Страница 89, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

376 1) Сколько процентов от числа $a$ составляют: $0,04a$; $0,2a$; $0,56a$; $1,8a$; $2,5a$; $3a$? На сколько процентов они, соответственно, меньше или больше, чем $a$?

2) Сколько процентов от $2b$ составляют: $0,04b$; $0,2b$; $0,56b$; $1,8b$; $2,5b$; $3b$? На сколько процентов они меньше или больше, чем $2b$?

376 1) Сколько процентов от числа $a$ составляют: $0.04a$; $0.2a$; $0.56a$; $1.8a$; $2.5a$; $3a$? На сколько процентов они, соответственно, меньше или больше, чем $a$?

2) Сколько процентов от $2b$ составляют: $0.04b$; $0.2b$; $0.56b$; $1.8b$; $2.5b$; $3b$? На сколько процентов они меньше или больше, чем $2b$?

377 Как изменилась величина, если она:

а) сначала увеличилась на 20 %, а потом увеличилась на 25 %;

б) сначала увеличилась на 20 %, а потом уменьшилась на 25 %;

в) сначала уменьшилась на 20 %, а потом уменьшилась на 25 %;

г) сначала уменьшилась на 20 %, а потом увеличилась на 25 %?

Для решения задачи примем начальную величину за $x$. Каждое процентное изменение можно представить в виде умножения на коэффициент.

а) сначала увеличилась на 20 %, а потом увеличилась на 25 %;

1. Увеличение на 20% соответствует умножению на коэффициент $(1 + \frac{20}{100}) = 1.2$.
После первого увеличения величина станет: $x \cdot 1.2$.

2. Увеличение на 25% соответствует умножению на коэффициент $(1 + \frac{25}{100}) = 1.25$.
Новая величина увеличивается на 25%: $(x \cdot 1.2) \cdot 1.25$.

3. Вычислим итоговый коэффициент: $1.2 \cdot 1.25 = 1.5$.
Итоговая величина равна $x \cdot 1.5$, что составляет 150% от начальной.

4. Общее изменение: $150\% - 100\% = 50\%$.

Ответ: величина увеличилась на 50%.

б) сначала увеличилась на 20 %, а потом уменьшилась на 25 %;

1. Увеличение на 20% соответствует умножению на коэффициент $1.2$.
После первого изменения величина станет: $x \cdot 1.2$.

2. Уменьшение на 25% соответствует умножению на коэффициент $(1 - \frac{25}{100}) = 0.75$.
Новая величина уменьшается на 25%: $(x \cdot 1.2) \cdot 0.75$.

3. Вычислим итоговый коэффициент: $1.2 \cdot 0.75 = 0.9$.
Итоговая величина равна $x \cdot 0.9$, что составляет 90% от начальной.

4. Общее изменение: $100\% - 90\% = 10\%$.

Ответ: величина уменьшилась на 10%.

в) сначала уменьшилась на 20 %, а потом уменьшилась на 25 %;

1. Уменьшение на 20% соответствует умножению на коэффициент $(1 - \frac{20}{100}) = 0.8$.
После первого уменьшения величина станет: $x \cdot 0.8$.

2. Уменьшение на 25% соответствует умножению на коэффициент $(1 - \frac{25}{100}) = 0.75$.
Новая величина уменьшается на 25%: $(x \cdot 0.8) \cdot 0.75$.

3. Вычислим итоговый коэффициент: $0.8 \cdot 0.75 = 0.6$.
Итоговая величина равна $x \cdot 0.6$, что составляет 60% от начальной.

4. Общее изменение: $100\% - 60\% = 40\%$.

Ответ: величина уменьшилась на 40%.

г) сначала уменьшилась на 20 %, а потом увеличилась на 25 % ?

1. Уменьшение на 20% соответствует умножению на коэффициент $(1 - \frac{20}{100}) = 0.8$.
После первого изменения величина станет: $x \cdot 0.8$.

2. Увеличение на 25% соответствует умножению на коэффициент $(1 + \frac{25}{100}) = 1.25$.
Новая величина увеличивается на 25%: $(x \cdot 0.8) \cdot 1.25$.

3. Вычислим итоговый коэффициент: $0.8 \cdot 1.25 = 1$.
Итоговая величина равна $x \cdot 1 = x$, что составляет 100% от начальной.

4. Общее изменение: $100\% - 100\% = 0\%$.

Ответ: величина не изменилась.

377. Как изменилась величина, если она:

а) сначала увеличилась на $20\%$, а потом увеличилась на $25\%$;

б) сначала увеличилась на $20\%$, а потом уменьшилась на $25\%$;

в) сначала уменьшилась на $20\%$, а потом уменьшилась на $25\%$;

г) сначала уменьшилась на $20\%$, а потом увеличилась на $25\%$?

378 1) В двух магазинах были одинаковые цены. В одном магазине их сначала понизили на 15 %, а потом повысили на 10 %, а в другом — сначала повысили на 10 %, а потом понизили на 15 %.

$(1 - 0.15)(1 + 0.10)$

$(1 + 0.10)(1 - 0.15)$

Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными? В каком из них выгоднее купить одинаковый товар?

2) В двух магазинах цены были одинаковые. В одном магазине их сначала понизили на 40 %, а потом повысили на 40 %, а в другом — сначала повысили на 50 %, но зато потом понизили на 50 %.

