Страница 109, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

475 Оля решила купить две книги: первая стоит $56 \%$ всех её денег, а вторая – $64 \%$, и поэтому у неё не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе?

Для решения задачи сначала найдем, какую часть от имеющихся у Оли денег составляет общая стоимость двух книг в процентах.

1. Суммируем стоимость каждой книги в процентах от общей суммы денег Оли:
Стоимость первой книги составляет $56\%$, а второй — $64\%$.
Общая стоимость двух книг в процентах: $56\% + 64\% = 120\%$.

2. Общая стоимость книг ($120\%$) превышает количество денег, которое есть у Оли ($100\%$). Найдем, на сколько процентов стоимость книг больше, чем ее деньги:
$120\% - 100\% = 20\%$.

3. Из условия задачи мы знаем, что Оле не хватило 15 рублей. Это означает, что разница в $20\%$ составляет 15 рублей.

4. Теперь мы можем найти общую сумму денег, которая была у Оли. Обозначим эту сумму за $x$. Если $20\%$ от $x$ равны 15, то можем составить уравнение:
$0.2 \cdot x = 15$
$x = \frac{15}{0.2}$
$x = 75$ рублей.
Таким образом, у Оли было 75 рублей.

5. Вопрос задачи — сколько стоят обе книги вместе. Их стоимость — это деньги, которые были у Оли, плюс сумма, которой ей не хватило:
$75 \text{ р.} + 15 \text{ р.} = 90 \text{ р.}$

Также можно найти стоимость книг, вычислив $120\%$ от суммы денег Оли:
$75 \cdot 1.2 = 90 \text{ р.}$

Ответ: 90 р.

475 Оля решила купить две книги: первая стоит $56\%$ всех ее денег, а вторая – $64\%$, и поэтому у нее не хватило на покупку этих книг 15 р. Сколько стоят обе книги вместе?

476 Кофе при обжарке теряет 12,5% своего веса. Сколько килограммов зелёного кофе надо взять, чтобы получить 35 кг обжаренного?

Для решения этой задачи обозначим искомое количество зелёного кофе за $x$ кг. Это будет 100% первоначального веса.

По условию, при обжарке кофе теряет 12,5% своего веса. Это означает, что после обжарки остаётся определённый процент от первоначального веса. Вычислим его:

$100\% - 12,5\% = 87,5\%$

Таким образом, 35 кг обжаренного кофе составляют 87,5% от веса зелёного кофе ($x$).

Теперь мы можем составить пропорцию или уравнение, чтобы найти $x$.

Способ 1: Решение через уравнение

Переведём 87,5% в десятичную дробь:

$87,5\% = 87,5 / 100 = 0,875$

Составим уравнение, где $x$ — это вес зелёного кофе:

$x \cdot 0,875 = 35$

Теперь найдём $x$:

$x = 35 / 0,875$

Чтобы упростить вычисление, можно умножить числитель и знаменатель на 1000:

$x = 35000 / 875 = 40$

Способ 2: Решение через пропорцию

Составим пропорцию, исходя из того, что:

• $x$ кг зелёного кофе — это 100%
• 35 кг обжаренного кофе — это 87,5%

Пропорция будет выглядеть так:

$x / 100 = 35 / 87,5$

Отсюда выразим $x$:

$x = (35 \cdot 100) / 87,5$

$x = 3500 / 87,5 = 40$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: чтобы получить 35 кг обжаренного кофе, надо взять 40 кг зелёного кофе.

476 Кофе при обжарке теряет 12,5% своего веса. Сколько килограммов зеленого кофе надо взять, чтобы получить 35 кг обжаренного?

477 Сколько воды надо выпарить из 350 г 12%-го раствора соли, чтобы получить 20%-й раствор?

Для решения этой задачи нужно сначала определить, сколько граммов соли содержится в исходном растворе. Затем, зная, что масса соли при выпаривании не меняется, найти новую массу всего раствора, в котором эта соль будет составлять 20%. Разница между начальной и конечной массой раствора и будет массой выпаренной воды.

1. Найдем массу соли в исходном 12%-м растворе массой 350 г. Для этого массу раствора умножим на массовую долю соли:

$m_{соли} = m_{раствора} \cdot \omega_{соли} = 350 \text{ г} \cdot 12\% = 350 \cdot 0.12 = 42$ г.

2. При выпаривании воды масса соли в растворе не изменяется. Таким образом, в новом растворе также будет 42 г соли, но теперь эта масса будет составлять 20% от новой общей массы раствора. Найдем новую массу раствора ($m_{нового\_раствора}$):

$m_{нового\_раствора} = \frac{m_{соли}}{\omega_{новой}} = \frac{42 \text{ г}}{20\%} = \frac{42}{0.20} = 210$ г.

3. Чтобы найти массу выпаренной воды, нужно из первоначальной массы раствора вычесть новую массу раствора:

$m_{воды} = m_{исходного\_раствора} - m_{нового\_раствора} = 350 \text{ г} - 210 \text{ г} = 140$ г.

Таким образом, для получения 20%-го раствора необходимо выпарить 140 г воды.

Ответ: 140 г.

477 Сколько воды надо выпарить из 350 г 12%-го раствора соли, чтобы получить 20%-й раствор?

478. К 200 г 15%-го раствора вещества добавили 300 г 30%-го раствора этого же вещества. Чему равна концентрация полученной смеси?

Для решения этой задачи необходимо найти общую массу растворенного вещества и общую массу полученного раствора, а затем вычислить их соотношение для определения новой концентрации.

1. Сначала найдем массу чистого вещества в первом растворе. Масса раствора составляет 200 г, а его концентрация – 15%. Чтобы найти массу вещества, нужно массу раствора умножить на концентрацию, выраженную в долях от единицы (15% = 0.15).

$m_{\text{вещества 1}} = 200 \text{ г} \times 0.15 = 30 \text{ г}$

2. Затем найдем массу чистого вещества во втором растворе. Масса этого раствора составляет 300 г, а его концентрация – 30% (или 0.30 в долях).

$m_{\text{вещества 2}} = 300 \text{ г} \times 0.30 = 90 \text{ г}$

3. Теперь найдем общую массу вещества и общую массу полученной смеси. Для этого сложим массы веществ из обоих растворов и массы самих растворов.

Общая масса вещества: $m_{\text{общ. вещ.}} = m_{\text{вещества 1}} + m_{\text{вещества 2}} = 30 \text{ г} + 90 \text{ г} = 120 \text{ г}$

Общая масса смеси: $m_{\text{смеси}} = m_{\text{раствора 1}} + m_{\text{раствора 2}} = 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г}$

4. Наконец, вычислим концентрацию полученной смеси. Концентрация ($w$) – это отношение массы растворенного вещества к массе всего раствора, выраженное в процентах.

