Страница 91, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

387 Хозяйка купила 3 кг яблок по цене 40 р. за килограмм. На следующий день в этом магазине на эти яблоки была скидка 20 %, и хозяйка купила ещё 5 кг яблок. Чему равна средняя цена купленных хозяйкой яблок?

Для нахождения средней цены всех купленных яблок необходимо сначала рассчитать общую стоимость и общий вес яблок, купленных за два дня.

1. Вычислим стоимость первой покупки. Хозяйка купила 3 кг яблок по цене 40 рублей за килограмм:

$3 \text{ кг} \cdot 40 \frac{\text{р.}}{\text{кг}} = 120 \text{ р.}$

2. Найдём цену яблок на следующий день с учётом скидки в 20%. Сначала определим размер скидки:

$40 \text{ р.} \cdot 20\% = 40 \text{ р.} \cdot \frac{20}{100} = 8 \text{ р.}$

Теперь вычислим новую цену за килограмм:

$40 \frac{\text{р.}}{\text{кг}} - 8 \frac{\text{р.}}{\text{кг}} = 32 \frac{\text{р.}}{\text{кг}}.$

3. Рассчитаем стоимость второй покупки. Хозяйка купила ещё 5 кг яблок по новой цене:

$5 \text{ кг} \cdot 32 \frac{\text{р.}}{\text{кг}} = 160 \text{ р.}$

4. Теперь найдём общую стоимость всех яблок и их общий вес.

Общая стоимость: $120 \text{ р.} + 160 \text{ р.} = 280 \text{ р.}$

Общий вес: $3 \text{ кг} + 5 \text{ кг} = 8 \text{ кг.}$

5. Средняя цена вычисляется делением общей стоимости на общий вес:

$\text{Средняя цена} = \frac{\text{Общая стоимость}}{\text{Общий вес}} = \frac{280 \text{ р.}}{8 \text{ кг}} = 35 \frac{\text{р.}}{\text{кг}}.$

Ответ: 35 р.

387 Хозяйка купила $3 \text{ кг}$ яблок по цене $40 \text{ р.}$ за килограмм. На следующий день цены на яблоки в этом магазине были снижены на $20\%$, и хозяйка купила еще $5 \text{ кг}$ яблок. Чему равна средняя цена купленных хозяйкой яблок?

388 В городе N ежегодный налог на землю под индивидуальными гаражами в пределах нормы ($15 \text{ м}^2$) установлен в размере $10 \%$ от ставки земельного налога, равного $20 \text{ р}.$ за квадратный метр. Налог на часть площади сверх нормы, но не более двойной нормы, составляет $20 \%$ от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы – по полной ставке земельного налога. Вычисли величину ежегодного налога на изображённые участки земли под индивидуальными гаражами.

1) $4 \text{ м}$

$5 \text{ м}$

2) $8 \text{ м}$

$10 \text{ м}$

3) $6 \text{ м}$

$12 \text{ м}$

$10 \text{ м}$

Сначала определим условия налогообложения на основе данных задачи:

• Базовая ставка земельного налога: 20 руб. за м².
• Норма площади: 15 м².
• Двойная норма площади: $2 \times 15 \text{ м}^2 = 30 \text{ м}^2$.

Теперь рассчитаем стоимость налога за 1 м² для каждого диапазона площади:

• В пределах нормы (до 15 м²): $10\%$ от базовой ставки.
  $20 \text{ руб/м}^2 \times 0.10 = 2 \text{ руб/м}^2$.
• Сверх нормы, но не более двойной нормы (площадь от 15 м² до 30 м²): $20\%$ от базовой ставки.
  $20 \text{ руб/м}^2 \times 0.20 = 4 \text{ руб/м}^2$.
• Свыше двойной нормы (площадь свыше 30 м²): полная ставка.
  $100\%$ от базовой ставки = $20 \text{ руб/м}^2$.

Теперь вычислим налог для каждого участка.

1)

Участок представляет собой прямоугольник со сторонами 5 м и 4 м.
1. Найдем площадь участка: $S_1 = 5 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$.
2. Площадь участка (20 м²) больше нормы (15 м²), но меньше двойной нормы (30 м²). Поэтому налог будет состоять из двух частей.
3. Налог за первые 15 м² (в пределах нормы): $15 \text{ м}^2 \times 2 \text{ руб/м}^2 = 30 \text{ руб}$.
4. Налог за оставшуюся площадь ($20 \text{ м}^2 - 15 \text{ м}^2 = 5 \text{ м}^2$): $5 \text{ м}^2 \times 4 \text{ руб/м}^2 = 20 \text{ руб}$.
5. Общая сумма налога: $30 \text{ руб} + 20 \text{ руб} = 50 \text{ руб}$.
Ответ: 50 рублей.

2)

Участок представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 10 м и 8 м.
1. Найдем площадь участка: $S_2 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ м} \times 8 \text{ м} = 40 \text{ м}^2$.
2. Площадь участка (40 м²) превышает двойную норму (30 м²). Налог будет состоять из трех частей.
3. Налог за первые 15 м² (в пределах нормы): $15 \text{ м}^2 \times 2 \text{ руб/м}^2 = 30 \text{ руб}$.
4. Налог за следующие 15 м² (сверх нормы до двойной нормы): $15 \text{ м}^2 \times 4 \text{ руб/м}^2 = 60 \text{ руб}$.
5. Налог за оставшуюся площадь ($40 \text{ м}^2 - 30 \text{ м}^2 = 10 \text{ м}^2$): $10 \text{ м}^2 \times 20 \text{ руб/м}^2 = 200 \text{ руб}$.
6. Общая сумма налога: $30 \text{ руб} + 60 \text{ руб} + 200 \text{ руб} = 290 \text{ руб}$.
Ответ: 290 рублей.

3)

Участок представляет собой трапецию с основаниями 10 м и 12 м и высотой 6 м.
1. Найдем площадь участка: $S_3 = \frac{10 \text{ м} + 12 \text{ м}}{2} \times 6 \text{ м} = \frac{22}{2} \times 6 = 11 \times 6 = 66 \text{ м}^2$.
2. Площадь участка (66 м²) превышает двойную норму (30 м²). Налог будет состоять из трех частей.
3. Налог за первые 15 м² (в пределах нормы): $15 \text{ м}^2 \times 2 \text{ руб/м}^2 = 30 \text{ руб}$.
4. Налог за следующие 15 м² (сверх нормы до двойной нормы): $15 \text{ м}^2 \times 4 \text{ руб/м}^2 = 60 \text{ руб}$.
5. Налог за оставшуюся площадь ($66 \text{ м}^2 - 30 \text{ м}^2 = 36 \text{ м}^2$): $36 \text{ м}^2 \times 20 \text{ руб/м}^2 = 720 \text{ руб}$.
6. Общая сумма налога: $30 \text{ руб} + 60 \text{ руб} + 720 \text{ руб} = 810 \text{ руб}$.
Ответ: 810 рублей.

388 В городе N ежегодный налог на землю под индивидуальными гаражами в пределах нормы ($15 \text{ м}^2$) установлен в размере $10\%$ от ставки земельного налога, равного $20 \text{ р.}$ за квадратный метр. Налог на часть площади сверх нормы, но не более двойной нормы, составляет $20\%$ от ставки земельного налога, а налог на часть площади свыше двойной нормы – по полной ставке земельного налога. Вычисли величину ежегодного налога на изображенные участки земли под индивидуальными гаражами:

1) $5 \text{ м}$ $4 \text{ м}$

2) $8 \text{ м}$ $10 \text{ м}$

3) $12 \text{ м}$ $6 \text{ м}$ $10 \text{ м}$

Π 389. Верно ли, что:

а) 30 % равны $ \frac{1}{3} $;

б) 25 % равны $ \frac{1}{5} $;

в) 49 % составляют $ <\frac{1}{2} $;

г) 78 % составляют $ >\frac{3}{4} $;

д) увеличить на 200 % – это увеличить в 2 раза;

е) уменьшить на 50 % – это уменьшить в 2 раза?