$(1 - 0.40)(1 + 0.40)$

$(1 + 0.50)(1 - 0.50)$

Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными?

1) Пусть первоначальная цена товара в обоих магазинах была $x$.

Рассмотрим первый магазин. Сначала цену понизили на 15%. Новая цена составила $100\% - 15\% = 85\%$ от первоначальной, то есть:
$x \cdot (1 - 0.15) = 0.85x$

Затем новую цену повысили на 10%. Итоговая цена стала $100\% + 10\% = 110\%$ от цены после понижения:
$0.85x \cdot (1 + 0.10) = 0.85x \cdot 1.1 = 0.935x$

Теперь рассмотрим второй магазин. Сначала цену повысили на 10%. Новая цена составила $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной, то есть:
$x \cdot (1 + 0.10) = 1.1x$

Затем новую цену понизили на 15%. Итоговая цена стала $100\% - 15\% = 85\%$ от цены после повышения:
$1.1x \cdot (1 - 0.15) = 1.1x \cdot 0.85 = 0.935x$

В обоих магазинах итоговая цена составила $0.935x$, что равно $93.5\%$ от первоначальной цены. Это означает, что в обоих магазинах цена понизилась на $100\% - 93.5\% = 6.5\%$.

Поскольку конечные цены в обоих магазинах одинаковы, то нет разницы, в каком из них выгоднее покупать товар.

Ответ: Цены в обоих магазинах понизились на 6.5% по сравнению с первоначальными. Купить товар выгоднее в любом из магазинов, так как цена стала одинаковой.

2) Пусть первоначальная цена товара в обоих магазинах была $y$.

В первом магазине цену сначала понизили на 40%, а потом повысили на 40%. Итоговая цена составила:
$y \cdot (1 - 0.40) \cdot (1 + 0.40) = y \cdot 0.6 \cdot 1.4 = 0.84y$

Итоговая цена в первом магазине составила $84\%$ от первоначальной, то есть цена понизилась на $100\% - 84\% = 16\%$.

Во втором магазине цену сначала повысили на 50%, а потом понизили на 50%. Итоговая цена составила:
$y \cdot (1 + 0.50) \cdot (1 - 0.50) = y \cdot 1.5 \cdot 0.5 = 0.75y$

Итоговая цена во втором магазине составила $75\%$ от первоначальной, то есть цена понизилась на $100\% - 75\% = 25\%$.

Ответ: В первом магазине цена понизилась на 16%, а во втором — на 25%.

378 1) В двух магазинах были одинаковые цены. В одном магазине их сначала понизили на 15%, а потом повысили на 10%, а в другом — сначала повысили на 10%, а потом понизили на 15%. Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными? В каком из них выгоднее купить одинаковый товар?

2) В двух магазинах цены были одинаковые. В одном магазине их сначала понизили на 40%, а потом повысили на 40%, а в другом — сначала повысили на 50%, но зато потом понизили на 50%. Как изменились цены в этих магазинах по сравнению с первоначальными?

379 В магазинах А и В цены в январе были одинаковые. Изменение цен в течение следующих четырёх месяцев показано в таблице.

Как изменились цены в этих магазинах в мае по сравнению с январём? В каком из них цены стали ниже и на сколько процентов? В каком выше и на сколько процентов?

Для решения задачи примем первоначальную цену в январе в обоих магазинах за $P$. Далее последовательно рассчитаем изменение цены для каждого магазина.

Магазин А

Проследим изменение цены месяц за месяцем:

• Февраль: увеличение на 50%. Цена стала $P \cdot (1 + \frac{50}{100}) = 1.5P$.
• Март: уменьшение на 10%. Цена стала $(1.5P) \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 1.5P \cdot 0.9 = 1.35P$.
• Апрель: увеличение в 2 раза. Цена стала $(1.35P) \cdot 2 = 2.7P$.
• Май: уменьшение в 3 раза. Итоговая цена в мае стала $(2.7P) / 3 = 0.9P$.

Таким образом, итоговая цена в магазине А ($P_A$) составила $0.9$ от первоначальной цены $P$. Это означает, что цена уменьшилась на $(1 - 0.9) \cdot 100\% = 10\%$.

Магазин B

Проследим изменение цены месяц за месяцем:

• Февраль: уменьшение в 2 раза. Цена стала $P / 2 = 0.5P$.
• Март: увеличение в 1,5 раза. Цена стала $(0.5P) \cdot 1.5 = 0.75P$.
• Апрель: увеличение на 100%. Это эквивалентно увеличению в 2 раза. Цена стала $(0.75P) \cdot (1 + \frac{100}{100}) = 0.75P \cdot 2 = 1.5P$.
• Май: уменьшение на 20%. Итоговая цена в мае стала $(1.5P) \cdot (1 - \frac{20}{100}) = 1.5P \cdot 0.8 = 1.2P$.

Таким образом, итоговая цена в магазине B ($P_B$) составила $1.2$ от первоначальной цены $P$. Это означает, что цена увеличилась на $(1.2 - 1) \cdot 100\% = 20\%$.

Теперь ответим на вопросы задачи, сравнивая итоговые цены $P_A = 0.9P$ и $P_B = 1.2P$.

Как изменились цены в этих магазинах в мае по сравнению с январём?

В магазине А цена уменьшилась на 10%. В магазине B цена увеличилась на 20%.

Ответ: В магазине А цена уменьшилась на 10%, а в магазине B увеличилась на 20% по сравнению с январем.

