Номер 375, страница 85, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 375, страница 85.

Условие 2023.

C 375* Дан прямоугольник, длины сторон которого относятся как 2 : 1. Разрежь его на части так, чтобы из них можно было составить:

а) равнобедренный прямоугольный треугольник;

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

Решение 2 (2023).

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $2a$. Его площадь равна $S = 2a \cdot a = 2a^2$. Любой треугольник, составленный из частей этого прямоугольника, должен иметь такую же площадь.

а) равнобедренный прямоугольный треугольник;

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом $b$ равна $S = \frac{1}{2}b^2$.Так как $S=2a^2$, получаем $\frac{1}{2}b^2 = 2a^2$, откуда $b^2=4a^2$ и $b=2a$.Следовательно, нам нужно составить равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $2a$.

Для этого разрежем прямоугольник следующим образом:

1. Пусть прямоугольник $ABCD$ имеет длинные стороны $AB$ и $CD$, и короткие стороны $AD$ и $BC$. Длина $AB = CD = 2a$, а $AD = BC = a$.
2. Найдем середину стороны $AB$, назовем ее точкой $M$. Таким образом, $AM = MB = a$.
3. Проведем разрез от вершины $C$ к точке $M$.

Этот разрез делит прямоугольник на две части: треугольник $MBC$ и пятиугольник $AMCD$.

Рассмотрим треугольник $MBC$. У него сторона $MB$ имеет длину $a$, а сторона $BC$ имеет длину $a$. Угол $\angle B$ прямой, так как это угол исходного прямоугольника. Следовательно, $MBC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами длиной $a$.

Теперь составим из этих двух частей искомый треугольник. Для этого:

1. Возьмем пятиугольник $AMCD$.
2. Приложим треугольник $MBC$ к пятиугольнику так, чтобы его катет $MB$ совпал со стороной $AM$ пятиугольника (они равны по длине, $AM=MB=a$).

В результате получится новая фигура. Проверим, что это искомый треугольник. Пусть вершины прямоугольника имеют координаты $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.Точка $M$ (середина $AB$) будет иметь координаты $(a,a)$.Разрез проходит по отрезку $MC$.Первая часть — пятиугольник $AMCD$ с вершинами $A(0,a)$, $M(a,a)$, $C(2a,0)$, $D(0,0)$.Вторая часть — треугольник $MBC$ с вершинами $M(a,a)$, $B(2a,a)$, $C(2a,0)$.

Приложим сторону $MB$ треугольника к стороне $AM$ пятиугольника. Это равносильно повороту треугольника $MBC$ на 180° вокруг точки $M$.Новая позиция вершины $B$ будет $B' = A(0,a)$.Новая позиция вершины $C$ будет $C' = M + (M-C) = (a,a) + (a-2a, a-0) = (a,a) + (-a,a) = (0,2a)$.Новая фигура будет иметь вершины $D(0,0)$, $C(2a,0)$ и $C'(0,2a)$. Это треугольник с катетами $DC$ (по оси X) и $DC'$ (по оси Y) длиной $2a$. Это и есть искомый равнобедренный прямоугольный треугольник.

Ответ: Нужно разрезать прямоугольник от одной из вершин на длинной стороне до середины противоположной длинной стороны. Затем из полученных пятиугольника и треугольника сложить равнобедренный прямоугольный треугольник, приложив один из катетов полученного маленького треугольника к отрезку, равному ему по длине, на стороне разреза пятиугольника.

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

Разрежем прямоугольник по одной из его диагоналей, например $BD$. В результате получатся два одинаковых прямоугольных треугольника $ABD$ и $CDB$, каждый с катетами $a$ и $2a$.

Теперь составим из этих двух треугольников равнобедренный тупоугольный треугольник.

1. Возьмем треугольник $CDB$.
2. Возьмем треугольник $ABD$ и приложим его к треугольнику $CDB$ так, чтобы их катеты длиной $2a$ (стороны $CD$ и $AB$) лежали на одной прямой и были направлены в разные стороны от общей точки.

Геометрически это означает, что мы берем треугольник $ABD$ и совмещаем его сторону $AB$ со стороной $CD$ треугольника $CDB$, но располагаем его "зеркально" относительно общей стороны.

Пусть вершины прямоугольника $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.Диагональ $DB$ делит его на треугольники $DCB$ и $DAB$.$T_1 = DCB$ с вершинами $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$.$T_2 = DAB$ с вершинами $D(0,0)$, $A(0,a)$, $B(2a,a)$.

