Страница 97, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

424 Четыре кота, Васька, Пушок, Базилио и Леопольд, охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали столько же мышей, сколько Базилио с Васькой; Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок и Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?

Для решения задачи обозначим количество мышей, пойманных каждым котом, первой буквой его имени: В (Васька), П (Пушок), Б (Базилио), Л (Леопольд).

Исходя из условия, составим систему уравнений и неравенств:
1) $П + Л = Б + В$ (Пушок с Леопольдом поймали столько же, сколько Базилио с Васькой)
2) $В > Б$ (Васька поймал больше, чем Базилио)
3) $В + Л < П + Б$ (Васька с Леопольдом поймали меньше, чем Пушок и Базилио)
4) $П = 3$ (Пушок поймал 3 мыши)

Подставим известное значение $П=3$ в первое и третье выражения:
$3 + Л = Б + В$ (уравнение 1)
$В + Л < 3 + Б$ (неравенство 2)

Теперь преобразуем эти два выражения. Вычтем левую часть неравенства (2) из левой части уравнения (1) и правую часть неравенства (2) из правой части уравнения (1). Знак равенства при этом изменится на знак "больше":
$(3 + Л) - (В + Л) > (Б + В) - (3 + Б)$
Раскроем скобки:
$3 + Л - В - Л > Б + В - 3 - Б$
Упростим выражение:
$3 - В > В - 3$
Перенесем $В$ в правую часть, а $-3$ в левую:
$3 + 3 > В + В$
$6 > 2В$
$3 > В$

Итак, мы выяснили, что Васька поймал меньше 3 мышей. Сопоставим это с условием $В > Б$. Так как количество пойманных мышей может быть только целым неотрицательным числом, получаем следующую цепочку неравенств:
$3 > В > Б \geq 0$.

Эта цепочка имеет только одно возможное решение в целых числах, при котором количество мышей у Леопольда будет неотрицательным: $В = 2$, а $Б = 1$.

Подставим значения $В=2$ и $Б=1$ в наше первое уравнение ($3 + Л = Б + В$), чтобы найти, сколько мышей поймал Леопольд:
$3 + Л = 1 + 2$
$3 + Л = 3$
$Л = 0$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения ($П=3, В=2, Б=1, Л=0$) всем исходным условиям:
1) $3 + 0 = 1 + 2 \implies 3 = 3$ (Верно)
2) $2 > 1$ (Верно)
3) $2 + 0 < 3 + 1 \implies 2 < 4$ (Верно)
Все условия соблюдены.

Ответ: Пушок поймал 3 мыши, Васька – 2 мыши, Базилио – 1 мышь, Леопольд – 0 мышей.

424 Четыре кота, Васька, Пушок, Базилио и Леопольд, охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали столько же мышей, сколько Базилио с Васькой; Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок и Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?

425. Собаки Отгадай и Угадай соревновались в прыжках. Прыжок Угадая на $30\%$ короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевает за то же время делать на $30\%$ прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Чтобы определить, кто из собак победит в соревновании, необходимо сравнить общие расстояния, которые они преодолевают за одно и то же время. Победителем будет тот, кто за это время пропрыгает дальше.

Введем переменные для собаки по имени Отгадай:

• Пусть $L_O$ — длина одного прыжка Отгадая.
• Пусть $N_O$ — количество прыжков, которое Отгадай совершает за определенное время.

Тогда общее расстояние, которое преодолевает Отгадай ($D_O$), вычисляется как произведение длины прыжка на их количество:

$D_O = L_O \cdot N_O$

Теперь, используя условия задачи, выразим характеристики собаки по имени Угадай через характеристики Отгадая.

