Страница 87, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

359 Найти, от какой величины:

а) 7 % составляют 7 р.;

б) 25 % составляют 10 г;

в) 50 % составляют 15 тыс. км;

г) 12 % составляют 36 экземпляров;

д) 20 % составляют $a \text{ см}^2$;

е) 300 % составляют $b \text{ ч.}$

а)

Чтобы найти величину (целое), зная ее часть и процент, который эта часть составляет, нужно эту часть разделить на соответствующее ей количество процентов и умножить на 100.
Если 7 % составляют 7 р., то 1 % составляет $7 : 7 = 1$ р.
Следовательно, вся величина (100 %) составляет $1 \times 100 = 100$ р.
Краткое решение: $7 : 7 \times 100 = 100$ р.
Ответ: 100 р.

б)

Если 25 % составляют 10 г, то 1 % составляет $10 : 25 = 0,4$ г.
Вся величина (100 %) составляет $0,4 \times 100 = 40$ г.
Также можно заметить, что 25 % — это одна четвертая часть. Если четверть величины равна 10 г, то вся величина равна $10 \times 4 = 40$ г.
Ответ: 40 г.

в)

Если 50 % составляют 15 тыс. км, а 50 % — это половина, то вся величина в два раза больше.
$15 \text{ тыс. км} \times 2 = 30 \text{ тыс. км}$.
Или по общему правилу: $(15 : 50) \times 100 = 0,3 \times 100 = 30$ тыс. км.
Ответ: 30 тыс. км.

г)

Если 12 % составляют 36 экземпляров, то 1 % составляет $36 : 12 = 3$ экземпляра.
Вся величина (100 %) составляет $3 \times 100 = 300$ экземпляров.
Краткое решение: $36 : 12 \times 100 = 300$ экземпляров.
Ответ: 300 экземпляров.

д)

Если 20 % составляют $a$ см², то 1 % составляет $\frac{a}{20}$ см².
Вся величина (100 %) составляет $\frac{a}{20} \times 100 = 5a$ см².
Так как 20 % — это одна пятая, то вся величина в 5 раз больше: $a \times 5 = 5a$ см².
Ответ: $5a$ см².

е)

Если 300 % составляют $b$ ч., то 1 % составляет $\frac{b}{300}$ ч.
Вся величина (100 %) составляет $\frac{b}{300} \times 100 = \frac{100b}{300} = \frac{b}{3}$ ч.
Так как 300 % в 3 раза больше, чем 100 %, то искомая величина в 3 раза меньше, чем $b$: $b : 3 = \frac{b}{3}$ ч.
Ответ: $\frac{b}{3}$ ч.

359 Найти, от какой величины:

а) 7% составляют 7 р.;

б) 25% составляют 10 г;

в) 50% составляют 15 тыс.км;

г) 12% составляют 36 экземпляров;

д) 20% составляют $a\text{ см}^2$;

е) 300% составляют $b\text{ ч.}$;

360 Сравнить величины, если:

a) 40 % первой составляют 300 р., а 30 % второй составляют 400 р.;

б) 150 % первой составляют 120 р., а 120 % второй составляют 90 р.;

в) 50 % первой составляют $0,5a$ р., а 20 % второй составляют $0,2a$ р.;

г) 12,5 % первой составляют $b$ р., а 30 % второй составляют $3b$ р.

а) Чтобы сравнить величины, необходимо найти их полные значения.
1. Найдем первую величину. Обозначим ее $V_1$. Из условия известно, что 40% от $V_1$ составляют 300 р. Чтобы найти 100% величины, нужно разделить известную часть на долю, которую она составляет:
$V_1 = \frac{300}{40\%} = \frac{300}{0,4} = \frac{3000}{4} = 750$ р.
2. Найдем вторую величину. Обозначим ее $V_2$. Известно, что 30% от $V_2$ составляют 400 р.:
$V_2 = \frac{400}{30\%} = \frac{400}{0,3} = \frac{4000}{3}$ р.
3. Сравним полученные величины $V_1 = 750$ и $V_2 = \frac{4000}{3}$. Для удобства сравнения представим 750 в виде дроби со знаменателем 3:
$750 = \frac{750 \cdot 3}{3} = \frac{2250}{3}$.
Так как $2250 < 4000$, то $\frac{2250}{3} < \frac{4000}{3}$, следовательно, первая величина меньше второй.
Ответ: первая величина меньше второй.