а) 30 % равны одной трети

Чтобы проверить утверждение, необходимо сравнить 30% и дробь $\frac{1}{3}$.
Переведём 30% в обыкновенную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$.
Теперь сравним две дроби: $\frac{3}{10}$ и $\frac{1}{3}$. Для этого приведём их к общему знаменателю 30:
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 10}{3 \cdot 10} = \frac{10}{30}$
Поскольку $\frac{9}{30} \neq \frac{10}{30}$, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

б) 25 % равны одной пятой

Сравним 25% и дробь $\frac{1}{5}$.
Переведём 25% в обыкновенную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Сравниваем дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$. Так как $4 \neq 5$, то $\frac{1}{4} \neq \frac{1}{5}$. Утверждение неверно.
Ответ: неверно.

в) 49 % составляют меньше половины

Половина — это $\frac{1}{2}$, что в процентах составляет $\frac{1}{2} \cdot 100\% = 50\%$.
Сравниваем 49% и 50%.
Так как $49 < 50$, то $49\%$ действительно меньше половины. Утверждение верно.
Ответ: верно.

г) 78 % составляют больше трёх четвертей

Три четверти — это дробь $\frac{3}{4}$.
Переведём эту дробь в проценты: $\frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\%$.
Сравниваем 78% и 75%.
Так как $78 > 75$, то $78\%$ действительно больше трёх четвертей. Утверждение верно.
Ответ: верно.

д) увеличить на 200 % – это увеличить в 2 раза

Пусть исходное число — это $x$.
Увеличить на 200% означает прибавить к исходному числу 200% от него самого: $x + \frac{200}{100} \cdot x = x + 2x = 3x$.
Увеличить в 2 раза означает умножить исходное число на 2: $x \cdot 2 = 2x$.
Так как $3x \neq 2x$, утверждение неверно. Увеличить на 200% — это увеличить в 3 раза.
Ответ: неверно.

е) уменьшить на 50 % – это уменьшить в 2 раза

Пусть исходное число — это $x$.
Уменьшить на 50% означает вычесть из исходного числа 50% от него самого: $x - \frac{50}{100} \cdot x = x - 0.5x = 0.5x$.
Уменьшить в 2 раза означает разделить исходное число на 2: $x \div 2 = \frac{x}{2} = 0.5x$.
Так как результаты совпадают ($0.5x = 0.5x$), утверждение верно.
Ответ: верно.

$\Pi$ 389 Верно ли, что:

а) $30\%$ равны одной трети;

б) $25\%$ равны одной пятой;

в) $49\%$ составляют меньше половины;

г) $78\%$ составляют больше трех четвертей;

д) увеличить на $200\%$ – это увеличить в 2 раза;

е) уменьшить на $50\%$ – это уменьшить в 2 раза?

390 Найди равносильные утверждения и, располагая соответствующие им цифры в порядке возрастания, составь цифровой код:

0 А составляет $40 \%$ от B;

1 А в $4$ раза меньше, чем B;

2 A составляет $25 \%$ от B;

3 А в $2$ раза меньше, чем B;

4 B больше, чем A, на $300 \%$;

5 А больше, чем B, в $2,5$ раза;

6 B больше, чем A, на $100 \%$;

7 А меньше, чем B, на $75 \%$;

8 A составляет $50 \%$ от B;

9 А на $150 \%$ больше, чем B.

Для того чтобы найти равносильные утверждения, необходимо каждое из них представить в виде математической формулы, связывающей переменные A и B. После этого мы сможем сгруппировать утверждения, которые выражаются одной и той же формулой.

Первая группа равносильных утверждений (соотношение $A = 0.25B$)

В эту группу входят утверждения, которые сводятся к тому, что A составляет 25% от B.

• 1 А в 4 раза меньше, чем B;

  Это означает, что $B$ в 4 раза больше $A$, то есть $B = 4A$. Выразив $A$ через $B$, получаем $A = \frac{1}{4}B = 0.25B$.

• 2 A составляет 25 % от B;

  Это утверждение напрямую переводится в формулу $A = \frac{25}{100}B = 0.25B$.

• 4 B больше, чем A, на 300 %;

  Это означает, что $B$ равно $A$ плюс 300% от $A$. Математически это записывается как $B = A + \frac{300}{100}A = A + 3A = 4A$. Отсюда следует, что $A = \frac{1}{4}B = 0.25B$.

• 7 A меньше, чем B, на 75 %;

  Это означает, что $A$ равно $B$ минус 75% от $B$. Формула: $A = B - \frac{75}{100}B = B - 0.75B = 0.25B$.

Таким образом, утверждения под номерами 1, 2, 4 и 7 равносильны. Составим цифровой код, расположив эти цифры в порядке возрастания.

Ответ: 1247

Вторая группа равносильных утверждений (соотношение $A = 0.5B$)

В эту группу входят утверждения, которые сводятся к тому, что A составляет 50% от B.

• 3 А в 2 раза меньше, чем B;

  Это означает, что $B = 2A$. Выразив $A$ через $B$, получаем $A = \frac{1}{2}B = 0.5B$.

• 6 B больше, чем A, на 100 %;

  Это означает, что $B$ равно $A$ плюс 100% от $A$. Формула: $B = A + \frac{100}{100}A = A + A = 2A$. Отсюда $A = \frac{1}{2}B = 0.5B$.

• 8 A составляет 50 % от B;

  Это утверждение напрямую переводится в формулу $A = \frac{50}{100}B = 0.5B$.

Утверждения под номерами 3, 6 и 8 равносильны. Составим цифровой код, расположив эти цифры в порядке возрастания.

Ответ: 368

Третья группа равносильных утверждений (соотношение $A = 2.5B$)

В эту группу входят утверждения, которые сводятся к тому, что A в 2,5 раза больше B.

• 5 A больше, чем B, в 2,5 раза;

  Это утверждение напрямую переводится в формулу $A = 2.5B$.

• 9 A на 150 % больше, чем B.

  Это означает, что $A$ равно $B$ плюс 150% от $B$. Формула: $A = B + \frac{150}{100}B = B + 1.5B = 2.5B$.

Утверждения под номерами 5 и 9 равносильны. Составим цифровой код, расположив эти цифры в порядке возрастания.

Ответ: 59

Утверждение, не имеющее равносильных

Утверждение 0 А составляет 40 % от B; соответствует формуле $A = 0.4B$. В данном списке нет других утверждений, которые были бы ему равносильны.

390 Найди равносильные утверждения и, располагая соответствующие им цифры в порядке возрастания, составь цифровой код:

0 А составляет 40% от В;

1 А в 4 раза меньше, чем В;

2 А составляет 25% от В;

3 А в 2 раза меньше, чем В;

4 В больше, чем А, на 300%;

5 А больше, чем В, в 2,5 раза;

6 В больше, чем А, на 100%;

7 А меньше, чем В, на 75%;

8 А составляет 50% от В;

9 А на 150% больше, чем В.

391 Вычисли и объясни, почему разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату.

