Страница 104, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

453. Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5 %. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до:

а) 115 р.;

б) 140 р.;

в) 180 р.;

г) 200 р.?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов. Если начальная сумма $S_0$ увеличивается на $p$ процентов каждый период, то через $n$ периодов сумма $S_n$ будет равна:
$S_n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$
В данном случае начальная сумма $S_0 = 100$ р., а ежемесячное увеличение $p = 2,5\%$. Формула для суммы через $n$ месяцев выглядит так:
$S_n = 100 \cdot \left(1 + \frac{2,5}{100}\right)^n = 100 \cdot (1,025)^n$
Нам нужно найти наименьшее целое число месяцев $n$, по прошествии которых сумма достигнет или превысит заданное значение $A$. Для этого будем решать неравенство $S_n \ge A$.

а) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 115 р.
Для этого решим неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 115$
$(1,025)^n \ge \frac{115}{100}$
$(1,025)^n \ge 1,15$
Прологарифмируем обе части неравенства (можно использовать натуральный логарифм $\ln$):
$n \cdot \ln(1,025) \ge \ln(1,15)$
$n \ge \frac{\ln(1,15)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,13976}{0,02469} \approx 5,66$
Поскольку количество месяцев $n$ должно быть целым, берем наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, то есть $n=6$.
Проверка:
Через 5 месяцев: $S_5 = 100 \cdot (1,025)^5 \approx 113,14$ р. ( < 115 р.)
Через 6 месяцев: $S_6 = 100 \cdot (1,025)^6 \approx 115,97$ р. ( ≥ 115 р.)
Таким образом, сумма достигнет 115 р. через 6 месяцев.
Ответ: 6 месяцев.

б) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 140 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 140$
$(1,025)^n \ge 1,4$
$n \ge \frac{\ln(1,4)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,33647}{0,02469} \approx 13,63$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 14.
Проверка:
Через 13 месяцев: $S_{13} = 100 \cdot (1,025)^{13} \approx 137,85$ р. ( < 140 р.)
Через 14 месяцев: $S_{14} = 100 \cdot (1,025)^{14} \approx 141,30$ р. ( ≥ 140 р.)
Следовательно, сумма достигнет 140 р. через 14 месяцев.
Ответ: 14 месяцев.

в) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 180 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 180$
$(1,025)^n \ge 1,8$
$n \ge \frac{\ln(1,8)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,58778}{0,02469} \approx 23,81$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 24.
Проверка:
Через 23 месяца: $S_{23} = 100 \cdot (1,025)^{23} \approx 176,44$ р. ( < 180 р.)
Через 24 месяца: $S_{24} = 100 \cdot (1,025)^{24} \approx 180,87$ р. ( ≥ 180 р.)
Значит, через 24 месяца сумма превысит 180 р.
Ответ: 24 месяца.

г) Найдем, через сколько месяцев сумма возрастет до 200 р.
Решаем неравенство:
$100 \cdot (1,025)^n \ge 200$
$(1,025)^n \ge 2$
$n \ge \frac{\ln(2)}{\ln(1,025)} \approx \frac{0,69315}{0,02469} \approx 28,07$
Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее неравенству, равно 29.
Проверка:
Через 28 месяцев: $S_{28} = 100 \cdot (1,025)^{28} \approx 199,65$ р. ( < 200 р.)
Через 29 месяцев: $S_{29} = 100 \cdot (1,025)^{29} \approx 204,64$ р. ( ≥ 200 р.)
Таким образом, для достижения суммы в 200 р. потребуется 29 месяцев.
Ответ: 29 месяцев.

D 453 Начальная сумма составляет 100 р. Ежемесячно она увеличивается на 2,5%. Через сколько месяцев эта сумма возрастет до:

а) 115 р.;

б) 140 р.;

в) 180 р.;

г) 200 р.?

454 Какой была начальная сумма, если при ежемесячном уменьшении на 20 % она за 3 месяца сократилась до:

а) 1600 р.;

б) 480 р.;

в) 8000 р.;

г) 640 р.?

Пусть $S_0$ — это начальная сумма. При ежемесячном уменьшении суммы на 20%, каждый месяц от нее остается $100\% - 20\% = 80\%$. Это эквивалентно умножению суммы на коэффициент $1 - 0.2 = 0.8$.Так как процесс длится 3 месяца, начальную сумму необходимо умножить на этот коэффициент трижды. Если $S_3$ — это сумма по истечении 3 месяцев, то ее можно выразить через начальную сумму $S_0$ следующей формулой:$S_3 = S_0 \cdot (0.8)^3 = S_0 \cdot 0.512$Соответственно, для нахождения начальной суммы $S_0$, зная конечную сумму $S_3$, мы используем обратную формулу:$S_0 = S_3 / 0.512$Теперь решим задачу для каждого из предложенных вариантов.