б) 1. Найдем первую величину $V_1$. По условию, 150% от $V_1$ составляют 120 р. 150% в виде десятичной дроби — это 1,5.
$V_1 = \frac{120}{150\%} = \frac{120}{1,5} = \frac{1200}{15} = 80$ р.
2. Найдем вторую величину $V_2$. По условию, 120% от $V_2$ составляют 90 р. 120% в виде десятичной дроби — это 1,2.
$V_2 = \frac{90}{120\%} = \frac{90}{1,2} = \frac{900}{12} = 75$ р.
3. Сравним $V_1$ и $V_2$:
$80$ р. > $75$ р.
Следовательно, первая величина больше второй.
Ответ: первая величина больше второй.

в) 1. Найдем первую величину $V_1$. По условию, 50% от $V_1$ составляют $0,5a$ р. 50% — это 0,5.
$V_1 = \frac{0,5a}{50\%} = \frac{0,5a}{0,5} = a$ р.
2. Найдем вторую величину $V_2$. По условию, 20% от $V_2$ составляют $0,2a$ р. 20% — это 0,2.
$V_2 = \frac{0,2a}{20\%} = \frac{0,2a}{0,2} = a$ р.
3. Сравним $V_1$ и $V_2$:
$a$ р. = $a$ р.
Следовательно, величины равны.
Ответ: величины равны.

г) 1. Найдем первую величину $V_1$. По условию, 12,5% от $V_1$ составляют $b$ р. 12,5% — это 0,125 или $\frac{1}{8}$.
$V_1 = \frac{b}{12,5\%} = \frac{b}{0,125} = \frac{b}{1/8} = 8b$ р.
2. Найдем вторую величину $V_2$. По условию, 30% от $V_2$ составляют $3b$ р. 30% — это 0,3.
$V_2 = \frac{3b}{30\%} = \frac{3b}{0,3} = \frac{30b}{3} = 10b$ р.
3. Сравним полученные выражения для величин: $V_1 = 8b$ и $V_2 = 10b$. Результат сравнения зависит от знака переменной $b$.
- Если $b > 0$, то $8b < 10b$, и первая величина меньше второй.
- Если $b < 0$, то $8b > 10b$ (например, при $b=-1$ имеем $-8 > -10$), и первая величина больше второй.
- Если $b = 0$, то $8b = 10b = 0$, и величины равны.
Ответ: если $b > 0$, первая величина меньше второй; если $b < 0$, первая величина больше второй; если $b = 0$, величины равны.

360 Сравнить величины, если:

а) 40% первой составляют 300 р., а 30% второй составляют 400 р.;

б) 150% первой составляют 120 р., а 120% второй составляют 90 р.;

в) 50% первой составляют $0.5a$ р., а 20% второй составляют $0.2a$ р.;

г) 12,5% первой составляют $b$ р., а 30% второй составляют $3b$ р.

361 1) Фирма платит рекламным агентам $5\%$ от стоимости полученного заказа. На какую сумму агенту надо найти заказ, чтобы заработать 2000 р.?

2) Сколько получится: а) $10\%$-го сахарного сиропа из 80 г сахара; б) $5\%$-го сиропа из 6 г сахара; в) $35\%$-го сиропа из 70 г сахара; г) $30\%$-го сиропа из 75 г сахара?

1)

По условию, 2000 рублей, которые должен заработать агент, составляют 5% от общей стоимости заказа. Примем всю стоимость заказа за 100%. Пусть $x$ — это искомая стоимость заказа.
Составим пропорцию:
2000 р. — 5%
$x$ р. — 100%
Решим пропорцию, чтобы найти $x$:
$x = \frac{2000 \cdot 100}{5} = \frac{200000}{5} = 40000$ р.
Следовательно, агенту необходимо найти заказ на сумму 40000 рублей, чтобы заработать 2000 рублей.

Ответ: 40000 р.

2)

Процентное содержание сахара в сиропе (концентрация) показывает, какую часть от общей массы сиропа составляет масса сахара. Если известна масса сахара и его процентное содержание, общую массу сиропа можно найти, разделив массу сахара на его долю в сиропе.
Доля вещества = Процентное содержание / 100.
Масса сиропа = Масса сахара / Доля сахара.

а)

Дано, что 80 г сахара составляют 10% от всей массы сиропа.
Масса сиропа = $80 \div \frac{10}{100} = 80 \div 0.1 = 800$ г.