Первая цепочка:

$ 60 : 2 \cdot 0,1 \cdot 4 \cdot 100 : 3 \cdot 0,2 : 4 = ? $

Вторая цепочка:

$ 60 \cdot \frac{1}{2} : 10 : 0,25 : 0,01 \cdot \frac{1}{3} : 5 \cdot 0,25 = ? $

Вычисли

Верхняя цепочка вычислений:

1. $60 : 2 = 30$
2. $30 \cdot 0,1 = 3$
3. $3 \cdot 4 = 12$
4. $12 \cdot 100 = 1200$
5. $1200 : 3 = 400$
6. $400 \cdot 0,2 = 80$
7. $80 : 4 = 20$

Нижняя цепочка вычислений:

1. $60 \cdot \frac{1}{2} = 30$
2. $30 : 10 = 3$
3. $3 : 0,25 = 3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot 4 = 12$
4. $12 : 0,01 = 12 : \frac{1}{100} = 12 \cdot 100 = 1200$
5. $1200 \cdot \frac{1}{3} = 400$
6. $400 : 5 = 80$
7. $80 \cdot 0,25 = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20$

Результат вычислений в обеих цепочках одинаков.

Ответ: 20.

Объясни

Разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату, потому что каждая операция в верхней цепочке является математически эквивалентной (равносильной) соответствующей по порядку операции в нижней цепочке. Сравним операции на каждом шаге:

• Шаг 1: Разделить на 2 ($: 2$) — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{2}$ ($\cdot \frac{1}{2}$).
• Шаг 2: Умножить на 0,1 ($\cdot 0,1$) — это то же самое, что разделить на 10 ($: 10$), поскольку $0,1 = \frac{1}{10}$.
• Шаг 3: Умножить на 4 ($\cdot 4$) — это то же самое, что разделить на 0,25 ($: 0,25$), поскольку деление на $0,25$ (то есть на $\frac{1}{4}$) равносильно умножению на 4.
• Шаг 4: Умножить на 100 ($\cdot 100$) — это то же самое, что разделить на 0,01 ($: 0,01$), поскольку деление на $0,01$ (то есть на $\frac{1}{100}$) равносильно умножению на 100.
• Шаг 5: Разделить на 3 ($: 3$) — это то же самое, что умножить на $\frac{1}{3}$ ($\cdot \frac{1}{3}$).
• Шаг 6: Умножить на 0,2 ($\cdot 0,2$) — это то же самое, что разделить на 5 ($: 5$), поскольку $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
• Шаг 7: Разделить на 4 ($: 4$) — это то же самое, что умножить на 0,25 ($\cdot 0,25$), поскольку $0,25 = \frac{1}{4}$.

Таким образом, мы начинаем с одного и того же числа 60 и последовательно выполняем равносильные математические преобразования. Это неизбежно приводит к одинаковому конечному результату.

Можно также представить все операции в виде одного выражения. Для обеих цепочек оно будет сводиться к умножению исходного числа на один и тот же коэффициент:

$60 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot 4 \cdot 100 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4}) = 60 \cdot \frac{400}{1200} = 60 \cdot \frac{1}{3} = 20$.

Ответ: Цепочки приводят к одному и тому же результату, так как состоят из последовательности математически эквивалентных операций, применяемых к одному и тому же начальному числу.

391 Вычисли и объясни, почему разные цепочки вычислений приводят к одному и тому же результату:

Верхняя цепочка

$60 \xrightarrow{:2} \square \xrightarrow{\cdot 0,1} \square \xrightarrow{\cdot 4} \square \xrightarrow{\cdot 100} \square \xrightarrow{:3} \square \xrightarrow{\cdot 0,2} \square \xrightarrow{:4} ?$

Нижняя цепочка

$60 \xrightarrow{\cdot \frac{1}{2}} \square \xrightarrow{:10} \square \xrightarrow{:0,25} \square \xrightarrow{:0,01} \square \xrightarrow{\cdot \frac{1}{3}} \square \xrightarrow{:5} \square \xrightarrow{\cdot 0,25} ?$

392 Сравни и объясни, как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов, если все переменные – натуральные числа:

$a + 2,3$ □ $a + 3\frac{1}{5}$;

$5\frac{1}{7} - c$ □ $5\frac{1}{9} - c$;

$2,125x$ □ $x \cdot 2\frac{1}{8}$;

$b - 0,5$ □ $b - 0,3$;

$3,12 : d$ □ $3,2 : d$;

$y : 0,56$ □ $y : 0,6$.

$a + 2,3 \ \square \ a + 3\frac{4}{5}$

Данные выражения являются суммами с одинаковым первым слагаемым a. При увеличении одного из слагаемых сумма увеличивается. Следовательно, результат зависит от сравнения вторых слагаемых: $2,3$ и $3\frac{4}{5}$.
Переведем смешанное число $3\frac{4}{5}$ в десятичную дробь: $3\frac{4}{5} = 3 + \frac{4}{5} = 3 + 0,8 = 3,8$.
Сравниваем $2,3$ и $3,8$. Так как $2,3 < 3,8$, то и сумма $a + 2,3$ будет меньше суммы $a + 3\frac{4}{5}$.
Ответ: $a + 2,3 < a + 3\frac{4}{5}$.

$b - 0,5 \ \square \ b - 0,3$

Данные выражения являются разностями с одинаковым уменьшаемым b. При увеличении вычитаемого разность уменьшается. Сравним вычитаемые: $0,5$ и $0,3$.
Так как $0,5 > 0,3$, из числа b в первом выражении вычитается большее число, значит, результат (разность) будет меньше.
Ответ: $b - 0,5 < b - 0,3$.

$5\frac{1}{7} - c \ \square \ 5\frac{1}{9} - c$

Данные выражения являются разностями с одинаковым вычитаемым c. При увеличении уменьшаемого разность увеличивается. Сравним уменьшаемые: $5\frac{1}{7}$ и $5\frac{1}{9}$.
Целые части чисел равны (5), поэтому сравним их дробные части: $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{9}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Так как $7 < 9$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}$. Следовательно, $5\frac{1}{7} > 5\frac{1}{9}$.
Поскольку уменьшаемое в первом выражении больше, то и вся разность будет больше.
Ответ: $5\frac{1}{7} - c > 5\frac{1}{9} - c$.

$2,125x \ \square \ x \cdot 2\frac{1}{8}$

Данные выражения являются произведениями с одинаковым множителем x (по условию $x$ — натуральное число, значит $x > 0$). При умножении на одно и то же положительное число, произведение будет больше там, где больше второй множитель. Сравним вторые множители: $2,125$ и $2\frac{1}{8}$.
Переведем смешанное число $2\frac{1}{8}$ в десятичную дробь: $2\frac{1}{8} = 2 + \frac{1}{8} = 2 + 0,125 = 2,125$.
Так как множители равны ($2,125 = 2\frac{1}{8}$), то и произведения будут равны.
Ответ: $2,125x = x \cdot 2\frac{1}{8}$.

$3,12 : d \ \square \ 3,2 : d$

Данные выражения являются частными с одинаковым делителем d (по условию $d$ — натуральное число, значит $d > 0$). При делении на одно и то же положительное число, частное будет больше там, где больше делимое. Сравним делимые: $3,12$ и $3,2$.
Представим $3,2$ как $3,20$.
Так как $3,12 < 3,20$, то и частное от деления $3,12$ на d будет меньше, чем частное от деления $3,2$ на d.
Ответ: $3,12 : d < 3,2 : d$.

$y : 0,56 \ \square \ y : 0,6$

Данные выражения являются частными с одинаковым делимым y (по условию $y$ — натуральное число, значит $y > 0$). При делении одного и того же положительного числа, частное будет больше там, где меньше делитель. Сравним делители: $0,56$ и $0,6$.
Представим $0,6$ как $0,60$.
Так как $0,56 < 0,60$, то при делении на меньшее число ($0,56$) результат (частное) будет больше.
Ответ: $y : 0,56 > y : 0,6$.