а) Конечная сумма составляет 1600 р. Найдем начальную сумму:
$S_0 = 1600 / 0.512 = 3125$ р.
Ответ: 3125 р.

б) Конечная сумма составляет 480 р. Найдем начальную сумму:
$S_0 = 480 / 0.512 = 937.5$ р.
Ответ: 937,5 р.

в) Конечная сумма составляет 8000 р. Найдем начальную сумму:
$S_0 = 8000 / 0.512 = 15625$ р.
Ответ: 15625 р.

г) Конечная сумма составляет 640 р. Найдем начальную сумму:
$S_0 = 640 / 0.512 = 1250$ р.
Ответ: 1250 р.

454 Какой была начальная сумма, если при ежемесячном уменьшении на 20% она за 3 месяца сократилась до:

а) 1600 р.;

б) 480 р.;

в) 8000 р.;

г) 640 р.?

455 В городе $N$ в случае неуплаты земельного налога в установленный срок (не позднее 15 сентября) начисляется пеня в размере $0,2\\%$ неперечисленных сумм за каждый день просрочки. Какую сумму нужно будет заплатить за земельный налог, равный 80 р., в случае уплаты его:

а) 25 сентября текущего года;

б) 15 ноября текущего года;

в) 20 февраля следующего года?

Для решения задачи сначала определим общие условия. Сумма земельного налога составляет 80 рублей. Срок уплаты — не позднее 15 сентября. Пеня за просрочку составляет 0,2% от неуплаченной суммы за каждый день просрочки.

1. Рассчитаем сумму пени за один день просрочки.
Переведем процентную ставку в десятичную дробь: $0,2\% = \frac{0,2}{100} = 0,002$.
Сумма пени за один день равна: $80 \text{ р.} \times 0,002 = 0,16 \text{ р.}$ (16 копеек).

2. Определим порядок расчета количества дней просрочки.
Просрочка начинается со дня, следующего за установленным сроком уплаты, то есть с 16 сентября, и включает день уплаты.

Теперь рассчитаем общую сумму к уплате для каждого случая.

а) 25 сентября текущего года
Количество дней просрочки с 16 сентября по 25 сентября включительно составляет: $25 - 15 = 10$ дней.
Общая сумма пени за этот период: $0,16 \text{ р./день} \times 10 \text{ дней} = 1,6 \text{ р.}$
Итоговая сумма к уплате (налог + пеня): $80 \text{ р.} + 1,6 \text{ р.} = 81,6 \text{ р.}$

Ответ: 81,6 р.

б) 15 ноября текущего года
Рассчитаем количество дней просрочки с 16 сентября по 15 ноября:
- Дни в сентябре (с 16-го по 30-е): $30 - 15 = 15$ дней.
- Дни в октябре: 31 день.
- Дни в ноябре (с 1-го по 15-е): 15 дней.
Общее количество дней просрочки: $15 + 31 + 15 = 61$ день.
Общая сумма пени за этот период: $0,16 \text{ р./день} \times 61 \text{ день} = 9,76 \text{ р.}$
Итоговая сумма к уплате: $80 \text{ р.} + 9,76 \text{ р.} = 89,76 \text{ р.}$

Ответ: 89,76 р.

в) 20 февраля следующего года
Рассчитаем количество дней просрочки с 16 сентября текущего года по 20 февраля следующего года (примем, что год не високосный):
- Дни в сентябре: $30 - 15 = 15$ дней.
- Дни в октябре: 31 день.
- Дни в ноябре: 30 дней.
- Дни в декабре: 31 день.
- Дни в январе: 31 день.
- Дни в феврале: 20 дней.
Общее количество дней просрочки: $15 + 31 + 30 + 31 + 31 + 20 = 158$ дней.
Общая сумма пени за этот период: $0,16 \text{ р./день} \times 158 \text{ дней} = 25,28 \text{ р.}$
Итоговая сумма к уплате: $80 \text{ р.} + 25,28 \text{ р.} = 105,28 \text{ р.}$

Ответ: 105,28 р.

455 В городе N в случае неуплаты земельного налога в установленный срок (не позднее 15 сентября) начисляется пеня в размере $0,2\%$ неперечисленных сумм за каждый день просрочки. Какую сумму нужно будет заплатить за земельный налог, равный 80 р., в случае уплаты его:
а) 25 сентября текущего года;
б) 15 ноября текущего года;
в) 20 февраля следующего года?

456 Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет $S_0$ р. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на $p$ % от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ килограмма овощей через $k$ месяцев?

1) Составь формулу для решения задачи.

2) Реши задачу при $S_0 = 80$, $p = 10$, $k = 3$; $5$; $7$.