Прыжок Угадая на 30% короче, чем у Отгадая. Это значит, что его длина составляет $100\% - 30\% = 70\%$ от длины прыжка Отгадая. Длина прыжка Угадая ($L_У$) равна:

$L_У = L_O \cdot (1 - 0.30) = 0.7 \cdot L_O$

За то же время Угадай делает на 30% прыжков больше. Это значит, что количество его прыжков составляет $100\% + 30\% = 130\%$ от количества прыжков Отгадая. Количество прыжков Угадая ($N_У$) равно:

$N_У = N_O \cdot (1 + 0.30) = 1.3 \cdot N_O$

Теперь найдем общее расстояние, которое преодолевает Угадай ($D_У$), перемножив длину его прыжка на их количество:

$D_У = L_У \cdot N_У = (0.7 \cdot L_O) \cdot (1.3 \cdot N_O)$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$D_У = (0.7 \cdot 1.3) \cdot (L_O \cdot N_O) = 0.91 \cdot (L_O \cdot N_O)$

Мы знаем, что $L_O \cdot N_O$ — это расстояние, которое преодолевает Отгадай ($D_O$). Подставим это в формулу для Угадая:

$D_У = 0.91 \cdot D_O$

Таким образом, общее расстояние, которое преодолевает Угадай, составляет 91% от расстояния, которое преодолевает Отгадай. Поскольку $0.91 \cdot D_O < D_O$, собака Отгадай прыгает дальше.

Ответ: В соревновании победит собака Отгадай.

425 Собаки Отгадай и Угадай соревновались в прыжках. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевает за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

* 426 На заводе в в январе и феврале более $\frac{1}{3}$ от выпуска продукции составила продукция высшего качества. Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно, если каждая из этих дробей несократима, не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2 и если за январь выпущено больше, чем за февраль?

Обозначим часть продукции высшего качества, выпущенной в январе, как несократимую дробь $ \frac{H_1}{V_1} $, где $H_1$ – количество продукции высшего качества, а $V_1$ – общее количество выпущенной продукции в январе. Аналогично, для февраля введем дробь $ \frac{H_2}{V_2} $.

По условию, каждая из этих дробей не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2. Запишем это свойство для произвольной дроби $ \frac{H}{V} $:$$ \frac{H}{V} = \frac{H+2}{2V} $$Поскольку $V$ (общее количество продукции) не может быть равно нулю, мы можем умножить обе части равенства на $2V$:$$ 2V \cdot \frac{H}{V} = 2V \cdot \frac{H+2}{2V} $$$$ 2H = H+2 $$$$ H = 2 $$Это означает, что и в январе, и в феврале было выпущено по 2 единицы продукции высшего качества: $H_1=2$ и $H_2=2$.Таким образом, искомые дроби имеют вид $ \frac{2}{V_1} $ и $ \frac{2}{V_2} $.

Далее, по условию, каждая из этих дробей несократима. Дробь вида $ \frac{2}{V} $ несократима, только если её знаменатель $V$ не имеет общих делителей с числом 2, кроме единицы. Это означает, что $V$ должно быть нечётным числом. Кроме того, количество продукции высшего качества не может превышать общее количество, то есть $H \le V$, откуда $2 \le V$. Следовательно, $V_1$ и $V_2$ – нечётные целые числа, большие или равные 3.

В условии сказано, что за январь выпущено больше продукции, чем за февраль. Это значит, что $V_1 > V_2$.

Последнее условие гласит, что за оба месяца доля продукции высшего качества составила более $ \frac{1}{3} $. Суммарный выпуск продукции высшего качества равен $H_1+H_2 = 2+2=4$. Общий выпуск продукции за два месяца равен $V_1+V_2$. Составим неравенство:$$ \frac{H_1+H_2}{V_1+V_2} > \frac{1}{3} $$$$ \frac{4}{V_1+V_2} > \frac{1}{3} $$Так как знаменатель $V_1+V_2$ положителен, можем преобразовать неравенство:$$ 12 > V_1+V_2 $$

Итак, мы ищем два нечётных целых числа $V_1$ и $V_2$, для которых выполняются следующие условия:1. $V_1 \ge 3$ и $V_2 \ge 3$2. $V_1 > V_2$3. $V_1 + V_2 < 12$

Найдём возможные пары чисел, начав с наименьшего возможного значения для $V_2$.

