Номер 382, страница 90, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 382, страница 90.

Условие 2023.

382 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$. Является ли решение однозначным?

1) $a$

$b$

$A$

2) $a$

$b$

$A$

Решение 2 (2023).

Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $a$, $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести произвольный луч и обозначить его начало как точку $A$.
2. От этого луча отложить угол, равный данному углу $A$. Пусть второй луч этого угла будет $l$.
3. На луче $l$ отложить отрезок $AC$, равный по длине данному отрезку $b$.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине данного отрезка $a$.
5. Точки пересечения этой окружности с первым построенным лучом (не $l$) будут являться возможными положениями вершины $B$.

Однозначность решения зависит от количества точек пересечения окружности и луча. Проанализируем два случая, представленные на изображении.

1)

В этом случае длина стороны $a$ меньше длины стороны $b$ ($a < b$), а угол $A$ — острый. При выполнении описанного выше построения, окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$ может пересечь луч, на котором лежит сторона $AB$, в двух различных точках ($B_1$ и $B_2$). Это произойдет, если длина стороны $a$ будет больше, чем высота треугольника $h$, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$ ($h = b \cdot \sin A$). Таким образом, при условии $b \cdot \sin A < a < b$, можно построить два разных треугольника: $\Delta AB_1C$ и $\Delta AB_2C$. Оба треугольника будут удовлетворять заданным условиям. Следовательно, в данном случае решение не является однозначным.

Ответ: Нет, в данном случае решение не является однозначным. Если $b \cdot \sin A < a < b$, то существует два различных треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

2)

В этом случае длина стороны $a$ больше длины стороны $b$ ($a > b$), а угол $A$ — острый. Выполним то же самое построение. Окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$ пересечет прямую, содержащую искомую сторону $AB$, в двух токах. Однако, поскольку $a > b$, только одна из этих точек пересечения будет лежать на луче, выходящем из точки $A$. Вторая точка пересечения окажется на продолжении этого луча за вершиной $A$, и треугольник, построенный с этой вершиной, не будет иметь заданный угол $A$. Таким образом, существует только одно возможное решение.

Ответ: Да, в данном случае решение является однозначным. Можно построить только один такой треугольник.

Условие 2010-2022.

382 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$. Является ли решение однозначным?

1) $a$

$b$

$A$

2) $a$

$b$

$A$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).