3) С помощью составленной формулы заполни таблицу:

$S_0$ р. | $S_k$ р. | $p$ % | $k$ месяцев

20 | 30 | 12,5 | ?

25 | ? | 20 | 3

? | 27 | 10 | 8

40 | 70 | ? | 5

1) Составь формулу для решения задачи.

Пусть $S_0$ — первоначальная стоимость килограмма овощей.Каждый месяц стоимость увеличивается на $p\%$ от первоначальной стоимости. Величина этого увеличения постоянна и составляет:

$\Delta S = S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Через $k$ месяцев общее увеличение стоимости составит $k$ раз по $\Delta S$. Таким образом, общее увеличение будет равно:

$k \cdot \Delta S = k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Стоимость $S_k$ через $k$ месяцев будет равна первоначальной стоимости плюс общее увеличение:

$S_k = S_0 + k \cdot S_0 \cdot \frac{p}{100}$

Вынесем $S_0$ за скобки, чтобы получить итоговую формулу:

$S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$

Ответ: $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$

2) Реши задачу при S₀ = 80, p = 10, k = 3; 5; 7.

Используем полученную формулу $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$ с заданными значениями $S_0 = 80$ и $p = 10$.

При $k = 3$:
$S_3 = 80 \left(1 + \frac{3 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 80(1 + 0,3) = 80 \cdot 1,3 = 104$ р.

При $k = 5$:
$S_5 = 80 \left(1 + \frac{5 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{50}{100}\right) = 80(1 + 0,5) = 80 \cdot 1,5 = 120$ р.

При $k = 7$:
$S_7 = 80 \left(1 + \frac{7 \cdot 10}{100}\right) = 80 \left(1 + \frac{70}{100}\right) = 80(1 + 0,7) = 80 \cdot 1,7 = 136$ р.

Ответ: при k=3 стоимость составит 104 р., при k=5 - 120 р., при k=7 - 136 р.

3) С помощью составленной формулы заполни таблицу:

Для заполнения таблицы будем использовать основную формулу $S_k = S_0 \left(1 + \frac{kp}{100}\right)$ и выраженные из нее формулы для нахождения неизвестных величин.

Первая строка:
Дано: $S_0 = 20$, $S_k = 30$, $p = 12,5$. Найти $k$.
Выразим $k$ из формулы: $k = \frac{100(S_k - S_0)}{S_0 p}$.
$k = \frac{100(30 - 20)}{20 \cdot 12,5} = \frac{100 \cdot 10}{250} = \frac{1000}{250} = 4$.
Неизвестное значение: $k = 4$.

Вторая строка:
Дано: $S_0 = 25$, $p = 20$, $k = 3$. Найти $S_k$.
$S_k = 25 \left(1 + \frac{3 \cdot 20}{100}\right) = 25 \left(1 + \frac{60}{100}\right) = 25(1 + 0,6) = 25 \cdot 1,6 = 40$.
Неизвестное значение: $S_k = 40$.

Третья строка:
Дано: $S_k = 27$, $p = 10$, $k = 8$. Найти $S_0$.
Выразим $S_0$ из формулы: $S_0 = \frac{S_k}{1 + \frac{kp}{100}}$.
$S_0 = \frac{27}{1 + \frac{8 \cdot 10}{100}} = \frac{27}{1 + 0,8} = \frac{27}{1,8} = 15$.
Неизвестное значение: $S_0 = 15$.

Четвертая строка:
Дано: $S_0 = 40$, $S_k = 70$, $k = 5$. Найти $p$.
Выразим $p$ из формулы: $p = \frac{100(S_k - S_0)}{S_0 k}$.
$p = \frac{100(70 - 40)}{40 \cdot 5} = \frac{100 \cdot 30}{200} = \frac{3000}{200} = 15$.
Неизвестное значение: $p = 15$.

Заполненная таблица:

Ответ: Пропущенные значения в таблице: 4, 40, 15, 15.

456 Стоимость килограмма овощей в течение месяца после сбора составляет $S_0$ рублей. Каждый следующий месяц до нового урожая стоимость увеличивается на $p$% от первоначальной стоимости. Чему будет равна стоимость $S_k$ килограмма овощей через $k$ месяцев?

457 В городе А с населением 100 тыс. жителей граждане в возрасте до 18 лет составляют 40 тыс., а в городе В с населением 200 тыс. жителей – соответственно 60 тыс. В каком городе доля жителей в возрасте старше 18 лет меньше?

Чтобы определить, в каком городе доля жителей в возрасте старше 18 лет меньше, сначала необходимо вычислить количество таких жителей в каждом городе, а затем найти их долю от общего населения.