• Пусть $V_2 = 3$. Тогда из условий $V_1 > 3$ и $V_1+3 < 12$ (то есть $V_1 < 9$) следует, что $V_1$ может быть нечётным числом 5 или 7. Мы получаем две возможные пары для $(V_1, V_2)$: $(5, 3)$ и $(7, 3)$.
• Пусть $V_2 = 5$. Тогда из $V_1 > 5$ и $V_1+5 < 12$ (то есть $V_1 < 7$) следует, что $V_1$ должно быть нечётным числом между 5 и 7. Таких целых чисел нет.
• Если $V_2 \ge 7$, то $V_1$ должно быть нечётным и $V_1 > 7$, то есть $V_1 \ge 9$. В этом случае их сумма $V_1+V_2 \ge 9+7 = 16$, что противоречит условию $V_1+V_2 < 12$.

Таким образом, существуют два возможных набора решений:1. Если $(V_1, V_2) = (5, 3)$, то доля продукции высшего качества в январе составила $ \frac{2}{5} $, а в феврале – $ \frac{2}{3} $.2. Если $(V_1, V_2) = (7, 3)$, то доля продукции высшего качества в январе составила $ \frac{2}{7} $, а в феврале – $ \frac{2}{3} $.

Оба варианта удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: Существует два возможных решения:
1) в январе $ \frac{2}{5} $ продукции была высшего качества, в феврале – $ \frac{2}{3} $;
2) в январе $ \frac{2}{7} $ продукции была высшего качества, в феврале – $ \frac{2}{3} $.

426 На заводе в каждом из двух месяцев, в январе и феврале, более $ \frac{1}{3} $ от выпуска продукции составила продукция высшего качества. Какая часть продукции высшего качества выпущена за январь и февраль отдельно, если известно, что каждая из этих дробей несократима, не изменяется при одновременном прибавлении к числителю 2 и умножении знаменателя на 2, и если за январь выпущено больше, чем за февраль?

428 Рассмотри блок-схему алгоритма сложения рациональных чисел. Верно ли она составлена?

Начало

Числа с одинаковыми знаками?

да:

Числа положительные?

да: Сложить модули

нет: Поставить минус

Сложить модули

нет:

Модули равны?

да: Ответ 0

нет:

Модуль положительного числа больше?

да: Вычесть из большего модуля меньший

нет: Поставить минус

Вычесть из большего модуля меньший

Да, данная блок-схема составлена верно. Она корректно описывает все возможные случаи сложения двух рациональных чисел. Проанализируем каждую ветвь алгоритма.

1. Сложение чисел с одинаковыми знаками

Это левая ветвь алгоритма, которая выполняется при ответе "да" на вопрос "Числа с одинаковыми знаками?".

• Если оба числа положительные (например, $3+5$), то на следующий вопрос "Числа положительные?" мы отвечаем "да". Алгоритм предписывает "Сложить модули". Это правильно: $3 + 5 = |3| + |5| = 8$. Результат положительный.
• Если оба числа отрицательные (например, $(-3)+(-5)$), то на вопрос "Числа положительные?" мы отвечаем "нет". Алгоритм предписывает "Поставить минус" и затем "Сложить модули". Это тоже правильно: $(-3)+(-5) = -(|-3|+|-5|) = -(3+5) = -8$.

Ответ: эта часть алгоритма верна.

2. Сложение чисел с разными знаками

Это правая ветвь алгоритма, которая выполняется при ответе "нет" на вопрос "Числа с одинаковыми знаками?".

• Сначала проверяется условие "Модули равны?". Если "да" (например, $(-8)+8$), то алгоритм дает "Ответ 0". Это верно, так как сумма двух противоположных чисел равна нулю.
• Если модули не равны (ответ "нет"), то происходит переход к следующему условию: "Модуль положительного числа больше?".
  • Если "да" (например, $10+(-4)$, где $|10| > |-4|$), то алгоритм предписывает "Вычесть из большего модуля меньший". Результат будет иметь знак числа с большим модулем, то есть плюс. Это верно: $10+(-4) = |10|-|-4| = 10-4=6$.
  • Если "нет" (например, $4+(-10)$, где $|4| < |-10|$), то алгоритм предписывает "Поставить минус", а затем "Вычесть из большего модуля меньший". Результат будет иметь знак числа с большим модулем, то есть минус. Это тоже верно: $4+(-10) = -(|-10|-|4|) = -(10-4)=-6$.

