Номер 380, страница 90, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 380, страница 90.

Условие 2023.

380 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и прилежащему к ней углу $A$. Является ли решение однозначным? Всегда ли оно возможно? Какие виды треугольников могут получиться?

1) $b$

$A$

2) $b$

$A$

Решение 2 (2023).

В задаче даны два элемента треугольника: сторона $b$ (подразумевается сторона $AC$) и прилежащий к ней угол $A$. Для однозначного построения треугольника необходимо знать три элемента (например, две стороны и угол между ними, или сторону и два прилежащих к ней угла).

Построение будет выглядеть так:

1. Строим луч с началом в точке $A$.
2. От этого луча откладываем заданный угол $A$, получая второй луч.
3. На первом луче от точки $A$ откладываем отрезок $AC$, равный по длине стороне $b$.
4. Третья вершина $B$ должна лежать на втором луче.

Так как положение точки $B$ на втором луче не определено, задача имеет бесконечно много решений. Теперь проанализируем каждый случай, представленный на рисунке.

1)

В этом случае задан острый угол $A$ ($0° < A < 90°$).

Является ли решение однозначным?
Нет, решение не является однозначным. Как было показано выше, мы можем выбрать любую точку $B$ (отличную от $A$) на втором луче, исходящем из вершины $A$. Каждое такое положение точки $B$ будет определять новый треугольник $ABC$. Таким образом, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию.

Всегда ли оно возможно?
Да, построение возможно всегда, при условии, что длина стороны $b$ больше нуля ($b > 0$), а угол $A$ является допустимым для треугольника, то есть $0° < A < 180°$. В данном случае угол $A$ острый, поэтому условие выполняется.

Какие виды треугольников могут получиться?
Поскольку угол $A$ острый, вид треугольника будет зависеть от углов $B$ и $C$. Их сумма равна $B + C = 180° - A$.

• Можно получить прямоугольный треугольник. Для этого нужно, чтобы либо $\angle B = 90°$, либо $\angle C = 90°$. Оба варианта возможны при определенном выборе положения точки $B$.
• Можно получить тупоугольный треугольник. Например, если выбрать точку $B$ очень далеко от точки $A$ на луче, то угол $C$ будет очень маленьким, а угол $B$ будет стремиться к $180° - A$. Так как $A$ — острый, то $180° - A$ — тупой. Следовательно, можно получить треугольник с тупым углом $B$.
• Можно получить остроугольный треугольник. Это возможно, если выбрать точку $B$ так, чтобы все три угла ($A, B, C$) были острыми.

Таким образом, если заданный угол $A$ острый, можно построить треугольник любого вида.

Ответ: Решение не является однозначным. Оно возможно всегда, если $b > 0$ и $0° < A < 180°$. Могут получиться остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники.

2)

В этом случае задан тупой угол $A$ ($90° < A < 180°$).

Является ли решение однозначным?
Нет, решение не является однозначным по той же причине, что и в первом случае. Положение точки $B$ на луче не зафиксировано, что порождает бесконечное множество возможных треугольников.

Всегда ли оно возможно?
Да, построение возможно всегда при тех же условиях: длина стороны $b > 0$ и угол $A$ находится в пределах от $0°$ до $180°$. В данном случае угол $A$ тупой, поэтому условие выполняется.

Какие виды треугольников могут получиться?
Поскольку в треугольнике может быть только один тупой угол, а нам уже дан тупой угол $A$, то два других угла, $B$ и $C$, обязательно должны быть острыми. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, значит $B + C = 180° - A$. Так как $A > 90°$, то $B + C < 90°$, из чего следует, что и $\angle B < 90°$, и $\angle C < 90°$.
Таким образом, любой построенный треугольник будет тупоугольным.

Ответ: Решение не является однозначным. Оно возможно всегда, если $b > 0$ и $0° < A < 180°$. Могут получиться только тупоугольные треугольники.

Условие 2010-2022.

380 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и прилежащему к ней углу $A$. Является ли решение однозначным? Всегда ли оно возможно? Какие виды треугольников могут получиться?

1) $b$

$A$

2) $b$

$A$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).