1. Найдем количество жителей в возрасте старше 18 лет в городе А.
Общее население города А — 100 тыс. человек.
Жителей в возрасте до 18 лет — 40 тыс. человек.
Количество жителей старше 18 лет: $100 \text{ тыс.} - 40 \text{ тыс.} = 60 \text{ тыс.}$ человек.

2. Найдем долю жителей старше 18 лет в городе А.
Доля = (Количество жителей старше 18 лет) / (Общее население)
Доля для города А: $ \frac{60}{100} = 0,6 $.

3. Найдем количество жителей в возрасте старше 18 лет в городе B.
Общее население города B — 200 тыс. человек.
Жителей в возрасте до 18 лет — 60 тыс. человек.
Количество жителей старше 18 лет: $200 \text{ тыс.} - 60 \text{ тыс.} = 140 \text{ тыс.}$ человек.

4. Найдем долю жителей старше 18 лет в городе B.
Доля для города B: $ \frac{140}{200} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0,7 $.

5. Сравним полученные доли.
Доля в городе А ($0,6$) меньше, чем доля в городе B ($0,7$), так как $0,6 < 0,7$.
Следовательно, в городе А доля жителей в возрасте старше 18 лет меньше.

Ответ: в городе А.

457 В городе А с населением 100 тысяч жителей граждане в возрасте до 18 лет составляют 40 тысяч, а в городе В с населением 200 тысяч жителей – соответственно 60 тысяч. В каком городе доля жителей в возрасте старше 18 лет меньше?

458 Фирма дала следующее объявление в газету:

Офисная мебель

более 40 модификаций

Цена за 1 предмет:

стулья – 1000 р. шкафы – 4600 р.

столы – 2400 р. стеллажи – 5000 р.

При покупке более 10 предметов скидка 10 %

Вычисли сумму, в которую обойдётся покупка в этой фирме комплекта мебели из 6 стульев, 6 столов, 1 шкафа и 3 стеллажей.

Для того чтобы вычислить итоговую сумму покупки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить общее количество приобретаемых предметов.

Сложим количество всех единиц мебели, чтобы проверить, применима ли скидка:

$6 \text{ стульев} + 6 \text{ столов} + 1 \text{ шкаф} + 3 \text{ стеллажа} = 16 \text{ предметов}$

Поскольку общее количество предметов ($16$) больше 10, на всю покупку предоставляется скидка 10%.

2. Рассчитать полную стоимость покупки без учета скидки.

Умножим количество каждого вида мебели на его цену и сложим полученные результаты:

Стоимость стульев: $6 \times 1000 = 6000$ р.

Стоимость столов: $6 \times 2400 = 14400$ р.

Стоимость шкафа: $1 \times 4600 = 4600$ р.

Стоимость стеллажей: $3 \times 5000 = 15000$ р.

Общая стоимость без скидки: $6000 + 14400 + 4600 + 15000 = 40000$ р.

3. Вычислить итоговую стоимость с учетом скидки.

Скидка составляет 10% от полной стоимости. Найдем размер скидки:

$40000 \text{ р.} \times \frac{10}{100} = 4000 \text{ р.}$

Теперь вычтем размер скидки из полной стоимости, чтобы найти конечную сумму к оплате:

$40000 \text{ р.} - 4000 \text{ р.} = 36000 \text{ р.}$

Ответ: 36000 р.

458 Фирма дала следующее объявление в газету:

Офисная мебель

более 40 модификаций

Цена за 1 предмет:

стулья – 1000 р. шкафы – 4600 р.

столы – 2400 р. стеллажи – 5000 р.

При покупке более 10 предметов скидка 10%

Вычисли сумму, в которую обойдется покупка в этой фирме комплекта мебели из 6 стульев, 6 столов, 1 шкафа и 3 стеллажей.

471 В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ равна 20 см, а сторона $AB$ на 60 % больше стороны $AD$. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:1$, считая от вершины $A$. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок MD делит прямоугольник ABCD?

Отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$ на две фигуры: треугольник $AMD$ и трапецию $MBCD$.

1. Обозначим длины сторон прямоугольника как $AD = h$ и $AB = w$. Площадь всего прямоугольника равна $S_{ABCD} = w \times h$.

2. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $4:1$, считая от вершины $A$. Это означает, что отрезок $AB$ можно разделить на $4+1=5$ равных частей. Тогда длина отрезка $AM$ составляет 4 части, а $MB$ – 1 часть.

$AM = \frac{4}{5} AB = \frac{4}{5}w$

$MB = \frac{1}{5} AB = \frac{1}{5}w$

3. Найдем площадь треугольника $AMD$. Это прямоугольный треугольник с катетами $AM$ и $AD$.