$w_{\text{смеси}} = \frac{m_{\text{общ. вещ.}}}{m_{\text{смеси}}} \times 100\% = \frac{120 \text{ г}}{500 \text{ г}} \times 100\% = 0.24 \times 100\% = 24\%$

Ответ: 24%.

478 К 200 граммам 15%-го раствора вещества добавили 300 граммов 30%-го раствора этого же вещества. Чему равна концентрация полученной смеси?

479 Начальный вклад клиента банка равен 10 000 р. Годовая процентная ставка банка 10 %. На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года в случаях, когда банк начисляет простые проценты и сложные проценты?

Простые проценты

Формула для расчета суммы вклада при простых процентах: $S = P_0 (1 + n \cdot r)$

Сложные проценты

Формула для расчета суммы вклада при сложных процентах: $S = P_0 (1 + r)^n$

Для решения задачи необходимо рассчитать итоговую сумму вклада через 4 года для каждого из двух случаев (простые и сложные проценты), а затем найти разницу между этими суммами.

Случай 1: Начисление простых процентов

При начислении простых процентов каждый год начисляется одна и та же сумма, равная 10% от первоначального вклада.

Формула для расчета итоговой суммы при простых процентах:

$S = P \cdot (1 + n \cdot \frac{r}{100})$

где:

• $S$ – итоговая сумма вклада,
• $P$ – первоначальный вклад (10 000 р.),
• $n$ – количество лет (4 года),
• $r$ – годовая процентная ставка (10%).

Подставим значения в формулу:

$S_{простые} = 10000 \cdot (1 + 4 \cdot \frac{10}{100}) = 10000 \cdot (1 + 4 \cdot 0.1) = 10000 \cdot (1 + 0.4) = 10000 \cdot 1.4 = 14000$ рублей.

Ответ: 14 000 рублей.

Случай 2: Начисление сложных процентов

При начислении сложных процентов проценты за каждый следующий год начисляются на сумму, включающую уже начисленные ранее проценты (происходит капитализация процентов).

Формула для расчета итоговой суммы при сложных процентах:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

Используем те же значения:

$S_{сложные} = 10000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^4 = 10000 \cdot (1 + 0.1)^4 = 10000 \cdot (1.1)^4$

Рассчитаем $(1.1)^4$:

$(1.1)^2 = 1.21$

$(1.1)^4 = (1.1^2)^2 = 1.21^2 = 1.4641$

Теперь найдем итоговую сумму:

$S_{сложные} = 10000 \cdot 1.4641 = 14641$ рубль.

Ответ: 14 641 рубль.

Разница между вкладами

Чтобы найти, на сколько рублей будут отличаться вклады, вычтем из суммы, полученной по сложным процентам, сумму, полученную по простым процентам:

Разница = $S_{сложные} - S_{простые} = 14641 - 14000 = 641$ рубль.

Ответ: на 641 рубль.

D 479 Начальный вклад клиента банка равен 10 000 р. Годовая процентная ставка банка 10% . На сколько рублей будут отличаться вклады через 4 года в случаях, когда банк начисляет простые проценты и сложные проценты?

480 В первый год фермер обработал 20 га земли. Затем, переходя к интенсивным способам земледелия, он в течение трёх лет сокращал посевные площади на 10 % по сравнению с предыдущим годом. Сколько гектаров составили посевные площади через 3 года?

Для решения этой задачи мы будем последовательно вычислять размер посевной площади после каждого года сокращения.

Изначальная площадь составляла 20 га. Каждый год она сокращалась на 10%. Сокращение на 10% означает, что от площади предыдущего года оставалось $100\% - 10\% = 90\%$. Чтобы найти новую площадь, нужно умножать значение предыдущего года на коэффициент 0,9.

1. Площадь через один год

Вычислим площадь после первого года сокращения:

$20 \text{ га} \times 0,9 = 18 \text{ га}$

2. Площадь через два года

Теперь возьмем площадь после первого года (18 га) и уменьшим ее на 10%:

$18 \text{ га} \times 0,9 = 16,2 \text{ га}$

3. Площадь через три года

Наконец, уменьшим площадь после второго года (16,2 га) еще на 10%:

$16,2 \text{ га} \times 0,9 = 14,58 \text{ га}$

Эту задачу также можно решить, используя формулу для вычисления сложных процентов при уменьшении:

$S = S_0 \cdot (1 - \frac{p}{100})^n$

где:

• $S_0$ – начальная площадь (20 га),
• $p$ – процент сокращения за один период (10%),
• $n$ – количество периодов (3 года).

Подставляем значения в формулу:

$S = 20 \cdot (1 - \frac{10}{100})^3 = 20 \cdot (1 - 0,1)^3 = 20 \cdot (0,9)^3 = 20 \cdot 0,729 = 14,58 \text{ га}$

Ответ: через 3 года посевные площади составили 14,58 гектаров.

480 В первый год фермер обработал 20 га земли. Затем, переходя к интенсивным способам земледелия, он в течение трех лет сокращал посевные площади на 10% по сравнению с предыдущим годом. Сколько гектаров составили посевные площади через 3 года?

481 Население города N ежегодно увеличивается в среднем на 2 %. На сколько увеличится население через 3 года, если сейчас оно составляет 900 тыс. человек? Ответ округли до единиц тысяч.

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, так как прирост населения каждый год рассчитывается от новой, увеличенной численности.

Исходные данные:
Начальная численность населения ($P_0$) = $900$ тыс. человек.
Ежегодный прирост ($r$) = $2\%$.
Количество лет ($n$) = $3$.

Формула для расчета итоговой численности населения ($P_n$) через $n$ лет выглядит следующим образом:
$P_n = P_0 \times (1 + \frac{r}{100})^n$

1. Рассчитаем численность населения через 3 года.
Подставим наши значения в формулу:
$P_3 = 900 \times (1 + \frac{2}{100})^3 = 900 \times (1.02)^3$
Вычислим $(1.02)^3$:
$(1.02)^3 = 1.02 \times 1.02 \times 1.02 = 1.061208$
Теперь найдем итоговую численность населения:
$P_3 = 900 \times 1.061208 = 955.0872$ тыс. человек.

2. Найдем, на сколько увеличится население.
Для этого из итоговой численности вычтем начальную:
Прирост = $P_3 - P_0 = 955.0872 - 900 = 55.0872$ тыс. человек.

3. Округлим результат.
По условию задачи, ответ необходимо округлить до единиц тысяч. Это значит, что полученное значение прироста (55.0872 тыс.) нужно округлить до целого числа.
$55.0872 \approx 55$

Таким образом, население увеличится на 55 тысяч человек.

Ответ: 55 тыс. человек.

481 Население города N ежегодно увеличивается в среднем на 2%. На сколько увеличится население через 3 года, если сейчас оно составляет 900 тыс. человек? Ответ округли до единиц тысяч.