Ответ: эта часть алгоритма также верна.

Поскольку все возможные случаи рассмотрены и для каждого из них предложен правильный порядок действий, вся блок-схема составлена верно.

Ответ: блок-схема составлена верно.

428 Рассмотри блок-схему алгоритма сложения рациональных чисел. Верно ли она составлена?

Начало

Числа с одинаковыми знаками?

да

Числа положительные?

да

Сложить модули

нет

Поставить минус

Сложить модули

нет

Модули равны?

да

Ответ 0

нет

Модуль положительного числа больше?

да

Вычесть из большего модуля меньший

нет

Поставить минус

Вычесть из большего модуля меньший

429 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму.

а) $(-28) + (-14)$

б) $(-32) + (+32)$

в) $(-9) + (+17)$

г) $(+3) + (-18)$

а) $(+\frac{1}{3}) + (+\frac{1}{7})$

б) $(+\frac{5}{9}) + (-\frac{5}{9})$

в) $(+\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})$

г) $(-\frac{14}{15}) + (+\frac{5}{6})$

а) $(-2,4) + (-3,6)$

б) $(-1,18) + (+1,18)$

в) $(-0,8) + (+4)$

г) $(+1,7) + (-7,3)$

а)

$(-28) + (-14)$
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «-».
$|-28| + |-14| = 28 + 14 = 42$
$(-28) + (-14) = -42$
Ответ: $-42$.

$(+\frac{1}{3}) + (+\frac{1}{7})$
Чтобы сложить две положительные дроби, нужно привести их к общему знаменателю и сложить числители. Наименьший общий знаменатель для 3 и 7 равен 21.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21}$; $\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$
$\frac{7}{21} + \frac{3}{21} = \frac{7+3}{21} = \frac{10}{21}$
Ответ: $\frac{10}{21}$.

$(-2,4) + (-3,6)$
Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак «-».
$|-2,4| + |-3,6| = 2,4 + 3,6 = 6,0$
$(-2,4) + (-3,6) = -6$
Ответ: $-6$.

б)

$(-32) + (+32)$
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
$(-32) + (+32) = 0$
Ответ: $0$.

$(+\frac{5}{9}) + (-\frac{5}{9})$
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
$(+\frac{5}{9}) + (-\frac{5}{9}) = 0$
Ответ: $0$.

$(-1,18) + (+1,18)$
Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
$(-1,18) + (+1,18) = 0$
Ответ: $0$.

в)

$(-9) + (+17)$
Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.
$|+17| = 17$; $|-9| = 9$. Так как $17 > 9$, знак результата будет «+».
$17 - 9 = 8$
$(-9) + (+17) = 8$
Ответ: $8$.

$(+\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})$
Складываем числа с разными знаками. Сравним их модули, приведя к общему знаменателю 6:
$|+\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ и $|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.
Так как $|\frac{1}{2}| > |-\frac{1}{3}|$, знак результата будет «+». Вычитаем из большего модуля меньший.
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$
Ответ: $\frac{1}{6}$.

$(-0,8) + (+4)$
Складываем числа с разными знаками. Модуль $|+4| = 4$ больше модуля $|-0,8|=0,8$. Знак результата будет «+».
$4 - 0,8 = 3,2$
$(-0,8) + (+4) = 3,2$
Ответ: $3,2$.

г)

$(+3) + (-18)$
Складываем числа с разными знаками. Модуль $|-18| = 18$ больше модуля $|+3|=3$. Знак результата будет «-».
$18 - 3 = 15$
$(+3) + (-18) = -15$
Ответ: $-15$.