$S_{AMD} = \frac{1}{2} \times AM \times AD = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5}w) \times h = \frac{4}{10}wh = \frac{2}{5}wh$

4. Найдем площадь трапеции $MBCD$. Это прямоугольная трапеция с основаниями $MB$ и $CD$ и высотой $BC$. В прямоугольнике $CD = AB = w$ и $BC = AD = h$.

$S_{MBCD} = \frac{MB + CD}{2} \times BC = \frac{\frac{1}{5}w + w}{2} \times h = \frac{\frac{6}{5}w}{2} \times h = \frac{3}{5}wh$

Также площадь трапеции можно было найти, вычитая площадь треугольника из площади прямоугольника:

$S_{MBCD} = S_{ABCD} - S_{AMD} = wh - \frac{2}{5}wh = \frac{3}{5}wh$

5. Теперь найдем отношение площадей этих двух фигур:

$\frac{S_{AMD}}{S_{MBCD}} = \frac{\frac{2}{5}wh}{\frac{3}{5}wh} = \frac{2}{3}$

Таким образом, площади фигур относятся как 2:3.

Ответ: 2:3.

Найди лишние данные в условии этой задачи.

Как видно из решения выше, для нахождения отношения площадей нам не потребовались конкретные значения длин сторон прямоугольника. Отношение зависит только от того, в какой пропорции точка $M$ делит сторону $AB$. Выражения $w$ и $h$ (длины сторон) сократились при вычислении итогового отношения.

Следовательно, лишними данными являются:

• длина стороны $AD$, равная 20 см;
• тот факт, что сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$.

Ответ: длина стороны $AD$ (20 см) и тот факт, что сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$.

471 В прямоугольнике $ABCD$ сторона $AD$ равна 20 см, а сторона $AB$ на 60% больше стороны $AD$. Точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении 4 : 1, считая от вершины $A$. Чему равно отношение площадей фигур, на которые отрезок $MD$ делит прямоугольник $ABCD$? Найди лишние данные в условии этой задачи.

472 1) Числитель дроби на 5 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то получится дробь, равная $\frac{1}{10}$. Чему равен знаменатель дроби?

2) Отношение двух чисел равно $0,5 : 0,3$, а их разность равна $1\frac{1}{3}$. Чему равно их среднее арифметическое?

1)

Пусть знаменатель дроби равен $x$. Согласно условию, числитель на 5 меньше знаменателя, значит, числитель равен $x-5$. Исходная дробь имеет вид $\frac{x-5}{x}$.

Если числитель этой дроби уменьшить на 2, он станет равен $(x-5) - 2 = x-7$. Если знаменатель увеличить на 2, он станет равен $x+2$. Новая дробь будет равна $\frac{x-7}{x+2}$.

По условию, эта новая дробь равна $\frac{1}{10}$. Составим и решим уравнение:

$\frac{x-7}{x+2} = \frac{1}{10}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$10 \cdot (x-7) = 1 \cdot (x+2)$

$10x - 70 = x + 2$

$10x - x = 70 + 2$

$9x = 72$

$x = \frac{72}{9}$

$x = 8$

Таким образом, знаменатель исходной дроби равен 8.

Ответ: 8

2)

Пусть два числа — это $a$ и $b$. Их отношение равно $0,5 : 0,3$. Упростим это отношение:

$\frac{a}{b} = \frac{0,5}{0,3} = \frac{5}{3}$

Это означает, что числа можно представить в виде $a = 5k$ и $b = 3k$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

Разность этих чисел равна $1 \frac{1}{3}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1 \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Так как $a > b$ (поскольку $5k > 3k$ при $k>0$), их разность равна $a - b$. Составим уравнение:

$5k - 3k = \frac{4}{3}$

$2k = \frac{4}{3}$

$k = \frac{4}{3} : 2 = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$

Теперь найдем сами числа:

$a = 5k = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

$b = 3k = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Найдем среднее арифметическое этих чисел, которое вычисляется по формуле $\frac{a+b}{2}$:

Среднее арифметическое = $\frac{\frac{10}{3} + 2}{2} = \frac{\frac{10}{3} + \frac{6}{3}}{2} = \frac{\frac{16}{3}}{2} = \frac{16}{3 \cdot 2} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3}$.

Ответ: $2 \frac{2}{3}$

472 1) Числитель дроби на 5 меньше ее знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 2, а знаменатель увеличить на 2, то получится дробь, равная $\frac{1}{10}$. Чему равен знаменатель дроби?

2) Отношение двух чисел равно $0,5 : 0,3$, а их разность равна $1 \frac{1}{3}$. Чему равно их среднее арифметическое?

473 Сумма четырёх чисел равна 4,2. Отношение первых трёх чисел равно $1,2 : 4 : 0,8$, а четвёртое число составляет $60\%$ второго. Найди первое число. Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трёх чисел? Вырази эту часть в процентах.