482 Трава при высыхании становится сеном и теряет около 28 % своего веса.

Сколько было накошено травы, если из неё было получено 1,44 т сена?

Пусть $x$ — это первоначальная масса накошенной травы в тоннах. По условию, при высыхании трава теряет 28% своего веса. Следовательно, масса оставшегося сена составляет $100\% - 28\% = 72\%$ от первоначальной массы травы.

Переведем проценты в десятичную дробь для использования в расчетах: $72\% = \frac{72}{100} = 0,72$. Это означает, что масса сена составляет 0,72 от массы травы.

Известно, что было получено 1,44 т сена. Можем составить уравнение, где масса сена равна произведению доли на первоначальную массу травы: $0,72 \cdot x = 1,44$.

Чтобы найти $x$, нужно массу сена разделить на долю, которую она составляет от массы травы: $x = \frac{1,44}{0,72} = 2$.

Таким образом, первоначально было накошено 2 тонны травы.

Ответ: 2 т.

482 Трава при высыхании становится сеном и теряет около 28% своего веса.

Сколько было накошено травы, если из нее было получено 1,44 т сена?

483. Смешали 200 г 16%-го сахарного сиропа и 600 г - 28%-го. Чему равна концентрация сахара в полученном растворе?

Чтобы определить концентрацию сахара в полученном растворе, необходимо сначала найти общую массу сахара и общую массу раствора после смешивания.

1. Найдем массу сахара в первом растворе. Для этого массу раствора умножим на его концентрацию (предварительно переведя проценты в десятичную дробь).

Масса сахара в первом сиропе (16% от 200 г):

$m_{сахара1} = 200 \text{ г} \times 0.16 = 32 \text{ г}$

2. Аналогично найдем массу сахара во втором растворе.

Масса сахара во втором сиропе (28% от 600 г):

$m_{сахара2} = 600 \text{ г} \times 0.28 = 168 \text{ г}$

3. Сложим массы сахара из обоих растворов, чтобы найти общую массу сахара в смеси.

$m_{общ\_сахара} = m_{сахара1} + m_{сахара2} = 32 \text{ г} + 168 \text{ г} = 200 \text{ г}$

4. Найдем общую массу полученного раствора, сложив массы исходных растворов.

$m_{общ\_раствора} = 200 \text{ г} + 600 \text{ г} = 800 \text{ г}$

5. Теперь вычислим концентрацию сахара в полученном растворе. Концентрация — это отношение общей массы сахара к общей массе раствора, умноженное на 100%.

$C = \frac{m_{общ\_сахара}}{m_{общ\_раствора}} \times 100\% = \frac{200}{800} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: 25%.

483 Смешали 200 граммов 16%-го сахарного сиропа и 600 граммов – 28%-го. Чему равна концентрация сахара в полученном растворе?

484 Ученик прочитал в первый день $30 \%$ всей книги, во второй – $40 \%$ оставшейся части, а в третий – остальные 105 страниц. Сколько всего страниц было в книге?

Обозначим общее количество страниц в книге за $x$.
В первый день ученик прочитал 30% всей книги, что составляет $0.3x$ страниц.
После первого дня осталось прочитать $x - 0.3x = 0.7x$ страниц.
Во второй день ученик прочитал 40% от оставшейся части. Количество страниц, прочитанных во второй день, равно $0.4 \times (0.7x) = 0.28x$.
В третий день он дочитал оставшиеся 105 страниц. Это количество равно общему числу страниц минус прочитанное за первые два дня:
$x - (0.3x + 0.28x) = x - 0.58x = 0.42x$.
Теперь мы можем составить уравнение, так как нам известно, что количество оставшихся страниц равно 105:
$0.42x = 105$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0.42:
$x = \frac{105}{0.42}$
$x = \frac{10500}{42}$
$x = 250$
Таким образом, всего в книге было 250 страниц.
Проверка:
1. Первый день: $250 \times 0.30 = 75$ страниц. Осталось $250 - 75 = 175$ страниц.
2. Второй день: $175 \times 0.40 = 70$ страниц. Осталось $175 - 70 = 105$ страниц.
3. Третий день: 105 страниц, что соответствует условию задачи.
Ответ: 250 страниц.

484 Ученик прочитал в первый день 30% всей книги, во второй – 40% оставшейся части, а в третий – остальные 105 страниц. Сколько всего страниц было в книге?

485 Вычисли значения выражений А и В и определи: 1) на сколько процентов А меньше, чем В; 2) на сколько процентов В больше, чем А.

А $ \frac{1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2}}{5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3}}{1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16} $

В $ \left[\frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}}{1.05 : \left(2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18}\right)} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4}\right]^2 $

Для ответа на вопросы задачи необходимо сначала вычислить значения выражений А и В.

Вычисление значения выражения А

Выражение А представляет собой произведение двух дробей. $A = \frac{1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2}}{5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3}}{1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16}$

Вычислим значение первой дроби. Для этого преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
Числитель: $1\frac{2}{9} \cdot 3\frac{4}{7} \cdot 4\frac{1}{2} = \frac{11}{9} \cdot \frac{25}{7} \cdot \frac{9}{2} = \frac{11 \cdot 25 \cdot 9}{9 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{11 \cdot 25}{14}$
Знаменатель: $5\frac{1}{2} \cdot 6\frac{3}{7} \cdot 2\frac{7}{9} = \frac{11}{2} \cdot \frac{45}{7} \cdot \frac{25}{9} = \frac{11 \cdot 45 \cdot 25}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 9 \cdot 25}{14 \cdot 9} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 25}{14}$
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{\frac{11 \cdot 25}{14}}{\frac{11 \cdot 5 \cdot 25}{14}} = \frac{11 \cdot 25}{14} \cdot \frac{14}{11 \cdot 5 \cdot 25} = \frac{1}{5}$

Вычислим значение второй дроби.
Числитель: $12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2\frac{1}{3} = \frac{121}{10} \cdot \frac{2}{11} + \frac{42}{10} : \frac{7}{3} = \frac{11 \cdot 2}{10} + \frac{42}{10} \cdot \frac{3}{7} = 2.2 + \frac{6 \cdot 3}{10} = 2.2 + 1.8 = 4$
Знаменатель (используем распределительный закон): $1\frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16 = (1\frac{5}{13} - \frac{5}{13}) \cdot 0.16 = 1 \cdot 0.16 = 0.16$
Значение второй дроби: $\frac{4}{0.16} = \frac{400}{16} = 25$

Теперь найдем значение А, перемножив результаты: $A = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5$

Вычисление значения выражения B

$B = \left[ \frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6}}{1.05 : (2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18})} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} \right]^2$
Вычислим по действиям.

