Номер 370, страница 84, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 370, страница 84.

Условие 2023.

370 Переведи с математического языка на русский определение касательной к окружности:

Рис. 29

Прямая $a$ – касательная к окружности $(O; r)$ в точке $A$ def $\Leftrightarrow$ $a \cap (O; r) = \{A\}$.

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности? А из точки, лежащей на окружности? Сделай рисунки и сформулируй гипотезу. Можем ли мы считать её верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

Решение 2 (2023).

Перевод определения с математического языка на русский:

Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью ровно одну общую точку. Эта общая точка называется точкой касания.

Математическая запись $a \cap (O; r) = \{A\}$ означает, что пересечение (символ $\cap$) прямой $a$ и окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$ (обозначение $(O; r)$) является множеством, состоящим из одного элемента — точки $A$.

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности?

Из точки, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к этой окружности.

Построение и объяснение:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $P$, лежащая вне окружности. Соединим точки $O$ и $P$ отрезком. Построим окружность, для которой отрезок $OP$ является диаметром. Эта новая окружность пересечет исходную в двух точках, назовем их $T_1$ и $T_2$. Прямые $PT_1$ и $PT_2$ будут касательными к исходной окружности. Это следует из того, что углы $\angle OT_1P$ и $\angle OT_2P$ являются вписанными в новую окружность и опираются на ее диаметр $OP$, а значит, они прямые (равны $90^\circ$). А так как радиусы $OT_1$ и $OT_2$ перпендикулярны прямым $PT_1$ и $PT_2$ в точках, лежащих на окружности, то эти прямые по определению являются касательными.

Ответ: две касательные.

А из точки, лежащей на окружности?

Из точки, лежащей на окружности, можно провести только одну касательную к этой окружности.

Построение и объяснение:

Пусть точка $A$ лежит на окружности с центром в точке $O$. Проведем радиус $OA$. Через точку $A$ можно провести единственную прямую, перпендикулярную радиусу $OA$. Эта прямая и будет касательной к окружности в точке $A$. Любая другая прямая, проходящая через точку $A$, не будет перпендикулярна радиусу и будет пересекать окружность в еще одной точке, то есть будет являться секущей.

Ответ: одну касательную.

Сделай рисунки и сформулируй гипотезу.

Описание рисунков:

1. Точка вне окружности: Нарисована окружность с центром $O$. Вне ее отмечена точка $P$. Из точки $P$ к окружности проведены два отрезка, которые касаются окружности в точках $T_1$ и $T_2$. Также проведены радиусы $OT_1$ и $OT_2$, которые перпендикулярны соответствующим касательным.
2. Точка на окружности: Нарисована окружность с центром $O$. На ней отмечена точка $A$. Через точку $A$ проведена прямая, касающаяся окружности. Также проведен радиус $OA$, который перпендикулярен этой прямой в точке $A$.

Гипотеза:

Количество касательных, которые можно провести к окружности из некоторой точки, зависит от расположения этой точки относительно окружности:

• Если точка лежит вне окружности, из нее можно провести две касательные.
• Если точка лежит на окружности, из нее можно провести одну касательную.
• (Дополнительно) Если точка лежит внутри окружности, из нее нельзя провести ни одной касательной.

Ответ: Гипотеза сформулирована выше.

Можем ли мы считать её верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

Нет, не можем. Построения и измерения, выполненные на одном или нескольких конкретных примерах, лишь помогают выдвинуть гипотезу. Они демонстрируют, что утверждение выполняется для данных частных случаев, но не доказывают его истинность для всех без исключения окружностей и точек. Математическое утверждение считается верным (становится теоремой) только после того, как будет представлено строгое логическое доказательство, которое справедливо для любой окружности и любой точки, а не только для тех, что изображены на чертеже.

Ответ: Нет, так как построения и измерения являются иллюстрацией для частных случаев и не могут служить универсальным доказательством в геометрии.

Условие 2010-2022.

370 Переведи с математического языка на русский определение касательной к окружности:

Рис. 29

Прямая $a$ – касательная к окружности $(O; r)$ в точке $A \overset{def}{\longleftrightarrow} a \cap (O; r) = \{A\}.$

Сколько касательных к окружности можно провести из точки, лежащей вне окружности? А из точки, лежащей на окружности? Сделай рисунки и сформулируй гипотезу. Можем ли мы считать ее верной для всех окружностей на основании выполненных построений и измерений?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).