Обозначим четыре числа как $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $a_4$.

Согласно условию, сумма этих четырёх чисел равна 4,2:

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 4,2$

Отношение первых трёх чисел равно $1,2 : 4 : 0,8$. Введём коэффициент пропорциональности $x$. Тогда первые три числа можно выразить как:

$a_1 = 1,2x$

$a_2 = 4x$

$a_3 = 0,8x$

Четвёртое число составляет 60% от второго. Выразим $a_4$ через $a_2$, а затем через $x$ (помним, что 60% это 0,6):

$a_4 = 0,6 \cdot a_2 = 0,6 \cdot (4x) = 2,4x$

Теперь у нас есть выражения для всех четырёх чисел через $x$. Подставим их в уравнение суммы:

$1,2x + 4x + 0,8x + 2,4x = 4,2$

Сложим все коэффициенты при $x$:

$(1,2 + 4 + 0,8 + 2,4)x = 4,2$

$8,4x = 4,2$

Теперь найдём значение $x$:

$x = \frac{4,2}{8,4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Зная $x$, мы можем найти каждое из чисел:

$a_1 = 1,2 \cdot 0,5 = 0,6$

$a_2 = 4 \cdot 0,5 = 2$

$a_3 = 0,8 \cdot 0,5 = 0,4$

$a_4 = 2,4 \cdot 0,5 = 1,2$

Проверим, равна ли их сумма 4,2: $0,6 + 2 + 0,4 + 1,2 = 4,2$. Сумма верна.

Найди первое число.

Первое число — это $a_1$.

$a_1 = 0,6$

Ответ: 0,6.

Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трёх чисел?

Сначала найдём среднее арифметическое остальных трёх чисел, то есть $a_2, a_3, a_4$.

Среднее арифметическое = $\frac{a_2 + a_3 + a_4}{3} = \frac{2 + 0,4 + 1,2}{3} = \frac{3,6}{3} = 1,2$

Теперь найдём, какую часть первое число ($a_1 = 0,6$) составляет от найденного среднего арифметического (1,2).

Часть = $\frac{a_1}{\text{Среднее арифметическое}} = \frac{0,6}{1,2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$ (или 0,5).

Вырази эту часть в процентах.

Чтобы выразить найденную часть ($\frac{1}{2}$) в процентах, нужно умножить её на 100%.

$\frac{1}{2} \cdot 100\% = 0,5 \cdot 100\% = 50\%$

Ответ: 50%.

473 Сумма четырех чисел равна 4,2. Отношение первых трех чисел равно $1,2 : 4 : 0,8$, а четвертое число составляет 60% второго. Найди первое число. Какую часть оно составляет от среднего арифметического остальных трех чисел? Вырази эту часть в процентах.

474 Найди процентное отношение чисел А и В:

А:

$\left(7\frac{3}{11} \cdot 14.9 - 7\frac{3}{11} \cdot 3.9\right) \cdot 5.68 - 4.68 \cdot \left(526.35 : 8.7\right) + 8.74;$

В:

$\frac{4.2 \cdot 0.35 \cdot 8.1}{0.049 \cdot 5.4 \cdot 0.15}.$

Для того чтобы найти процентное отношение чисел А и В, необходимо сначала вычислить их значения.

A

Найдем значение выражения А, выполняя действия по порядку:

$A = (7\frac{3}{11} \cdot 14,9 - 7\frac{3}{11} \cdot 3,9) \cdot 5,68 - 4,68 \cdot (526,35 : 8,7) + 8,74$

1. В первых скобках вынесем общий множитель $7\frac{3}{11}$ за скобки, используя распределительный закон умножения:

$7\frac{3}{11} \cdot 14,9 - 7\frac{3}{11} \cdot 3,9 = 7\frac{3}{11} \cdot (14,9 - 3,9) = 7\frac{3}{11} \cdot 11$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь и выполним умножение:

$7\frac{3}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 3}{11} = \frac{80}{11}$

$\frac{80}{11} \cdot 11 = 80$

2. Выполним деление во вторых скобках:

$526,35 : 8,7 = 5263,5 : 87 = 60,5$

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$A = 80 \cdot 5,68 - 4,68 \cdot 60,5 + 8,74$

4. Выполним умножение:

$80 \cdot 5,68 = 454,4$

$4,68 \cdot 60,5 = 283,14$

5. Выполним оставшиеся действия — вычитание и сложение:

$A = 454,4 - 283,14 + 8,74 = 171,26 + 8,74 = 180$

Таким образом, значение А равно 180.

Ответ: $A = 180$.