392 Сравни и объясни, как изменяются результаты арифметических действий при изменении их компонентов, если все переменные – натуральные числа:

$a + 2.3$ $a + 3\frac{4}{5}$ $5\frac{1}{7} - c$ $5\frac{1}{9} - c$ $2.125x$ $x \cdot 2\frac{1}{8}$

$b - 0.5$ $b - 0.3$ $3.12 : d$ $3.2 : d$ $y : 0.56$ $y : 0.6$

405 Стоимость $x$ р. билета в театр зависит от номера ряда $n$, в котором расположено место, в соответствии со следующими расценками:

$x = \begin{cases} 1500, & \text{если } 1 \le n \le 10; \\ 1200, & \text{если } 10 < n \le 15; \\ 900, & \text{если } 15 < n \le 20. \end{cases}$

Сколько стоит билет в этот театр на места, расположенные в 8-м ряду, 10-м ряду, 15-м ряду, 18-м ряду, 20-м ряду?

Для определения стоимости билета $x$ (в рублях) в зависимости от номера ряда $n$ используется следующая система расценок:

$x = \begin{cases} 1500, & \text{если } 1 \le n \le 10; \\ 1200, & \text{если } 10 < n \le 15; \\ 900, & \text{если } 15 < n \le 20. \end{cases} $

Определим стоимость билета для каждого указанного ряда.

в 8-м ряду
Номер ряда $n = 8$. Это значение попадает в диапазон $1 \le 8 \le 10$.
Следовательно, стоимость билета составляет 1500 рублей.
Ответ: 1500 р.

10-м ряду
Номер ряда $n = 10$. Это значение попадает в диапазон $1 \le 10 \le 10$.
Следовательно, стоимость билета составляет 1500 рублей.
Ответ: 1500 р.

15-м ряду
Номер ряда $n = 15$. Это значение попадает в диапазон $10 < 15 \le 15$.
Следовательно, стоимость билета составляет 1200 рублей.
Ответ: 1200 р.

18-м ряду
Номер ряда $n = 18$. Это значение попадает в диапазон $15 < 18 \le 20$.
Следовательно, стоимость билета составляет 900 рублей.
Ответ: 900 р.

20-м ряду
Номер ряда $n = 20$. Это значение попадает в диапазон $15 < 20 \le 20$.
Следовательно, стоимость билета составляет 900 рублей.
Ответ: 900 р.

405 Стоимость $x$ р. билета в театр зависит от номера ряда $n$, в котором расположено место, в соответствии со следующими расценками:

Сколько стоит билет в этот театр на места, расположенные в 8-м ряду, 10-м ряду, 15-м ряду, 18-м ряду, 20-м ряду?

406 Скорость $v$ км/ч пешехода изменялась в зависимости от времени его движения $t$ ч следующим образом:

$v = \begin{cases} 3, \text{ если } 0 \le t \le 1,5; \\ 4,2, \text{ если } 1,5 < t \le 2; \\ 0, \text{ если } 2 < t \le 3; \\ 2,8, \text{ если } 3 < t \le 5. \end{cases}$

Чему была равна скорость пешехода через 40 мин после выхода, через 1 ч 50 мин, через 2 ч 30 мин, через 4 ч 10 мин?

Для решения задачи необходимо определить, в какой временной интервал попадает каждый из указанных моментов времени. Время $t$ в формуле дано в часах, поэтому сначала переведем заданные значения времени в часы.

через 40 мин после выхода
Переведем 40 минут в часы. Поскольку в одном часе 60 минут, получаем:
$t = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч} \approx 0,67 \text{ ч}$.
Это значение времени удовлетворяет первому условию: $0 \le \frac{2}{3} \le 1,5$.
Следовательно, скорость пешехода на этом этапе равна 3 км/ч.
Ответ: 3 км/ч.

через 1 ч 50 мин
Переведем 1 час 50 минут в часы:
$t = 1 \text{ ч} + 50 \text{ мин} = 1 + \frac{50}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{5}{6} \text{ ч} = 1\frac{5}{6} \text{ ч} \approx 1,83 \text{ ч}$.
Полученное значение времени попадает во второй интервал: $1,5 < 1\frac{5}{6} \le 2$.
Таким образом, скорость пешехода в этот момент составляла 4,2 км/ч.
Ответ: 4,2 км/ч.

через 2 ч 30 мин
Переведем 2 часа 30 минут в часы:
$t = 2 \text{ ч} + 30 \text{ мин} = 2 + \frac{30}{60} \text{ ч} = 2 + 0,5 \text{ ч} = 2,5 \text{ ч}$.
Это значение времени соответствует третьему интервалу: $2 < 2,5 \le 3$.
В этом интервале скорость пешехода равна 0 км/ч (пешеход остановился).
Ответ: 0 км/ч.

через 4 ч 10 мин
Переведем 4 часа 10 минут в часы:
$t = 4 \text{ ч} + 10 \text{ мин} = 4 + \frac{10}{60} \text{ ч} = 4 + \frac{1}{6} \text{ ч} = 4\frac{1}{6} \text{ ч} \approx 4,17 \text{ ч}$.
Это значение времени попадает в четвертый интервал: $3 < 4\frac{1}{6} \le 5$.
Скорость пешехода в этот момент времени равна 2,8 км/ч.
Ответ: 2,8 км/ч.

406 Скорость $v$ км/ч пешехода изменялась в зависимости от времени его движения $t$ ч следующим образом:

$v = \begin{cases} 3, & \text{если } 0 \le t \le 1,5; \\ 4,2, & \text{если } 1,5 < t \le 2; \\ 0, & \text{если } 2 < t \le 3; \\ 2,8, & \text{если } 3 < t \le 5. \end{cases}$

Чему была равна скорость пешехода через 40 мин после выхода, через 1 ч 50 мин, через 2 ч 30 мин, через 4 ч 10 мин?

407 Запиши определение модуля в «разветвлённой» форме. Пользуясь им, найди модули чисел:

1) 9;

2) -5;

3) -3,6;

4) 0;

5) $1\frac{1}{8}$;

6) -7,4;

7) -82;

8) 4,5;

9) $5\frac{2}{3}$;

10) -12,3.

Определение модуля числа $a$ (или абсолютной величины) в «разветвлённой» (кусочно-заданной) форме выглядит следующим образом:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Это означает, что модуль неотрицательного числа ($a \ge 0$) равен самому числу, а модуль отрицательного числа ($a < 0$) равен противоположному ему положительному числу.

Используя это определение, найдем модули указанных чисел.

1) 9
Число 9 положительное ($9 > 0$), поэтому его модуль равен самому числу.
$|9| = 9$.
Ответ: 9.

2) -5
Число -5 отрицательное ($-5 < 0$), поэтому его модуль равен противоположному числу.
$|-5| = -(-5) = 5$.
Ответ: 5.

3) -3,6
Число -3,6 отрицательное ($-3,6 < 0$), поэтому его модуль равен противоположному числу.
$|-3,6| = -(-3,6) = 3,6$.
Ответ: 3,6.

4) 0
Число 0 является неотрицательным ($0 \ge 0$), поэтому его модуль равен самому числу.
$|0| = 0$.
Ответ: 0.

5) $1\frac{1}{8}$
Число $1\frac{1}{8}$ положительное ($1\frac{1}{8} > 0$), поэтому его модуль равен самому числу.
$|1\frac{1}{8}| = 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $1\frac{1}{8}$.

6) -7,4
Число -7,4 отрицательное ($-7,4 < 0$), поэтому его модуль равен противоположному числу.
$|-7,4| = -(-7,4) = 7,4$.
Ответ: 7,4.

7) -82
Число -82 отрицательное ($-82 < 0$), поэтому его модуль равен противоположному числу.
$|-82| = -(-82) = 82$.
Ответ: 82.