1. Вычислим первую дробь в скобках.
Числитель: $0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{10} + \frac{5}{18} = \frac{3}{10} + \frac{5}{18} = \frac{27+25}{90} = \frac{52}{90} = \frac{26}{45}$
Знаменатель: $1.05 : (2\frac{1}{36} - 1\frac{5}{18}) = 1.05 : (\frac{73}{36} - \frac{46}{36}) = 1.05 : \frac{27}{36} = 1.05 : \frac{3}{4} = \frac{105}{100} \cdot \frac{4}{3} = \frac{21}{20} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7}{5}$
Значение первой дроби: $\frac{26/45}{7/5} = \frac{26}{45} \cdot \frac{5}{7} = \frac{26}{9 \cdot 7} = \frac{26}{63}$

2. Вычислим вторую дробь в скобках, сокращая множители:
$\frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} = \frac{1.2}{0.24} \cdot \frac{0.8}{6.4} \cdot \frac{7.6}{1.9} = 5 \cdot \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

3. Сложим полученные значения:
$\frac{26}{63} + \frac{5}{2} = \frac{26 \cdot 2 + 5 \cdot 63}{126} = \frac{52 + 315}{126} = \frac{367}{126}$

4. Возведем результат в квадрат:
$B = (\frac{367}{126})^2 = \frac{134689}{15876}$

Итак, мы получили точные значения: $A=5$ и $B=\frac{134689}{15876}$.

1) на сколько процентов А меньше, чем В

Для нахождения процентного соотношения используем формулу: $\frac{B - A}{B} \cdot 100\%$.
$B - A = \frac{134689}{15876} - 5 = \frac{134689 - 5 \cdot 15876}{15876} = \frac{134689 - 79380}{15876} = \frac{55309}{15876}$
$\frac{B - A}{B} = \frac{55309/15876}{134689/15876} = \frac{55309}{134689}$
$\frac{55309}{134689} \cdot 100\% \approx 0.41064 \cdot 100\% \approx 41.06\%$
Ответ: А меньше, чем В, примерно на $41.06\%$.

2) на сколько процентов В больше, чем А

Для нахождения процентного соотношения используем формулу: $\frac{B - A}{A} \cdot 100\%$.
$\frac{B - A}{A} = \frac{55309/15876}{5} = \frac{55309}{15876 \cdot 5} = \frac{55309}{79380}$
$\frac{55309}{79380} \cdot 100\% \approx 0.69683 \cdot 100\% \approx 69.68\%$
Ответ: В больше, чем А, примерно на $69.68\%$.

485 Вычисли значения выражений A и B и определи: 1) на сколько процентов A меньше, чем B; 2) на сколько процентов B больше, чем A?

A $A = \frac{1 \frac{2}{9} \cdot 3 \frac{4}{7} \cdot 4 \frac{1}{2}}{5 \frac{1}{2} \cdot 6 \frac{3}{7} \cdot 2 \frac{7}{9}} \cdot \frac{12.1 \cdot \frac{2}{11} + 4.2 : 2 \frac{1}{3}}{1 \frac{5}{13} \cdot 0.16 - \frac{5}{13} \cdot 0.16}$

B $B = \left[ \frac{0.375 \cdot 0.8 + \frac{1}{3} : \frac{5}{6}}{1.05 : \left(2 \frac{1}{36} - 1 \frac{5}{18}\right)} + \frac{1.2 \cdot 0.8 \cdot 7.6}{0.24 \cdot 1.9 \cdot 6.4} \right]^2$

Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат?

Пусть искомые двузначные числа состоят из цифр $a$ и $b$. Тогда одно число можно записать как $10a + b$, а второе, полученное перестановкой цифр, — как $10b + a$. По условию, оба числа являются простыми.

Найдем их разность. Предположим, что $b > a$. Разность равна $(10b + a) - (10a + b) = 9b - 9a = 9(b - a)$.

Эта разность по условию является точным квадратом. Так как $9 = 3^2$ уже является точным квадратом, то для того, чтобы произведение $9(b-a)$ было точным квадратом, множитель $(b-a)$ также должен быть точным квадратом.

Поскольку $a$ и $b$ — это различные цифры двузначного числа ($a \neq 0$ и $b \neq 0$), их разность $b-a$ является целым числом в диапазоне от 1 до 8. Единственные точные квадраты в этом диапазоне — это 1 и 4.

Рассмотрим эти два случая.

1. Если $b-a=1$, то разность чисел равна $9 \cdot 1 = 9 = 3^2$. Перебирая пары цифр, где $b=a+1$, мы ищем случаи, когда оба числа ($10a+b$ и $10b+a$) являются простыми. Например, для пары цифр (2, 3) получаем числа 23 (простое) и 32 (составное). Для пары (6, 7) получаем 67 (простое) и 76 (составное). Ни одна из возможных пар цифр с разностью 1 не образует два простых числа.

2. Если $b-a=4$, то разность чисел равна $9 \cdot 4 = 36 = 6^2$. Перебираем пары цифр, где $b=a+4$:
- при $a=1, b=5$ получаем числа 15 и 51 (оба составные);
- при $a=2, b=6$ получаем числа 26 и 62 (оба составные);
- при $a=3, b=7$ получаем числа 37 и 73. Оба числа являются простыми. Эта пара удовлетворяет всем условиям;
- при $a=5, b=9$ получаем числа 59 (простое) и 95 (составное).

Таким образом, единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, — это 37 и 73. Их разность $73 - 37 = 36$, что является квадратом числа 6.

Ответ: 37 и 73.

486 Какие два двузначных простых числа получаются друг из друга перестановкой цифр, а их разность образует точный квадрат?

487* Квадрат натурального числа на 56 больше самого числа. Найди это число.

Пусть искомое натуральное число равно $x$.

По условию задачи, квадрат этого числа ($x^2$) на 56 больше самого числа ($x$). На основе этого условия можно составить уравнение:

$x^2 = x + 56$

Для решения перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - x - 56 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-1$, $c=-56$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

В условии сказано, что искомое число — натуральное. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Из двух найденных корней ($8$ и $-7$) только $8$ является натуральным числом.

Проверим найденное решение. Квадрат числа 8 равен $8^2 = 64$. Само число равно 8. Разница между квадратом числа и самим числом: $64 - 8 = 56$. Условие задачи выполняется.

Ответ: 8

487 Квадрат натурального числа на 56 больше самого числа. Найди это число.

$x^2 = x + 56$

488 На координатной прямой отмечены точки $A(-2.4)$, $B(0.8)$, $C(-4)$ и $D(-0.9)$.

Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

Сколько получилось отрезков? Назови их.