Ответ: 800 г.

б)

Дано, что 6 г сахара составляют 5% от всей массы сиропа.
Масса сиропа = $6 \div \frac{5}{100} = 6 \div 0.05 = 120$ г.

Ответ: 120 г.

в)

Дано, что 70 г сахара составляют 35% от всей массы сиропа.
Масса сиропа = $70 \div \frac{35}{100} = 70 \div 0.35 = 200$ г.

Ответ: 200 г.

г)

Дано, что 75 г сахара составляют 30% от всей массы сиропа.
Масса сиропа = $75 \div \frac{30}{100} = 75 \div 0.3 = 250$ г.

Ответ: 250 г.

361 1) Фирма платит рекламным агентам $5\%$ от стоимости полученного заказа. На какую сумму агенту надо найти заказ, чтобы заработать 2000 р.?

2) Сколько получится: а) $10\%$-го сахарного сиропа из 80 г сахара; б) $5\%$-го сиропа из 6 г сахара; в) $35\%$-го сиропа из 70 г сахара; г) $30\%$-го сиропа из 75 г сахара?

362 Сколько было, если:

а) после увеличения на 30 % стало 520 р.;

б) после уменьшения на 10 % стало 450 р.;

в) после увеличения на 60 % стало $8a$ р.;

г) после уменьшения на 70 % стало $3b$ р.?

а) Пусть первоначальная сумма была $x$ р. После увеличения на 30%, она стала составлять $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной. Чтобы найти исходное значение, нужно новую сумму разделить на коэффициент изменения. Коэффициент изменения равен $1 + \frac{30}{100} = 1.3$.
Составим уравнение: $x \cdot 1.3 = 520$.
$x = \frac{520}{1.3} = \frac{5200}{13} = 400$.
Изначально было 400 р.
Ответ: 400 р.

б) Пусть первоначальная сумма была $x$ р. После уменьшения на 10%, она стала составлять $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной. Коэффициент изменения равен $1 - \frac{10}{100} = 0.9$.
Составим уравнение: $x \cdot 0.9 = 450$.
$x = \frac{450}{0.9} = \frac{4500}{9} = 500$.
Изначально было 500 р.
Ответ: 500 р.

в) Пусть первоначальная сумма была $x$ р. После увеличения на 60%, она стала составлять $100\% + 60\% = 160\%$ от первоначальной. Коэффициент изменения равен $1 + \frac{60}{100} = 1.6$.
Составим уравнение: $x \cdot 1.6 = 8a$.
$x = \frac{8a}{1.6} = \frac{80a}{16} = 5a$.
Изначально было 5a р.
Ответ: 5a р.

г) Пусть первоначальная сумма была $x$ р. После уменьшения на 70%, она стала составлять $100\% - 70\% = 30\%$ от первоначальной. Коэффициент изменения равен $1 - \frac{70}{100} = 0.3$.
Составим уравнение: $x \cdot 0.3 = 3b$.
$x = \frac{3b}{0.3} = \frac{30b}{3} = 10b$.
Изначально было 10b р.
Ответ: 10b р.

362 Сколько было, если:

а) после увеличения на 30% стало 520 р.;

б) после уменьшения на 10% стало 450 р.;

в) после увеличения на 60% стало $8a$ р.;

г) после уменьшения на 70% стало $3b$ р.?

363 В каком случае первоначальная цена больше:

1) если при скидке $5\%$ заплачено $190 \text{ р.}$;

2) если при скидке $10\%$ заплачено $180 \text{ р.}$;

3) если при скидке $20\%$ заплачено $170 \text{ р.}$;

4) если при скидке $30\%$ заплачено $140 \text{ р.}?$

Для решения задачи необходимо найти первоначальную цену в каждом из четырех случаев. Первоначальная цена ($Ц_{перв}$) может быть найдена по формуле, где $Ц_{кон}$ — конечная цена (сумма, которую заплатили), а $С$ — скидка в процентах:

$Ц_{перв} = \frac{Ц_{кон}}{1 - С/100}$

Вычислим первоначальную цену для каждого варианта.

1) если при скидке 5 % заплачено 190 р.;
Конечная цена составляет $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной.Найдем первоначальную цену:
$Ц_1 = \frac{190}{1 - 5/100} = \frac{190}{0.95} = 200$ р.
Ответ: 200 р.

