Страница 100, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

427 Начальная сумма составляет 800 р. и увеличивается ежегодно на 10 % от начальной суммы. Какой будет эта сумма через:

а) 4 года;

б) 9 лет;

в) 12 лет;

г) 25 лет?

В данной задаче речь идет о простом проценте, так как ежегодное увеличение рассчитывается от начальной суммы.

Начальная сумма: $S_0 = 800$ р.
Процентная ставка: $10\%$ в год от начальной суммы.

Сначала найдем величину ежегодного увеличения:
$800 \cdot \frac{10}{100} = 80$ р.

Каждый год сумма увеличивается на 80 рублей. Чтобы найти итоговую сумму $S$ через $n$ лет, можно использовать формулу:
$S = S_0 + (S_0 \cdot \frac{p}{100}) \cdot n$, где $S_0$ — начальная сумма, $p$ — процентная ставка, $n$ — количество лет.
В нашем случае формула будет выглядеть так: $S = 800 + 80 \cdot n$.

К 427 Начальная сумма составляет 800 р. и увеличивается ежегодно на 10% от начальной суммы. Какой будет эта сумма через:

а) 4 года;

б) 9 лет;

в) 12 лет;

г) 25 лет?

428. Начальная сумма составляет 500 р. и уменьшается ежемесячно на 4 % от первоначальной суммы. Какой будет эта сумма через:

а) 2 месяца;

б) 5 месяцев;

в) 7 месяцев;

г) 1 год?

По условию задачи, начальная сумма составляет 500 р. и ежемесячно уменьшается на 4% от первоначальной суммы. Это означает, что каждый месяц сумма уменьшается на одну и ту же фиксированную величину.

Сначала найдем эту величину. 4% от 500 р. — это: $500 \cdot \frac{4}{100} = 20$ р.

Таким образом, каждый месяц сумма уменьшается на 20 р. Теперь мы можем рассчитать, какой будет сумма через указанные промежутки времени.

а) 2 месяца

За 2 месяца общее уменьшение составит: $2 \cdot 20 = 40$ р.

Новая сумма будет равна: $500 - 40 = 460$ р.

Ответ: 460 р.

б) 5 месяцев

За 5 месяцев общее уменьшение составит: $5 \cdot 20 = 100$ р.

Новая сумма будет равна: $500 - 100 = 400$ р.

Ответ: 400 р.

в) 7 месяцев

За 7 месяцев общее уменьшение составит: $7 \cdot 20 = 140$ р.

Новая сумма будет равна: $500 - 140 = 360$ р.

Ответ: 360 р.

г) 1 год

Поскольку уменьшение происходит ежемесячно, сначала переведем 1 год в месяцы: 1 год = 12 месяцев.

За 12 месяцев общее уменьшение составит: $12 \cdot 20 = 240$ р.

Новая сумма будет равна: $500 - 240 = 260$ р.

Ответ: 260 р.

428 Начальная сумма составляет 500 р. и уменьшается ежемесячно на 4% от первоначальной суммы. Какой будет эта сумма через:

а) 2 месяца;

б) 5 месяцев;

в) 7 месяцев;

г) 1 год?

429. Сумма в 1 тыс. р. уменьшается ежегодно на 5% от первоначальной суммы.
Через сколько лет эта сумма сократится до:

а) 750 р.;

б) 500 р.;

в) 250 р.;

г) 50 р.?

Первоначальная сумма составляет 1 тыс. рублей, то есть $S_0 = 1000$ р.

Согласно условию, сумма ежегодно уменьшается на 5% от первоначальной суммы. Это означает, что величина ежегодного уменьшения является постоянной. Рассчитаем эту величину:

$1000 \text{ р.} \times \frac{5}{100} = 1000 \times 0.05 = 50$ р.

Таким образом, каждый год сумма уменьшается на 50 рублей. Пусть $n$ – искомое количество лет. За $n$ лет общее уменьшение составит $50 \times n$ рублей. Сумма, которая останется через $n$ лет ($S_n$), вычисляется по формуле:

$S_n = S_0 - 50 \times n$ или $S_n = 1000 - 50n$.

Чтобы найти количество лет $n$, выразим его из формулы:

$50n = 1000 - S_n$

$n = \frac{1000 - S_n}{50}$

Теперь, используя эту формулу, решим каждый подпункт задачи.

а) Найдем, через сколько лет сумма сократится до 750 р. ($S_n = 750$).

$n = \frac{1000 - 750}{50} = \frac{250}{50} = 5$ лет.

Ответ: через 5 лет.

б) Найдем, через сколько лет сумма сократится до 500 р. ($S_n = 500$).

$n = \frac{1000 - 500}{50} = \frac{500}{50} = 10$ лет.

Ответ: через 10 лет.

в) Найдем, через сколько лет сумма сократится до 250 р. ($S_n = 250$).

$n = \frac{1000 - 250}{50} = \frac{750}{50} = 15$ лет.

Ответ: через 15 лет.

г) Найдем, через сколько лет сумма сократится до 50 р. ($S_n = 50$).

$n = \frac{1000 - 50}{50} = \frac{950}{50} = 19$ лет.

Ответ: через 19 лет.

В) месяцев, Г) 1 год?

429 Сумма в 1 тыс. р. уменьшается ежегодно на 5% от первоначальной суммы.

Через сколько лет эта сумма сократится до:

а) 750 р.;

б) 500 р.;

в) 250 р.;

г) 50 р.?

430 Какой была начальная сумма, если при ежемесячном увеличении на 20% от первоначальной суммы она за 3 месяца возросла до: а) 1600 р.; б) 480 р.; в) 8000 р.; г) 640 р.?

Пусть $S_0$ — искомая начальная сумма.

По условию, сумма ежемесячно увеличивается на 20% от первоначальной суммы. Это означает, что каждый месяц к текущей сумме прибавляется одна и та же величина, равная $20\%$ от $S_0$. Такой способ начисления процентов называется простыми процентами.

Величина ежемесячного увеличения составляет: $0.20 \cdot S_0$

За 3 месяца общее увеличение составит: $3 \cdot (0.20 \cdot S_0) = 0.6 \cdot S_0$

Конечная сумма, обозначим ее $S_3$, через 3 месяца будет равна начальной сумме плюс общее увеличение: $S_3 = S_0 + 0.6 \cdot S_0 = S_0 \cdot (1 + 0.6) = 1.6 \cdot S_0$

Из этой формулы можно выразить начальную сумму $S_0$: $S_0 = \frac{S_3}{1.6}$

Теперь решим задачу для каждого из предложенных вариантов.

а)

Конечная сумма $S_3$ равна 1600 р. Найдем начальную сумму $S_0$:
$S_0 = \frac{1600}{1.6} = \frac{16000}{16} = 1000$ р.
Проверка: Ежемесячное увеличение составляет $1000 \cdot 0.2 = 200$ р. За 3 месяца увеличение составит $3 \cdot 200 = 600$ р. Итоговая сумма: $1000 + 600 = 1600$ р.
Ответ: 1000 р.

б)

Конечная сумма $S_3$ равна 480 р. Найдем начальную сумму $S_0$:
$S_0 = \frac{480}{1.6} = \frac{4800}{16} = 300$ р.
Проверка: Ежемесячное увеличение составляет $300 \cdot 0.2 = 60$ р. За 3 месяца увеличение составит $3 \cdot 60 = 180$ р. Итоговая сумма: $300 + 180 = 480$ р.
Ответ: 300 р.

в)

Конечная сумма $S_3$ равна 8000 р. Найдем начальную сумму $S_0$:
$S_0 = \frac{8000}{1.6} = \frac{80000}{16} = 5000$ р.
Проверка: Ежемесячное увеличение составляет $5000 \cdot 0.2 = 1000$ р. За 3 месяца увеличение составит $3 \cdot 1000 = 3000$ р. Итоговая сумма: $5000 + 3000 = 8000$ р.
Ответ: 5000 р.