8) 4,5
Число 4,5 положительное ($4,5 > 0$), поэтому его модуль равен самому числу.
$|4,5| = 4,5$.
Ответ: 4,5.

9) $5\frac{2}{3}$
Число $5\frac{2}{3}$ положительное ($5\frac{2}{3} > 0$), поэтому его модуль равен самому числу.
$|5\frac{2}{3}| = 5\frac{2}{3}$.
Ответ: $5\frac{2}{3}$.

10) -12,3
Число -12,3 отрицательное ($-12,3 < 0$), поэтому его модуль равен противоположному числу.
$|-12,3| = -(-12,3) = 12,3$.
Ответ: 12,3.

407 Запиши определение модуля в "разветвленной" форме. Пользуясь им, найди модули чисел:

1) 9;

2) -5;

3) -3,6;

4) 0;

5) $1\frac{1}{8}$;

6) -7,4;

7) -82;

8) 4,5;

9) $5\frac{2}{3}$;

10) -12,3.

408 Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в «разветвлённой» форме:

1) $|x| = 4$;

2) $|y| = 0$;

3) $|z| = -3$;

4) $|t| = 1,5$;

5) $|x| = a$, где $a > 0$;

6) $|x| = b$, где $b \ge 0$;

7) $|x| = c$, где $c < 0$;

8) $|x| = d$, где $d \le 0$.

Для решения данных уравнений воспользуемся определением модуля в «разветвлённой» форме:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

1) $|x| = 4$

Согласно определению модуля, данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1. $\begin{cases} x \ge 0 \\ x = 4 \end{cases}$ Решением этой системы является $x = 4$.

2. $\begin{cases} x < 0 \\ -x = 4 \end{cases}$ Решением этой системы является $x = -4$.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-4, 4\}$.

2) $|y| = 0$

Рассмотрим два случая:

1. Если $y \ge 0$, то уравнение принимает вид $y = 0$. Это значение удовлетворяет условию $y \ge 0$.

2. Если $y < 0$, то уравнение принимает вид $-y = 0$, откуда $y = 0$. Это значение не удовлетворяет условию $y < 0$, поэтому в этом случае корней нет.

Уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $\{0\}$.

3) $|z| = -3$

По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $|z| \ge 0$ для любого $z$. Правая часть уравнения, $-3$, является отрицательным числом. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: $\emptyset$.

4) $|t| = 1,5$

Раскрываем модуль по определению:

1. Если $t \ge 0$, то $t = 1,5$. Корень $1,5$ удовлетворяет условию.

2. Если $t < 0$, то $-t = 1,5$, откуда $t = -1,5$. Корень $-1,5$ удовлетворяет условию.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-1,5; 1,5\}$.

5) $|x| = a$, где $a > 0$

Так как $a$ — положительное число, рассуждаем аналогично пункту 1:

1. Если $x \ge 0$, то $x = a$. Поскольку $a > 0$, это является корнем.

2. Если $x < 0$, то $-x = a$, откуда $x = -a$. Поскольку $a > 0$, то $-a < 0$, следовательно, это также является корнем.

Множество корней уравнения состоит из двух чисел.

Ответ: $\{-a, a\}$.

6) $|x| = b$, где $b \ge 0$

Этот случай обобщает пункты 2 и 5. Рассмотрим два подслучая для $b$:

1. Если $b > 0$, то, как и в пункте 5, уравнение имеет два корня: $x=b$ и $x=-b$.

2. Если $b = 0$, то, как и в пункте 2, уравнение $|x|=0$ имеет один корень: $x=0$.

Оба случая можно объединить в один ответ.

Ответ: $\{-b, b\}$.

7) $|x| = c$, где $c < 0$

Этот случай является обобщением пункта 3. Модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$). По условию, $c$ — отрицательное число. Уравнение не имеет решений, так как неотрицательная величина не может равняться отрицательной.

Ответ: $\emptyset$.

8) $|x| = d$, где $d \le 0$

Этот случай обобщает пункты 3 и 2. Рассмотрим два подслучая для $d$:

1. Если $d < 0$, то, как и в пункте 7, уравнение не имеет корней, так как $|x| \ge 0$.

2. Если $d = 0$, то уравнение принимает вид $|x| = 0$, и, как в пункте 2, его единственный корень $x=0$.

Таким образом, решение зависит от значения $d$.

Ответ: $\emptyset$ при $d < 0$; $\{0\}$ при $d = 0$.

408 Найди множество корней уравнения, пользуясь определением модуля в “разветвленной” форме:

1) $|x| = 4;$

2) $|y| = 0;$

3) $|z| = -3;$

4) $|t| = 1,5;$

5) $|x| = a$, где $a > 0;$

6) $|x| = b$, где $b \ge 0;$

7) $|x| = c$, где $c < 0;$

8) $|x| = d$, где $d \le 0.$

409 Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера – Венна множеств $N$, $Z$ и $Q$ и отметь на ней элементы множества $A = \{-6; 2.5; 0; 4; \frac{1}{3}; -1 \frac{2}{7}\}$.

Для решения данной задачи необходимо классифицировать каждый элемент множества $A = \{-6; 2,5; 0; 4; \frac{1}{3}; -1 \frac{2}{7}\}$ и расположить его в соответствующей области на диаграмме Эйлера-Венна для множеств натуральных (N), целых (Z) и рациональных (Q) чисел.

Сначала определимся с множествами:

• N — множество натуральных чисел. Это числа, которые мы используем для счета: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$.
• Z — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, чисел, им противоположных, и нуля: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• Q — множество рациональных чисел. Это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).

Из определений следует, что любое натуральное число является целым, а любое целое число является рациональным. Это соотношение вложенности множеств $N \subset Z \subset Q$ и показано на диаграмме.

Теперь проанализируем каждый элемент множества A:

• 4: Это натуральное число, так как используется при счете. Следовательно, оно принадлежит множеству N.
• 0: Это целое число, но не натуральное (в стандартном определении натуральных чисел). Следовательно, оно принадлежит множеству Z, но не N.
• -6: Это отрицательное целое число. Оно принадлежит множеству Z, но не N.
• 2,5: Это конечная десятичная дробь, которую можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{25}{10}$ или $\frac{5}{2}$. Значит, это рациональное число, но не целое. Оно принадлежит множеству Q, но не Z.
• $\frac{1}{3}$: Это обыкновенная дробь, которая является рациональным числом, но не целым. Она принадлежит множеству Q, но не Z.
• $-1 \frac{2}{7}$: Это смешанное число, которое можно представить в виде неправильной дроби $-\frac{9}{7}$. Это рациональное число, но не целое. Оно принадлежит множеству Q, но не Z.

Таким образом, элементы множества А распределяются по диаграмме следующим образом:

• В самую внутреннюю область (N) помещаем число 4.
• В среднее кольцо (область Z без N) помещаем числа 0 и -6.
• Во внешнее кольцо (область Q без Z) помещаем числа 2,5, $\frac{1}{3}$ и $-1 \frac{2}{7}$.

Ответ:

Ниже представлена итоговая диаграмма Эйлера-Венна с отмеченными на ней элементами множества A.

П 409 Перерисуй в тетрадь диаграмму Эйлера-Венна множеств $N$, $Z$ и $Q$ и отметь на ней элементы множества $A = \{-6; 2,5; 0; 4; \frac{1}{3}; -1\frac{2}{7}\}$.

410 Реши уравнения:

1) $(\frac{2}{3}a - 0,7): 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30}$;

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5}$;

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4$;

4) $\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5$;

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75}$;

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5)$;

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15}$;

8) $4(n + \frac{5}{12}) = 1\frac{1}{6}(6n - 1\frac{1}{7})$.

