Номер 360, страница 82, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 360, страница 82.

Условие 2023.

360 Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью одну общую точку. Начерти прямую, касательную к окружности, и проведи радиус в точку касания. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли распространить её на секущие к окружности? Почему?

Решение 2 (2023).

Чтобы ответить на поставленные вопросы, сначала выполним построение, описанное в задаче.
1. Начертим окружность с центром в точке $O$.
2. Выберем на окружности произвольную точку $A$.
3. Проведем через точку $A$ прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Эта прямая является касательной к окружности.
4. Соединим центр окружности $O$ с точкой касания $A$. Отрезок $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Визуально можно заметить, что угол между радиусом $OA$ и касательной прямой в точке $A$ является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

На основе этого наблюдения можно сформулировать следующую гипотезу:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Ответ: Я замечаю, что радиус, проведенный в точку касания, и касательная образуют прямой угол. Гипотеза: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Можно ли распространить её на секущие к окружности? Почему?

Нет, эту гипотезу нельзя распространить на секущие к окружности. Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.

Приведем объяснение.
Пусть прямая $b$ пересекает окружность с центром в точке $O$ в двух точках — $B$ и $C$. Проведем радиусы $OB$ и $OC$ к этим точкам пересечения.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Стороны $OB$ и $OC$ равны, так как являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$). Это означает, что треугольник $\triangle OBC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB$. Эти углы и есть углы между секущей и радиусами, проведенными в точки пересечения.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Если бы углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ были прямыми (по $90^\circ$ каждый), то их сумма составила бы $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. В этом случае на третий угол, $\angle BOC$, пришлось бы $0^\circ$, что невозможно, так как точки $B$ и $C$ — разные. Следовательно, углы между секущей и радиусами, проведенными в точки пересечения, не могут быть прямыми.

Ответ: Нет, нельзя. Потому что секущая пересекает окружность в двух точках, и радиусы, проведенные в эти точки, образуют с секущей острые углы, а не прямые.

Условие 2010-2022.

360 Прямая называется касательной к окружности, если она имеет с этой окружностью одну общую точку. Начерти прямую, касательную к окружности, и проведи радиус в точку касания. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу. Можно ли распространить ее на секущие к окружности? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).