответ: $\frac{4a}{11}$.

г) Переведем проценты в десятичную дробь: $58~\% = 0,58$. Теперь найдем 58% от $b$:
$b \cdot 0,58 = 0,58b$.
Ответ: $0,58b$.

д) Чтобы найти число, $\frac{3}{5}$ которого равны 1,5, разделим 1,5 на дробь $\frac{3}{5}$:
$1,5 : \frac{3}{5} = \frac{15}{10} \cdot \frac{5}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5.

е) Переведем проценты в десятичную дробь: $6~\% = 0,06$. Чтобы найти число, 6% которого составляют 4,2, разделим 4,2 на 0,06:
$4,2 : 0,06 = 420 : 6 = 70$.
Ответ: 70.

ж) Чтобы найти число, $\frac{2}{7}$ которого составляют $x$, разделим $x$ на дробь $\frac{2}{7}$:
$x : \frac{2}{7} = x \cdot \frac{7}{2} = \frac{7x}{2}$.
Ответ: $\frac{7x}{2}$.

з) Переведем проценты в десятичную дробь: $140~\% = 1,4$. Чтобы найти число, 140% которого равны $y$, разделим $y$ на 1,4:
$y : 1,4 = y : \frac{14}{10} = y \cdot \frac{10}{14} = \frac{5y}{7}$.
Ответ: $\frac{5y}{7}$.

365 Как найти часть от числа? Как найти число по его части? Найди:

a) $\frac{4}{9}$ от 16,2;

д) число, $\frac{3}{5}$ которого равны 1,5;

б) 15% от 3,04;

е) число, 6% которого составляют 4,2;

в) $\frac{4}{11}$ от $a$;

ж) число, $\frac{2}{7}$ которого составляют $x$;

г) 58% от $b$;

з) число, 140% которого равны $y$.

366 Найди часть, которую одно число составляет от другого, и вырази её в процентах:

а) 18 от 50;

б) 9 от 72;

в) 1,2 от 15;

г) $\frac{8}{15}$ от $5\frac{1}{3}$;

д) 0,42 от 5,6;

е) $11\frac{1}{5}$ от 7,2;

ж) $a$ от $b$;

з) $m$ от $n$.

а) Чтобы найти, какую часть число 18 составляет от 50, и выразить её в процентах, нужно разделить 18 на 50 и умножить результат на 100%.

$ \frac{18}{50} \cdot 100\% = 0,36 \cdot 100\% = 36\% $

Ответ: 36%.

б) Найдём, какую часть число 9 составляет от 72, и выразим её в процентах.

$ \frac{9}{72} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 0,125 \cdot 100\% = 12,5\% $

Ответ: 12,5%.

в) Найдём, какую часть число 1,2 составляет от 15, и выразим её в процентах.

$ \frac{1,2}{15} \cdot 100\% = 0,08 \cdot 100\% = 8\% $

Ответ: 8%.

г) Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь найдём, какую часть число $\frac{8}{15}$ составляет от $\frac{16}{3}$ и выразим её в процентах:

$ \frac{\frac{8}{15}}{\frac{16}{3}} \cdot 100\% = \frac{8}{15} \cdot \frac{3}{16} \cdot 100\% = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2} \cdot 100\% = \frac{1}{10} \cdot 100\% = 10\% $

Ответ: 10%.

д) Найдём, какую часть число 0,42 составляет от 5,6, и выразим её в процентах.

$ \frac{0,42}{5,6} \cdot 100\% = \frac{42}{560} \cdot 100\% = \frac{3}{40} \cdot 100\% = 0,075 \cdot 100\% = 7,5\% $

Ответ: 7,5%.

е) Преобразуем числа в один формат (десятичные дроби): $11\frac{1}{5} = 11 + \frac{1}{5} = 11 + 0,2 = 11,2$.

Теперь найдём, какую часть 11,2 составляет от 7,2, и выразим её в процентах:

$ \frac{11,2}{7,2} \cdot 100\% = \frac{112}{72} \cdot 100\% = \frac{14}{9} \cdot 100\% = \frac{1400}{9}\% = 155\frac{5}{9}\% $

Ответ: $155\frac{5}{9}\%$.

ж) Чтобы найти, какую часть число $a$ составляет от числа $b$, нужно составить отношение $\frac{a}{b}$ и выразить его в процентах. Общая формула:

$ \frac{a}{b} \cdot 100\% $ (при условии, что $b \neq 0$)

Ответ: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$.