1) $(\frac{2}{3}a - 0,7) : 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30}$

Перенесем $0,5$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$(\frac{2}{3}a - 0,7) : 1,5 = \frac{29}{30} - 0,5$
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $0,7 = \frac{7}{10}$, $1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$, $0,5 = \frac{1}{2}$.
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{29}{30} - \frac{1}{2}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 30:
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{29}{30} - \frac{15}{30}$
$(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10}) : \frac{3}{2} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$
Теперь найдем делимое $(\frac{2}{3}a - \frac{7}{10})$, умножив частное на делитель:
$\frac{2}{3}a - \frac{7}{10} = \frac{7}{15} \cdot \frac{3}{2}$
$\frac{2}{3}a - \frac{7}{10} = \frac{21}{30} = \frac{7}{10}$
Перенесем $-\frac{7}{10}$ в правую часть:
$\frac{2}{3}a = \frac{7}{10} + \frac{7}{10}$
$\frac{2}{3}a = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$
Найдем $a$, разделив правую часть на коэффициент при $a$:
$a = \frac{7}{5} : \frac{2}{3} = \frac{7}{5} \cdot \frac{3}{2}$
$a = \frac{21}{10} = 2,1$
Ответ: $2,1$.

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5}$

Преобразуем десятичные дроби и смешанное число в обыкновенные дроби: $4,2 = \frac{42}{10} = \frac{21}{5}$, $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$.
$\frac{21}{5} - \frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{18}{5}$
Найдем вычитаемое, вычтя из уменьшаемого разность:
$\frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{21}{5} - \frac{18}{5}$
$\frac{1}{5} : (\frac{1}{6} + 3b) = \frac{3}{5}$
Теперь найдем делитель $(\frac{1}{6} + 3b)$, разделив делимое на частное:
$\frac{1}{6} + 3b = \frac{1}{5} : \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3}$
$\frac{1}{6} + 3b = \frac{1}{3}$
Найдем неизвестное слагаемое $3b$:
$3b = \frac{1}{3} - \frac{1}{6}$
Приведем дроби к общему знаменателю 6:
$3b = \frac{2}{6} - \frac{1}{6}$
$3b = \frac{1}{6}$
Найдем $b$:
$b = \frac{1}{6} : 3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}$
$b = \frac{1}{18}$
Ответ: $\frac{1}{18}$.

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4$

Сложим коэффициенты при переменной $c$ в левой части уравнения:
$(2 + 0,2 - 0,8 + 3,4)c = 6,4$
$(2,2 - 0,8 + 3,4)c = 6,4$
$(1,4 + 3,4)c = 6,4$
$4,8c = 6,4$
Найдем $c$:
$c = \frac{6,4}{4,8} = \frac{64}{48}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
$c = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

4) $\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5$

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби: $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$, $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.
$\frac{2}{3}d - \frac{1}{2}d + d + \frac{13}{6} = \frac{9}{2}$
Сгруппируем члены с переменной $d$ в левой части, а числовые значения — в правой:
$(\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1)d = \frac{9}{2} - \frac{13}{6}$
Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю (в левой — 6, в правой — 6):
$(\frac{4}{6} - \frac{3}{6} + \frac{6}{6})d = \frac{27}{6} - \frac{13}{6}$
$\frac{7}{6}d = \frac{14}{6}$
Упростим правую часть: $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.
$\frac{7}{6}d = \frac{7}{3}$
Найдем $d$:
$d = \frac{7}{3} : \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7}$
$d = \frac{6}{3} = 2$
Ответ: $2$.

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$5\frac{1}{3} \cdot 0,75 = 0,2x \cdot 8$
Преобразуем смешанное число и десятичные дроби в обыкновенные: $5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$, $0,75 = \frac{3}{4}$, $0,2 = \frac{1}{5}$.
$\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{5}x \cdot 8$
Выполним умножение в обеих частях:
$\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{8}{5}x$
$4 = \frac{8}{5}x$
Найдем $x$:
$x = 4 : \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8}$
$x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: $2,5$.

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5)$

Это пропорция. Применим основное свойство пропорции:
$0,2 \cdot (0,4y - 1,5) = \frac{3}{16} \cdot 2\frac{2}{3}$
Преобразуем все числа в обыкновенные дроби: $0,2 = \frac{1}{5}$, $0,4 = \frac{2}{5}$, $1,5 = \frac{3}{2}$, $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$.
$\frac{1}{5}(\frac{2}{5}y - \frac{3}{2}) = \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{3}$
Упростим правую часть: $\frac{3 \cdot 8}{16 \cdot 3} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
Раскроем скобки в левой части:
$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}y - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{25}y - \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$
Перенесем $-\frac{3}{10}$ в правую часть:
$\frac{2}{25}y = \frac{1}{2} + \frac{3}{10}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 10:
$\frac{2}{25}y = \frac{5}{10} + \frac{3}{10}$
$\frac{2}{25}y = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Найдем $y$:
$y = \frac{4}{5} : \frac{2}{25} = \frac{4}{5} \cdot \frac{25}{2}$
$y = \frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 2} = \frac{100}{10} = 10$
Ответ: $10$.

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15}$

Сгруппируем члены с переменной $m$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$6m - 2,8m = \frac{1}{15} + 2,6$
$3,2m = \frac{1}{15} + \frac{26}{10}$
Представим $3,2$ и $\frac{26}{10}$ в виде обыкновенных дробей: $3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$, $\frac{26}{10} = \frac{13}{5}$.
$\frac{16}{5}m = \frac{1}{15} + \frac{13}{5}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 15:
$\frac{16}{5}m = \frac{1}{15} + \frac{39}{15}$
$\frac{16}{5}m = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$
Найдем $m$:
$m = \frac{8}{3} : \frac{16}{5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{16}$
$m = \frac{8 \cdot 5}{3 \cdot 16} = \frac{5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$.

8) $4(n + \frac{5}{12}) = \frac{1}{6}(6n - 1\frac{1}{7})$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4n + 4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{1}{6} \cdot 6n - \frac{1}{6} \cdot 1\frac{1}{7}$
Упростим обе части. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
$4n + \frac{20}{12} = n - \frac{1}{6} \cdot \frac{8}{7}$
Сократим дроби: $\frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ и $\frac{8}{42} = \frac{4}{21}$.
$4n + \frac{5}{3} = n - \frac{4}{21}$
Сгруппируем члены с переменной $n$ в левой части, а свободные члены — в правой:
$4n - n = -\frac{4}{21} - \frac{5}{3}$
$3n = -\frac{4}{21} - \frac{35}{21}$
$3n = -\frac{39}{21}$
Сократим дробь в правой части на 3: $3n = -\frac{13}{7}$.
Найдем $n$:
$n = -\frac{13}{7} : 3 = -\frac{13}{7 \cdot 3}$
$n = -\frac{13}{21}$
Ответ: $-\frac{13}{21}$.

410 Реши уравнения:

1) $(\frac{2}{3} a - 0,7) : 1,5 + 0,5 = \frac{29}{30};$

2) $4,2 - 0,2 : (\frac{1}{6} + 3b) = 3\frac{3}{5};$

3) $2c + 0,2c - 0,8c + 3,4c = 6,4;$

4) $\frac{2}{3} d - \frac{1}{2} d + d + 2\frac{1}{6} = 4,5;$

5) $\frac{5\frac{1}{3}}{0,2x} = \frac{8}{0,75};$

6) $0,2 : \frac{3}{16} = 2\frac{2}{3} : (0,4y - 1,5);$

7) $6m - 2,6 = 2,8m + \frac{1}{15};$

8) $4(n + \frac{5}{12}) = 1\frac{1}{6} (6n - 1\frac{1}{7}).$

385 Построй биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Для решения задачи необходимо построить биссектрисы углов для трех типов треугольников. Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Построение можно выполнить с помощью циркуля и линейки.