$(-\frac{14}{15}) + (+\frac{5}{6})$
Складываем числа с разными знаками. Приведем модули дробей к общему знаменателю 30.
$|-\frac{14}{15}| = \frac{14}{15} = \frac{14 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{28}{30}$
$|+\frac{5}{6}| = \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}$
Так как $\frac{28}{30} > \frac{25}{30}$, то $|-\frac{14}{15}| > |+\frac{5}{6}|$. Знак результата будет «-».
$\frac{14}{15} - \frac{5}{6} = \frac{28}{30} - \frac{25}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}$
$(-\frac{14}{15}) + (+\frac{5}{6}) = -\frac{1}{10}$
Ответ: $-\frac{1}{10}$.

$(+1,7) + (-7,3)$
Складываем числа с разными знаками. Модуль $|-7,3| = 7,3$ больше модуля $|+1,7|=1,7$. Знак результата будет «-».
$7,3 - 1,7 = 5,6$
$(+1,7) + (-7,3) = -5,6$
Ответ: $-5,6$.

429 Пользуясь алгоритмом сложения рациональных чисел, найди сумму:

а) $(-28) + (-14)$

$(+\frac{1}{3}) + (+\frac{1}{7})$

$(-2,4) + (-3,6)$

б) $(-32) + (+32)$

$(+\frac{5}{9}) + (-\frac{5}{9})$

$(-1,18) + (+1,18)$

в) $(-9) + (+17)$

$(+\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{3})$

$(-0,8) + (+4)$

г) $(+3) + (-18)$

$(-\frac{14}{15}) + (+\frac{5}{6})$

$(+1,7) + (-7,3)$

430. Определи знак суммы:

а) $ (-12) + (-7) $;

в) $ (+15) + (-8) $;

д) $ (-24) + (+19) $;

ж) $ (+3,7) + (-8,4) $;

б) $ (-8) + (+3) $;

г) $ (-6) + (-11) $;

е) $ (+53) + (-35) $;

з) $ (-245) + (+300) $.

Чтобы определить знак суммы, необходимо следовать правилам сложения чисел с разными и одинаковыми знаками.

• Если оба слагаемых имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), то и сумма будет иметь тот же знак.
• Если слагаемые имеют разные знаки, то знак суммы будет таким же, как у слагаемого, модуль (абсолютная величина) которого больше.

а) $(-12) + (-7)$

Оба слагаемых, $-12$ и $-7$, являются отрицательными числами. Сумма двух отрицательных чисел всегда является отрицательным числом.
Ответ: знак минус (отрицательный).

б) $(-8) + (+3)$

Слагаемые имеют разные знаки. Чтобы определить знак суммы, сравним их модули.
Модуль числа $-8$ равен $|-8| = 8$.
Модуль числа $+3$ равен $|+3| = 3$.
Так как $8 > 3$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $-8$.
Ответ: знак минус (отрицательный).

в) $(+15) + (-8)$

Слагаемые имеют разные знаки. Сравним их модули.
Модуль числа $+15$ равен $|+15| = 15$.
Модуль числа $-8$ равен $|-8| = 8$.
Так как $15 > 8$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $+15$.
Ответ: знак плюс (положительный).

г) $(-6) + (-11)$

Оба слагаемых, $-6$ и $-11$, являются отрицательными. Следовательно, их сумма также будет отрицательной.
Ответ: знак минус (отрицательный).

д) $(-24) + (+19)$

Слагаемые имеют разные знаки. Сравним их модули.
Модуль числа $-24$ равен $|-24| = 24$.
Модуль числа $+19$ равен $|+19| = 19$.
Так как $24 > 19$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $-24$.
Ответ: знак минус (отрицательный).

е) $(+53) + (-35)$

Слагаемые имеют разные знаки. Сравним их модули.
Модуль числа $+53$ равен $|+53| = 53$.
Модуль числа $-35$ равен $|-35| = 35$.
Так как $53 > 35$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $+53$.
Ответ: знак плюс (положительный).

ж) $(+3,7) + (-8,4)$

Слагаемые имеют разные знаки. Сравним их модули.
Модуль числа $+3,7$ равен $|+3,7| = 3,7$.
Модуль числа $-8,4$ равен $|-8,4| = 8,4$.
Так как $8,4 > 3,7$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $-8,4$.
Ответ: знак минус (отрицательный).