В каком из них цены стали ниже и на сколько процентов?

Сравнивая итоговые цены $0.9P$ и $1.2P$, видим, что цена стала ниже в магазине А. Чтобы найти, на сколько процентов цена в магазине А ниже, чем в магазине B, примем цену магазина B за 100%.

$\frac{P_B - P_A}{P_B} \cdot 100\% = \frac{1.2P - 0.9P}{1.2P} \cdot 100\% = \frac{0.3P}{1.2P} \cdot 100\% = 0.25 \cdot 100\% = 25\%$

Ответ: Цены стали ниже в магазине А. Цена в магазине А на 25% ниже, чем в магазине B.

В каком выше и на сколько процентов?

Цена стала выше в магазине B. Чтобы найти, на сколько процентов цена в магазине B выше, чем в магазине А, примем цену магазина А за 100%.

$\frac{P_B - P_A}{P_A} \cdot 100\% = \frac{1.2P - 0.9P}{0.9P} \cdot 100\% = \frac{0.3P}{0.9P} \cdot 100\% = \frac{1}{3} \cdot 100\% = 33 \frac{1}{3}\%$

Ответ: Цены стали выше в магазине B. Цена в магазине B на $33 \frac{1}{3}\%$ выше, чем в магазине А.

379 В магазинах А и В цены в январе были одинаковые. Изменение цен в течение следующих четырех месяцев показано в таблице:

Как изменились цены в этих магазинах в мае по сравнению с январем? В каком из них цены стали ниже и на сколько процентов? В каком выше и на сколько процентов?

380 1) Длину прямоугольника увеличили на $20 \%$, а ширину – на $25 \%$. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

2) Длину прямоугольника увеличили на $60 \%$, а ширину уменьшили на $60 \%$. Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

3) Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на $20 \%$, а ширину уменьшили на $40 \%$. На сколько процентов уменьшился периметр прямоугольника?

4) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на $10 \%$, а ширину уменьшили на $20 \%$. Как и на сколько процентов изменился периметр прямоугольника?

1)Пусть исходная длина прямоугольника равна $L$, а ширина равна $W$. Тогда его первоначальная площадь $S = L \cdot W$.После увеличения длина стала $L_1 = L + 0.20L = 1.2L$.Ширина стала $W_1 = W + 0.25W = 1.25W$.Новая площадь прямоугольника $S_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.2L) \cdot (1.25W) = 1.5 \cdot (L \cdot W) = 1.5S$.Чтобы найти, на сколько процентов увеличилась площадь, найдем отношение изменения площади к исходной площади:$\frac{S_1 - S}{S} \cdot 100\% = \frac{1.5S - S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.5S}{S} \cdot 100\% = 0.5 \cdot 100\% = 50\%$.
Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 50%.

2)Пусть исходная длина равна $L$, а ширина – $W$. Исходная площадь $S = L \cdot W$.Длину увеличили на 60%, новая длина $L_1 = L + 0.6L = 1.6L$.Ширину уменьшили на 60%, новая ширина $W_1 = W - 0.6W = 0.4W$.Новая площадь $S_1 = L_1 \cdot W_1 = (1.6L) \cdot (0.4W) = 0.64 \cdot (L \cdot W) = 0.64S$.Так как новая площадь составляет 0.64 от старой, то она уменьшилась.Найдем процентное уменьшение:$\frac{S - S_1}{S} \cdot 100\% = \frac{S - 0.64S}{S} \cdot 100\% = \frac{0.36S}{S} \cdot 100\% = 0.36 \cdot 100\% = 36\%$.
Ответ: площадь прямоугольника уменьшилась на 36%.

3)Пусть исходная ширина прямоугольника равна $W$. Тогда, по условию, длина $L = 3W$.Исходный периметр $P = 2(L + W) = 2(3W + W) = 2(4W) = 8W$.Длину уменьшили на 20%, новая длина $L_1 = L - 0.2L = 0.8L = 0.8(3W) = 2.4W$.Ширину уменьшили на 40%, новая ширина $W_1 = W - 0.4W = 0.6W$.Новый периметр $P_1 = 2(L_1 + W_1) = 2(2.4W + 0.6W) = 2(3W) = 6W$.Найдем, на сколько процентов уменьшился периметр:$\frac{P - P_1}{P} \cdot 100\% = \frac{8W - 6W}{8W} \cdot 100\% = \frac{2W}{8W} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%$.
Ответ: периметр прямоугольника уменьшился на 25%.

4)Пусть исходная длина прямоугольника равна $L$. Тогда, по условию, ширина $W = \frac{L}{4}$.Исходный периметр $P = 2(L + W) = 2(L + \frac{L}{4}) = 2(\frac{5L}{4}) = \frac{5L}{2} = 2.5L$.Длину увеличили на 10%, новая длина $L_1 = L + 0.1L = 1.1L$.Ширину уменьшили на 20%, новая ширина $W_1 = W - 0.2W = 0.8W = 0.8(\frac{L}{4}) = 0.2L$.Новый периметр $P_1 = 2(L_1 + W_1) = 2(1.1L + 0.2L) = 2(1.3L) = 2.6L$.Так как $P_1 > P$, периметр увеличился.Найдем, на сколько процентов увеличился периметр:$\frac{P_1 - P}{P} \cdot 100\% = \frac{2.6L - 2.5L}{2.5L} \cdot 100\% = \frac{0.1L}{2.5L} \cdot 100\% = \frac{1}{25} \cdot 100\% = 4\%$.
Ответ: периметр прямоугольника увеличился на 4%.