2) если при скидке 10 % заплачено 180 р.;
Конечная цена составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной.Найдем первоначальную цену:
$Ц_2 = \frac{180}{1 - 10/100} = \frac{180}{0.9} = 200$ р.
Ответ: 200 р.

3) если при скидке 20 % заплачено 170 р.;
Конечная цена составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначальной.Найдем первоначальную цену:
$Ц_3 = \frac{170}{1 - 20/100} = \frac{170}{0.8} = 212.5$ р.
Ответ: 212.5 р.

4) если при скидке 30 % заплачено 140 р.?
Конечная цена составляет $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной.Найдем первоначальную цену:
$Ц_4 = \frac{140}{1 - 30/100} = \frac{140}{0.7} = 200$ р.
Ответ: 200 р.

Сравнив полученные первоначальные цены: 200 р., 200 р., 212.5 р. и 200 р., мы видим, что наибольшая цена была в третьем случае.

Ответ: Первоначальная цена больше в случае 3), когда при скидке 20% заплачено 170 р.

363 В каком случае первоначальная цена больше:

1) если при скидке $5\%$ заплачено 190 р.;

2) если при скидке $10\%$ заплачено 180 р.;

3) если при скидке $20\%$ заплачено 170 р.;

4) если при скидке $30\%$ заплачено 140 р.?

364 1) Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам, составляющим в сумме $25\%$ от начисленной зарплаты, работник получил 12 000 р.?

2) Работник получает зарплату от нормы выработки. В конце месяца он получил 16 800 р., перевыполнив норму на $20\%$. Сколько дополнительно начислено ему в этот месяц?

1)

Пусть $x$ — это искомая начисленная заработная плата. После уплаты налогов и процентов по кредитам, которые составляют 25% от этой суммы, у работника остается $100\% - 25\% = 75\%$ от начисленной зарплаты.

Эта оставшаяся сумма равна 12 000 р. Таким образом, 12 000 р. — это 75% от $x$.

Можно составить пропорцию или уравнение:
$0.75 \cdot x = 12000$

Чтобы найти $x$, разделим 12 000 на 0.75:
$x = \frac{12000}{0.75} = 16000$

Таким образом, заработная плата должна быть 16 000 р.

Ответ: 16 000 р.

2)

Работник перевыполнил норму на 20%, это означает, что его зарплата состоит из 100% (оплата за норму) и дополнительно 20% (оплата за перевыполнение). Всего он получил $100\% + 20\% = 120\%$ от зарплаты за норму.

Сумма 16 800 р. соответствует 120% от зарплаты за норму. Обозначим зарплату за норму (100%) как $S$.
Тогда $1.2 \cdot S = 16800$

Найдем зарплату за норму (100%):
$S = \frac{16800}{1.2} = 14000$ р.

Вопрос задачи: "Сколько дополнительно начислено ему в этот месяц?". Это и есть те 20% за перевыполнение. Чтобы их найти, нужно из общей полученной суммы вычесть зарплату за норму.
Дополнительные начисления = $16800 - 14000 = 2800$ р.

Альтернативный способ: можно было сразу найти 20% от зарплаты за норму:
$0.2 \cdot S = 0.2 \cdot 14000 = 2800$ р.

Ответ: 2 800 р.

364 1) Какой должна быть заработная плата, чтобы после уплаты налогов и процентов по кредитам, составляющим в сумме 25% от начисленной зарплаты, работник получил 12 000 р.?

2) Работник получает зарплату от нормы выработки. В конце месяца он получил 16 800 р., перевыполнив норму на 20%. Сколько дополнительно начислено ему в этот месяц?

365 1) Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на 18 %, а затем на 20 % и составила 3280 р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца?

2) В овощехранилище при первой сортировке овощей потери составили 5 % от всей массы овощей, а при повторной – 4 % от оставшейся массы, после чего в хранилище оказалось 54,72 т овощей. Сколько тонн овощей было в хранилище до сортировки?

