Номер 369, страница 84, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 2. Классификация геометрических фигур - номер 369, страница 84.

Условие 2023.

369 1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются:

а) остроугольными

б) прямоугольными

в) тупоугольными

г) равнобедренными.

370 Переведи с математического языка на русский

Решение 2 (2023).

1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

Всего дано 6 точек: A, B, C, D, K, M. Треугольник образуется выбором трех точек, не лежащих на одной прямой. Общее число способов выбрать 3 точки из 6 равно числу сочетаний $C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

Необходимо исключить тройки точек, которые лежат на одной прямой (коллинеарные точки), так как они не могут быть вершинами треугольника. На рисунке видно две такие тройки:

1. Точки D, K, M лежат на одной горизонтальной прямой.
2. Точки A, C, K лежат на одной вертикальной прямой.

Таким образом, из 20 возможных комбинаций нужно вычесть эти 2. Итоговое количество треугольников: $20 - 2 = 18$.

Список всех возможных треугольников:

ABC, ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, ADK, ADM, AKM, BCD, BCK, BCM, BDK, BDM, BKM, CDK, CDM, CKM.

Ответ: ABC, ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, ADK, ADM, AKM, BCD, BCK, BCM, BDK, BDM, BKM, CDK, CDM, CKM.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются: а) остроугольными; б) прямоугольными; в) тупоугольными; г) равнобедренными.

Для классификации треугольников введем систему координат. Пусть точка D будет началом координат D(0, 0), а длина стороны клетки сетки будет равна 1. Тогда координаты остальных точек:

A(1, 4), B(0, 2), C(1, 2), K(1, 0), M(2, 0).

Для каждого треугольника вычислим квадраты длин его сторон по формуле $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$. Затем, используя теорему, обратную теореме Пифагора, определим вид треугольника: если $a^2+b^2=c^2$ — прямоугольный, если $a^2+b^2>c^2$ — остроугольный, если $a^2+b^2<c^2$ — тупоугольный (где $c$ — наибольшая сторона). Равенство длин двух сторон означает, что треугольник равнобедренный.

а) остроугольные:

Треугольники, у которых все углы острые (меньше 90°).

ADM, CDM

Ответ: ADM, CDM.

б) прямоугольные:

Треугольники, у которых один из углов прямой (равен 90°).

ABC, ADK, AKM, BCD, BCK, BDK, BDM, CDK, CKM

Ответ: ABC, ADK, AKM, BCD, BCK, BDK, BDM, CDK, CKM.

в) тупоугольные:

Треугольники, у которых один из углов тупой (больше 90°).

ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, BCM, BKM

Ответ: ABD, ABK, ABM, ACD, ACM, BCM, BKM.

г) равнобедренные:

Треугольники, у которых две стороны имеют одинаковую длину. Они могут одновременно относиться и к одной из предыдущих категорий.

ABK (тупоугольный), ADM (остроугольный), BDM (прямоугольный), CDM (остроугольный).

Ответ: ABK, ADM, BDM, CDM.

Условие 2010-2022.

D 369

1) На бумаге в клетку отмечены шесть точек (рис. 29). Выпиши все треугольники, вершины которых могут быть в этих точках.

2) Подчеркни разными цветами треугольники, которые являются:

а) остроугольными;

б) прямоугольными;

в) тупоугольными;

г) равнобедренными.

370 Переведи с математического языка на русский

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).