380 1) Длину прямоугольника увеличили на 20% , а ширину – на 25%. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

2) Длину прямоугольника увеличили на 60% , а ширину уменьшили на 60%. Как изменилась площадь прямоугольника и на сколько процентов?

3) Длина прямоугольника в 3 раза больше ширины. Длину уменьшили на 20% , а ширину уменьшили на 40%. На сколько процентов уменьшился периметр прямоугольника?

4) Ширина прямоугольника в 4 раза меньше длины. Длину увеличили на 10% , а ширину уменьшили на 20%. Как и на сколько процентов изменился периметр прямоугольника?

393 Какое значение температуры больше, а какое – меньше? Запиши ответ, используя знак $>$ или знак $<$:

a) $5^\circ C$ и $0^\circ C$;

б) $-3^\circ C$ и $0^\circ C$;

в) $2^\circ C$ и $-4^\circ C$;

г) $-10^\circ C$ и $-6^\circ C$.

а) Для сравнения температур $5^{\circ}C$ и $0^{\circ}C$ необходимо сравнить числа 5 и 0. Число 5 является положительным, а любое положительное число больше нуля. Таким образом, $5 > 0$. Это означает, что температура $5^{\circ}C$ выше, чем $0^{\circ}C$.
Ответ: $5^{\circ}C > 0^{\circ}C$

б) Для сравнения температур $-3^{\circ}C$ и $0^{\circ}C$ необходимо сравнить числа -3 и 0. Число -3 является отрицательным, а любое отрицательное число меньше нуля. Таким образом, $-3 < 0$. Это означает, что температура $-3^{\circ}C$ ниже, чем $0^{\circ}C$.
Ответ: $-3^{\circ}C < 0^{\circ}C$

в) Для сравнения температур $2^{\circ}C$ и $-4^{\circ}C$ необходимо сравнить числа 2 и -4. Число 2 является положительным, а -4 — отрицательным. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, $2 > -4$. Это означает, что температура $2^{\circ}C$ выше, чем $-4^{\circ}C$.
Ответ: $2^{\circ}C > -4^{\circ}C$

г) Для сравнения температур $-10^{\circ}C$ и $-6^{\circ}C$ необходимо сравнить два отрицательных числа: -10 и -6. При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютное значение) меньше. Сравним модули этих чисел: $|-10| = 10$ и $|-6| = 6$. Поскольку $10 > 6$, то $-10 < -6$. На числовой прямой число -10 находится левее, чем -6, что также означает, что оно меньше. Следовательно, температура $-10^{\circ}C$ ниже, чем $-6^{\circ}C$.
Ответ: $-10^{\circ}C < -6^{\circ}C$

К 393 Какое значение температуры больше, а какое – меньше? Запиши ответ, используя знак > или знак <:

а) $5^\circ C$ и $0^\circ C$;

б) $-3^\circ C$ и $0^\circ C$;

в) $2^\circ C$ и $-4^\circ C$;

г) $-10^\circ C$ и $-6^\circ C$.

394 1) Отметь схематически на координатной прямой числа: 2,4; -5; $\frac{1}{9}$; $-1 \frac{4}{7}$; -3,8; -10,5. Сравни их с нулём. Сделай вывод.

2) Сравни с нулём числа: -4,36; 0,01; $-7 \frac{5}{8}$; $-\frac{1}{3}$; 2,05; -0,058.

Для того чтобы отметить числа на координатной прямой, определим их знак. Положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные – слева. В нашем случае положительными являются числа $2,4$ и $\frac{1}{9}$, а отрицательными – $-5$; $-1\frac{4}{7}$; $-3,8$; $-10,5$.

Расположим числа на координатной прямой в порядке возрастания: $-10,5$; $-5$; $-3,8$; $-1\frac{4}{7}$; $0$; $\frac{1}{9}$; $2,4$.

Схематическое изображение на координатной прямой:

Сравним данные числа с нулём. Числа, расположенные правее нуля на координатной прямой, являются положительными и, следовательно, больше нуля. Числа, расположенные левее нуля, являются отрицательными и меньше нуля.

$2,4 > 0$
$-5 < 0$
$\frac{1}{9} > 0$
$-1\frac{4}{7} < 0$
$-3,8 < 0$
$-10,5 < 0$

Вывод: Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное число меньше нуля.

Ответ: Сравнение с нулём: $2,4 > 0$; $-5 < 0$; $\frac{1}{9} > 0$; $-1\frac{4}{7} < 0$; $-3,8 < 0$; $-10,5 < 0$. Вывод: положительные числа больше нуля, а отрицательные числа меньше нуля.

Для сравнения числа с нулём необходимо определить его знак. Если число имеет знак "-", оно является отрицательным и меньше нуля. Если у числа (отличного от нуля) нет знака "-", оно является положительным и больше нуля.

Сравним каждое число с нулём:
$-4,36$ – отрицательное число, значит $-4,36 < 0$.
$0,01$ – положительное число, значит $0,01 > 0$.
$-7\frac{5}{8}$ – отрицательное число, значит $-7\frac{5}{8} < 0$.
$-\frac{1}{3}$ – отрицательное число, значит $-\frac{1}{3} < 0$.
$2,05$ – положительное число, значит $2,05 > 0$.
$-0,058$ – отрицательное число, значит $-0,058 < 0$.