г)

Конечная сумма $S_3$ равна 640 р. Найдем начальную сумму $S_0$:
$S_0 = \frac{640}{1.6} = \frac{6400}{16} = 400$ р.
Проверка: Ежемесячное увеличение составляет $400 \cdot 0.2 = 80$ р. За 3 месяца увеличение составит $3 \cdot 80 = 240$ р. Итоговая сумма: $400 + 240 = 640$ р.
Ответ: 400 р.

430. Какой была начальная сумма, если при ежемесячном увеличении на $20\%$ от первоначальной суммы она за 3 месяца возросла до:

а) 1600 р.;

б) 480 р.;

в) 8000 р.;

г) 640 р.?

431 На сколько процентов в год увеличивается банковский вклад (простой процентный рост), если за 10 лет он возрос:

а) вдвое;

б) в 1,5 раза;

в) в 10 раз?

Для решения задачи воспользуемся формулой простого процентного роста. Согласно этой формуле, итоговая сумма вклада $S$ через $n$ лет вычисляется как:

$S = P \cdot (1 + \frac{r \cdot n}{100})$

где $P$ — первоначальная сумма вклада, $r$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество лет.

В нашей задаче $n = 10$ лет. Формула принимает вид:

$S = P \cdot (1 + \frac{r \cdot 10}{100}) = P \cdot (1 + \frac{r}{10})$

Мы будем находить $r$ для каждого из трех случаев.

а)

Вклад возрос вдвое, то есть итоговая сумма $S$ стала в 2 раза больше первоначальной $P$: $S = 2P$.

Подставим это соотношение в нашу формулу:

$2P = P \cdot (1 + \frac{r}{10})$

Разделим обе части уравнения на $P$ (поскольку $P > 0$):

$2 = 1 + \frac{r}{10}$

Выразим $r$:

$\frac{r}{10} = 2 - 1$

$\frac{r}{10} = 1$

$r = 10$

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 10%.

Ответ: 10%.

б)

Вклад возрос в 1,5 раза, то есть итоговая сумма $S$ стала в 1,5 раза больше первоначальной $P$: $S = 1,5P$.

Подставим это в формулу:

$1,5P = P \cdot (1 + \frac{r}{10})$

Разделим обе части уравнения на $P$:

$1,5 = 1 + \frac{r}{10}$

Выразим $r$:

$\frac{r}{10} = 1,5 - 1$

$\frac{r}{10} = 0,5$

$r = 0,5 \cdot 10 = 5$

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 5%.

Ответ: 5%.

в)

Вклад возрос в 10 раз, то есть итоговая сумма $S$ стала в 10 раз больше первоначальной $P$: $S = 10P$.

Подставим это в формулу:

$10P = P \cdot (1 + \frac{r}{10})$

Разделим обе части уравнения на $P$:

$10 = 1 + \frac{r}{10}$

Выразим $r$:

$\frac{r}{10} = 10 - 1$

$\frac{r}{10} = 9$

$r = 9 \cdot 10 = 90$

Таким образом, годовая процентная ставка составляет 90%.

Ответ: 90%.

431. На сколько процентов в год увеличивается банковский вклад (простой процентный рост), если за 10 лет он возрос:

а) вдвое;

б) в 1,5 раза;

в) в 10 раз?

432 «Начальная сумма составляет 50 тыс. р. и ежегодно увеличивается на 20 %, считая от начальной суммы». Какая из перечисленных ниже формул соответствует данному условию?

а) $S_n = \left(1 - \frac{20n}{100}\right) \cdot 50;$

б) $S_n = \left(1 - \frac{50n}{100}\right) \cdot 20;$

в) $S_n = \left(1 + \frac{50n}{100}\right) \cdot 20;$

г) $S_n = \left(1 + \frac{20n}{100}\right) \cdot 50.$

Для решения этой задачи необходимо составить формулу, которая описывает рост начальной суммы с течением времени. Введем обозначения:

• $S_0$ — начальная сумма, равная 50 тыс. р.
• $p$ — годовой процент увеличения, равный 20%.
• $n$ — количество лет.
• $S_n$ — итоговая сумма через $n$ лет.

Ключевым моментом в условии является фраза «считая от начальной суммы». Это означает, что процент начисляется каждый год на одну и ту же базовую сумму — 50 тыс. р. Такая схема называется начислением простых процентов.

1. Сначала рассчитаем, на какую сумму происходит ежегодное увеличение. Это 20% от 50 тыс. р.:
Величина ежегодного увеличения = $S_0 \cdot \frac{p}{100} = 50 \cdot \frac{20}{100} = 10$ тыс. р.

2. Так как эта сумма (10 тыс. р.) прибавляется каждый год, то за $n$ лет общее увеличение составит:
Общее увеличение за $n$ лет = (Величина ежегодного увеличения) $\cdot n = 10 \cdot n$ тыс. р.

3. Итоговая сумма $S_n$ через $n$ лет будет равна сумме начального вклада и общего увеличения за все годы:
$S_n = S_0 +$ (Общее увеличение за $n$ лет)
Подставляя числовые значения и выражения, получаем:
$S_n = 50 + (50 \cdot \frac{20}{100}) \cdot n$

4. Теперь преобразуем полученную формулу, чтобы она соответствовала одному из предложенных вариантов. Для этого вынесем начальную сумму $S_0 = 50$ за скобки:
$S_n = 50 \cdot (1 + \frac{20 \cdot n}{100})$

5. От перестановки множителей произведение не меняется, поэтому формулу можно записать как:
$S_n = (1 + \frac{20n}{100}) \cdot 50$

Сравнив полученное выражение с вариантами ответа, мы видим, что оно полностью совпадает с формулой из пункта г).

Ответ: г)

432 "Начальная сумма составляет 50 тыс. р. и ежегодно увеличивается на 20%, считая от начальной суммы". Какая из перечисленных ниже формул соответствует данному условию?

a) $S_n = \left(1 - \frac{20n}{100}\right) \cdot 50;$
б) $S_n = \left(1 - \frac{50n}{100}\right) \cdot 20;$
в) $S_n = \left(1 + \frac{50n}{100}\right) \cdot 20;$
г) $S_n = \left(1 + \frac{20n}{100}\right) \cdot 50.$

433 Для нормальной работы пансионата требуется 600 электролампочек. Каждый месяц требуют замены 10 % лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить нормальное освещение в пансионате в течение года?

Для решения задачи необходимо выполнить несколько шагов: сначала рассчитать количество лампочек, требующих замены каждый месяц, затем найти общее количество замен за год и, наконец, сложить это количество с первоначально необходимым числом лампочек.

1. Найдём количество лампочек, которое требует замены каждый месяц. Это 10% от 600.

Чтобы найти процент от числа, нужно это число умножить на долю, выраженную процентом:

$600 \cdot \frac{10}{100} = 600 \cdot 0.1 = 60$ (лампочек)

Таким образом, каждый месяц нужно заменять 60 лампочек.

2. Теперь рассчитаем, сколько всего лампочек потребуется для замены в течение одного года. В году 12 месяцев, поэтому умножим ежемесячное количество замен на 12:

$60 \text{ лампочек/месяц} \cdot 12 \text{ месяцев} = 720$ (лампочек)

Это общее количество лампочек, которое понадобится для замены в течение года.

3. Чтобы обеспечить нормальное освещение в течение всего года, необходимо закупить как первоначальное количество лампочек для работы пансионата (600 штук), так и все лампочки для замены (720 штук). Общее количество лампочек, которое нужно купить, будет равно их сумме:

$600 + 720 = 1320$ (лампочек)

Ответ: 1320 лампочек.

433 Для нормальной работы пансионата требуется $600$ электролампочек. Каждый месяц требуют замены $10\%$ лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить нормальное освещение в пансионате в течение года?

434 В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По «Волгам» она составляет $11,1 \%$ в год от первоначальной стоимости. Определи с точностью до целых срок службы этого автомобиля.