а) остроугольный

Построим остроугольный треугольник $ABC$, в котором все углы ($\angle A, \angle B, \angle C$) меньше $90^\circ$. Проведем биссектрисы для каждого из трех углов. В результате построения мы увидим, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения всегда лежит внутри треугольника.

Ответ: Все три биссектрисы остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника.

б) прямоугольный

Построим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle C$, равен $90^\circ$. Проведем биссектрисы углов $\angle A, \angle B$ и $\angle C$. Как и в предыдущем случае, все три биссектрисы пересекутся в одной точке, и эта точка находится внутри треугольника.

Ответ: Все три биссектрисы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника.

в) тупоугольный

Построим тупоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle B$, больше $90^\circ$. Проведем биссектрисы для каждого из трех углов. Снова можно заметить, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке, и эта точка лежит внутри треугольника.

Ответ: Все три биссектрисы тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

На основе выполненных построений можно сделать следующее наблюдение: независимо от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), его биссектрисы всегда пересекаются в одной точке, и эта точка всегда находится внутри треугольника.

Исходя из этого наблюдения, можно сформулировать гипотезу.

Гипотеза: Три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка всегда расположена внутри треугольника.

Ответ: Гипотеза, сформулированная на основе наблюдений: все три биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка всегда находится внутри этого треугольника. (Эта точка является центром вписанной в треугольник окружности).

385 Построй биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ $\triangle ABC$, если $\triangle ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам $a$, $b$ и $c$ треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника — это прямая, которая проходит через середину этой стороны и перпендикулярна ей.

а) остроугольный

1. Построим остроугольный треугольник $ABC$ (все углы меньше $90^\circ$).
2. Для каждой стороны ($AB$, $BC$, $AC$) найдём её середину.
3. Через каждую середину проведём прямую, перпендикулярную соответствующей стороне. Это и будут серединные перпендикуляры.
При выполнении построений можно заметить, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка находится внутри треугольника.

Ответ: точка пересечения серединных перпендикуляров в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника.

б) прямоугольный

1. Построим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ — гипотенуза.
2. Найдём середины гипотенузы $AB$ и катетов $AC$, $BC$.
3. Проведём серединные перпендикуляры к каждой из трёх сторон.
При выполнении построений можно заметить, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка находится на середине гипотенузы $AB$.

Ответ: точка пересечения серединных перпендикуляров в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.

в) тупоугольный

1. Построим тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$ (угол $C > 90^\circ$).
2. Найдём середины всех трёх сторон треугольника.
3. Проведём серединные перпендикуляры к каждой стороне.
При выполнении построений можно заметить, что все три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, и эта точка находится вне треугольника.

Ответ: точка пересечения серединных перпендикуляров в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Во всех трёх рассмотренных случаях серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересеклись в одной точке. Отличалось лишь расположение этой точки относительно самого треугольника.

Гипотеза: Три серединных перпендикуляра к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, описанной около данного треугольника. Расположение этой точки (центра описанной окружности) зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике — точка пересечения лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике — точка пересечения лежит на середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике — точка пересечения лежит вне треугольника.

386 Построй серединные перпендикуляры к сторонам $a$, $b$ и $c$ треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

387 Построй медианы сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:
a) остроугольный;
б) прямоугольный;
в) тупоугольный. Что ты замечаешь?
Сформулируй гипотезу.

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В треугольнике $ABC$ сторонами, противоположными вершинам $A, B, C$, являются соответственно стороны $a, b, c$. Построим медианы $m_a, m_b, m_c$ для разных типов треугольников.

а) остроугольный

Построим остроугольный треугольник $ABC$. Чтобы провести медианы, найдем середину $M_a$ стороны $BC$ (сторона $a$) и соединим ее с вершиной $A$, получив медиану $AM_a$. Аналогично найдем середину $M_b$ стороны $AC$ (сторона $b$) и проведем медиану $BM_b$. Наконец, найдем середину $M_c$ стороны $AB$ (сторона $c$) и проведем медиану $CM_c$. Наблюдение показывает, что все три медианы пересекаются в одной точке, которая расположена внутри треугольника.

Ответ: Медианы остроугольного треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри него.

б) прямоугольный

Построим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Проведем медианы к катетам $AC$ и $BC$ и к гипотенузе $AB$. Для этого найдем середины каждой стороны и соединим их отрезками с противолежащими вершинами. Как и в предыдущем случае, все три медианы пересекаются в одной точке, и эта точка находится внутри треугольника.

Ответ: Медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри него.

в) тупоугольный

Построим тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $C$. Проведем три медианы, соединив каждую вершину ($A, B, C$) с серединой противолежащей стороны ($BC, AC, AB$ соответственно). Снова мы видим, что все три медианы пересеклись в одной точке, которая, как и в предыдущих случаях, расположена внутри треугольника.

Ответ: Медианы тупоугольного треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри него.

Что ты замечаешь?

На основании построений для трех разных видов треугольников можно заметить, что независимо от углов и длин сторон треугольника, все три его медианы всегда пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения всегда находится внутри треугольника.

Сформулируй гипотезу.

Гипотеза: В любом треугольнике три его медианы пересекаются в одной точке.

387. Построй медианы сторон $a$, $b$ и $c$ треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

388 Построй высоты треугольника $ABC$, проведённые к сторонам $a, b \text{ и } c$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

а) Остроугольный треугольник

В остроугольном треугольнике $ABC$ все углы острые. Высота, проведённая к стороне, — это перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на эту сторону.

1. Проведём высоту $h_a$ из вершины $A$ к стороне $a$ ($BC$). Так как $\angle B$ и $\angle C$ острые, основание высоты будет лежать на отрезке $BC$.

2. Проведём высоту $h_b$ из вершины $B$ к стороне $b$ ($AC$). Основание высоты будет лежать на отрезке $AC$.

3. Проведём высоту $h_c$ из вершины $C$ к стороне $c$ ($AB$). Основание высоты будет лежать на отрезке $AB$.

Все три высоты пересекутся в одной точке, которая расположена внутри треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ: Все три высоты пересекаются в одной точке внутри треугольника.

б) Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C = 90^\circ$, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.

1. Высота $h_a$, проведённая из вершины $A$ к стороне $a$ ($BC$), является перпендикуляром к прямой $BC$. Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Следовательно, высота $h_a$ совпадает с катетом $AC$.

2. Аналогично, высота $h_b$, проведённая из вершины $B$ к стороне $b$ ($AC$), совпадает с катетом $BC$.

3. Высота $h_c$, проведённая из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$, является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на отрезок $AB$.

Все три высоты (катет $AC$, катет $BC$ и перпендикуляр $CH_c$) пересекаются в одной точке — вершине прямого угла $C$.

Ответ: Две высоты совпадают с катетами, а третья проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла.

в) Тупоугольный треугольник

В тупоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C$ — тупой, а $\angle A$ и $\angle B$ — острые.

1. Высота $h_c$, проведённая из вершины тупого угла $C$ к стороне $c$ ($AB$), опускается на отрезок $AB$, так как прилежащие к этой стороне углы $A$ и $B$ острые.

2. Высота $h_a$, проведённая из вершины острого угла $A$ к стороне $a$ ($BC$), опускается на прямую, содержащую сторону $BC$. Так как $\angle C$ тупой, основание высоты окажется на продолжении стороны $BC$ за вершину $C$.

3. Аналогично, высота $h_b$, проведённая из вершины острого угла $B$ к стороне $b$ ($AC$), опустится на продолжение стороны $AC$ за вершину $C$.