1) Пусть $x$ — первоначальная цена фотоаппарата в рублях.
После первого снижения цены на 18 %, новая цена составила $100\% - 18\% = 82\%$ от первоначальной. Это можно записать как $x \cdot (1 - 0,18) = 0,82x$.
Затем цена снизилась еще на 20 % от новой, промежуточной цены. Итоговая цена составила $100\% - 20\% = 80\%$ от цены после первого снижения:
$0,82x \cdot (1 - 0,20) = 0,82x \cdot 0,8 = 0,656x$.
По условию задачи, итоговая цена составила 3280 рублей. Составим и решим уравнение:
$0,656x = 3280$
$x = \frac{3280}{0,656}$
$x = 5000$
Таким образом, первоначальная цена на фотоаппараты была 5000 рублей.
Ответ: 5000 р.

2) Пусть $y$ — первоначальная масса овощей в тоннах в овощехранилище.
При первой сортировке потери составили 5 %, значит, в хранилище осталось $100\% - 5\% = 95\%$ от первоначальной массы. Масса овощей после первой сортировки равна:
$y \cdot (1 - 0,05) = 0,95y$.
При повторной сортировке потери составили 4 % от оставшейся массы. Следовательно, после второй сортировки осталось $100\% - 4\% = 96\%$ от массы после первой сортировки:
$0,95y \cdot (1 - 0,04) = 0,95y \cdot 0,96 = 0,912y$.
Известно, что после всех сортировок в хранилище осталось 54,72 тонны овощей. Составим и решим уравнение:
$0,912y = 54,72$
$y = \frac{54,72}{0,912}$
$y = 60$
Следовательно, до сортировки в хранилище было 60 тонн овощей.
Ответ: 60 т.

365 1) Цена на фотоаппараты в течение месяца упала сначала на $18\%$, а затем на $20\%$ и составила 3280 р. Какой была цена на эти фотоаппараты в начале месяца?

2) В овощехранилище при первой сортировке овощей потери составили $5\%$ от всей массы овощей, а при повторной – $4\%$ от оставшейся массы, после чего в хранилище оказалось 54,72 т овощей. Сколько тонн овощей было в хранилище до сортировки?

366 По данным N-ского горкомстата, товарооборот организаций, осуществляющих торговую деятельность, по сравнению с прошлым годом увеличился на 53 % и составил 902 млн р. На какую сумму увеличился их товарооборот? Ответ округлить с точностью до целого числа миллионов.

Пусть товарооборот прошлого года составлял 100%. После увеличения на 53% товарооборот текущего года составил $100\% + 53\% = 153\%$ от прошлогоднего.

Известно, что товарооборот текущего года, равный 902 млн р., соответствует 153%. Нам нужно найти сумму увеличения, которая соответствует 53%.

Составим пропорцию, где $x$ – искомая сумма увеличения товарооборота в млн р.:

$\frac{x}{53} = \frac{902}{153}$

Выразим $x$ из пропорции и вычислим его значение:

$x = \frac{902 \cdot 53}{153} = \frac{47806}{153} \approx 312.4575...$

Согласно условию, ответ необходимо округлить с точностью до целого числа миллионов.

$312.4575... \approx 312$

Ответ: 312 млн р.

366 По данным N-ского горкомстата, товарооборот организаций, осуществляющих торговую деятельность, по сравнению с прошлым годом увеличился на 53% и составил 902 млн. р. На какую сумму увеличился их товарооборот? Ответ округли с точностью до целого числа миллионов.

390 Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $p_1$, $p_2$, $p_3$ – производительность (скорость работы) первого, второго и третьего рабочих соответственно.
• Весь объем работы по выкапыванию канавы примем за 1.

Распишем условия задачи в виде математических выражений.

1. Первый этап работы (работал первый рабочий):
Время, за которое второй и третий рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{23} = \frac{1}{p_2 + p_3}$.
Первый рабочий работал половину этого времени: $t_1 = \frac{1}{2} T_{23} = \frac{1}{2(p_2 + p_3)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_1 = p_1 \cdot t_1 = \frac{p_1}{2(p_2 + p_3)}$.

2. Второй этап работы (работал второй рабочий):
Время, за которое первый и третий рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{13} = \frac{1}{p_1 + p_3}$.
Второй рабочий работал половину этого времени: $t_2 = \frac{1}{2} T_{13} = \frac{1}{2(p_1 + p_3)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_2 = p_2 \cdot t_2 = \frac{p_2}{2(p_1 + p_3)}$.