Любые две из четырех заданных точек (A, B, C, D) образуют отрезок. Чтобы найти общее количество отрезков, можно воспользоваться формулой для числа сочетаний из n элементов по k, где n = 4 (общее количество точек), а k = 2 (количество точек, образующих один отрезок):
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$
Таким образом, получилось 6 отрезков. Перечислим их: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Ответ: 6 отрезков: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов. Найдем длины всех шести отрезков, используя координаты точек: A(-2,4), B(0,8), C(-4) и D(-0,9).

• Длина отрезка AB: $|0,8 - (-2,4)| = |0,8 + 2,4| = 3,2$
• Длина отрезка AC: $|-2,4 - (-4)| = |-2,4 + 4| = 1,6$
• Длина отрезка AD: $|-0,9 - (-2,4)| = |-0,9 + 2,4| = 1,5$
• Длина отрезка BC: $|0,8 - (-4)| = |0,8 + 4| = 4,8$
• Длина отрезка BD: $|0,8 - (-0,9)| = |0,8 + 0,9| = 1,7$
• Длина отрезка CD: $|-0,9 - (-4)| = |-0,9 + 4| = 3,1$

Теперь сравним полученные длины: 3,2; 1,6; 1,5; 4,8; 1,7; 3,1.
Наибольшая длина равна 4,8 (отрезок BC).
Наименьшая длина равна 1,5 (отрезок AD).

Ответ: Длина наибольшего отрезка равна 4,8, а длина наименьшего отрезка равна 1,5.

488 На координатной прямой отмечены точки $A (-2,4)$, $B (0,8)$, $C (-4)$ и $D (-0,9)$.

Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

489 Реши уравнения и сделай проверку:

1) $|x + 2| = 1;$ 2) $|z - 4| = 6;$ 3) $|y - 5| = 3;$ 4) $|n + 7| = 2.

Образец: $|x - 9| = 4$

$x - 9 = -4$ или $x - 9 = 4$
$x = -4 + 9$ $x = 4 + 9$
$x = 5$ $x = 13$

Ответ: $\{5; 13\}.$

1) $|x + 2| = 1$

По определению модуля, уравнение $|A| = B$ (где $B > 0$) равносильно двум уравнениям: $A = B$ или $A = -B$.

Следовательно, данное уравнение распадается на два случая:

$x + 2 = 1$ или $x + 2 = -1$

Решаем первое уравнение:
$x = 1 - 2$
$x = -1$

Решаем второе уравнение:
$x = -1 - 2$
$x = -3$

Проверка:

Подставляем $x = -1$: $|-1 + 2| = |1| = 1$. Равенство верно.

Подставляем $x = -3$: $|-3 + 2| = |-1| = 1$. Равенство верно.

Ответ: $\{-3; -1\}$.

2) $|z - 4| = 6$

Уравнение распадается на два случая:

$z - 4 = 6$ или $z - 4 = -6$

Решаем первое уравнение:
$z = 6 + 4$
$z = 10$

Решаем второе уравнение:
$z = -6 + 4$
$z = -2$

Проверка:

Подставляем $z = 10$: $|10 - 4| = |6| = 6$. Равенство верно.

Подставляем $z = -2$: $|-2 - 4| = |-6| = 6$. Равенство верно.

Ответ: $\{-2; 10\}$.

3) $|y - 5| = 3$

Уравнение распадается на два случая:

$y - 5 = 3$ или $y - 5 = -3$

Решаем первое уравнение:
$y = 3 + 5$
$y = 8$

Решаем второе уравнение:
$y = -3 + 5$
$y = 2$

Проверка:

Подставляем $y = 8$: $|8 - 5| = |3| = 3$. Равенство верно.

Подставляем $y = 2$: $|2 - 5| = |-3| = 3$. Равенство верно.

Ответ: $\{2; 8\}$.

4) $|n + 7| = 2$

Уравнение распадается на два случая:

$n + 7 = 2$ или $n + 7 = -2$

Решаем первое уравнение:
$n = 2 - 7$
$n = -5$

Решаем второе уравнение:
$n = -2 - 7$
$n = -9$

Проверка:

Подставляем $n = -5$: $|-5 + 7| = |2| = 2$. Равенство верно.

Подставляем $n = -9$: $|-9 + 7| = |-2| = 2$. Равенство верно.

Ответ: $\{-9; -5\}$.

489 Реши уравнения и сделай проверку:

1) $|x + 2| = 1$; 2) $|z - 4| = 6$; 3) $|y - 5| = 3$; 4) $|n + 7| = 2.

Образец:

$|x - 9| = 4$

$x - 9 = -4$ или $x - 9 = 4$

$x = -4 + 9$ $x = 4 + 9$

$x = 5$ $x = 13$

Ответ: $\{5; 13\}$.

Π 490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как «имущества», а отрицательные числа – как «долги».

Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания:

«Сумма двух имуществ есть имущество»

$\text{Если } a > 0 \text{ и } b > 0, \text{ то } a+b > 0$

«Сумма двух долгов есть долг»

$\text{Если } a < 0 \text{ и } b < 0, \text{ то } a+b < 0$

«Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества»

$\text{Если } a > 0 \text{ и } b < 0, \text{ то } a+b = a - |b|$

Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык.

Для перевода древнеиндийских правил на современный математический язык введем следующие обозначения: «имущество» — это положительное число, «долг» — это отрицательное число. Пусть $a$ и $b$ — это величины этих имуществ и долгов, то есть произвольные положительные числа ($a > 0, b > 0$).

«Сумма двух имуществ есть имущество»

Это правило описывает сложение двух положительных чисел. Если мы складываем одно «имущество» ($a$) и другое «имущество» ($b$), то их сумма ($a + b$) также будет положительным числом, то есть «имуществом», так как сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Ответ: Если $a > 0$ и $b > 0$, то $a + b > 0$.

«Сумма двух долгов есть долг»

Это правило описывает сложение двух отрицательных чисел. «Долги» можно представить как $-a$ и $-b$. Их сумма равна $(-a) + (-b) = -(a+b)$. Так как $a+b$ — положительное число, то $-(a+b)$ — отрицательное, то есть «долг». В более общем виде: если взять два любых отрицательных числа, их сумма также будет отрицательным числом.

Ответ: Если $x < 0$ и $y < 0$, то $x + y < 0$.

«Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества»

Это правило объясняет, как складывать положительное и отрицательное число. Разберем фразу на современном языке, используя «имущество» $a$ и «долг» $-b$.
«Сумма имущества и долга» — это математическое выражение $a + (-b)$.
«Разность имущества и противоположного долгу имущества» — здесь «имущество» это $a$. «Противоположное долгу $(-b)$» — это число $b$, которое является положительным, то есть «имуществом». Следовательно, эта часть фразы означает разность $a - b$.
Таким образом, всё правило целиком переводится в тождество, которое является правилом сложения отрицательного числа в современной алгебре: чтобы к числу прибавить отрицательное число, нужно из него вычесть соответствующее положительное.