з) $(-245) + (+300)$

Слагаемые имеют разные знаки. Сравним их модули.
Модуль числа $-245$ равен $|-245| = 245$.
Модуль числа $+300$ равен $|+300| = 300$.
Так как $300 > 245$, знак суммы будет таким же, как у числа с большим модулем, то есть у $+300$.
Ответ: знак плюс (положительный).

430 Определи знак суммы:

а) $(-12) + (-7)$;

б) $(-8) + (+3)$;

в) $(+15) + (-8)$;

г) $(-6) + (-11)$;

д) $(-24) + (+19)$;

е) $(+53) + (-35)$;

ж) $(+3.7) + (-8.4)$;

з) $(-245) + (+300)$.

431 Какое правило иллюстрирует следующая схема:

$(+\Box) + (-\Box\Box\Box) = (-\Box\Box)?$

Дорисуй схемы и сформулируй правила:

а) $(-\Box) + (-\Box\Box) = ...$

б) $(-\Box\Box\Box) + (+\Box) = ...$

Данная схема иллюстрирует правило сложения чисел с разными знаками.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно:

1. Найти модули слагаемых.
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше.

В приведенной схеме, если принять один квадрат (☐) за единицу, мы имеем сложение чисел $(+1)$ и $(-3)$.

$|+1| = 1$

$|-3| = 3$

Так как $3 > 1$, мы вычитаем из большего модуля меньший: $3 - 1 = 2$.

Затем мы ставим знак слагаемого с большим модулем (это было число $-3$, его знак «–»). В результате получаем $-2$.

Схема: $(+☐) + (-☐☐☐) = (-☐☐)$

Ответ: Правило сложения чисел с разными знаками.

а) Завершим схему: $(-\Box) + (-\Box\Box) = (-\Box\Box\Box)$.

Эта схема иллюстрирует правило сложения двух отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным результатом знак «–».

Пример по схеме: $(-1) + (-2) = -(1 + 2) = -3$.

Ответ: Схема: $(-\Box) + (-\Box\Box) = (-\Box\Box\Box)$. Правило: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным числом знак «–».

б) Завершим схему: $(-\Box\Box\Box) + (+\Box) = (-\Box\Box)$.

Эта схема, как и в первом пункте, иллюстрирует правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным результатом знак того слагаемого, модуль которого больше.

Пример по схеме: $(-3) + (+1) = -(3 - 1) = -2$.

Ответ: Схема: $(-\Box\Box\Box) + (+\Box) = (-\Box\Box)$. Правило: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля слагаемых вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

431 Какое правило иллюстрирует следующая схема:

$(+ \square) + (- \square \square \square) = (- \square \square) ? $

Дорисуй схемы и сформулируй правила:

а) $(- \square) + (- \square \square \square) = ...$

б) $(- \square \square) + (+ \square) = ...$

432 Что общего в примерах каждого столбика? Выполни действия.

a) $ (+3) + (-0,9) $

$ (+\frac{4}{5}) + (-1,2) $

$ (-1,2) + (+0,3) $

$ (-1\frac{2}{3}) + (+5\frac{1}{6}) $

б) $ (-10,2) + (-8) $

$ (-1\frac{1}{2}) + (-2,5) $

$ (-2,4) + (-0,16) $

$ (-1\frac{7}{15}) + (-3\frac{5}{6}) $

в) $ (-5) + (+4,3) $

$ (-\frac{8}{9}) + (+2\frac{1}{6}) $

$ (+0,04) + (-0,2) $

$ (+1\frac{11}{35}) + (-\frac{1}{21}) $

г) $ 0 + (-1,8) $

$ (-0,375) + (+\frac{3}{8}) $

$ (-2,7) + 0 $

$ (+1\frac{1}{4}) + (-1,25) $

Сначала определим, что общего в примерах каждого столбика:

• В столбиках а) и в) во всех примерах выполняется сложение чисел с разными знаками.
• В столбике б) во всех примерах выполняется сложение двух отрицательных чисел.
• В столбике г) представлены особые случаи сложения: сложение с нулем (результат равен второму слагаемому) и сложение противоположных чисел (результат равен нулю).