3. Третий этап работы (работал третий рабочий):
Время, за которое первый и второй рабочие вместе вырыли бы всю канаву, составляет $T_{12} = \frac{1}{p_1 + p_2}$.
Третий рабочий работал половину этого времени: $t_3 = \frac{1}{2} T_{12} = \frac{1}{2(p_1 + p_2)}$.
За это время он выполнил часть работы: $A_3 = p_3 \cdot t_3 = \frac{p_3}{2(p_1 + p_2)}$.

По условию, в результате этих трех этапов вся канава была вырыта. Это означает, что сумма выполненных работ равна 1: $A_1 + A_2 + A_3 = 1$
Подставим выражения для $A_1$, $A_2$, $A_3$:
$\frac{p_1}{2(p_2 + p_3)} + \frac{p_2}{2(p_1 + p_3)} + \frac{p_3}{2(p_1 + p_2)} = 1$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы упростить:
$\frac{p_1}{p_2 + p_3} + \frac{p_2}{p_1 + p_3} + \frac{p_3}{p_1 + p_2} = 2$

Теперь определим время, которое требуется сравнить.

Общее время, затраченное на рытье канавы поочередно, равно сумме времен работы каждого рабочего: $T_{посл} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{2(p_2 + p_3)} + \frac{1}{2(p_1 + p_3)} + \frac{1}{2(p_1 + p_2)}$

Время, которое потребовалось бы, если бы все трое работали одновременно, определяется их суммарной производительностью: $T_{совм} = \frac{1}{p_1 + p_2 + p_3}$

Нам нужно найти, во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, то есть найти отношение $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} $: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{\frac{1}{2} \left( \frac{1}{p_1+p_2} + \frac{1}{p_1+p_3} + \frac{1}{p_2+p_3} \right)}{\frac{1}{p_1 + p_2 + p_3}} = \frac{1}{2} (p_1 + p_2 + p_3) \left( \frac{1}{p_1+p_2} + \frac{1}{p_1+p_3} + \frac{1}{p_2+p_3} \right) $

Преобразуем полученное выражение, раскрыв скобки: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \frac{p_1+p_2+p_3}{p_1+p_2} + \frac{p_1+p_2+p_3}{p_1+p_3} + \frac{p_1+p_2+p_3}{p_2+p_3} \right) $
Разделим каждую дробь на две: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{p_1+p_2}{p_1+p_2} + \frac{p_3}{p_1+p_2}\right) + \left(\frac{p_1+p_3}{p_1+p_3} + \frac{p_2}{p_1+p_3}\right) + \left(\frac{p_2+p_3}{p_2+p_3} + \frac{p_1}{p_2+p_3}\right) \right) $
$ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( \left(1 + \frac{p_3}{p_1+p_2}\right) + \left(1 + \frac{p_2}{p_1+p_3}\right) + \left(1 + \frac{p_1}{p_2+p_3}\right) \right) $
Сгруппируем слагаемые: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} \left( 3 + \frac{p_1}{p_2+p_3} + \frac{p_2}{p_1+p_3} + \frac{p_3}{p_1+p_2} \right) $

Ранее мы вывели из условия, что $\frac{p_1}{p_2 + p_3} + \frac{p_2}{p_1 + p_3} + \frac{p_3}{p_1 + p_2} = 2$. Подставим это значение в наше выражение: $ \frac{T_{посл}}{T_{совм}} = \frac{1}{2} (3 + 2) = \frac{5}{2} = 2.5 $

Таким образом, при одновременной работе всех троих рабочих канава была бы вырыта в 2,5 раза быстрее.

Ответ: в 2,5 раза.

390 Трое рабочих копали канаву. Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. Затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. И наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате канава была вырыта. Во сколько раз быстрее была бы вырыта канава, если бы одновременно работали все трое рабочих?

391 Реши уравнения:

1) $|x| = x;$

2) $|x| = -x;$

3) $|x| = 2x;$

4) $|2x| = 6;$

5) $|x - 1| = 0;$

6) $|2x - 1| = 0;$

7) $|x + 1| = 4;$

8) $|x - 2| = -3.$

1) $|x| = x$

По определению, модуль числа $|x|$ равен самому числу $x$, если $x$ — неотрицательное число ($x \ge 0$), и равен $-x$, если $x$ — отрицательное число ($x < 0$).

Таким образом, уравнение $|x| = x$ является верным для всех неотрицательных чисел.

Следовательно, решением является любое число $x$, такое что $x \ge 0$.

Ответ: $x \ge 0$.

2) $|x| = -x$

По определению, модуль числа $|x|$ равен $-x$ для всех неположительных чисел ($x \le 0$).