Для нахождения точки пересечения нужно продлить отрезки высот. Прямые, содержащие все три высоты, пересекутся в одной точке, которая лежит вне треугольника.

Ответ: Одна высота (из вершины тупого угла) опускается на противолежащую сторону, а две другие (из вершин острых углов) — на продолжения противолежащих сторон. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Наблюдение, которое можно сделать на основе трёх случаев: во всех типах треугольников три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке.

Гипотеза: Во всяком треугольнике прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре). Расположение этой точки зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.

388 Построй высоты треугольника $ABC$, проведенные к сторонам $a$, $b$ и $c$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Л 389 Вычисли, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй названия знаменитых геометрических задач древности.

а) В $-2 + 0,6$

Д $0,1 - 0,08$

Т $-0,15 + 0,2$

Р $0,54 - 5,4$

У $-0,8 - 0,4$

Г $0,3 - 3,1$

К $-0,5 - 0,06$

А $-1,32 - 7,68$

-0,56 -1,4 -9 0,02 -4,86 -9 0,05 -1,2 -4,86 -9

-0,56 -4,86 -1,2 -2,8 -9

б) К $-0,8 \cdot (-3)$

А $-6,4 : (-4)$

Я $0,24 \cdot (-10)$

У $2,1 : (-10)$

И $-0,42 \cdot 5$

Р $-8 : 0,2$

Г $-4 \cdot (-0,01)$

Л $-16 : (-0,1)$

Т $(-0,8)^2$

С $0,72 : (-0,9)$

Ц $-0,8 \cdot (0,1)$

Е $0,64 : (-0,1)^2$

0,64 -40 -2,1 -0,8 64 2,4 -0,08 -2,1 -2,4

-0,21 0,04 160 1,6

в) К $5,1 - 5,4$

И $-0,8 \cdot (-0,6)$

Б $-8,2 : 0,41$

Н $0,45 : (-0,1)$

О $-1,6 \cdot 0,5$

В $3,4 : (-17)$

Ы $-7,8 + 9,3$

Е $-8,1 : 30$

Д $-10 + 4,2$

А $-1,2 - 2,8$

Л $0,9 \cdot (-0,04)$

У $-0,4 \cdot (-0,15)$

0,06 -5,8 -0,2 -0,8 -0,27 -4,5 0,48 -0,27

-0,3 0,06 -20 -4

Чтобы расшифровать названия знаменитых геометрических задач древности, необходимо решить примеры для каждой буквы, а затем подставить буквы в таблицы в соответствии с полученными ответами.

В: $ -2 + 0,6 = -1,4 $. Ответ: -1,4

Д: $ 0,1 - 0,08 = 0,02 $. Ответ: 0,02

Т: $ -0,15 + 0,2 = 0,05 $. Ответ: 0,05

Р: $ 0,54 - 5,4 = -4,86 $. Ответ: -4,86

У: $ -0,8 - 0,4 = -1,2 $. Ответ: -1,2

Г: $ 0,3 - 3,1 = -2,8 $. Ответ: -2,8

К: $ -0,5 - 0,06 = -0,56 $. Ответ: -0,56

А: $ -1,32 - 7,68 = -9 $. Ответ: -9

Теперь подставим буквы в ячейки таблицы:

Получилась фраза "КВАДРАТУРА КРУГА".

Ответ: КВАДРАТУРА КРУГА.

К: $ -0,8 \cdot (-3) = 2,4 $. Ответ: 2,4

А: $ -6,4 : (-4) = 1,6 $. Ответ: 1,6

Я: $ 0,24 \cdot (-10) = -2,4 $. Ответ: -2,4

У: $ 2,1 : (-10) = -0,21 $. Ответ: -0,21

И: $ -0,42 \cdot 5 = -2,1 $. Ответ: -2,1

Р: $ -8 : 0,2 = -40 $. Ответ: -40

Г: $ -4 \cdot (-0,01) = 0,04 $. Ответ: 0,04

Л: $ -16 : (-0,1) = 160 $. Ответ: 160

Т: $ (-0,8)^2 = 0,64 $. Ответ: 0,64

С: $ 0,72 : (-0,9) = -0,8 $. Ответ: -0,8

Ц: $ -0,8 \cdot (0,1) = -0,08 $. Ответ: -0,08

Е: $ 0,64 : (-0,1)^2 = 0,64 : 0,01 = 64 $. Ответ: 64

Подставляем буквы в таблицу:

Получилась фраза "ТРИСЕКЦИЯ УГЛА".

Ответ: ТРИСЕКЦИЯ УГЛА.

К: $ 5,1 - 5,4 = -0,3 $. Ответ: -0,3

И: $ -0,8 \cdot (-0,6) = 0,48 $. Ответ: 0,48

Б: $ -8,2 : 0,41 = -20 $. Ответ: -20

Н: $ 0,45 : (-0,1) = -4,5 $. Ответ: -4,5

О: $ -1,6 \cdot 0,5 = -0,8 $. Ответ: -0,8

В: $ 3,4 : (-17) = -0,2 $. Ответ: -0,2

Ы: $ -7,8 + 9,3 = 1,5 $. (Нет в таблице)

Е: $ -8,1 : 30 = -0,27 $. Ответ: -0,27

Д: $ -10 + 4,2 = -5,8 $. Ответ: -5,8

А: $ -1,2 - 2,8 = -4 $. Ответ: -4

Л: $ 0,9 \cdot (-0,04) = -0,036 $. (Нет в таблице)

У: $ -0,4 \cdot (-0,15) = 0,06 $. Ответ: 0,06

Подставляем буквы в таблицу:

Получилась фраза "УДВОЕНИЕ КУБА".

Ответ: УДВОЕНИЕ КУБА.

Таким образом, расшифрованы три знаменитые задачи древности, которые невозможно решить с помощью только циркуля и линейки:

• Квадратура круга
• Трисекция угла
• Удвоение куба

П 389 Вычисли, сопоставь ответам соответствующие буквы и расшифруй названия знаменитых геометрических задач древности:

a) В $-2 + 0,6$

Д $0,1 - 0,08$

Т $-0,15 + 0,2$

Р $0,54 - 5,4$

У $-0,8 - 0,4$

Г $0,3 - 3,1$

К $-0,5 - 0,06$

А $-1,32 - 7,68$

-0,56 -1,4 -9 0,02 -4,86 -9 0,05 -1,2 -4,86 -9

-0,56 -4,86 -1,2 -2,8 -9

б) К $-0,8 \cdot (-3)$

А $-6,4 : (-4)$

Я $0,24 \cdot (-10)$

У $2,1 : (-10)$

И $-0,42 \cdot 5$

Р $-8 : 0,2$

Г $-4 \cdot (-0,01)$

Л $-16 : (-0,1)$

Т $(-0,8)^2$

С $0,72 : (-0,9)$

Ц $-0,8 \cdot (0,1)$

Е $0,64 : (-0,1)^2$

0,64 -40 -2,1 -0,8 64 2,4 -0,08 -2,1 -2,4

-0,21 0,04 160 1,6

в) К $5,1 - 5,4$

И $-0,8 \cdot (-0,6)$

Б $-8,2 : 0,41$

Н $0,45 : (-0,1)$

О $-1,6 \cdot 0,5$

В $3,4 : (-17)$

Ы $-7,8 + 9,3$

Е $-8,1 : 30$

Д $-10 + 4,2$

А $-1,2 - 2,8$

Л $0,9 \cdot (-0,04)$

У $-0,4 \cdot (-0,15)$

0,06 -5,8 -0,2 -0,8 -0,27 -4,5 0,48 -0,27

-0,3 0,06 -20 -4