Срок службы автомобиля заканчивается, когда его износ достигает 100% от первоначальной стоимости. Нам дано, что ежегодный износ составляет 11,1%.

Чтобы найти количество лет, за которое износ достигнет 100%, необходимо разделить 100% на годовую норму износа.

Пусть $T$ — это срок службы автомобиля в годах. Тогда:

$T = \frac{100\%}{11,1\%\text{ в год}}$

Вычислим значение:

$T = \frac{100}{11,1} = \frac{1000}{111} \approx 9,009009...$ лет

По условию задачи, результат необходимо округлить до целых. Так как первая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$T \approx 9$ лет.

Ответ: 9 лет.

434 В автохозяйстве для каждой модели автомобилей установлена норма износа. По “Волгам” она составляет $11,1\%$ в год от первоначальной стоимости.

Определи с точностью до целых срок службы этого автомобиля.

435 На диаграмме показано изменение величины S. На сколько процентов в месяц изменяется S? (Считать, что в месяце 4 недели.)

Изменение величины S

Проценты

250

200

150

100

50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Недели

Для ответа на вопрос необходимо определить, как изменяется величина S с течением времени. Проанализируем данные, представленные на диаграмме.

На диаграмме показаны значения величины S в процентах в конце каждой из 8 недель. Обозначим значение на диаграмме в конце недели $n$ как $S_n$.

Считаем значения с диаграммы, предполагая, что они соответствуют "красивым" числам, так как столбцы часто попадают на определённые уровни или середины интервалов:

• Конец 1-й недели: $S_1 = 100\%$
• Конец 2-й недели: $S_2 = 120\%$
• Конец 3-й недели: $S_3 = 140\%$
• Конец 4-й недели: $S_4 = 160\%$
• Конец 5-й недели: $S_5 = 180\%$
• Конец 6-й недели: $S_6 = 200\%$
• Конец 7-й недели: $S_7 = 220\%$
• Конец 8-й недели: $S_8 = 240\%$

Мы видим, что значения $S_n$ образуют арифметическую прогрессию. Каждый следующий член на 20 больше предыдущего. Найдём формулу для $n$-го члена этой прогрессии. Пусть $a_n$ — значение в процентах в конце недели $n$. Тогда $a_1 = 100$ и разность прогрессии $d = 20$.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив наши значения, получим: $a_n = 100 + (n-1) \cdot 20 = 100 + 20n - 20 = 80 + 20n$.

Эта формула описывает значение величины S в процентах в конце недели $n$. Проценты обычно считаются от некоторого начального значения. Логично предположить, что это начальное значение в момент времени $t=0$ (начало 1-й недели). Мы можем найти это значение, подставив $n=0$ в нашу формулу:

$S_0 = 80 + 20 \cdot 0 = 80\%$.

Таким образом, начальное значение величины S составляет 80% (от некоторой базовой величины, которую можно принять за 100 условных единиц). Значение в конце 1-й недели равно 100%, в конце 2-й — 120%, и так далее.

Вопрос задачи — на сколько процентов в месяц изменяется S. В месяце 4 недели. Нам нужно найти процентное изменение за первые 4 недели, то есть с начального момента ($t=0$) до конца 4-й недели ($t=4$).

Начальное значение (в начале месяца): $S_0 = 80\%$.

Конечное значение (в конце месяца): $S_4 = 80 + 20 \cdot 4 = 80 + 80 = 160\%$.

Процентное изменение вычисляется по формуле:

$\text{Изменение} = \frac{\text{Конечное значение} - \text{Начальное значение}}{\text{Начальное значение}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$\text{Изменение} = \frac{S_4 - S_0}{S_0} \times 100\% = \frac{160 - 80}{80} \times 100\% = \frac{80}{80} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$

Таким образом, за первый месяц величина S увеличилась на 100%.

Стоит отметить, что процентное изменение за второй месяц (с конца 4-й по конец 8-й недели) будет другим: начальное значение $S_4=160\%$, конечное $S_8=240\%$. Изменение составит $\frac{240-160}{160} \times 100\% = 50\%$. Так как в вопросе не уточняется, какой именно месяц имеется в виду, стандартной практикой является расчёт для первого полного периода.

Ответ: 100%

435 На диаграмме показано изменение величины S. На сколько процентов в месяц изменяется S? (Считать, что в месяце 4 недели.)

Изменение величины S

Проценты

250

200

150

100

50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Недели

Π 446 Вычисли устно.

a) $0,8+$

$3,7$, $\frac{1}{5}$, $0,4$, $\frac{1}{2}$, $1,2$, $\frac{1}{4}$, $0,12$, $\frac{1}{8}$

б) $:0,1$

$\frac{2}{3}$, $1,5$, $6$, $0,3$, $2,5$, $\frac{1}{2}$, $0,04$, $20$

в) $0,25 \cdot$

$0,28$, $10$, $4$, $2$, $0,4$, $8$, $12$, $1,6$

а)

Для решения задачи нужно к центральному числу 0,8 прибавить каждое из чисел в кружках. Для удобства вычислений представим обыкновенные дроби в виде десятичных.

$0,8 + 3,7 = 4,5$
Ответ: 4,5

$0,8 + \frac{1}{5} = 0,8 + 0,2 = 1$
Ответ: 1

$0,8 + 0,4 = 1,2$
Ответ: 1,2

$0,8 + \frac{1}{2} = 0,8 + 0,5 = 1,3$
Ответ: 1,3

$0,8 + 1,2 = 2$
Ответ: 2

$0,8 + \frac{1}{4} = 0,8 + 0,25 = 1,05$
Ответ: 1,05

$0,8 + 0,12 = 0,92$
Ответ: 0,92

$0,8 + \frac{1}{8} = 0,8 + 0,125 = 0,925$
Ответ: 0,925

б)

Для решения задачи нужно каждое из чисел в кружках разделить на центральное число 0,1. Деление на 0,1 эквивалентно умножению на 10.

$\frac{2}{3} : 0,1 = \frac{2}{3} : \frac{1}{10} = \frac{2}{3} \cdot 10 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$
Ответ: $6\frac{2}{3}$

$1,5 : 0,1 = 15$
Ответ: 15

$6 : 0,1 = 60$
Ответ: 60

$0,3 : 0,1 = 3$
Ответ: 3

$2,5 : 0,1 = 25$
Ответ: 25

$\frac{1}{2} : 0,1 = 0,5 : 0,1 = 5$
Ответ: 5

$0,04 : 0,1 = 0,4$
Ответ: 0,4

$20 : 0,1 = 200$
Ответ: 200

в)

Для решения задачи нужно центральное число 0,25 умножить на каждое из чисел в кружках. Умножение на 0,25 эквивалентно делению на 4, так как $0,25 = \frac{1}{4}$.

$0,25 \cdot 0,28 = 0,07$
Ответ: 0,07

$0,25 \cdot 10 = 2,5$
Ответ: 2,5

$0,25 \cdot 4 = 1$
Ответ: 1

$0,25 \cdot 2 = 0,5$
Ответ: 0,5

$0,25 \cdot 0,4 = 0,1$
Ответ: 0,1

$0,25 \cdot 8 = 2$
Ответ: 2

$0,25 \cdot 12 = 3$
Ответ: 3

$0,25 \cdot 1,6 = 0,4$
Ответ: 0,4

446 Вычисли устно:

a) Центральная операция: 0,8+

Числа вокруг:

3,7

$\frac{1}{5}$

0,4

$\frac{1}{2}$

1,2

$\frac{1}{4}$

0,12

$\frac{1}{8}$

б) Центральная операция: : 0,1

Числа вокруг:

$\frac{2}{3}$

1,5

6

0,3

2,5

$\frac{1}{2}$

0,04

20

В) Центральная операция: 0,25.