B

Найдем значение выражения B:

$B = \frac{4,2 \cdot 0,35 \cdot 8,1}{0,049 \cdot 5,4 \cdot 0,15}$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на $10^6$ (поскольку в знаменателе в сумме 6 знаков после запятой):

$B = \frac{4,2 \cdot 0,35 \cdot 8,1 \cdot 1000000}{0,049 \cdot 5,4 \cdot 0,15 \cdot 1000000} = \frac{(4,2 \cdot 10) \cdot (0,35 \cdot 100) \cdot (8,1 \cdot 10) \cdot 100}{(0,049 \cdot 1000) \cdot (5,4 \cdot 10) \cdot (0,15 \cdot 100)} = \frac{42 \cdot 35 \cdot 81 \cdot 100}{49 \cdot 54 \cdot 15}$

Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители и сократим дробь:

$B = \frac{(6 \cdot 7) \cdot (5 \cdot 7) \cdot (9 \cdot 9) \cdot 100}{(7 \cdot 7) \cdot (6 \cdot 9) \cdot (3 \cdot 5)}$

Сократив одинаковые множители, получаем:

$B = \frac{\cancel{6} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{9} \cdot 9 \cdot 100}{\cancel{7} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{9} \cdot 3 \cdot \cancel{5}} = \frac{9 \cdot 100}{3} = 3 \cdot 100 = 300$

Таким образом, значение B равно 300.

Ответ: $B = 300$.

Процентное отношение чисел А и B

Процентное отношение числа А к числу B находится по формуле $\frac{A}{B} \cdot 100\%$.

Подставим вычисленные значения $A=180$ и $B=300$:

$\frac{180}{300} \cdot 100\% = \frac{18}{30} \cdot 100\% = \frac{3}{5} \cdot 100\% = 0,6 \cdot 100\% = 60\%$

Процентное отношение чисел А и B составляет 60%.

Ответ: $60\%$.

474 Найди процентное отношение чисел А и В:

A $ (7\frac{3}{11} \cdot 14.9 - 7\frac{3}{11} \cdot 3.9) \cdot 5.68 - 4.68 \cdot (526.35 : 8.7) + 8.74; $

B $ \frac{4.2 \cdot 0.35 \cdot 8.1}{0.049 \cdot 5.4 \cdot 0.15} $

B

$0,049 \cdot 5,4 \cdot 0,15$

C 475 Математические софизмы

Софизм (от греческого sophisma — хитрая уловка, измышление) — логически неправильное рассуж-дение, выдаваемое за правильное.

1) Дважды два – пять!

Возьмём верное равенство: $28 + 8 - 36 = 35 + 10 - 45$.

В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий множитель:

$4 (7 + 2 - 9) = 5 (7 + 2 - 9)$.

Теперь, разделив обе части равенства на общий множитель $(7 + 2 - 9)$, получим, что $4 = 5$, то есть $2 \cdot 2 = 5$. Где ошибка?

2) Последние годы нашей жизни короче, чем первые!

Говорят, что в молодости время идёт медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек в течение десятого года проживает десятую часть своей жизни, в течение двадцатого – двадцатую часть, в течение тридцатого – тридцатую часть, в течение сорокового – сороковую часть и т. д. Очевидно, что

$\frac{1}{10} > \frac{1}{20} > \frac{1}{30} > \frac{1}{40} > \frac{1}{50} > \frac{1}{60} > \frac{1}{70} > ...$

Что неверно в этих рассуждениях?

1) Дважды два – пять!

Рассмотрим предложенные шаги и найдём ошибку в рассуждениях.

1. Исходное равенство: $28 + 8 - 36 = 35 + 10 - 45$.
Проверим его верность:
Левая часть: $28 + 8 - 36 = 36 - 36 = 0$.
Правая часть: $35 + 10 - 45 = 45 - 45 = 0$.
Равенство $0 = 0$ является верным. Этот шаг корректен.

2. Вынесение общего множителя за скобки: $4(7 + 2 - 9) = 5(7 + 2 - 9)$.
Проверим левую часть: $4 \cdot 7 + 4 \cdot 2 - 4 \cdot 9 = 28 + 8 - 36$. Это верно.
Проверим правую часть: $5 \cdot 7 + 5 \cdot 2 - 5 \cdot 9 = 35 + 10 - 45$. Это тоже верно.
Поскольку обе части исходно равнялись нулю, то и после вынесения множителей равенство $4 \cdot 0 = 5 \cdot 0$ остаётся верным. Этот шаг также корректен.

3. Деление обеих частей равенства на общий множитель $(7 + 2 - 9)$.
Именно здесь и кроется ошибка. Давайте вычислим значение этого общего множителя:
$7 + 2 - 9 = 9 - 9 = 0$.
Рассуждение предполагает деление обеих частей уравнения на 0. В математике деление на ноль является запрещённой, неопределённой операцией. Нельзя делить на ноль. Именно это некорректное действие и приводит к абсурдному выводу, что $4=5$.