з) Аналогично, чтобы найти, какую часть число $m$ составляет от числа $n$, используется формула:

$ \frac{m}{n} \cdot 100\% $ (при условии, что $n \neq 0$)

Ответ: $\frac{m}{n} \cdot 100\%$.

366 Найди часть, которую одно число составляет от другого, и вырази ее в процентах:

а) 18 от 50;

б) 9 от 72;

в) 1,2 от 15;

г) $\frac{8}{15}$ от $5\frac{1}{3}$;

д) 0,42 от 5,6;

е) $11\frac{1}{5}$ от 7,2;

ж) $a$ от $b$;

з) $m$ от $n$.

367 БЛИЦтурнир

а) Посадили $d$ семян. Из них $k$ семян проросли. Чему равен процент всхо- жести семян?

б) Цена товара на складе равна $a$ р. Торговая наценка в магазине равна $24$ %. Сколько стоит этот товар в магазине?

в) Акции фирмы в январе стоили $n$ р., что составило $80$ % их стоимости в феврале. Сколько стоили акции этой фирмы в феврале?

г) За месяц построено $60$ % дороги. Чему равна длина всей дороги, если оста- лось построить $c$ км?

д) Бак автомобиля вмещает $x$ л бензина. На каж- дые $100$ км пути расходуется $20$ % объёма бака. Сколько литров бензина потребуется на $350$ км пути?

е) Фермер с каждого гектара из $4$ га своего поля собрал по $b$ т картофеля. На семена он оставил $25$ % всего урожая, а остальной картофель отвёз на рынок. Сколько тонн картофеля он отвёз на рынок?

а) Процент всхожести семян — это отношение количества проросших семян к общему количеству посаженных семян, умноженное на 100%.
Общее количество семян: $d$.
Количество проросших семян: $k$.
Процент всхожести вычисляется по формуле: $P = \frac{k}{d} \cdot 100\%$.
Ответ: $\frac{100k}{d}$ %.

б) Цена товара на складе составляет $a$ рублей, что является 100% от этой цены. Торговая наценка составляет 24%.
Цена в магазине будет равна цене на складе плюс наценка:
$a + a \cdot \frac{24}{100} = a + 0.24a = 1.24a$.
Или, цена в магазине составит $100\% + 24\% = 124\%$ от складской цены:
$a \cdot 1.24 = 1.24a$.
Ответ: $1.24a$ р.

в) Стоимость акций в январе, равная $n$ р., составляет 80% от их стоимости в феврале.
Пусть $x$ — стоимость акций в феврале. Тогда $n$ — это 80% от $x$.
$n = 0.8 \cdot x$.
Чтобы найти $x$, нужно $n$ разделить на 0.8:
$x = \frac{n}{0.8} = \frac{n}{8/10} = \frac{10n}{8} = 1.25n$.
Ответ: $1.25n$ р.

г) За месяц построено 60% дороги. Следовательно, осталось построить $100\% - 60\% = 40\%$ дороги.
По условию, оставшаяся часть дороги равна $c$ км. Таким образом, 40% от всей длины дороги составляет $c$ км.
Пусть $L$ — длина всей дороги. Тогда:
$0.4 \cdot L = c$.
Чтобы найти $L$, разделим $c$ на 0.4:
$L = \frac{c}{0.4} = \frac{c}{4/10} = \frac{10c}{4} = 2.5c$.
Ответ: $2.5c$ км.

д) Объём бака автомобиля равен $x$ литров.
Расход бензина на 100 км составляет 20% от объёма бака, то есть $0.2x$ литров.
Чтобы найти, сколько бензина потребуется на 350 км, сначала определим, во сколько раз это расстояние больше 100 км:
$\frac{350}{100} = 3.5$.
Теперь умножим расход на 100 км на этот коэффициент:
Расход на 350 км = $3.5 \cdot (0.2x) = 0.7x$ литров.
Ответ: $0.7x$ л.

е) Фермер собрал урожай с 4 га своего поля, по $b$ тонн с каждого гектара.
Общий урожай составляет: $4 \cdot b = 4b$ тонн.
На семена он оставил 25% всего урожая. Значит, на рынок он отвёз оставшуюся часть: $100\% - 25\% = 75\%$.
Вычислим 75% от всего урожая:
$4b \cdot \frac{75}{100} = 4b \cdot 0.75 = 3b$ тонн.
Ответ: $3b$ т.

367 БЛИЦтурнир.