Ответ: $a + (-b) = a - b$.

Π 490 Индийские математики в древности трактовали положительные числа как “имущества”, а отрицательные числа — как “долги”. Вот как в рукописях VII в. излагались правила сложения и вычитания: “Сумма двух имуществ есть имущество”, “Сумма двух долгов есть долг”, “Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества”. Переведи эти древнеиндийские правила на современный математический язык.

Правило 1:

Сумма двух имуществ есть имущество.

Если $a \gt 0$ и $b \gt 0$, то $a + b \gt 0$.

Правило 2:

Сумма двух долгов есть долг.

Если $a \lt 0$ и $b \lt 0$, то $a + b \lt 0$.

Правило 3:

Сумма имущества и долга равна разности имущества и противоположного долгу имущества.

Если $a \gt 0$ (имущество) и $b \lt 0$ (долг), то $a + b = a - |b|$.

491 Найди значение выражения $a + b$, если:

1) $a = -1; b = -1\frac{5}{7};$

2) $a = +4; b = -0,8;$

3) $a = +\frac{1}{5}; b = -1,3;$

4) $a = -7,5; b = 0;$

5) $a = -0,9; b = -0,3;$

6) $a = +1\frac{1}{2}; b = -0,7;$

7) $a = -0,625; b = +\frac{5}{8};$

8) $a = +0,05; b = -0,3;$

9) $a = -0,84; b = -\frac{3}{5}.$

1) Даны значения $a = -1$ и $b = -1\frac{5}{7}$.

Чтобы найти сумму $a + b$, нужно сложить два отрицательных числа. Для этого мы складываем их модули (абсолютные величины) и ставим перед результатом знак «минус».

$a + b = -1 + (-1\frac{5}{7}) = -(1 + 1\frac{5}{7}) = -2\frac{5}{7}$.

Ответ: $-2\frac{5}{7}$

2) Даны значения $a = +4$ и $b = -0,8$.

Чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак того числа, модуль которого больше. В данном случае $|+4| > |-0,8|$, поэтому результат будет положительным.

$a + b = 4 + (-0,8) = 4 - 0,8 = 3,2$.

Ответ: $3,2$

3) Даны значения $a = +\frac{1}{5}$ и $b = -1,3$.

Для удобства вычислений преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $a = \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = 0,2$.

Теперь складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-1,3$ больше модуля числа $0,2$, поэтому результат будет отрицательным.

$a + b = 0,2 + (-1,3) = 0,2 - 1,3 = -(1,3 - 0,2) = -1,1$.

Ответ: $-1,1$

4) Даны значения $a = -7,5$ и $b = 0$.

Сумма любого числа и нуля равна самому этому числу.

$a + b = -7,5 + 0 = -7,5$.

Ответ: $-7,5$

5) Даны значения $a = -0,9$ и $b = -0,3$.

Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед результатом знак «минус».

$a + b = -0,9 + (-0,3) = -(0,9 + 0,3) = -1,2$.

Ответ: $-1,2$

6) Даны значения $a = +1\frac{1}{2}$ и $b = -0,7$.

Преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $a = 1\frac{1}{2} = 1,5$.

Теперь складываем числа с разными знаками. Модуль числа $1,5$ больше модуля числа $-0,7$, поэтому результат будет положительным.

$a + b = 1,5 + (-0,7) = 1,5 - 0,7 = 0,8$.

Ответ: $0,8$

7) Даны значения $a = -0,625$ и $b = +\frac{5}{8}$.

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $b = \frac{5}{8} = 5 \div 8 = 0,625$.

Числа $a$ и $b$ являются противоположными, так как они равны по модулю, но имеют разные знаки. Сумма противоположных чисел равна нулю.

$a + b = -0,625 + 0,625 = 0$.

Ответ: $0$

8) Даны значения $a = +0,05$ и $b = -0,3$.

Складываем числа с разными знаками. Модуль числа $-0,3$ больше модуля числа $+0,05$, поэтому результат будет отрицательным.

$a + b = 0,05 + (-0,3) = 0,05 - 0,3 = -(0,3 - 0,05) = -0,25$.

Ответ: $-0,25$

9) Даны значения $a = -0,84$ и $b = -\frac{3}{5}$.

Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $b = -\frac{3}{5} = -\frac{6}{10} = -0,6$.

Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим перед результатом знак «минус».

$a + b = -0,84 + (-0,6) = -(0,84 + 0,6) = -1,44$.

Ответ: $-1,44$

491 Найди значение выражения $a + b$, если:

1) $a = -1; b = -1\frac{5}{7};$

2) $a = +4; b = -0,8;$

3) $a = +\frac{1}{5}; b = -1,3;$

4) $a = -7,5; b = 0;$

5) $a = -0,9; b = -0,3;$

6) $a = +1\frac{1}{2}; b = -0,7;$

7) $a = -0,625; b = +\frac{5}{8};$

8) $a = +0,05; b = -0,3;$

9) $a = -0,84; b = -\frac{3}{5}.$

492 Вычисли устно, используя переместительный и сочетательный законы сложения, и сопоставь ответы соответствующим буквам. Расшифруй имя древнеиндийского математика (VII в.), сформулировавшего правила сложения «долгов» и «имуществ».

P $12 - 50 + 24 + 38 - 26$

T $-42 + 73 - 58 + 11 + 27 - 9$

A $-89 + 300 - 156 - 211 + 160$

X $-298 + 96 + 379 - 702 + 521$

П $572 - 387 + 197 + 128 - 513$

Г $0,25 - 0,58 + 0,75 - 0,4 - 0,32$

У $-0,44 + 0,98 + 0,2 - 0,56 + 0,02$

М $-4,81 + 2,48 - 0,98 - 1,19 + 4,52$

Б $-1,45 + 7,16 - 8,55 + 1,97 + 0,84$

Для решения задачи необходимо вычислить значения выражений, используя переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы упростить устные расчеты. Это означает, что мы можем менять слагаемые местами и группировать их в любом порядке. Удобнее всего сгруппировать отдельно положительные и отрицательные числа.

P

Вычислим значение выражения $12 - 50 + 24 + 38 - 26$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(12 + 24 + 38) + (-50 - 26) = (36 + 38) + (-76) = 74 - 76 = -2$.

Ответ: $-2$.

Т

Вычислим значение выражения $-42 + 73 - 58 + 11 + 27 - 9$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(73 + 27 + 11) + (-42 - 58 - 9) = (100 + 11) + (-100 - 9) = 111 - 109 = 2$.

Ответ: $2$.

А

Вычислим значение выражения $-89 + 300 - 156 - 211 + 160$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(300 + 160) + (-89 - 211 - 156) = 460 + (-300 - 156) = 460 - 456 = 4$.

Ответ: $4$.