Ответ: Ошибка заключается в делении обеих частей равенства на общий множитель $(7 + 2 - 9)$, который равен нулю. Делить на ноль нельзя.

2) Последние годы нашей жизни короче, чем первые!

В этих рассуждениях допущена логическая ошибка, связанная с подменой понятий.

Математическая часть рассуждений верна. Действительно, для 10-летнего ребёнка один год составляет $\frac{1}{10}$ его прожитой жизни, для 20-летнего — $\frac{1}{20}$, для 40-летнего — $\frac{1}{40}$. Неравенство, показывающее убывание этой доли, также абсолютно верно:
$\frac{1}{10} > \frac{1}{20} > \frac{1}{30} > \frac{1}{40} > \dots$

Ошибка заключается в выводе, который делается из этого факта. Софизм отождествляет две разные величины:

1. Объективную длительность года — это физическая величина, стандартная единица измерения времени (примерно 365,25 суток), которая остаётся неизменной на протяжении всей жизни человека.
2. Относительную долю года в общем объёме прожитой жизни. Эта величина действительно уменьшается с возрастом.

Рассуждение неверно потому, что оно делает вывод об изменении объективной длительности времени на основании изменения его относительной доли. Уменьшение дроби $\frac{1}{n}$ с ростом $n$ может объяснить психологическое ощущение ускорения времени с возрастом (каждый новый год составляет всё меньшую часть нашего накопленного опыта), но это никак не доказывает, что годы на самом деле становятся "короче". Длительность десятого года жизни человека и пятидесятого года его жизни абсолютно одинакова.

Ответ: Неверно отождествлять объективную, физическую продолжительность года (которая всегда одинакова) и его относительную долю по отношению ко всей прожитой жизни (которая с возрастом уменьшается). Рассуждение делает ложный вывод об изменении физической величины на основе верного математического сравнения долей.

C 475 Математические софизмы.

Софизм (от греческого sophisma – хитрая уловка, измышление) – логически неправильное рассуждение, выдаваемое за правильное.

1) Дважды два – пять!

Возьмем верное равенство: $28 + 8 - 36 = 35 + 10 - 45$.

В каждой части этого равенства вынесем за скобки общий множитель:

$4 (7 + 2 - 9) = 5 (7 + 2 - 9)$.

Теперь, разделив обе части равенства на общий множитель $(7 + 2 - 9)$, получим, что $4 = 5$, то есть $2 \cdot 2 = 5$. Где ошибка?

2) Последние годы нашей жизни короче, чем первые!

Говорят, что в молодости время идет медленнее, а в старости скорее. Это изречение можно доказать математически. Действительно, человек в течение десятого года проживает десятую часть своей жизни, в течение двадцатого – двадцатую часть, в течение тридцатого – тридцатую часть, в течение сорокового – сороковую часть и т. д. Очевидно, что

$\frac{1}{10} > \frac{1}{20} > \frac{1}{30} > \frac{1}{40} > \frac{1}{50} > \frac{1}{60} > \frac{1}{70} > ...$

Что неверно в этих рассуждениях?

Рис. 48

К 450 Найди в окружающей обстановке предметы, имеющие форму куба, прямоугольного параллелепипеда, шара, пирамиды, цилиндра, конуса.

104

Предметы, имеющие форму куба, можно встретить в повседневной жизни. Например, игральный кубик, кубик Рубика, кубик сахара-рафинада или льда, некоторые пуфики и подарочные коробки. Ответ:

Предметы, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда, встречаются очень часто. Это, например, книга, кирпич, шкаф, холодильник, спичечный коробок, системный блок компьютера, смартфон или обычная картонная коробка. Ответ:

Предметы, имеющие форму шара: футбольный или теннисный мяч, глобус, апельсин, арбуз, подшипник, бусина, новогодняя елочная игрушка. Ответ:

Предметы, имеющие форму пирамиды, встречаются реже, но их тоже можно найти. Самый известный пример — египетские пирамиды. В быту это могут быть чайные пакетики-пирамидки, некоторые архитектурные элементы (например, крыши зданий) или детские игрушки. Ответ:

Предметы, имеющие форму цилиндра: стакан, кружка, консервная банка, труба, бочка, рулон бумаги, батарейка, свеча. Ответ:

Предметы, имеющие форму конуса: вафельный рожок для мороженого, дорожный конус, воронка для переливания жидкостей, праздничный колпак, некоторые виды абажуров для ламп. Ответ:

450 Найди в окружающей обстановке предметы, имеющие форму куба, прямоугольного параллелепипеда, шара, пирамиды, цилиндра, конуса.