Рассмотрим два случая:
1. Если $x < 0$, то по определению $|x| = -x$. Уравнение $-x = -x$ верно для всех $x < 0$.
2. Если $x = 0$, то $|0| = 0$ и $-0 = 0$. Уравнение $0 = 0$ также верно.

Объединяя эти случаи, получаем, что решением является любое число $x$, такое что $x \le 0$.

Ответ: $x \le 0$.

3) $|x| = 2x$

Так как модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$, по определению модуля $|x| = x$.

Подставим это в исходное уравнение: $x = 2x$.

Вычтем $x$ из обеих частей: $2x - x = 0$, откуда получаем $x = 0$.

Найденное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, значит, это единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 0$.

4) $|2x| = 6$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям, так как выражение под знаком модуля, $2x$, может быть равно либо $6$, либо $-6$. Рассмотрим оба случая:

1. $2x = 6$. Разделим обе части на 2: $x = 3$.
2. $2x = -6$. Разделим обе части на 2: $x = -3$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -3$.

5) $|x - 1| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.

Следовательно, приравниваем подмодульное выражение к нулю: $x - 1 = 0$.

Прибавим 1 к обеим частям уравнения: $x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

6) $|2x - 1| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю.

Следовательно, приравниваем подмодульное выражение к нулю: $2x - 1 = 0$.

Прибавим 1 к обеим частям: $2x = 1$.

Разделим обе части на 2: $x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$.

Ответ: $x = 0.5$.

7) $|x + 1| = 4$

Данное уравнение эквивалентно двум уравнениям, так как выражение под знаком модуля, $x+1$, может быть равно либо $4$, либо $-4$. Рассмотрим оба случая:

1. $x + 1 = 4$. Вычтем 1 из обеих частей: $x = 4 - 1$, откуда $x = 3$.
2. $x + 1 = -4$. Вычтем 1 из обеих частей: $x = -4 - 1$, откуда $x = -5$.

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.

8) $|x - 2| = -3$

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$.

В данном уравнении модуль выражения $|x - 2|$ приравнивается к отрицательному числу $-3$.

Такое равенство невозможно для действительных чисел.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

391 Реши уравнения:

1) $ |x| = x; $

2) $ |x| = -x; $

3) $ |x| = 2x; $

4) $ |2x| = 6; $

5) $ |x - 1| = 0; $

6) $ |2x - 1| = 0; $

7) $ |x + 1| = 4; $

8) $ |x - 2| = -3. $

392 Реши неравенства:

1) $|x| \le 0$;

2) $|x-5| > 0$;

3) $|x+1| < 3$;

4) $|x-1| \ge 2$.

1) Дано неравенство $|x| \le 0$.
По определению, модуль (абсолютная величина) любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$.
Таким образом, неравенство $|x| \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $|x| = 0$.
Это равенство справедливо только при $x=0$.
Ответ: $0$.

2) Дано неравенство $|x-5| > 0$.
Модуль любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x-5| \ge 0$.
Неравенство будет выполняться для всех значений $x$, кроме тех, при которых выражение под модулем обращается в ноль, так как в этом случае модуль будет равен нулю, а неравенство строгое.
Найдем значение $x$, при котором $|x-5| = 0$:
$x-5=0$
$x=5$
Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=5$.
Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3) Дано неравенство $|x+1| < 3$.
Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.
Применим это правило к нашему неравенству:
$-3 < x+1 < 3$
Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства, чтобы найти $x$:
$-3 - 1 < x + 1 - 1 < 3 - 1$
$-4 < x < 2$
Решением является интервал от -4 до 2, не включая концы.
Ответ: $(-4; 2)$.

4) Дано неравенство $|x-1| \ge 2$.
Неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.
Применим это правило:
$x-1 \ge 2$ или $x-1 \le -2$
Решим каждое неравенство отдельно.
Первое неравенство:
$x-1 \ge 2$
$x \ge 3$
Второе неравенство:
$x-1 \le -2$
$x \le -1$
Объединяя решения, получаем множество всех чисел, которые меньше или равны -1, а также всех чисел, которые больше или равны 3.
Ответ: $(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$.

392 Реши неравенства:

1) $|x| < 0;$

2) $|x - 5| > 0;$

3) $|x + 1| < 3;$

4) $|x - 1| \ge 2.$