Числа вокруг:

0,28

10

4

2

0,4

8

12

1,6

447 Выбери из множества $A = \left\{ \frac{2}{9}; 0; 1; -3.8; -\frac{5}{6}; 4; 3\frac{1}{7}; -50; 10.2; -76 \right\}$ подмножество:

1) B – положительных чисел;
2) C – отрицательных чисел;
3) D – целых чисел;
4) E – натуральных чисел;
5) F – неотрицательных целых чисел;
6) K – отрицательных дробных чисел.

Построй диаграмму множеств $A$, $B$, $C$ и $D$ и отметь на ней элементы множества $A$.

Дано множество $ A = \{ \frac{2}{9}; 0; 1; -3,8; -\frac{5}{6}; 4; 3\frac{1}{7}; -50; 10,2; -76 \} $.

1) B – подмножество положительных чисел

Положительные числа – это числа, которые больше нуля. Выберем из множества A все числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $ \frac{2}{9} $, $ 1 $, $ 4 $, $ 3\frac{1}{7} $ и $ 10,2 $.

Ответ: $ B = \{ \frac{2}{9}; 1; 4; 3\frac{1}{7}; 10,2 \} $.

2) C – подмножество отрицательных чисел

Отрицательные числа – это числа, которые меньше нуля. Выберем из множества A все числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $ -3,8 $, $ -\frac{5}{6} $, $ -50 $ и $ -76 $.

Ответ: $ C = \{ -3,8; -\frac{5}{6}; -50; -76 \} $.

3) D – подмножество целых чисел

Целые числа – это числа, не имеющие дробной части. К ним относятся натуральные числа, им противоположные и число 0. Выберем из множества A все целые числа. Это числа: $ 0 $, $ 1 $, $ 4 $, $ -50 $ и $ -76 $.

Ответ: $ D = \{ 0; 1; 4; -50; -76 \} $.

4) E – подмножество натуральных чисел

Натуральные числа – это целые положительные числа, которые используют при счете. Выберем из множества A все натуральные числа. Это числа: $ 1 $ и $ 4 $.

Ответ: $ E = \{ 1; 4 \} $.

5) F – подмножество неотрицательных целых чисел

Неотрицательные целые числа – это целые числа, которые больше или равны нулю. Это натуральные числа и число 0. Выберем из множества A такие числа. Это числа: $ 0 $, $ 1 $ и $ 4 $.

Ответ: $ F = \{ 0; 1; 4 \} $.

6) K – подмножество отрицательных дробных чисел

Отрицательные дробные числа – это отрицательные числа, которые не являются целыми. Выберем из множества A такие числа. Это числа: $ -3,8 $ и $ -\frac{5}{6} $.

Ответ: $ K = \{ -3,8; -\frac{5}{6} \} $.

Диаграмма множеств A, B, C и D

Для построения диаграммы Эйлера-Венна представим множество A в виде прямоугольника. Внутри него разместим множества B (положительные числа), C (отрицательные числа) и D (целые числа). Множества B и C не пересекаются, так как число не может быть одновременно положительным и отрицательным. Число 0 не входит ни в B, ни в C. Множество D пересекается как с B (положительные целые), так и с C (отрицательные целые), а также включает в себя 0.

На диаграмме показано расположение всех элементов множества A в соответствии с их принадлежностью к множествам B, C и D.

447 Выбери из множества $A = \{\frac{2}{9}; 0; 1; -3,8; -\frac{5}{6}; 4; 3\frac{1}{7}; -50; 10,2; -76\}$ подмножество:

1) $B$ – положительных чисел;

2) $C$ – отрицательных чисел;

3) $D$ – целых чисел;

4) $E$ – натуральных чисел;

5) $F$ – неотрицательных целых чисел;

6) $K$ – отрицательных дробных чисел.

Построй диаграмму множеств $A, B, C$ и $D$ и отметь на ней элементы множества $A$.

448 Расположи числа в порядке возрастания. Запиши ответ с помощью двойного неравенства:

а) 0; -1,75; $\frac{12}{17}$;

б) 0,3; -0,4; 0,05;

в) $-\frac{1}{7}$; $\frac{1}{5}$; $-\frac{1}{3}$;

г) $-\frac{4}{9}$; -0,5; $-\frac{2}{3}$.

а) Чтобы расположить числа $0; -1,75; \frac{12}{17}$ в порядке возрастания, сравним их. Отрицательное число всегда меньше нуля, а положительное число всегда больше нуля.

• $-1,75$ — отрицательное число, следовательно, оно наименьшее.
• $0$ — находится между отрицательным и положительным числами.
• $\frac{12}{17}$ — положительное число, следовательно, оно наибольшее.

Таким образом, порядок возрастания следующий: $-1,75$, $0$, $\frac{12}{17}$.
Ответ: $-1,75 < 0 < \frac{12}{17}$

б) Расположим в порядке возрастания числа $0,3; -0,4; 0,05$.

• Наименьшим числом является отрицательное число $-0,4$.
• Далее сравним положительные десятичные дроби $0,3$ и $0,05$. Сравнивая цифры в разряде десятых, видим, что у $0,3$ это $3$, а у $0,05$ это $0$. Так как $0 < 3$, то $0,05 < 0,3$.

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются так: $-0,4$, $0,05$, $0,3$.
Ответ: $-0,4 < 0,05 < 0,3$

в) Расположим в порядке возрастания числа $-\frac{1}{7}; \frac{1}{5}; -\frac{1}{3}$.

• Наибольшим числом является единственное положительное число $\frac{1}{5}$.
• Теперь сравним отрицательные дроби $-\frac{1}{7}$ и $-\frac{1}{3}$. Для этого сначала сравним их модули (положительные значения): $\frac{1}{7}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю $21$:
  $\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$
  $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{7}{21}$
• Поскольку $\frac{3}{21} < \frac{7}{21}$, то $\frac{1}{7} < \frac{1}{3}$.
• Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7}$.

Таким образом, порядок возрастания следующий: $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{5}$.
Ответ: $-\frac{1}{3} < -\frac{1}{7} < \frac{1}{5}$

г) Расположим в порядке возрастания числа $-\frac{4}{9}; -0,5; -\frac{2}{3}$.

• Все числа отрицательные. Для их сравнения приведем их к одному виду — обыкновенным дробям с общим знаменателем.
• Представим $-0,5$ как дробь: $-0,5 = -\frac{1}{2}$.
• Теперь сравним дроби $-\frac{4}{9}$, $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{2}{3}$. Наименьший общий знаменатель для 9, 2 и 3 равен 18.
• Приведем дроби к знаменателю 18:
  $-\frac{4}{9} = -\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{8}{18}$
  $-\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = -\frac{9}{18}$
  $-\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = -\frac{12}{18}$
• Сравним модули этих дробей: $\frac{8}{18} < \frac{9}{18} < \frac{12}{18}$.
• Для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-\frac{12}{18} < -\frac{9}{18} < -\frac{8}{18}$.
• Заменив дроби на исходные числа, получаем: $-\frac{2}{3} < -0,5 < -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{2}{3} < -0,5 < -\frac{4}{9}$

448 Расположи числа в порядке возрастания. Запиши ответ с помощью двойного неравенства:

а) $0; -1,75; \frac{12}{17}$

б) $0,3; -0,4; 0,05$

в) $-\frac{1}{7}; \frac{1}{5}; -\frac{1}{3}$

г) $-\frac{4}{9}; -0,5; -\frac{2}{3}$

449 Сколько элементов содержит множество целых решений неравенства?

1) $-5 \le x < 6$;

2) $-14 < y < 23$;

3) $-47 < x \le -2$;

4) $-50 \le x \le 100$?