Совместим катет $DA$ треугольника $T_2$ с катетом $CB$ треугольника $T_1$.Итоговая фигура будет иметь вершины в точках $D$ из $T_1$, $C$ из $T_1$, $B$ из $T_1$ (которая совпадет с $A$ из $T_2$), и $D$ из $T_2$.Пусть $C=(0,0), B=(2a,0), D=(0,a)$. Тогда $T_1 = CBD$.Прямоугольник будет $A(-2a,a), B(-2a,0), C(0,0), D(0,a)$.$T_2 = ABD$ с вершинами $A(-2a,a), B(-2a,0), D(0,a)$.Приложим $T_1$ к $T_2$ так, чтобы сторона $CD$ ($T_1$) совпала со стороной $AB$ ($T_2$).Получим треугольник с вершинами $D$ ($T_1$), $B$ ($T_1$) и $D$ ($T_2$).В координатах: $D_1(0,a), B_1(2a,0)$ и $D_2(-2a,a)$.Получился треугольник с основанием $4a$ (от $D_2$ до $B_1'$ на одной горизонтали) и высотой $a$.Его вершины: $(-2a,0), (2a,0), (0,a)$.Боковые стороны равны $\sqrt{(2a)^2 + a^2} = a\sqrt{5}$. Треугольник равнобедренный. Угол при вершине $(0,a)$ можно проверить с помощью скалярного произведения векторов сторон: $\vec{v_1} = (-2a, -a)$, $\vec{v_2} = (2a, -a)$.$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (-2a)(2a) + (-a)(-a) = -4a^2 + a^2 = -3a^2 < 0$.Так как скалярное произведение отрицательно, угол между векторами тупой.

Ответ: Нужно разрезать прямоугольник по диагонали. Получатся два равных прямоугольных треугольника. Эти треугольники нужно сложить вместе, приложив их друг к другу равными короткими катетами.

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

Построим равнобедренный треугольник с основанием $2a$ и высотой $2a$. Его площадь будет $S = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2a^2$, что равно площади прямоугольника. Проверим, является ли он остроугольным. Боковая сторона равна $\sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$.Углы при основании имеют косинус, равный отношению прилежащего катета ($a$) к гипотенузе ($a\sqrt{5}$), то есть $\cos\alpha = \frac{a}{a\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} > 0$. Углы острые. Угол при вершине $\beta$ можно найти по теореме косинусов:$(2a)^2 = (a\sqrt{5})^2 + (a\sqrt{5})^2 - 2(a\sqrt{5})(a\sqrt{5})\cos\beta$$4a^2 = 5a^2 + 5a^2 - 10a^2\cos\beta$$10a^2\cos\beta = 6a^2 \implies \cos\beta = \frac{3}{5} > 0$.Все углы острые, значит, треугольник остроугольный.

Чтобы получить такой треугольник, разрежем прямоугольник следующим образом:

1. Пусть прямоугольник $ABCD$ имеет вершины $D(0,0)$, $C(2a,0)$, $B(2a,a)$, $A(0,a)$.
2. На длинной стороне $AB$ отметим точки $R(\frac{a}{2}, a)$ и $Q(\frac{3a}{2}, a)$.
3. Проведем разрезы от вершины $D$ к точке $R$ и от вершины $C$ к точке $Q$.

Эти разрезы делят прямоугольник на три части:

• Треугольник $ADR$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a/2$).
• Треугольник $BCQ$ (прямоугольный, катеты $a$ и $a/2$).
• Центральная часть — четырехугольник $RQCD$.

Теперь составим из этих частей искомый треугольник:

1. Возьмем треугольники $ADR$ и $BCQ$. Они одинаковы.
2. Соединим их вместе по катетам длиной $a$ (стороны $AD$ и $BC$).

Получится новый равнобедренный треугольник с основанием $a/2 + a/2 = a$ и высотой $a$.Приложим этот новый треугольник основанием к стороне $RQ$ четырехугольника $RQCD$. Длина $RQ$ равна $\frac{3a}{2} - \frac{a}{2} = a$.В результате получится равнобедренный треугольник с основанием $DC$ длиной $2a$ и высотой, равной высоте четырехугольника ($a$) плюс высоте приставленного треугольника ($a$), то есть $2a$. Это и есть искомый треугольник.

Ответ: Прямоугольник $ABCD$ (где $CD$ — длинная сторона) нужно разрезать на три части двумя разрезами: из вершины $D$ в точку $R$ на стороне $AB$, отстоящую от $A$ на расстояние $a/2$, и из вершины $C$ в точку $Q$ на стороне $AB$, отстоящую от $B$ на расстояние $a/2$. Затем два полученных боковых треугольника нужно соединить по их самым длинным катетам и приставить к центральной части сверху.

Условие 2010-2022.

C 375 Дан прямоугольник, длины сторон которого относятся как $2:1$. Разрежь его на части так, чтобы из них можно было составить:

a) равнобедренный прямоугольный треугольник;

б) равнобедренный тупоугольный треугольник;

в) равнобедренный остроугольный треугольник.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).