а) Посадили $d$ семян. Из них $k$ семян проросли. Чему равен процент всхожести семян?

б) Цена товара на складе равна $a$ р. Торговая наценка в магазине равна 24%. Сколько стоит этот товар в магазине?

в) Акции фирмы в январе стоили $n$ р., что составило 80% их стоимости в феврале. Сколько стоили акции этой фирмы в феврале?

г) За месяц построено 60% дороги. Чему равна длина всей дороги, если осталось построить $c$ км?

д) Бак автомобиля вмещает $x$ л бензина. На каждые 100 км пути расходуется 20% объема бака. Сколько литров бензина потребуется на 350 км пути?

е) Фермер с каждого гектара из 4 га своего поля собрал по $b$ т картофеля. На семена он оставил 25% всего урожая, а остальной картофель отвез на рынок. Сколько тонн картофеля он отвез на рынок?

368. В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трёх партий. Число депутатов от первой партии на 20 % больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5 % числа депутатов третьей.

а) Сколько депутатов от каждой из трёх партий представлено в городской думе?

б) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее $\frac{2}{3}$) всех депутатов думы?

а) Сколько депутатов от каждой из трёх партий представлено в городской думе?

1. Найдем общее число депутатов, состоящих в партиях. Всего в думе 80 депутатов, из них 4 — независимые.
$80 - 4 = 76$ депутатов представляют три партии.

2. Обозначим число депутатов от первой, второй и третьей партии как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ соответственно. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

• Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй: $P_1 = P_2 + 0.2 \cdot P_2 = 1.2 \cdot P_2$.
• Число депутатов от второй партии составляет 62,5% от числа депутатов третьей: $P_2 = 0.625 \cdot P_3$.
• Сумма всех партийных депутатов: $P_1 + P_2 + P_3 = 76$.

3. Решим систему уравнений. Выразим $P_1$ и $P_3$ через $P_2$.
$P_1 = 1.2 \cdot P_2$.
Из второго уравнения $P_3 = \frac{P_2}{0.625}$. Поскольку $0.625 = \frac{5}{8}$, то $P_3 = P_2 \div \frac{5}{8} = \frac{8}{5} \cdot P_2 = 1.6 \cdot P_2$.

4. Подставим полученные выражения в третье уравнение:
$(1.2 \cdot P_2) + P_2 + (1.6 \cdot P_2) = 76$
$3.8 \cdot P_2 = 76$
$P_2 = \frac{76}{3.8} = 20$ депутатов.

5. Теперь найдем количество депутатов в первой и третьей партиях:
$P_1 = 1.2 \cdot 20 = 24$ депутата.
$P_3 = 1.6 \cdot 20 = 32$ депутата.

Проверка: $24 + 20 + 32 = 76$. Расчеты верны.
Ответ: от первой партии представлено 24 депутата, от второй — 20 депутатов, от третьей — 32 депутата.

б) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов думы?

1. Определим необходимое число голосов для принятия решения. Квалифицированное большинство составляет не менее $\frac{2}{3}$ от общего числа депутатов (80).
$\frac{2}{3} \cdot 80 = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3}$.
Так как число голосов — целое число, для принятия решения необходимо набрать минимум 54 голоса.

2. Фракция может заблокировать решение, если количество депутатов в ней таково, что голосов всех остальных депутатов не хватит для набора 54 голосов. Пусть $S$ — размер фракции, голосующей "против". Тогда максимальное число голосов "за" будет $80 - S$.

3. Условие блокирования решения:
$80 - S < 54$
$S > 80 - 54$
$S > 26$
Следовательно, любая фракция, насчитывающая более 26 депутатов, может в одиночку заблокировать решение.

4. Сравним численность партийных фракций с этим пороговым значением:

• Первая партия: 24 депутата ($24 \ngtr 26$).
• Вторая партия: 20 депутатов ($20 \ngtr 26$).
• Третья партия: 32 депутата ($32 > 26$).

Только численность третьей партии превышает 26 человек. Если все 32 депутата этой фракции проголосуют против, то максимальное число голосов "за" составит $80 - 32 = 48$, что недостаточно для принятия решения (48 < 54).
Ответ: да, может. Фракция третьей партии, состоящая из 32 депутатов, может заблокировать принятие такого решения.

368 В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трех партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей.

a) Сколько депутатов от каждой из трех партий представлено в городской думе?

b) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее $\frac{2}{3}$) всех депутатов думы?