1) Для неравенства $-5 \le x < 6$ необходимо найти количество целых решений.
Наименьшим целым решением является $-5$, так как неравенство $x \ge -5$ нестрогое.
Наибольшим целым решением является $5$, так как $x$ должен быть строго меньше $6$.
Таким образом, мы ищем количество целых чисел в отрезке $[-5, 5]$.
Для подсчета количества целых чисел в отрезке $[a, b]$ используется формула: $N = b - a + 1$.
Подставляем значения $a = -5$ и $b = 5$:
$N = 5 - (-5) + 1 = 5 + 5 + 1 = 11$.
Ответ: 11

2) Для неравенства $-14 < y < 23$ необходимо найти количество целых решений.
Наименьшим целым решением является $-13$, так как $y$ должен быть строго больше $-14$.
Наибольшим целым решением является $22$, так как $y$ должен быть строго меньше $23$.
Таким образом, мы ищем количество целых чисел в отрезке $[-13, 22]$.
Используем ту же формулу для отрезка $[a, b]$: $N = b - a + 1$.
Подставляем значения $a = -13$ и $b = 22$:
$N = 22 - (-13) + 1 = 22 + 13 + 1 = 36$.
Ответ: 36

3) Для неравенства $-47 < x \le -2$ необходимо найти количество целых решений.
Наименьшим целым решением является $-46$, так как $x$ должен быть строго больше $-47$.
Наибольшим целым решением является $-2$, так как неравенство $x \le -2$ нестрогое.
Таким образом, мы ищем количество целых чисел в отрезке $[-46, -2]$.
Используем формулу: $N = b - a + 1$.
Подставляем значения $a = -46$ и $b = -2$:
$N = -2 - (-46) + 1 = -2 + 46 + 1 = 45$.
Ответ: 45

4) Для неравенства $-50 \le x \le 100$ необходимо найти количество целых решений.
Наименьшим целым решением является $-50$, так как неравенство $x \ge -50$ нестрогое.
Наибольшим целым решением является $100$, так как неравенство $x \le 100$ нестрогое.
Таким образом, мы ищем количество целых чисел в отрезке $[-50, 100]$.
Используем формулу: $N = b - a + 1$.
Подставляем значения $a = -50$ и $b = 100$:
$N = 100 - (-50) + 1 = 100 + 50 + 1 = 151$.
Ответ: 151

449 Сколько элементов содержит множество целых решений неравенства:

1) $-5 \le x < 6$;
2) $-14 < y < 23$;
3) $-47 < x \le -2$;
4) $-50 \le x \le 100$?

450 Пользуясь рисунками, сравни числа a и b с нулём, между собой и сравни их модули.

1) 2) 3) 4) Образец:

$a < 0; b > 0; a < b; |a| > |b|$

Для решения этой задачи воспользуемся правилами сравнения чисел на координатной прямой:

• Число, расположенное на координатной прямой правее, всегда больше числа, расположенного левее.
• Любое положительное число (расположенное правее нуля) больше нуля.
• Любое отрицательное число (расположенное левее нуля) меньше нуля.
• Модуль числа — это расстояние от точки, изображающей это число на координатной прямой, до начала отсчёта (точки 0). Расстояние всегда является неотрицательной величиной.

На рисунке 1 обе точки, $a$ и $b$, расположены справа от нуля. Это означает, что оба числа положительные. Точка $a$ расположена правее точки $b$, следовательно, число $a$ больше числа $b$. Расстояние от нуля до точки $a$ больше, чем расстояние от нуля до точки $b$, поэтому модуль числа $a$ больше модуля числа $b$.

Сравнение с нулём: $a > 0$, $b > 0$.
Сравнение между собой: $a > b$.
Сравнение модулей: $|a| > |b|$.

Ответ: $a > 0; b > 0; a > b; |a| > |b|$.

На рисунке 2 точка $b$ расположена слева от нуля, а точка $a$ — справа. Это означает, что $b$ — отрицательное число, а $a$ — положительное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $a > b$. Визуально расстояние от нуля до точки $a$ больше, чем расстояние от нуля до точки $b$. Следовательно, модуль числа $a$ больше модуля числа $b$.

Сравнение с нулём: $b < 0$, $a > 0$.
Сравнение между собой: $a > b$.
Сравнение модулей: $|a| > |b|$.

Ответ: $b < 0; a > 0; a > b; |a| > |b|$.

На рисунке 3 обе точки, $a$ и $b$, расположены слева от нуля. Это означает, что оба числа отрицательные. Точка $b$ расположена правее (ближе к нулю), чем точка $a$, следовательно, число $b$ больше числа $a$. Точка $a$ находится дальше от нуля, чем точка $b$, поэтому расстояние от нуля до $a$ больше, чем до $b$. Это означает, что модуль числа $a$ больше модуля числа $b$.

Сравнение с нулём: $a < 0$, $b < 0$.
Сравнение между собой: $a < b$.
Сравнение модулей: $|a| > |b|$.

Ответ: $a < 0; b < 0; a < b; |a| > |b|$.

На рисунке 4 точка $a$ расположена слева от нуля, а точка $b$ — справа. Это означает, что $a$ — отрицательное число, а $b$ — положительное. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $b > a$. Визуально расстояние от нуля до точки $a$ меньше, чем расстояние от нуля до точки $b$. Следовательно, модуль числа $a$ меньше модуля числа $b$.

Сравнение с нулём: $a < 0$, $b > 0$.
Сравнение между собой: $a < b$.
Сравнение модулей: $|a| < |b|$.

Ответ: $a < 0; b > 0; a < b; |a| < |b|$.

450. Пользуясь рисунками, сравни числа a и b с нулем, между собой и сравни их модули:

1) 2) 3) 4) Образец:

$a < 0; b > 0; a < b; |a| > |b|$

451 Объясни, почему равносильны высказывания.

$|x|=a$, где $a>0 \Leftrightarrow x=a \text{ или } x=-a$

$|x|<a$, где $a>0 \Leftrightarrow -a<x<a$

Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства:

а) $|x|=5$;

б) $|y|=9$;

в) $|z|=0,4$;

г) $|t|=28$;

д) $|x|<2$;

е) $|y|<7$;

ж) $|z| \leq 6$;

з) $|t| \leq 15$.

Данные высказывания являются равносильными, что следует из определения модуля (абсолютной величины) числа и его геометрического смысла.

Объяснение для $|x| = a \Leftrightarrow x = a$ или $x = -a$ (где $a > 0$):
Модуль числа $|x|$ по определению — это расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = a$ означает, что мы ищем все числа, расстояние от которых до нуля равно положительному числу $a$. На числовой прямой существуют ровно две такие точки: одна находится справа от нуля (это точка $a$), а другая — слева от нуля (это точка $-a$). Таким образом, уравнение $|x| = a$ имеет два корня: $a$ и $-a$.

Объяснение для $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ (где $a > 0$):
Неравенство $|x| < a$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой должно быть меньше, чем $a$. Этому условию удовлетворяют все точки, которые расположены между точками $-a$ и $a$, не включая сами эти точки. Это множество точек представляет собой интервал, который записывается в виде двойного неравенства $-a < x < a$.

а) $|x| = 5$
Используя первое правило, получаем, что $x$ может быть равен $5$ или $-5$.
Ответ: $x = 5; x = -5$.

б) $|y| = 9$
Аналогично, $y$ может быть равен $9$ или $-9$.
Ответ: $y = 9; y = -9$.

в) $|z| = 0,4$
$z$ может быть равен $0,4$ или $-0,4$.
Ответ: $z = 0,4; z = -0,4$.

г) $|t| = 28$
$t$ может быть равен $28$ или $-28$.
Ответ: $t = 28; t = -28$.

д) $|x| < 2$
Используя второе правило, получаем двойное неравенство.
Ответ: $-2 < x < 2$.

е) $|y| < 7$
Аналогично, получаем двойное неравенство.
Ответ: $-7 < y < 7$.

ж) $|z| \leq 6$
Это нестрогое неравенство означает, что расстояние от $z$ до нуля меньше или равно $6$. Это соответствует всем точкам от $-6$ до $6$ включительно.
Ответ: $-6 \leq z \leq 6$.

з) $|t| \leq 15$
Аналогично, расстояние от $t$ до нуля меньше или равно $15$. Это соответствует всем точкам от $-15$ до $15$ включительно.
Ответ: $-15 \leq t \leq 15$.