Х

Вычислим значение выражения $-298 + 96 + 379 - 702 + 521$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(96 + 379 + 521) + (-298 - 702) = (96 + 900) + (-1000) = 996 - 1000 = -4$.

Ответ: $-4$.

П

Вычислим значение выражения $572 - 387 + 197 + 128 - 513$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(572 + 128 + 197) + (-387 - 513) = (700 + 197) + (-900) = 897 - 900 = -3$.

Ответ: $-3$.

Г

Вычислим значение выражения $0,25 - 0,58 + 0,75 - 0,4 - 0,32$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(0,25 + 0,75) + (-0,58 - 0,32 - 0,4) = 1 + (-0,9 - 0,4) = 1 - 1,3 = -0,3$.

Ответ: $-0,3$.

У

Вычислим значение выражения $-0,44 + 0,98 + 0,2 - 0,56 + 0,02$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(0,98 + 0,02 + 0,2) + (-0,44 - 0,56) = (1 + 0,2) + (-1) = 1,2 - 1 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

М

Вычислим значение выражения $-4,81 + 2,48 - 0,98 - 1,19 + 4,52$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(2,48 + 4,52) + (-4,81 - 1,19 - 0,98) = 7 + (-6 - 0,98) = 7 - 6,98 = 0,02$.

Ответ: $0,02$.

Б

Вычислим значение выражения $-1,45 + 7,16 - 8,55 + 1,97 + 0,84$.

Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые:

$(7,16 + 0,84 + 1,97) + (-1,45 - 8,55) = (8 + 1,97) + (-10) = 9,97 - 10 = -0,03$.

Ответ: $-0,03$.

Теперь сопоставим полученные ответы буквам и расшифруем имя древнеиндийского математика, подставив буквы в таблицу.

-0,03 → Б
-2 → Р
4 → А
-4 → Х
0,02 → М
4 → А
-0,3 → Г
0,2 → У
-3 → П
2 → Т
4 → А

Расшифрованное имя: БРАХМАГУПТА.

492 Вычисли устно, используя переместительный и сочетательный законы сложения, и сопоставь ответы соответствующим буквам. Расшифруй имя древнеиндийского математика (VII в.), сформулировавшего правила сложения "долгов" и "имуществ".

$12 - 50 + 24 + 38 - 26$

$-42 + 73 - 58 + 11 + 27 - 9$

$-89 + 300 - 156 - 211 + 160$

$-298 + 96 + 379 - 702 + 521$

$572 - 387 + 197 + 128 - 513$

$0,25 - 0,58 + 0,75 - 0,4 - 0,32$

$-0,44 + 0,98 + 0,2 - 0,56 + 0,02$

$-4,81 + 2,48 - 0,98 - 1,19 + 4,52$

$-1,45 + 7,16 - 8,55 + 1,97 + 0,84$

-0,03 -2 4 -4 0,02 4 -0,3 0,2 -3 2 4

467 Три каменщика выложили фронтон дома за 5 ч. Первый каменщик один может выложить фронтон за 12 ч 30 мин, а второй – за 18 ч 45 мин. За сколько времени может выполнить эту работу один третий каменщик?

Для решения этой задачи необходимо использовать понятие производительности труда (скорости выполнения работы). Всю работу по выкладке фронтона примем за 1 (одну целую).

1. Определим общую производительность.
Три каменщика вместе выполняют работу за 5 часов. Их общая производительность $P_{общ}$ (часть работы, выполняемая за 1 час) равна:
$P_{общ} = \frac{1}{5}$ (фронтона/час)

2. Определим производительность первого и второго каменщиков.
Для этого сначала переведем время их работы в часы.
Время работы первого каменщика: $T_1 = 12$ ч $30$ мин $= 12.5$ ч $= \frac{25}{2}$ ч.
Его производительность $P_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{25/2} = \frac{2}{25}$ (фронтона/час).
Время работы второго каменщика: $T_2 = 18$ ч $45$ мин $= 18.75$ ч $= \frac{75}{4}$ ч.
Его производительность $P_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{75/4} = \frac{4}{75}$ (фронтона/час).

3. Найдем производительность третьего каменщика ($P_3$).
Общая производительность равна сумме производительностей каждого каменщика: $P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3$.
Следовательно, производительность третьего каменщика равна разности между общей производительностью и суммой производительностей первых двух:
$P_3 = P_{общ} - P_1 - P_2 = \frac{1}{5} - \frac{2}{25} - \frac{4}{75}$
Приведем все дроби к общему знаменателю 75:
$P_3 = \frac{15}{75} - \frac{6}{75} - \frac{4}{75} = \frac{15 - 6 - 4}{75} = \frac{5}{75}$
Сократив дробь, получаем:
$P_3 = \frac{1}{15}$ (фронтона/час)

4. Найдем время ($T_3$), за которое третий каменщик выполнит всю работу один.
Время выполнения работы обратно пропорционально производительности: $T_3 = \frac{1}{P_3}$.
$T_3 = \frac{1}{1/15} = 15$ часов.

Ответ: 15 часов.

467 Три каменщика выложили фронтон дома за 5 ч. Первый каменщик один может выложить фронтон за 12 ч 30 мин, а второй – за 18 ч 45 мин. За сколько времени может выполнить эту работу один третий каменщик?

468 а) Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время может вырыть котлован каждый из них в отдельности, если второй работает в 1,5 раза быстрее, чем первый?

б) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 8 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если производительность первого крана на 20 % меньше, чем второго?

а)

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая в одиночку. Тогда его производительность (скорость работы) равна $v_1 = \frac{1}{x}$ (часть котлована в час).

По условию, второй экскаватор работает в 1,5 раза быстрее, чем первый. Следовательно, его производительность $v_2$ в 1,5 раза больше производительности первого:

$v_2 = 1.5 \cdot v_1 = 1.5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1.5}{x}$ (часть котлована в час).

Работая вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1.5}{x} = \frac{2.5}{x}$

По условию, работая вместе, они вырывают котлован за 48 часов. Это означает, что их общая производительность также равна $\frac{1}{48}$ (часть котлована в час).

Приравняем выражения для общей производительности и решим уравнение:

$\frac{2.5}{x} = \frac{1}{48}$

$x = 2.5 \cdot 48 = 120$

Таким образом, первому экскаватору для выполнения всей работы потребуется 120 часов.

Теперь найдем время, за которое второй экскаватор может вырыть котлован в одиночку. Его время обратно пропорционально производительности, то есть в 1,5 раза меньше, чем у первого:

$t_2 = \frac{x}{1.5} = \frac{120}{1.5} = 80$

Второму экскаватору потребуется 80 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 120 часов, а второй — за 80 часов.

б)

Примем всю работу по разгрузке баржи за 1.

