Номер 470, страница 109, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 470, страница 109.

Условие 2023.

470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй её сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей.

a) б)

Решение 2 (2023).

а)

Для построения сечения воспользуемся комбинированным методом: методом следов для нахождения первой дополнительной точки, а затем свойством параллельности граней многогранника. Секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым.

1. Точки $A$ и $C$ лежат в одной плоскости — плоскости нижнего основания. Соединяем их и получаем отрезок $AC$, который является одной из сторон искомого сечения.

2. Точки $B$ и $C$ лежат в одной плоскости — плоскости правой боковой грани. Соединяем их и получаем отрезок $BC$, вторую сторону сечения.

3. Теперь необходимо найти точку пересечения секущей плоскости с другими ребрами. Найдем след секущей плоскости на плоскости передней грани. Точка $A$ уже лежит в этой плоскости. Найдем еще одну точку. Для этого продлим прямую $BC$ до пересечения с плоскостью передней грани. Прямая $BC$ лежит в плоскости правой грани. Плоскости правой и передней граней пересекаются по правому переднему вертикальному ребру. Продлим это ребро и прямую $BC$ до их пересечения в точке $K$. Точка $K$ принадлежит и секущей плоскости (так как лежит на прямой $BC$), и плоскости передней грани.

4. Проведем прямую через точки $A$ и $K$. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскости передней грани. Она пересекает левое переднее вертикальное ребро в точке $D$. Отрезок $AD$ — третья сторона сечения.

5. Левая и правая грани куба параллельны. Следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Через точку $D$ в плоскости левой грани проведем прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет верхнее левое ребро в точке $E$. Отрезок $DE$ — четвертая сторона сечения.

6. Верхняя и нижняя грани куба параллельны. Секущая плоскость пересекает нижнюю грань по прямой $AC$. Следовательно, верхнюю грань она пересечет по прямой, параллельной $AC$. Проведем через точку $E$ прямую, параллельную $AC$, до пересечения с задним верхним ребром в точке $F$. Отрезок $EF$ — пятая сторона сечения.

7. Соединим точки $F$ и $B$. Обе точки лежат в плоскости задней грани, поэтому отрезок $FB$ является последней, шестой стороной сечения. Также можно проверить, что $FB$ параллельно $AD$, так как они лежат в параллельных задней и передней гранях.

Искомое сечение — шестиугольник $ACBFED$.

Ответ: сечением является шестиугольник $ACBFED$.

б)

Для построения сечения пирамиды воспользуемся методом следов. Будем считать, что точки $A$ и $C$ лежат на соседних боковых ребрах, выходящих из вершины $S$, а точка $B$ — на высоте пирамиды $SO$.

1. Найдем след секущей плоскости $ABC$ на плоскости основания пирамиды. Для этого нужно найти две точки, принадлежащие одновременно секущей плоскости и плоскости основания.

2. Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину $S$, точку $A$ и высоту $SO$ (это диагональная плоскость пирамиды). Прямая $AB$ лежит в этой плоскости. Продлим прямую $AB$ до пересечения с прямой, содержащей диагональ основания, которая также лежит в этой плоскости. Точку их пересечения назовем $P$. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости (так как лежит на прямой $AB$) и плоскости основания. Значит, $P$ — первая точка следа.

3. Аналогично рассмотрим плоскость, проходящую через вершину $S$, точку $C$ и высоту $SO$. Прямая $CB$ лежит в этой плоскости. Продлим прямую $CB$ до пересечения с прямой, содержащей другую диагональ основания. Точку их пересечения назовем $Q$. Точка $Q$ — вторая точка следа.

4. Прямая $PQ$ является следом секущей плоскости на плоскости основания пирамиды.

5. Этот след пересекает ребра основания пирамиды. Пусть прямая $PQ$ пересекает ребра основания в точках $D$ и $E$. Отрезок $DE$ является стороной искомого сечения, лежащей на основании пирамиды.

6. Теперь соединим полученные точки с заданными. Точки $A$ и $D$ лежат в одной боковой грани. Соединяем их и получаем сторону сечения $AD$. Точки $C$ и $E$ также лежат в одной боковой грани. Соединяем их и получаем сторону сечения $CE$.

7. Наконец, соединяем точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ также является стороной сечения.

Искомое сечение — четырехугольник $ADEC$.

Ответ: сечением является четырехугольник $ADEC$.

Условие 2010-2022.

470 Перенеси рисунок фигуры в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $C$. Проверь правильность построения с помощью предметных моделей.

а) б)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).