451 Объясни, почему равносильны высказывания:

$|x| = a$, где $a > 0 \Leftrightarrow x = a$ или $x = -a$

$|x| < a$, где $a > 0 \Leftrightarrow -a < x < a$

Пользуясь ими, реши уравнения и неравенства:

а) $|x| = 5;$

б) $|y| = 9;$

в) $|z| = 0,4;$

г) $|t| = 28;$

д) $|x| < 2;$

е) $|y| < 7;$

ж) $|z| \le 6;$

з) $|t| \le 15.$

428 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

а) $\frac{59}{17}$;

б) $\frac{77}{26}$;

в) $\frac{96}{49}$;

г) $\frac{127}{31}$.

а)

Для того чтобы заменить обыкновенную дробь $ \frac{59}{17} $ десятичной, разделим числитель 59 на знаменатель 17. Для округления до тысячных нам нужно знать как минимум четыре цифры после запятой.

$ 59 \div 17 \approx 3,47058... $

Теперь выполним округление этого числа до требуемой точности:

До целых: смотрим на первую цифру после запятой — это 4. Так как $ 4 < 5 $, целую часть оставляем без изменений. Получаем 3.

До десятых: смотрим на вторую цифру после запятой — это 7. Так как $ 7 \ge 5 $, цифру в разряде десятых (4) увеличиваем на 1. Получаем 3,5.

До сотых: смотрим на третью цифру после запятой — это 0. Так как $ 0 < 5 $, цифру в разряде сотых (7) оставляем без изменений. Получаем 3,47.

До тысячных: смотрим на четвертую цифру после запятой — это 5. Так как $ 5 \ge 5 $, цифру в разряде тысячных (0) увеличиваем на 1. Получаем 3,471.

Ответ: $ \approx 3 $ (до целых); $ \approx 3,5 $ (до десятых); $ \approx 3,47 $ (до сотых); $ \approx 3,471 $ (до тысячных).

б)

Преобразуем дробь $ \frac{77}{26} $ в десятичную, выполнив деление 77 на 26.

$ 77 \div 26 \approx 2,96153... $

Округлим полученное значение:

До целых: первая цифра после запятой — 9. Так как $ 9 \ge 5 $, целую часть (2) увеличиваем на 1. Получаем 3.

До десятых: вторая цифра после запятой — 6. Так как $ 6 \ge 5 $, цифру в разряде десятых (9) увеличиваем на 1. Так как $ 2,9+0,1=3,0 $, получаем 3,0.

До сотых: третья цифра после запятой — 1. Так как $ 1 < 5 $, цифру в разряде сотых (6) оставляем без изменений. Получаем 2,96.

До тысячных: четвертая цифра после запятой — 5. Так как $ 5 \ge 5 $, цифру в разряде тысячных (1) увеличиваем на 1. Получаем 2,962.

Ответ: $ \approx 3 $ (до целых); $ \approx 3,0 $ (до десятых); $ \approx 2,96 $ (до сотых); $ \approx 2,962 $ (до тысячных).

в)

Разделим числитель дроби $ \frac{96}{49} $ на ее знаменатель, чтобы получить десятичное представление.

$ 96 \div 49 \approx 1,95918... $

Теперь выполним округление:

До целых: первая цифра после запятой — 9. Так как $ 9 \ge 5 $, целую часть (1) увеличиваем на 1. Получаем 2.

До десятых: вторая цифра после запятой — 5. Так как $ 5 \ge 5 $, цифру в разряде десятых (9) увеличиваем на 1. Так как $ 1,9+0,1=2,0 $, получаем 2,0.

До сотых: третья цифра после запятой — 9. Так как $ 9 \ge 5 $, цифру в разряде сотых (5) увеличиваем на 1. Получаем 1,96.

До тысячных: четвертая цифра после запятой — 1. Так как $ 1 < 5 $, цифру в разряде тысячных (9) оставляем без изменений. Получаем 1,959.

Ответ: $ \approx 2 $ (до целых); $ \approx 2,0 $ (до десятых); $ \approx 1,96 $ (до сотых); $ \approx 1,959 $ (до тысячных).

г)

Для дроби $ \frac{127}{31} $ выполним деление, чтобы перевести ее в десятичную дробь.

$ 127 \div 31 \approx 4,09677... $

Округлим результат до нужной точности:

До целых: первая цифра после запятой — 0. Так как $ 0 < 5 $, целую часть (4) оставляем без изменений. Получаем 4.

До десятых: вторая цифра после запятой — 9. Так как $ 9 \ge 5 $, цифру в разряде десятых (0) увеличиваем на 1. Получаем 4,1.

До сотых: третья цифра после запятой — 6. Так как $ 6 \ge 5 $, цифру в разряде сотых (9) увеличиваем на 1. Так как $ 4,09+0,01=4,10 $, получаем 4,10.

До тысячных: четвертая цифра после запятой — 7. Так как $ 7 \ge 5 $, цифру в разряде тысячных (6) увеличиваем на 1. Получаем 4,097.

Ответ: $ \approx 4 $ (до целых); $ \approx 4,1 $ (до десятых); $ \approx 4,10 $ (до сотых); $ \approx 4,097 $ (до тысячных).

428 Замени данную обыкновенную дробь десятичной с точностью до целых, десятых, сотых, тысячных:

а) $\frac{59}{17}$;

б) $\frac{77}{26}$;

в) $\frac{96}{49}$;

г) $\frac{127}{31}$.

429 Автомобиль проехал расстояние от A до B со скоростью $v_1$ км/ч за $t_1$ ч, а обратный путь от B до A – за $t_2$ ч. Запиши с помощью буквенного выражения, чему равны:

а) расстояние от A до B;

б) скорость $v_2$ движения от B до A;

в) общее время движения туда и обратно;

г) средняя скорость движения за всё время пути.

а) расстояние от А до В;
Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. По условию, автомобиль ехал от А до В со скоростью $v_1$ км/ч в течение $t_1$ ч.
Формула для нахождения расстояния $S$: $S = v \cdot t$.
Подставив данные из условия, получим расстояние от А до В: $S_{AB} = v_1 \cdot t_1$ (км).
Ответ: $v_1 t_1$ км.

б) скорость $v_2$ движения от В до А;
Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Расстояние на обратном пути от В до А такое же, как и от А до В, то есть $S_{BA} = S_{AB} = v_1 t_1$ км. Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2$ ч.
Формула для нахождения скорости $v$: $v = \frac{S}{t}$.
Подставим значения для обратного пути, чтобы найти скорость $v_2$: $v_2 = \frac{S_{BA}}{t_2} = \frac{v_1 t_1}{t_2}$ (км/ч).
Ответ: $\frac{v_1 t_1}{t_2}$ км/ч.

в) общее время движения туда и обратно;
Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения от А до В ($t_1$) и времени движения от В до А ($t_2$).
$t_{общ} = t_1 + t_2$ (ч).
Ответ: $t_1 + t_2$ ч.

г) средняя скорость движения за всё время пути.
Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени.
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.
Общий путь $S_{общ}$ — это сумма расстояний туда и обратно: $S_{общ} = S_{AB} + S_{BA} = v_1 t_1 + v_1 t_1 = 2 v_1 t_1$ (км).
Общее время $t_{общ}$ было найдено в предыдущем пункте: $t_{общ} = t_1 + t_2$ (ч).
Теперь можем найти среднюю скорость: $v_{ср} = \frac{2 v_1 t_1}{t_1 + t_2}$ (км/ч).
Ответ: $\frac{2 v_1 t_1}{t_1 + t_2}$ км/ч.

429 Автомобиль проехал расстояние от A до B со скоростью $v_1$ км/ч за $t_1$ часов, а обратный путь от B до A – за $t_2$ часов. Запиши с помощью буквенного выражения, чему равны:

а) расстояние от A до B;

$S_{AB} = v_1 t_1$

б) скорость $v_2$ движения от B до A;

$v_2 = \frac{v_1 t_1}{t_2}$

в) общее время движения туда и обратно;

$T = t_1 + t_2$

г) средняя скорость движения за все время пути.