Ответ: $-4,36 < 0$; $0,01 > 0$; $-7\frac{5}{8} < 0$; $-\frac{1}{3} < 0$; $2,05 > 0$; $-0,058 < 0$.

394 1) Отметь схематически на координатной прямой числа: $2,4$; $-5$; $\frac{1}{9}$; $-1\frac{4}{7}$; $-3,8$; $-10,5$. Сравни их с нулем. Сделай вывод.

2) Сравни с нулем числа: $-4,36$; $0,01$; $-7\frac{5}{8}$; $-\frac{1}{3}$; $2,05$; $-0,058$.

395 Запиши на математическом языке.

1) Число $a$ – положительное.

2) Число $b$ – отрицательное.

3) Число, противоположное $c$, – положительное.

4) Число, противоположное $d$, – отрицательное.

Отметь числа $a$, $b$, $c$ и $d$ на координатной прямой, если $\vert a \vert < \vert b \vert < \vert c \vert < \vert d \vert$.

1) Число a – положительное.

Запись "число $a$ положительное" на математическом языке означает, что $a$ больше нуля. Это выражается неравенством $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

2) Число b – отрицательное.

Запись "число $b$ отрицательное" на математическом языке означает, что $b$ меньше нуля. Это выражается неравенством $b < 0$.

Ответ: $b < 0$.

3) Число, противоположное c, – положительное.

Число, противоположное $c$, обозначается как $-c$. Утверждение, что это число положительное, записывается как неравенство $-c > 0$. Из этого неравенства следует, что само число $c$ отрицательно, т.е. $c < 0$.

Ответ: $-c > 0$.

4) Число, противоположное d, – отрицательное.

Число, противоположное $d$, обозначается как $-d$. Утверждение, что это число отрицательное, записывается как неравенство $-d < 0$. Из этого неравенства следует, что само число $d$ положительно, т.е. $d > 0$.

Ответ: $-d < 0$.

Отметь числа a, b, c и d на координатной прямой, если $|a| < |b| < |c| < |d|$.

Для расположения чисел на прямой, сначала определим их знаки на основе предыдущих пунктов:
- Число $a$ положительное: $a > 0$.
- Число $b$ отрицательное: $b < 0$.
- Число $c$ отрицательное: $c < 0$.
- Число $d$ положительное: $d > 0$.
Таким образом, точки $a$ и $d$ находятся справа от нуля, а точки $b$ и $c$ — слева.
Теперь используем условие $|a| < |b| < |c| < |d|$. Модуль числа — это его расстояние от нуля на координатной прямой. Это означает, что $a$ находится ближе всего к нулю, а $d$ — дальше всего от нуля.
Сравним числа с одинаковыми знаками:
- Сравнение положительных чисел $a$ и $d$: из $|a| < |d|$ следует, что $a < d$.
- Сравнение отрицательных чисел $b$ и $c$: из $|b| < |c|$ следует, что точка $c$ находится дальше от нуля (левее), чем точка $b$. Следовательно, $c < b$.
Объединяя все выводы, получаем итоговый порядок чисел на координатной прямой слева направо: $c, b, a, d$.

Схематичное изображение на координатной прямой:

Ответ: На координатной прямой числа располагаются в следующем порядке (слева направо): $c, b, a, d$, что соответствует неравенству $c < b < a < d$.

395 Запиши на математическом языке:

1) Число $a$ - положительное. ($a > 0$)

2) Число $b$ - отрицательное. ($b < 0$)

3) Число, противоположное $c$, - положительное. ($-c > 0$)

4) Число, противоположное $d$, - отрицательное. ($-d < 0$)

Отметь числа $a, b, c$ и $d$ на координатной прямой, если $|a|<|b|<|c|<|d|$.

396 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall x \in N: -x < 0;$

2) $\exists y \in Z: -y > 0;$

3) $\forall a \in Z: a > 0;$

4) $\exists b \in Z: |b| = -b.$

1) $ \forall x \in N: -x < 0 $

Данное высказывание читается как: "Для любого натурального числа $x$ верно, что $-x < 0$".

Множество натуральных чисел $N$ — это множество положительных целых чисел: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Если $x$ — любое натуральное число, то по определению $x > 0$. Если умножить обе части этого неравенства на $-1$, знак неравенства изменится на противоположный: $-x < 0$.

Так как это верно для любого элемента из множества $N$, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

2) $ \exists y \in Z: -y > 0 $

Данное высказывание читается как: "Существует такое целое число $y$, для которого верно, что $-y > 0$".

Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.

Рассмотрим неравенство $-y > 0$. Умножив обе его части на $-1$, получим $y < 0$.

Следовательно, нам нужно выяснить, существует ли в множестве целых чисел хотя бы одно число, которое меньше нуля. Да, такие числа существуют, например, $-1, -5, -100$. Возьмем $y = -3$. Тогда $-y = -(-3) = 3$, и $3 > 0$.

Так как мы можем найти такое число, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

3) $ \forall a \in Z: a > 0 $

Данное высказывание читается как: "Для любого целого числа $a$ верно, что $a > 0$".

Это утверждение заявляет, что все целые числа являются положительными. Однако это не так. Множество целых чисел $Z$ содержит ноль и отрицательные числа. Например, можно взять $a = 0$. Неравенство $0 > 0$ ложно. Или можно взять $a = -2$. Неравенство $-2 > 0$ также ложно. Наличие хотя бы одного контрпримера делает высказывание с квантором всеобщности ложным.