Теперь выполним действия для каждого примера.

а)

1) $(+3) + (-0,9) = 3 - 0,9 = 2,1$

Ответ: $2,1$

2) $(+\frac{4}{5}) + (-1,2) = 0,8 + (-1,2) = 0,8 - 1,2 = -0,4$

Ответ: $-0,4$

3) $(-1,2) + (+0,3) = -1,2 + 0,3 = -0,9$

Ответ: $-0,9$

4) $(-1\frac{2}{3}) + (+5\frac{1}{6}) = -\frac{5}{3} + \frac{31}{6} = -\frac{10}{6} + \frac{31}{6} = \frac{31-10}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Ответ: $3\frac{1}{2}$

б)

1) $(-10,2) + (-8) = -10,2 - 8 = -18,2$

Ответ: $-18,2$

2) $(-1\frac{1}{2}) + (-2,5) = -1,5 + (-2,5) = -1,5 - 2,5 = -4$

Ответ: $-4$

3) $(-2,4) + (-0,16) = -2,40 - 0,16 = -2,56$

Ответ: $-2,56$

4) $(-1\frac{7}{15}) + (-3\frac{5}{6}) = -(\frac{22}{15} + \frac{23}{6}) = -(\frac{22 \cdot 2}{30} + \frac{23 \cdot 5}{30}) = -(\frac{44}{30} + \frac{115}{30}) = -\frac{159}{30} = -5\frac{9}{30} = -5\frac{3}{10}$

Ответ: $-5\frac{3}{10}$

в)

1) $(-5) + (+4,3) = -5 + 4,3 = -0,7$

Ответ: $-0,7$

2) $(-\frac{8}{9}) + (+2\frac{1}{6}) = -\frac{8}{9} + \frac{13}{6} = -\frac{8 \cdot 2}{18} + \frac{13 \cdot 3}{18} = -\frac{16}{18} + \frac{39}{18} = \frac{39-16}{18} = \frac{23}{18} = 1\frac{5}{18}$

Ответ: $1\frac{5}{18}$

3) $(+0,04) + (-0,2) = 0,04 - 0,2 = -0,16$

Ответ: $-0,16$

4) $(+1\frac{11}{35}) + (-\frac{1}{21}) = \frac{46}{35} - \frac{1}{21} = \frac{46 \cdot 3}{105} - \frac{1 \cdot 5}{105} = \frac{138}{105} - \frac{5}{105} = \frac{133}{105} = \frac{19}{15} = 1\frac{4}{15}$

Ответ: $1\frac{4}{15}$

г)

1) $0 + (-1,8) = -1,8$

Ответ: $-1,8$

2) $(-0,375) + (+\frac{3}{8}) = -\frac{3}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Ответ: $0$

3) $(-2,7) + 0 = -2,7$

Ответ: $-2,7$

4) $(+1\frac{1}{4}) + (-1,25) = 1,25 + (-1,25) = 1,25 - 1,25 = 0$

Ответ: $0$

432 Что общего в примерах каждого столбика? Выполни действия:

а) $(+3) + (-0.9)$

$(+\frac{4}{5}) + (-1.2)$

$(-1.2) + (+0.3)$

$-(1\frac{2}{3}) + (+5\frac{1}{6})$

б) $(-10.2) + (-8)$

$-(1\frac{1}{2}) + (-2.5)$

$(-2.4) + (-0.16)$

$-(1\frac{7}{15}) + (-3\frac{5}{6})$

в) $(-5) + (+4.3)$

$(-\frac{8}{9}) + (+2\frac{1}{6})$

$(+0.04) + (-0.2)$

$(+1\frac{11}{35}) + (-\frac{1}{21})$

г) $0 + (-1.8)$

$(-0.375) + (+\frac{3}{8})$

$(-2.7) + 0$

$(+1\frac{1}{4}) + (-1.25)$