$v_{ср} = \frac{2v_1 t_1}{t_1 + t_2}$

430 a) Поезд длиной 400 м прошёл мимо неподвижного наблюдателя за 20 с. За сколько времени он проедет тоннель длиной 400 м?

б) Поезд проехал с одной и той же скоростью мимо столба за 7 с, а вдоль платформы длиной 378 м - за 25 с. Чему равна скорость и длина поезда?

а)
Чтобы найти скорость поезда, нужно разделить его длину на время, за которое он прошел мимо неподвижного наблюдателя. Когда поезд проходит мимо точки (наблюдателя), он преодолевает расстояние, равное своей длине.
$v = \frac{S}{t} = \frac{400 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$
Чтобы поезду полностью проехать тоннель, его головной вагон должен пройти расстояние, равное сумме длины тоннеля и длины самого поезда.
$S_{общ} = L_{поезда} + L_{тоннеля} = 400 \text{ м} + 400 \text{ м} = 800 \text{ м}$
Теперь найдем время, за которое поезд проедет тоннель, двигаясь с найденной скоростью.
$t = \frac{S_{общ}}{v} = \frac{800 \text{ м}}{20 \text{ м/с}} = 40 \text{ с}$
Ответ: 40 с.

б)
Пусть $L$ – длина поезда (в метрах), а $v$ – его скорость (в м/с).
Когда поезд проезжает мимо столба, он проходит расстояние, равное своей длине. По условию, это занимает 7 секунд. Получаем первое уравнение:
$L = v \cdot 7$
Когда поезд проезжает вдоль платформы, он проходит расстояние, равное сумме длины платформы и своей собственной длины. По условию, это занимает 25 секунд. Длина платформы равна 378 м. Получаем второе уравнение:
$L + 378 = v \cdot 25$
Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $L$ из первого уравнения во второе:
$7v + 378 = 25v$
Решим это уравнение относительно $v$:
$378 = 25v - 7v$
$378 = 18v$
$v = \frac{378}{18} = 21 \text{ м/с}$
Мы нашли скорость поезда. Теперь найдем его длину, подставив значение скорости в первое уравнение:
$L = 7 \cdot 21 = 147 \text{ м}$
Ответ: скорость поезда 21 м/с, длина поезда 147 м.

430 a) Поезд длиной 400 м прошел мимо неподвижного наблюдателя за 20 с.
За сколько времени он проедет тоннель длиной 400 м?

б) Поезд проехал с одной и той же скоростью мимо столба за 7 с, а вдоль платформы длиной 378 м – за 25 с. Чему равна скорость и длина поезда?

431 Турист выехал на велосипеде из пункта А. Проехав $1.5$ ч со скоростью $16$ км/ч, он сделал остановку на $0.5$ ч, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через $3$ ч после выезда первого туриста из пункта А по той же дороге выехал на мотоцикле второй турист со скоростью $56$ км/ч. На каком расстоянии от пункта А второй турист догонит первого?

Для решения задачи введем следующие обозначения: $v_1 = 16$ км/ч – скорость первого туриста (велосипедиста), $v_2 = 56$ км/ч – скорость второго туриста (мотоциклиста).

1. Найдем расстояние, на котором находился первый турист от пункта А в момент выезда второго туриста.

Второй турист выехал через 3 часа после первого. Определим, где был первый турист в это время.

За первые 1,5 часа велосипедист проехал расстояние:

$S_1 = v_1 \cdot 1,5 = 16 \text{ км/ч} \cdot 1,5 \text{ ч} = 24 \text{ км}.$

Затем он сделал остановку на 0,5 часа. К этому моменту с начала его пути прошло $1,5 + 0,5 = 2$ часа.

До выезда мотоциклиста (через 3 часа после старта велосипедиста) у велосипедиста оставалось еще $3 - 2 = 1$ час времени на движение. За этот час он проехал:

$S_2 = v_1 \cdot 1 = 16 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 16 \text{ км}.$

Таким образом, к моменту выезда мотоциклиста велосипедист находился на расстоянии от пункта А:

$S_{фора} = S_1 + S_2 = 24 \text{ км} + 16 \text{ км} = 40 \text{ км}.$

Это расстояние является форой (преимуществом) для велосипедиста.

2. Определим скорость сближения туристов.

Мотоциклист догоняет велосипедиста. Скорость, с которой расстояние между ними сокращается (скорость сближения), равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_2 - v_1 = 56 \text{ км/ч} - 16 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}.$

3. Найдем время, через которое второй турист догонит первого.

Чтобы найти время, за которое мотоциклист преодолеет начальное расстояние в 40 км между ними, нужно это расстояние разделить на скорость сближения:

$t = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{40 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 1 \text{ час}.$

Итак, мотоциклист догонит велосипедиста через 1 час после своего выезда.

4. Найдем расстояние от пункта А, на котором произойдет встреча.

Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость мотоциклиста на время его движения до встречи:

$S = v_2 \cdot t = 56 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 56 \text{ км}.$

Проверим расчет по первому туристу. Он был в пути 3 часа до выезда мотоциклиста и еще 1 час после, всего $3 + 1 = 4$ часа. Из этого времени 0,5 часа он стоял, значит, двигался $4 - 0,5 = 3,5$ часа. Расстояние, которое он проехал: $16 \text{ км/ч} \cdot 3,5 \text{ ч} = 56 \text{ км}.$ Расстояния совпадают.

Ответ: 56 км.

431 Турист выехал на велосипеде из пункта А. Проехав $1.5 \text{ ч}$ со скоростью $16 \text{ км/ч}$, он сделал остановку на $0.5 \text{ ч}$, а затем продолжил путь с первоначальной скоростью. Через $3 \text{ ч}$ после выезда первого туриста из пункта А по той же дороге выехал на мотоцикле второй турист со скоростью $56 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от пункта А второй турист догонит первого?

432 От станции А в 12 ч отправился товарный поезд. В 14 ч с той же станции вышел пассажирский поезд, который догнал товарный в 20 ч. Чему равны скорости обоих поездов, если сумма их скоростей равна 140 км/ч?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $v_т$ — скорость товарного поезда, а $v_п$ — скорость пассажирского поезда.

1. Найдем время, которое каждый поезд был в пути до момента встречи.
Товарный поезд отправился в 12 ч, а встреча произошла в 20 ч. Значит, он был в пути:
$t_т = 20 - 12 = 8$ часов.
Пассажирский поезд отправился в 14 ч, а встреча произошла в 20 ч. Значит, он был в пути:
$t_п = 20 - 14 = 6$ часов.

2. Составим уравнения.
По условию, сумма скоростей поездов равна 140 км/ч. Это наше первое уравнение:
$v_т + v_п = 140$
К моменту встречи оба поезда прошли одинаковое расстояние от станции А. Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$): $S = v \cdot t$.
Расстояние, пройденное товарным поездом: $S_т = v_т \cdot t_т = 8v_т$.
Расстояние, пройденное пассажирским поездом: $S_п = v_п \cdot t_п = 6v_п$.
Поскольку расстояния равны ($S_т = S_п$), получаем второе уравнение:
$8v_т = 6v_п$

3. Решим систему уравнений.
Получили систему:
$\begin{cases} v_т + v_п = 140 \\ 8v_т = 6v_п \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v_п$ через $v_т$:
$v_п = 140 - v_т$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$8v_т = 6(140 - v_т)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$8v_т = 840 - 6v_т$
$8v_т + 6v_т = 840$
$14v_т = 840$
$v_т = \frac{840}{14}$
$v_т = 60$ (км/ч) — это скорость товарного поезда.

4. Найдем скорость пассажирского поезда.
Подставим найденное значение $v_т$ в выражение для $v_п$:
$v_п = 140 - 60 = 80$ (км/ч) — это скорость пассажирского поезда.