Поскольку высказывание ложно, построим его отрицание. Отрицание высказывания с квантором всеобщности ($\forall$) строится путем замены его на квантор существования ($\exists$) и отрицания самого предиката.

Отрицанием для предиката $a > 0$ является предикат $a \le 0$.

Таким образом, отрицание исходного высказывания выглядит так: $ \exists a \in Z: a \le 0 $. Это высказывание читается как: "Существует такое целое число $a$, что $a$ меньше или равно нулю".

Ответ: ложно. Отрицание: $ \exists a \in Z: a \le 0 $.

4) $ \exists b \in Z: |b| = -b $

Данное высказывание читается как: "Существует такое целое число $b$, что его модуль равен $-b$".

Вспомним определение модуля (абсолютной величины) числа:

• $|b| = b$, если $b \ge 0$
• $|b| = -b$, если $b < 0$

Из определения следует, что равенство $|b| = -b$ выполняется для любого $b$, которое меньше нуля ($b < 0$). Также оно выполняется для $b=0$, поскольку $|0| = 0$ и $-0 = 0$. Таким образом, равенство верно для всех неположительных чисел ($b \le 0$).

Нам нужно проверить, существует ли в множестве целых чисел $Z$ хотя бы одно такое число. Да, существует. Например, $b = -10$ или $b = 0$.

Поскольку мы нашли подходящее число, высказывание является истинным.

Ответ: истинно.

396 Прочитай высказывание и определи, истинно оно или ложно. Построй отрицания ложных высказываний:

1) $\forall x \in N: -x < 0;$

2) $\exists y \in Z: -y > 0;$

3) $\forall a \in Z: a > 0;$

4) $\exists b \in Z: |b| = -b.$

397 Отметь схематически числа на координатной прямой и сравни их. Что общего и что различного в примерах каждого столбика? Сделай вывод.

1) -2 и 5;

2) 3 и -3,4;

3) $-\frac{3}{11}$ и $\frac{2}{11}$;

4) 5,12 и -5,72;

5) -1 и -7;

6) -2,8 и -4;

7) $-\frac{5}{6}$ и $-3\frac{1}{6}$;

8) -19,2 и -8,9.

1) -2 и 5. На координатной прямой число -2 расположено слева от нуля, а число 5 — справа. Точка, расположенная правее, соответствует большему числу, так как любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $-2 < 5$. Ответ: $-2 < 5$.

2) 3 и -3,4. На координатной прямой число 3 расположено справа от нуля, а число -3,4 — слева. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $3 > -3,4$. Ответ: $3 > -3,4$.

3) $-\frac{3}{11}$ и $\frac{2}{11}$. На координатной прямой число $-\frac{3}{11}$ расположено слева от нуля, а число $\frac{2}{11}$ — справа. Любое отрицательное число меньше любого положительного. Следовательно, $-\frac{3}{11} < \frac{2}{11}$. Ответ: $-\frac{3}{11} < \frac{2}{11}$.

4) 5,12 и -5,72. На координатной прямой число 5,12 расположено справа от нуля, а число -5,72 — слева. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $5,12 > -5,72$. Ответ: $5,12 > -5,72$.

5) -1 и -7. Оба числа отрицательные и расположены на координатной прямой левее нуля. Из двух отрицательных чисел больше то, которое расположено правее (ближе к нулю). Точка -1 находится правее точки -7. Сравним модули: $|-1| = 1$ и $|-7| = 7$. Так как $1 < 7$, то $-1 > -7$. Ответ: $-1 > -7$.

6) -2,8 и -4. Оба числа отрицательные. На координатной прямой точка -2,8 расположена правее точки -4 (ближе к нулю). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-2,8| = 2,8$ и $|-4| = 4$. Так как $2,8 < 4$, то $-2,8 > -4$. Ответ: $-2,8 > -4$.

7) $-\frac{5}{6}$ и $-3\frac{1}{6}$. Оба числа отрицательные. На координатной прямой точка $-\frac{5}{6}$ расположена правее точки $-3\frac{1}{6}$, так как она ближе к нулю. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6}$ и $|-3\frac{1}{6}| = 3\frac{1}{6}$. Так как $\frac{5}{6} < 3\frac{1}{6}$, то $-\frac{5}{6} > -3\frac{1}{6}$. Ответ: $-\frac{5}{6} > -3\frac{1}{6}$.

8) -19,2 и -8,9. Оба числа отрицательные. На координатной прямой точка -19,2 расположена левее точки -8,9. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-19,2| = 19,2$ и $|-8,9| = 8,9$. Так как $19,2 > 8,9$, то $-19,2 < -8,9$. Ответ: $-19,2 < -8,9$.

Анализ и вывод

Общее в примерах обоих столбиков заключается в том, что в каждом задании сравниваются два числа.

Различие между столбиками состоит в знаках сравниваемых чисел. В первом столбике (задания 1-4) сравнивается положительное число с отрицательным. Во втором столбике (задания 5-8) сравниваются два отрицательных числа.

Вывод:

1. Из примеров первого столбика следует правило: любое положительное число всегда больше любого отрицательного. На координатной прямой точка, соответствующая положительному числу, всегда лежит правее точки, соответствующей отрицательному числу.

2. Из примеров второго столбика следует правило: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. На координатной прямой это число расположено ближе к нулю, то есть правее другого.

