Номер 364, страница 82, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 364, страница 82.

Условие 2023.

364 Прочитай высказывания и проиллюстрируй их с помощью диаграмм Эйлера–Венна. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

1) $A \subset B \text{ и } B \subset C \implies A \subset C$;

2) $A \subset C \text{ и } B \subset C \implies A \subset B$;

3) $x \in A \text{ и } A \subset B \implies x \in B$;

4) $x \in B \text{ и } A \subset B \implies x \in A$.

Решение 2 (2023).

1) $A \subset B$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset C$

Это высказывание истинно. Оно выражает свойство транзитивности для отношения включения множеств. Если каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$ (что означает $A \subset B$), и каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $C$ (что означает $B \subset C$), то из этого логически следует, что каждый элемент множества $A$ является элементом множества $C$ (то есть $A \subset C$).

Иллюстрация с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Как видно из диаграммы, если область $A$ полностью находится внутри области $B$, а область $B$ полностью находится внутри области $C$, то область $A$ также полностью находится внутри области $C$.

Ответ: Высказывание истинно.

2) $A \subset C$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset B$

Это высказывание ложно. То, что два множества являются подмножествами третьего, не означает, что одно из них обязано быть подмножеством другого. Они могут быть непересекающимися, пересекающимися или даже совпадать, но следствие $A \subset B$ не является обязательным.

Иллюстрация (контрпример) с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме показана ситуация, где $A \subset C$ и $B \subset C$, но при этом $A$ не является подмножеством $B$ (и $B$ не является подмножеством $A$).

Построение отрицания и обоснование его истинности:
Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является конъюнкция $P \land \neg Q$. В данном случае отрицание звучит так: "Существуют такие множества $A, B, C$, что ($A \subset C$ и $B \subset C$), и при этом $A \not\subset B$".

Это отрицание истинно. Для его обоснования достаточно привести контрпример. Пусть универсальное множество $C = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, множество $A = \{1, 2\}$ и множество $B = \{3, 4\}$. Тогда условия $A \subset C$ (т.к. $\{1, 2\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$) и $B \subset C$ (т.к. $\{3, 4\} \subset \{1, 2, 3, 4, 5\}$) выполнены. Однако, $A \not\subset B$, так как элемент $1 \in A$, но $1 \notin B$. Поскольку мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существуют множества $A, B, C$ такие, что $(A \subset C) \land (B \subset C) \land (A \not\subset B)$", и это отрицание истинно.

3) $x \in A$ и $A \subset B \Rightarrow x \in B$

Это высказывание истинно. Оно следует непосредственно из определения подмножества. Запись $A \subset B$ означает, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$. Поэтому, если элемент $x$ принадлежит $A$, он по определению должен принадлежать и $B$.

Иллюстрация с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

Диаграмма показывает, что если точка $x$ находится в области $A$, а область $A$ полностью находится в области $B$, то точка $x$ автоматически оказывается и в области $B$.

Ответ: Высказывание истинно.

4) $x \in B$ и $A \subset B \Rightarrow x \in A$

Это высказывание ложно. Если $A$ является подмножеством $B$, это означает, что все элементы $A$ есть в $B$, но не обязательно, что все элементы $B$ есть в $A$ (это было бы верно только в случае $A=B$). В общем случае в множестве $B$ могут существовать элементы, которые не принадлежат $A$.

Иллюстрация (контрпример) с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

На диаграмме показана ситуация, где $A \subset B$ и $x \in B$, но при этом $x$ находится вне области $A$, то есть $x \notin A$.

Построение отрицания и обоснование его истинности:
Отрицанием импликации $P \Rightarrow Q$ является $P \land \neg Q$. В данном случае отрицание звучит так: "Существуют такие множества $A, B$ и элемент $x$, что ($x \in B$ и $A \subset B$), и при этом $x \notin A$".

Это отрицание истинно. Для обоснования приведем контрпример. Пусть $B = \{1, 2, 3\}$, $A = \{1, 2\}$ и $x = 3$. Тогда условия $A \subset B$ и $x \in B$ (поскольку $3 \in \{1, 2, 3\}$) выполнены. Однако, $x \notin A$, так как $3 \notin \{1, 2\}$. Поскольку мы нашли контрпример, исходное высказывание ложно.

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание: "Существуют множество $A$, множество $B$ и элемент $x$ такие, что $(x \in B) \land (A \subset B) \land (x \notin A)$", и это отрицание истинно.

Условие 2010-2022.

364 Прочитай высказывания и проиллюстрируй их с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Найди ложные высказывания, построй отрицания и обоснуй их истинность.

1) $A \subset B$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset C$;

2) $A \subset C$ и $B \subset C \Rightarrow A \subset B$;

3) $x \in A$ и $A \subset B \Rightarrow x \in B$;

4) $x \in B$ и $A \subset B \Rightarrow x \in A$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).