Проверка:
Сумма скоростей: $60 + 80 = 140$ км/ч.
Расстояние товарного поезда: $60 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 480$ км.
Расстояние пассажирского поезда: $80 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 480$ км.
Условия задачи выполняются.

Ответ: скорость товарного поезда равна 60 км/ч, а скорость пассажирского поезда — 80 км/ч.

432 От станции А в 12 ч отправился товарный поезд. В 14 ч с той же станции вышел пассажирский поезд, который догнал товарный в 20 ч. Чему равна скорость обоих поездов, если сумма их скоростей равна 140 км/ч?

433 Грузовик выехал из села А в 10 ч. Через 15 мин из того же села в противоположном направлении выехал мотоциклист, скорость которого была на 20 % меньше скорости грузовика. Чему равны скорости грузовика и мотоциклиста, если в 11 ч расстояние между ними составило 96 км?

Пусть скорость грузовика равна $x$ км/ч.

Скорость мотоциклиста на 20% меньше скорости грузовика, следовательно, она составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от скорости грузовика. Выразим скорость мотоциклиста через $x$:
$V_{мотоциклиста} = x \cdot 0.8 = 0.8x$ км/ч.

Грузовик выехал в 10:00, а расстояние между ними измерялось в 11:00. Значит, время в пути для грузовика составило:
$t_{грузовика} = 11:00 - 10:00 = 1$ час.

Мотоциклист выехал на 15 минут позже, то есть в 10:15. Его время в пути до 11:00 составило:
$t_{мотоциклиста} = 11:00 - 10:15 = 45$ минут.

Переведем 45 минут в часы для удобства расчетов:
$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ часа} = 0.75$ часа.

Расстояние, которое проехал грузовик за свое время, равно:
$S_{грузовика} = V_{грузовика} \cdot t_{грузовика} = x \cdot 1 = x$ км.

Расстояние, которое проехал мотоциклист, равно:
$S_{мотоциклиста} = V_{мотоциклиста} \cdot t_{мотоциклиста} = 0.8x \cdot 0.75 = 0.6x$ км.

Так как они двигались в противоположных направлениях, общее расстояние между ними равно сумме расстояний, пройденных каждым из них. По условию это расстояние составляет 96 км. Составим и решим уравнение:
$S_{грузовика} + S_{мотоциклиста} = 96$
$x + 0.6x = 96$
$1.6x = 96$
$x = \frac{96}{1.6}$
$x = \frac{960}{16}$
$x = 60$

Таким образом, скорость грузовика составляет 60 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:
$V_{мотоциклиста} = 0.8x = 0.8 \cdot 60 = 48$ км/ч.

Проверка:
Расстояние грузовика: $60 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 60$ км.
Расстояние мотоциклиста: $48 \text{ км/ч} \cdot 0.75 \text{ ч} = 36$ км.
Общее расстояние: $60 \text{ км} + 36 \text{ км} = 96$ км.

Ответ: скорость грузовика равна 60 км/ч, а скорость мотоциклиста — 48 км/ч.

433 Грузовик выехал из села А в 10 ч. Через 15 мин из того же села в противоположном направлении выехал мотоциклист, скорость которого была на 20% меньше скорости грузовика. Чему равны скорости грузовика и мотоциклиста, если в 11 ч расстояние между ними составило 96 км?

434 Из города А в 9 ч 30 мин выехал автомобиль, а в 11 ч в том же направлении выехал автобус. В 12 ч 15 мин расстояние между автомобилем и автобусом составило 130 км. В котором часу автобус прибудет в пункт B, если скорость автомобиля на 40 % больше скорости автобуса и автомобиль прибыл в пункт В в 12 ч 30 мин?

Обозначим скорость автобуса как $V_б$, а скорость автомобиля как $V_а$. По условию, скорость автомобиля на 40% больше скорости автобуса, следовательно, мы можем записать это соотношение в виде формулы: $V_а = V_б + 0.4 \cdot V_б = 1.4 \cdot V_б$.

Определим, сколько времени был в пути каждый вид транспорта к 12 часам 15 минутам. Автомобиль выехал в 9:30, значит, его время в пути $T_а$ составило: $T_а = 12 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 2 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 2.75 \text{ часа}$. Автобус выехал в 11:00, значит, его время в пути $T_б$ составило: $T_б = 12 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 11 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 1.25 \text{ часа}$.

К 12:15 автомобиль проехал расстояние $S_а = V_а \cdot T_а$. Подставив известные соотношения, получим: $S_а = (1.4 \cdot V_б) \cdot 2.75 = 3.85 \cdot V_б$. Автобус за это же время проехал расстояние $S_б = V_б \cdot T_б = V_б \cdot 1.25$.

Разница в пройденном расстоянии между ними составила 130 км. Так как автомобиль ехал быстрее и выехал раньше, он был впереди. Составим и решим уравнение: $S_а - S_б = 130$ $3.85 \cdot V_б - 1.25 \cdot V_б = 130$ $2.6 \cdot V_б = 130$ $V_б = \frac{130}{2.6} = 50 \text{ км/ч}$.

Теперь, зная скорость автобуса, найдем скорость автомобиля: $V_а = 1.4 \cdot V_б = 1.4 \cdot 50 = 70 \text{ км/ч}$.

Далее найдем общее расстояние от пункта А до пункта В. Известно, что автомобиль выехал в 9:30 и прибыл в 12:30. Его общее время в пути составило: $T_{а\_общ} = 12 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 3 \text{ часа}$. Расстояние $S$ от А до В равно: $S = V_а \cdot T_{а\_общ} = 70 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 210 \text{ км}$.

Наконец, вычислим, когда автобус прибудет в пункт В. Для этого найдем время, которое ему потребуется, чтобы проехать 210 км со своей скоростью 50 км/ч: $T_{б\_общ} = \frac{S}{V_б} = \frac{210 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 4.2 \text{ часа}$.

Переведем десятичную часть часа в минуты: $0.2 \cdot 60 = 12$ минут. Таким образом, общее время в пути для автобуса составляет 4 часа 12 минут.

Автобус выехал из пункта А в 11:00. Чтобы найти время его прибытия в пункт В, прибавим время в пути ко времени выезда: $11 \text{ ч } 00 \text{ мин} + 4 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 15 \text{ ч } 12 \text{ мин}$.

Ответ: автобус прибудет в пункт В в 15 часов 12 минут.

434 Из города А в 9 ч 30 мин выехал автомобиль, а в 11 ч в том же направлении выехал автобус. В 12 ч 15 мин расстояние между автомобилем и автобусом составило 130 км. В котором часу автобус прибудет в пункт В, если скорость автомобиля на 40% больше скорости автобуса, и автомобиль прибыл в пункт В в 12 ч 30 мин?

435 Катер проплыл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 1,5 ч, а против течения – на 15 мин дольше. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна $2 \text{ км/ч}$?

Решение

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера.

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки составляет $(x + 2)$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $(x - 2)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $1,5$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, на 15 минут дольше. Сначала переведем 15 минут в часы:
$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.

Следовательно, время движения против течения составляет:
$1,5 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 1,75 \text{ ч}$.

Катер проплыл одно и то же расстояние между пристанями как по течению, так и против течения. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$. Приравняем расстояние, пройденное по течению, к расстоянию, пройденному против течения, и составим уравнение:

$(x + 2) \cdot 1,5 = (x - 2) \cdot 1,75$

Теперь решим это уравнение:

$1,5x + 1,5 \cdot 2 = 1,75x - 1,75 \cdot 2$

$1,5x + 3 = 1,75x - 3,5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$3 + 3,5 = 1,75x - 1,5x$

$6,5 = 0,25x$

$x = \frac{6,5}{0,25}$

$x = 26$

Следовательно, собственная скорость катера равна 26 км/ч.

Ответ: 26 км/ч.

435 Катер проплыл расстояние между двумя пристанями по течению реки за $1,5$ ч, а против течения – на $15$ мин дольше. Чему равна собственная скорость катера, если скорость течения реки равна $2$ км/ч?