397 Отметь схематически числа на координатной прямой и сравни их. Что общего и что различного в примерах каждого столбика? Сделай вывод.

1) -2 и 5;

2) 3 и -3,4;

3) $- \frac{3}{11}$ и $\frac{2}{11}$;

4) 5,12 и -5,72;

5) -1 и -7;

6) -2,8 и -4;

7) $- \frac{5}{6}$ и $-3 \frac{1}{6}$;

8) -19,2 и -8,9.

377. По описанию построения фигур, данному в тексте учебника, построй:

а) отрезок, равный данному (задача 1);

б) треугольник, равный данному (задача 2);

в) угол, равный данному (задача 3);

г) биссектрису данного угла (задача 4);

д) середину данного отрезка (задача 5);

е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6).

Пусть дан отрезок $AB$. Необходимо построить отрезок $CD$, равный отрезку $AB$, с помощью циркуля и линейки.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $C$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $AB$. Для этого установим иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$.
3. Не изменяя раствора циркуля, установим его иглу в точку $C$ и проведем дугу, которая пересечет построенный луч.
4. Обозначим точку пересечения дуги и луча буквой $D$.
5. Отрезок $CD$ является искомым. По построению, его длина равна радиусу проведенной дуги, который мы установили равным длине отрезка $AB$. Таким образом, $CD = AB$.

Ответ: Построен отрезок $CD$, равный данному отрезку $AB$.

Пусть дан треугольник $ABC$. Необходимо построить треугольник $A_1B_1C_1$, равный треугольнику $ABC$. Построение выполняется по трем сторонам (третий признак равенства треугольников).

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A_1$.
2. На этом луче отложим отрезок $A_1B_1$, равный стороне $AB$ данного треугольника (используя алгоритм из пункта а).
3. Проведем дугу с центром в точке $A_1$ и радиусом, равным длине стороны $AC$.
4. Проведем дугу с центром в точке $B_1$ и радиусом, равным длине стороны $BC$.
5. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C_1$.
6. Соединим точку $C_1$ с точками $A_1$ и $B_1$ отрезками.
7. Треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым, так как $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle ABC$ по трем сторонам ($A_1B_1 = AB$, $A_1C_1 = AC$, $B_1C_1 = BC$ по построению).

Ответ: Построен треугольник $A_1B_1C_1$, равный данному треугольнику $ABC$.

Пусть дан угол $\angle AOB$. Необходимо отложить от заданного луча $O_1M$ угол, равный данному.

1. С центром в вершине $O$ данного угла проведем дугу произвольного радиуса $r$, которая пересечет стороны угла в точках $A$ и $B$.
2. С центром в начале луча, точке $O_1$, проведем дугу того же радиуса $r$. Она пересечет луч $O_1M$ в точке $A_1$.
3. Измерим циркулем расстояние между точками $A$ и $B$ (длину хорды $AB$).
4. Проведем дугу с центром в точке $A_1$ и радиусом, равным расстоянию $AB$. Эта дуга пересечет дугу, построенную в шаге 2, в точке $B_1$.
5. Проведем луч $O_1B_1$.
6. Угол $\angle A_1O_1B_1$ является искомым. Равенство углов $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ следует из равенства треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle A_1O_1B_1$ по трем сторонам.

Ответ: Построен угол $\angle A_1O_1B_1$, равный данному углу $\angle AOB$.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$. Необходимо построить его биссектрису.

1. С центром в вершине угла $O$ проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет стороны угла в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем половина расстояния $AB$) так, чтобы они пересеклись внутри угла. Обозначим точку их пересечения $M$.
3. Проведем луч из вершины $O$ через точку $M$.
4. Луч $OM$ является биссектрисой данного угла. Это следует из равенства треугольников $\triangle OAM$ и $\triangle OBM$ по трем сторонам ($OA = OB$, $AM = BM$, $OM$ — общая). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle AOM = \angle BOM$.

Ответ: Построен луч $OM$ — биссектриса данного угла.

Пусть дан отрезок $AB$. Необходимо найти его середину. Задача сводится к построению серединного перпендикуляра.

1. Из точки $A$ проведем дугу окружности радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
2. Из точки $B$ проведем дугу окружности тем же радиусом $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках, назовем их $P$ и $Q$.
3. С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $Q$.
4. Точка пересечения прямой $PQ$ и отрезка $AB$ является его серединой. Обозначим ее $M$. По построению, $AM = MB$.

Ответ: Построена точка $M$ — середина отрезка $AB$.

Необходимо построить прямую, перпендикулярную данной прямой $a$ и проходящую через данную точку $P$.

Случай 1: Точка $P$ лежит на прямой $a$.

1. Установим иглу циркуля в точку $P$ и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$.
2. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса, большего, чем $AP$, так, чтобы они пересеклись в точках $C$ и $D$.
3. Проведем прямую через точки $C$ и $D$. Эта прямая $CD$ пройдет через точку $P$ и будет перпендикулярна прямой $a$.

Случай 2: Точка $P$ не лежит на прямой $a$.

