Номер 377, страница 89, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 377, страница 89.

Условие 2023.

377. По описанию построения фигур, данному в тексте учебника, построй:

а) отрезок, равный данному (задача 1);

б) треугольник, равный данному (задача 2);

в) угол, равный данному (задача 3);

г) биссектрису данного угла (задача 4);

д) середину данного отрезка (задача 5);

е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6).

Решение 2 (2023).

а) отрезок, равный данному (задача 1)

Пусть дан отрезок $AB$. Необходимо построить отрезок $CD$, равный отрезку $AB$, с помощью циркуля и линейки.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $C$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $AB$. Для этого установим иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$.
3. Не изменяя раствора циркуля, установим его иглу в точку $C$ и проведем дугу, которая пересечет построенный луч.
4. Обозначим точку пересечения дуги и луча буквой $D$.
5. Отрезок $CD$ является искомым. По построению, его длина равна радиусу проведенной дуги, который мы установили равным длине отрезка $AB$. Таким образом, $CD = AB$.

Ответ: Построен отрезок $CD$, равный данному отрезку $AB$.

б) треугольник, равный данному (задача 2)

Пусть дан треугольник $ABC$. Необходимо построить треугольник $A_1B_1C_1$, равный треугольнику $ABC$. Построение выполняется по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A_1$.
2. На этом луче отложим отрезок $A_1B_1$, равный стороне $AB$ данного треугольника (используя алгоритм из пункта а).
3. Проведем дугу с центром в точке $A_1$ и радиусом, равным длине стороны $AC$.
4. Проведем дугу с центром в точке $B_1$ и радиусом, равным длине стороны $BC$.
5. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C_1$.
6. Соединим точку $C_1$ с точками $A_1$ и $B_1$ отрезками.
7. Треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым, так как $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle ABC$ по трем сторонам ($A_1B_1 = AB$, $A_1C_1 = AC$, $B_1C_1 = BC$ по построению).

Ответ: Построен треугольник $A_1B_1C_1$, равный данному треугольнику $ABC$.

в) угол, равный данному (задача 3)

Пусть дан угол $\angle AOB$. Необходимо отложить от заданного луча $O_1M$ угол, равный данному.

1. С центром в вершине $O$ данного угла проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет стороны угла в точках $A$ и $B$.
2. С центром в начале луча, точке $O_1$, проведем дугу того же радиуса $r$. Она пересечет луч $O_1M$ в точке $A_1$.
3. Измерим циркулем расстояние между точками $A$ и $B$ (длину хорды $AB$).
4. Проведем дугу с центром в точке $A_1$ и радиусом, равным расстоянию $AB$. Эта дуга пересечет дугу, построенную в шаге 2, в точке $B_1$.
5. Проведем луч $O_1B_1$.
6. Угол $\angle A_1O_1B_1$ является искомым. Равенство углов $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ следует из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle A_1O_1B_1$ по трем сторонам.

Ответ: Построен угол $\angle A_1O_1B_1$, равный данному углу $\angle AOB$.

г) биссектрису данного угла (задача 4)

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Необходимо построить его биссектрису.

1. С центром в вершине угла $O$ проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния $AB$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $M$.
3. Проведем луч из вершины $O$ через точку $M$.
4. Луч $OM$ является биссектрисой данного угла. Это следует из равенства треугольников $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ по трем сторонам ($OA = OB$, $AM = BM$, $OM$ — общая). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle AOM = \angle BOM$.

Ответ: Построен луч $OM$ — биссектриса данного угла.

д) середину данного отрезка (задача 5)

Пусть дан отрезок $AB$. Необходимо найти его середину. Задача сводится к построению серединного перпендикуляра.

1. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
2. Из точки $B$ проведем дугу окружности тем же радиусом $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках, назовем их $P$ и $Q$.
3. С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $Q$.
4. Точка пересечения прямой $PQ$ и отрезка $AB$ является его серединой. Обозначим ее $M$. По построению, $AM = MB$.

Ответ: Построена точка $M$ — середина отрезка $AB$.

е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6)

Необходимо построить прямую, перпендикулярную данной прямой $a$ и проходящую через данную точку $P$.

Случай 1: Точка $P$ лежит на прямой $a$.

1. Установим иглу циркуля в точку $P$ и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса, большего, чем $AP$, так, чтобы они пересеклись в точках $C$ и $D$.
3. Проведем прямую через точки $C$ и $D$. Эта прямая $CD$ пройдет через точку $P$ и будет перпендикулярна прямой $a$.

Случай 2: Точка $P$ не лежит на прямой $a$.

1. Установим иглу циркуля в точку $P$ и проведем дугу, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$. (Радиус дуги должен быть больше расстояния от точки $P$ до прямой).
2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (можно того же, что и в шаге 1) с другой стороны от прямой $a$. Обозначим точку их пересечения $Q$.
3. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$.
4. Прямая $PQ$ является искомой, так как все точки, равноудаленные от концов отрезка ($A$ и $B$), лежат на его серединном перпендикуляре. Точки $P$ и $Q$ по построению равноудалены от $A$ и $B$, следовательно, прямая $PQ$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а значит $PQ \perp AB$, то есть $PQ \perp a$.

Ответ: Построена прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой.

Условие 2010-2022.

К 377 По описанию построения фигур, данному в тексте учебника, построй:

а) отрезок, равный данному (задача 1);

б) треугольник, равный данному (задача 2);

в) угол, равный данному (задача 3);

г) биссектрису данного угла (задача 4);

д) середину данного отрезка (задача 5);

е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6).

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).