Пусть $v_2$ (часть баржи в час) — производительность второго крана. Тогда время, за которое он разгрузит баржу в одиночку, равно $t_2 = \frac{1}{v_2}$ часов.

По условию, производительность первого крана на 20% меньше, чем второго. Это означает, что производительность первого крана составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от производительности второго:

$v_1 = (1 - 0.20) \cdot v_2 = 0.8 \cdot v_2$

Когда два крана работают вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 0.8 v_2 + v_2 = 1.8 v_2$

Из условия известно, что вместе они разгружают баржу за 8 часов. Следовательно, их общая производительность равна $\frac{1}{8}$ (часть баржи в час).

Составим и решим уравнение:

$1.8 v_2 = \frac{1}{8}$

$v_2 = \frac{1}{8 \cdot 1.8} = \frac{1}{14.4} = \frac{10}{144} = \frac{5}{72}$

Теперь, зная производительность второго крана, найдем время, за которое он может разгрузить баржу:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{5/72} = \frac{72}{5} = 14.4$ часа.

Найдем производительность первого крана:

$v_1 = 0.8 \cdot v_2 = 0.8 \cdot \frac{5}{72} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{72} = \frac{4}{72} = \frac{1}{18}$

Найдем время для первого крана:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/18} = 18$ часов.

Ответ: первый кран может разгрузить баржу за 18 часов, а второй — за 14,4 часа.

468 a) Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время может вырыть котлован каждый из них в отдельности, если второй работает в 1,5 раза быстрее, чем первый?

б) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 8 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если производительность первого крана на 20% меньше, чем второго?

D 469 Изобрази в тетради форму предметов, которые ты видишь на рисунке.

а) б) в) г) д) е)

а) Предмет на рисунке — это кастрюля. Основная форма этого предмета представляет собой геометрическое тело, которое называется цилиндр. Цилиндр — это тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Ответ: цилиндр.

б) На рисунке изображена подарочная коробка для торта. Она имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником.

Ответ: прямоугольный параллелепипед.

в) На этом рисунке мы видим мяч. Его форма — это шар. Шар — это геометрическое тело, ограниченное поверхностью, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Эта поверхность называется сферой.

Ответ: шар.

г) Предмет на рисунке — это коробка для парфюма. Судя по изображению, все ее стороны равны, поэтому она имеет форму куба. Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все шесть граней являются квадратами.

Ответ: куб.

д) На рисунке изображен праздничный колпак. Его форма — это конус. Конус — это геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Он состоит из основания (круга) и боковой поверхности.

Ответ: конус.

е) На последнем рисунке мы видим египетскую пирамиду. Ее форма — это пирамида (в данном случае, четырехугольная). Пирамида — это многогранник, одна из граней которого (основание) — многоугольник, а остальные грани (боковые грани) — треугольники, имеющие общую вершину.

Ответ: пирамида.

D 469 Изобрази в тетради форму предметов, которые ты видишь на рисунке.

а) б) Торт

в) г) Paris Parfum

д) е)

470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй её сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей.

a) б)

а)

Для построения сечения воспользуемся комбинированным методом: методом следов для нахождения первой дополнительной точки, а затем свойством параллельности граней многогранника. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости — плоскости нижнего основания. Соединяем их и получаем отрезок $AC$, который является одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $B$ и $C$ лежат в одной плоскости — плоскости правой боковой грани. Соединяем их и получаем отрезок $BC$, вторую сторону сечения.

3. Теперь необходимо найти точку пересечения секущей плоскости с другими ребрами. Найдем след секущей плоскости на плоскости передней грани. Точка $A$ уже лежит в этой плоскости. Найдем еще одну точку. Для этого продлим прямую $BC$ до пересечения с плоскостью передней грани. Прямая $BC$ лежит в плоскости правой грани. Плоскости правой и передней граней пересекаются по правому переднему вертикальному ребру. Продлим это ребро и прямую $BC$ до их пересечения в точке $K$. Точка $K$ принадлежит и секущей плоскости (так как лежит на прямой $BC$), и плоскости передней грани.

4. Проведем прямую через точки $A$ и $K$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости передней грани. Она пересекает левое переднее вертикальное ребро в точке $D$. Отрезок $AD$ — третья сторона сечения.

5. Левая и правая грани куба параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку $D$ в плоскости левой грани проведем прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет верхнее левое ребро в точке $E$. Отрезок $DE$ — четвертая сторона сечения.

6. Верхняя и нижняя грани куба параллельны. Секущая плоскость пересекает нижнюю грань по прямой $AC$. Следовательно, верхнюю грань она пересечет по прямой, параллельной $AC$. Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения с задним верхним ребром в точке $F$. Отрезок $EF$ — пятая сторона сечения.

7. Соединим точки $F$ и $B$. Обе точки лежат в плоскости задней грани, поэтому отрезок $FB$ является последней, шестой стороной сечения. Также можно проверить, что $FB$ параллельно $AD$, так как они лежат в параллельных задней и передней гранях.

Искомое сечение — шестиугольник $ACBFED$.

Ответ: сечением является шестиугольник $ACBFED$.

б)

Для построения сечения пирамиды воспользуемся методом следов. Будем считать, что точки $A$ и $C$ лежат на соседних боковых ребрах, выходящих из вершины $S$, а точка $B$ — на высоте пирамиды $SO$.

1. Найдем след секущей плоскости $ABC$ на плоскости основания пирамиды. Для этого нужно найти две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости основания.

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину $S$, точку $A$ и высоту $SO$ (это диагональная плоскость пирамиды). Прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Продлим прямую $AB$ до пересечения с прямой, содержащей диагональ основания, которая также лежит в этой плоскости. Точку их пересечения назовем $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $AB$) и плоскости основания. Значит, $P$ — первая точка следа.

3. Аналогично рассмотрим плоскость, проходящую через вершину $S$, точку $C$ и высоту $SO$. Прямая $CB$ лежит в этой плоскости. Продлим прямую $CB$ до пересечения с прямой, содержащей другую диагональ основания. Точку их пересечения назовем $Q$. Точка $Q$ — вторая точка следа.

4. Прямая $PQ$ является следом секущей плоскости на плоскости основания пирамиды.

5. Этот след пересекает ребра основания пирамиды. Пусть прямая $PQ$ пересекает ребра основания в точках $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является стороной искомого сечения, лежащей на основании пирамиды.

6. Теперь соединим полученные точки с заданными. Точки $A$ и $D$ лежат в одной боковой грани. Соединяем их и получаем сторону сечения $AD$. Точки $C$ и $E$ также лежат в одной боковой грани. Соединяем их и получаем сторону сечения $CE$.

7. Наконец, соединяем точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ также является стороной сечения.

Искомое сечение — четырехугольник $ADEC$.

Ответ: сечением является четырехугольник $ADEC$.

470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей.

а) б)