1. Установим иглу циркуля в точку $P$ и проведем дугу, которая пересечет прямую $a$ в двух точках, $A$ и $B$. (Радиус дуги должен быть больше расстояния от точки $P$ до прямой).
2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса (можно того же, что и в шаге 1) с другой стороны от прямой $a$. Обозначим точку их пересечения $Q$.
3. Проведем прямую через точки $P$ и $Q$.
4. Прямая $PQ$ является искомой, так как все точки, равноудаленные от концов отрезка ($A$ и $B$), лежат на его серединном перпендикуляре. Точки $P$ и $Q$ по построению равноудалены от $A$ и $B$, следовательно, прямая $PQ$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, а значит $PQ \perp AB$, то есть $PQ \perp a$.

Ответ: Построена прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная данной прямой.

К 377 По описанию построения фигур, данному в тексте учебника, построй:

а) отрезок, равный данному (задача 1);

б) треугольник, равный данному (задача 2);

в) угол, равный данному (задача 3);

г) биссектрису данного угла (задача 4);

д) середину данного отрезка (задача 5);

е) прямую, перпендикулярную данной и проходящую через данную точку (задача 6).

378 Построй треугольник ABC по трём сторонам $a$, $b$ и $c$ и определи вид этого треугольника.

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами? Всегда ли эта задача имеет решение?

1)

Для построения треугольника $ABC$ по трём заданным сторонам $a, b$ и $c$, воспользуемся циркулем и линейкой.

1. Начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $B$. С помощью циркуля отложим от точки $B$ отрезок, равный стороне $c$, и получим точку $C$. Сторона $BC = c$ является основанием нашего будущего треугольника.
2. Из точки $B$ как из центра проведём дугу окружности радиусом, равным длине стороны $b$.
3. Из точки $C$ как из центра проведём дугу окружности радиусом, равным длине стороны $a$.
4. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника. Обозначим её $A$.
5. Соединим точку $A$ отрезками с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Чтобы определить вид этого треугольника, необходимо проверить неравенство треугольника и соотнести квадраты его сторон. Из рисунка видно, что сумма длин двух любых сторон больше третьей (например, $a + b > c$), поэтому треугольник существует.

Далее сравним квадрат наибольшей стороны ($c$) с суммой квадратов двух других сторон ($a^2 + b^2$). Визуальная оценка и измерение отрезков на рисунке показывают, что выполняется неравенство $c^2 < a^2 + b^2$. Это означает, что угол, лежащий напротив самой длинной стороны $c$ (угол $A$), является острым. Так как это наибольший угол в треугольнике, то и остальные два угла также острые. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: Построенный треугольник является остроугольным.

2)

Попытаемся построить треугольник с данными сторонами по тому же алгоритму. Отложим на прямой отрезок, равный стороне $c$, и из его концов проведём дуги окружностей радиусами $a$ и $b$.

В этом случае мы обнаружим, что дуги не пересекаются. Это происходит потому, что не выполняется неравенство треугольника: сумма длин двух меньших сторон $a$ и $b$ меньше длины третьей стороны $c$. Математически это записывается как $a + b < c$. Так как третья вершина не может быть найдена, построить треугольник с такими сторонами невозможно.

Ответ: Построить треугольник с данными сторонами невозможно, так как не выполняется неравенство треугольника (сумма двух меньших сторон меньше третьей стороны).

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами?

Если длины трех сторон удовлетворяют неравенству треугольника, то можно построить только один уникальный треугольник. Любой другой треугольник, построенный по тем же трем сторонам, будет равен (конгруэнтен) первому согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, SSS). Различные построения могут дать треугольник в другой ориентации, но по форме и размерам он будет таким же.

Ответ: Можно построить только один такой треугольник (с точностью до равенства).

Всегда ли эта задача имеет решение?

Нет, эта задача имеет решение не всегда. Для того чтобы из трёх отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Если это условие не соблюдается (как в пункте 2), то треугольник построить нельзя.

Ответ: Нет, не всегда. Задача имеет решение только в том случае, если выполняется неравенство треугольника.

378 Построй треугольник $ABC$ по трем сторонам $a$, $b$ и $c$ и определи вид этого треугольника:

1) $a$

$b$

$c$

2) $a$

$b$

$c$

Сколько можно построить различных (не равных между собой) треугольников с тремя данными сторонами? Всегда ли эта задача имеет решение?

379 Можно ли построить треугольник, у которого периметр равен 24 см, а сумма длин двух сторон – 9 см?

Для того чтобы определить, можно ли построить треугольник с заданными параметрами, необходимо воспользоваться свойством, известным как неравенство треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Из условия задачи нам известны:

1. Периметр треугольника $P = a + b + c = 24$ см.

2. Сумма длин двух сторон, например $a$ и $b$, равна 9 см: $a + b = 9$ см.

Используя эти данные, мы можем найти длину третьей стороны $c$. Периметр — это сумма длин всех трех сторон, поэтому:

$c = P - (a + b)$

Подставим известные значения:

$c = 24 - 9 = 15$ см.

Теперь у нас есть длины всех сторон (или, по крайней мере, их суммы и третья сторона): $a+b=9$ см, $c=15$ см. Проверим, выполняется ли для этих сторон неравенство треугольника. Нам нужно проверить, будет ли сумма сторон $a$ и $b$ больше стороны $c$:

$a + b > c$

Подставляем наши значения:

$9 > 15$

Полученное неравенство является ложным, так как 9 меньше 15. Это означает, что неравенство треугольника не выполняется. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Ответ: нет, такой треугольник построить нельзя.

379 Можно ли построить треугольник, у которого периметр равен 24 см, а сумма длин двух сторон – 9 см?