Номер 481, страница 114, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 2. Многогранники - номер 481, страница 114.

Условие 2023.

481 a) Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды? Сколько у неё рёбер? Сколько граней?

б) У пирамиды $a$ граней. Сколько у неё рёбер и сколько вершин? Сколько вершин у многоугольника в её основании?

Решение 2 (2023).

а)

Рассмотрим $k$-угольную пирамиду. Это многогранник, основанием которого является $k$-угольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды?
В основании пирамиды находится $k$-угольник, который имеет $k$ вершин. Помимо этих вершин, есть ещё одна — вершина пирамиды, не лежащая в плоскости основания.
Общее число вершин равно сумме вершин основания и вершины пирамиды: $k + 1$.

Сколько у неё рёбер?
Основание пирамиды, $k$-угольник, имеет $k$ рёбер. Кроме того, каждая из $k$ вершин основания соединена ребром с вершиной пирамиды. Эти рёбра называются боковыми. Их количество равно $k$.
Общее число рёбер равно сумме рёбер основания и боковых рёбер: $k + k = 2k$.

Сколько граней?
Одна грань — это основание пирамиды ($k$-угольник). Боковые грани представляют собой треугольники. Каждое ребро основания вместе с вершиной пирамиды образует одну боковую грань. Так как в основании $k$ рёбер, то и боковых граней тоже $k$.
Общее число граней равно сумме основания и боковых граней: $1 + k$.
Ответ: у $k$-угольной пирамиды $k+1$ вершина, $2k$ рёбер и $k+1$ грань.

б)

Пусть у пирамиды $a$ граней.
Обозначим число вершин многоугольника в основании пирамиды через $k$. Из пункта а) мы знаем, что общее число граней ($F$) у $k$-угольной пирамиды вычисляется по формуле $F = k + 1$.
По условию задачи, у пирамиды $a$ граней, то есть $F = a$.
Приравнивая два выражения для числа граней, получаем: $k + 1 = a$.
Отсюда мы можем выразить $k$: $k = a - 1$. Это и есть количество вершин у многоугольника в основании.

Сколько у неё рёбер и сколько вершин?
Теперь, зная, что $k = a - 1$, мы можем найти число рёбер и вершин, используя формулы из пункта а).
Число рёбер ($E$) у $k$-угольной пирамиды равно $2k$. Подставляем наше выражение для $k$: $E = 2(a - 1)$.
Число вершин ($V$) у $k$-угольной пирамиды равно $k + 1$. Подставляем наше выражение для $k$: $V = (a - 1) + 1 = a$.

Сколько вершин у многоугольника в её основании?
Как мы уже определили ранее, число вершин у многоугольника в основании равно $k$, что в данном случае составляет $a - 1$.
Ответ: у пирамиды $2(a-1)$ рёбер и $a$ вершин; у многоугольника в её основании $a-1$ вершина.

Условие 2010-2022.

481 a) Сколько вершин у $k$-угольной пирамиды? Сколько у нее ребер? Сколько граней?

b) У пирамиды $a$ граней. Сколько у нее ребер и сколько вершин? Сколько вершин у многоугольника в ее основании?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).