Номер 368, страница 83, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 368, страница 83.

Условие 2023.

368. В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трёх партий. Число депутатов от первой партии на 20 % больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5 % числа депутатов третьей.

а) Сколько депутатов от каждой из трёх партий представлено в городской думе?

б) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее $\frac{2}{3}$) всех депутатов думы?

Решение 2 (2023).

а) Сколько депутатов от каждой из трёх партий представлено в городской думе?

1. Найдем общее число депутатов, состоящих в партиях. Всего в думе 80 депутатов, из них 4 — независимые.
$80 - 4 = 76$ депутатов представляют три партии.

2. Обозначим число депутатов от первой, второй и третьей партии как $P_1$, $P_2$ и $P_3$ соответственно. Составим систему уравнений на основе условий задачи:

• Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй: $P_1 = P_2 + 0.2 \cdot P_2 = 1.2 \cdot P_2$.
• Число депутатов от второй партии составляет 62,5% от числа депутатов третьей: $P_2 = 0.625 \cdot P_3$.
• Сумма всех партийных депутатов: $P_1 + P_2 + P_3 = 76$.

3. Решим систему уравнений. Выразим $P_1$ и $P_3$ через $P_2$.
$P_1 = 1.2 \cdot P_2$.
Из второго уравнения $P_3 = \frac{P_2}{0.625}$. Поскольку $0.625 = \frac{5}{8}$, то $P_3 = P_2 \div \frac{5}{8} = \frac{8}{5} \cdot P_2 = 1.6 \cdot P_2$.

4. Подставим полученные выражения в третье уравнение:
$(1.2 \cdot P_2) + P_2 + (1.6 \cdot P_2) = 76$
$3.8 \cdot P_2 = 76$
$P_2 = \frac{76}{3.8} = 20$ депутатов.

5. Теперь найдем количество депутатов в первой и третьей партиях:
$P_1 = 1.2 \cdot 20 = 24$ депутата.
$P_3 = 1.6 \cdot 20 = 32$ депутата.

Проверка: $24 + 20 + 32 = 76$. Расчеты верны.
Ответ: от первой партии представлено 24 депутата, от второй — 20 депутатов, от третьей — 32 депутата.

б) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее 2/3) всех депутатов думы?

1. Определим необходимое число голосов для принятия решения. Квалифицированное большинство составляет не менее $\frac{2}{3}$ от общего числа депутатов (80).
$\frac{2}{3} \cdot 80 = \frac{160}{3} = 53\frac{1}{3}$.
Так как число голосов — целое число, для принятия решения необходимо набрать минимум 54 голоса.

2. Фракция может заблокировать решение, если количество депутатов в ней таково, что голосов всех остальных депутатов не хватит для набора 54 голосов. Пусть $S$ — размер фракции, голосующей "против". Тогда максимальное число голосов "за" будет $80 - S$.

3. Условие блокирования решения:
$80 - S < 54$
$S > 80 - 54$
$S > 26$
Следовательно, любая фракция, насчитывающая более 26 депутатов, может в одиночку заблокировать решение.

4. Сравним численность партийных фракций с этим пороговым значением:

• Первая партия: 24 депутата ($24 \ngtr 26$).
• Вторая партия: 20 депутатов ($20 \ngtr 26$).
• Третья партия: 32 депутата ($32 > 26$).

Только численность третьей партии превышает 26 человек. Если все 32 депутата этой фракции проголосуют против, то максимальное число голосов "за" составит $80 - 32 = 48$, что недостаточно для принятия решения (48 < 54).
Ответ: да, может. Фракция третьей партии, состоящая из 32 депутатов, может заблокировать принятие такого решения.

Условие 2010-2022.

368 В городской думе 80 депутатов, среди которых 4 независимых депутата, а остальные представляют интересы трех партий. Число депутатов от первой партии на 20% больше, чем от второй, а число депутатов от второй партии составляет 62,5% числа депутатов третьей.

a) Сколько депутатов от каждой из трех партий представлено в городской думе?

b) Может ли какая-либо партийная фракция заблокировать принятие решения, для которого требуется квалифицированное большинство голосов (не менее $\frac{2}{3}$) всех депутатов думы?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).