Номер 381, страница 90, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Задачи на построение. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 381, страница 90.

Условие 2023.

381 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $C$. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным? Определяется ли треугольник этими элементами единственным образом?

1) $b$

$A$

$C$

2) $b$

$A$

$C$

Решение 2 (2023).

Задача сводится к построению треугольника по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для того чтобы такой треугольник существовал, необходимо и достаточно, чтобы сумма двух данных углов была меньше 180 градусов, так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

1)

В данном случае нам даны сторона b и два острых угла A и C.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок AC, равный по длине данной стороне b.
2. От луча AC в одной полуплоскости отложим угол, равный данному углу A, с вершиной в точке A.
3. От луча CA в той же полуплоскости отложим угол, равный данному углу C, с вершиной в точке C.
4. Лучи, являющиеся сторонами построенных углов, пересекутся в некоторой точке B.

Полученный треугольник ABC и будет искомым.

Анализ:

Сумма двух острых углов всегда меньше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, условие существования треугольника $\angle A + \angle C < 180^\circ$ всегда выполняется. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, обязательно пересекутся. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), все треугольники, построенные по этим данным, будут равны между собой. Это означает, что треугольник определяется этими элементами единственным образом.

Ответ: По этим данным можно построить только один треугольник. Треугольник определяется этими элементами единственным образом.

2)

В данном случае нам даны сторона b, острый угол A и тупой угол C.

Построение выполняется аналогично первому случаю.

Анализ:

Здесь необходимо проверить условие существования треугольника: $\angle A + \angle C < 180^\circ$. Поскольку угол C — тупой ($> 90^\circ$), эта сумма может быть как меньше, так и больше или равна 180 градусам.

• Если $\angle A + \angle C < 180^\circ$, то лучи, построенные из точек A и C, пересекутся в одной точке B. По второму признаку равенства треугольников такой треугольник будет единственным.
• Если $\angle A + \angle C \ge 180^\circ$, то лучи, построенные из точек A и C, не пересекутся в нужной полуплоскости (они будут параллельны или расходящимися). В этом случае построить треугольник невозможно.

Таким образом, возможность построения и единственность треугольника зависят от выполнения условия $\angle A + \angle C < 180^\circ$.

Ответ: Если сумма данных углов A и C меньше 180°, то можно построить один-единственный треугольник. Если их сумма равна или больше 180°, то построить треугольник нельзя. В случае, если построение возможно, треугольник определяется данными элементами единственным образом.

Условие 2010-2022.

381 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $C$. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным? Определяется ли треугольник этими элементами единственным образом?

1) 2)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).