Номер 475, страница 110, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 475, страница 110.

Условие 2023.

C 475* Белый куб с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см (рис. 49). Сколько всего получилось кубиков?

Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани?

Сколько неокрашенных кубиков?

Рис. 49

Решение 2 (2023).

Сколько всего получилось кубиков?

Исходный куб имеет ребро 3 см, а маленькие кубики, на которые его распилили, — 1 см. Это означает, что вдоль каждого ребра большого куба укладывается $3 \text{ см} / 1 \text{ см} = 3$ маленьких кубика. Общее количество получившихся кубиков равно произведению их количеств по трём измерениям (длине, ширине и высоте): $3 \times 3 \times 3 = 27$.
Ответ: 27 кубиков.

Сколько среди них имеет одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани?

Чтобы определить количество кубиков с разным числом окрашенных граней, нужно рассмотреть их расположение в исходном большом кубе:

• Кубики с 3 окрашенными гранями. Это кубики, которые находились в вершинах большого куба. У любого куба 8 вершин, следовательно, таких кубиков 8.
• Кубики с 2 окрашенными гранями. Это кубики, которые располагались на рёбрах большого куба, но не в вершинах. У куба 12 рёбер. На каждом ребре, состоящем из 3 маленьких кубиков, находится $3 - 2 = 1$ кубик с двумя окрашенными гранями. Всего таких кубиков: $12 \times 1 = 12$.
• Кубики с 1 окрашенной гранью. Это кубики, которые находились в центре каждой из 6 граней большого куба. На каждой грани размером $3 \times 3$ маленьких кубика находится $(3-2) \times (3-2) = 1$ центральный кубик. Всего таких кубиков: $6 \times 1 = 6$.

Ответ: 6 кубиков имеют одну окрашенную грань, 12 кубиков — две окрашенные грани, 8 кубиков — три окрашенные грани.

Сколько неокрашенных кубиков?

Неокрашенные кубики — это те, что расположены внутри большого куба и не соприкасаются с его поверхностью. Они образуют внутренний, "сердцевинный" куб. Его ребро будет на 2 кубика меньше ребра большого куба (по одному с каждой стороны): $3 - 2 = 1$. Количество неокрашенных кубиков равно объёму этого внутреннего куба: $1^3 = 1$.
Для проверки можно из общего числа кубиков вычесть все окрашенные: $27 - (8 + 12 + 6) = 27 - 26 = 1$.
Ответ: 1 кубик.

Условие 2010-2022.

C 475

Белый куб с ребром 3 см покрасили краской и распилили на кубики с ребром 1 см (рис. 49). Сколько всего получилось кубиков? Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, 2 окрашенные грани, 3 окрашенные грани? Сколько неокрашенных кубиков?

Рис. 49

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).