Номер 488, страница 115, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 2. Многогранники - номер 488, страница 115.

Условие 2023.

488. а) Почему заготовка на рис. 66 не может быть развёрткой прямоугольного параллелепипеда?

Рис. 66

Рис. 67

б) Какие из заготовок на рис. 67 не могут быть развёртками куба?

Решение 2 (2023).

а)

Развёртка прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней (прямоугольников), причём противолежащие грани должны быть равны. Рассмотрим заготовку на рис. 66. Она состоит из 6 прямоугольников.

Предположим, что длинная полоса из четырёх прямоугольников образует боковые грани параллелепипеда. Обозначим их слева направо как Грань 1, Грань 2, Грань 3 и Грань 4.

• При сворачивании этой полосы в "трубу" Грань 1 и Грань 3 станут противолежащими боковыми гранями, а Грань 2 и Грань 4 – другой парой противолежащих боковых граней. Следовательно, Грань 1 должна быть равна Грани 3, а Грань 2 – Грани 4. Судя по рисунку, это условие выполняется: Грань 1 и Грань 3 – одинаковые квадраты, а Грань 2 и Грань 4 – одинаковые прямоугольники.
• Пусть сторона квадратов (Грань 1 и Грань 3) равна $a$. Тогда высота параллелепипеда равна $a$. Пусть ширина прямоугольников (Грань 2 и Грань 4) равна $b$. Тогда основанием этого параллелепипеда будет прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.
• Две оставшиеся грани (верхняя и нижняя, прикреплённые к Грани 2) должны служить основаниями (крышками) параллелепипеда. Поэтому их размеры должны быть $a \times b$.
• Однако на рисунке видно, что верхняя и нижняя грани являются квадратами, равными Грани 1 и Грани 3, то есть их размер $a \times a$.

Возникает противоречие: боковые грани определяют, что основание должно быть прямоугольником со сторонами $a$ и $b$ (где $b \neq a$), а грани, предназначенные для оснований, являются квадратами со стороной $a$. Если бы $b=a$, то все грани были бы одинаковыми квадратами, и это была бы развёртка куба. Но на рисунке Грань 2 и Грань 4 – явные прямоугольники. Таким образом, при сборке верхняя и нижняя грани не смогут полностью закрыть основания параллелепипеда.

Ответ: Заготовка не может быть развёрткой прямоугольного параллелепипеда, так как размеры верхней и нижней граней не соответствуют размерам основания, которое формируется боковыми гранями.

б)

Развёртка куба должна состоять из 6 одинаковых квадратов. Все четыре заготовки на рис. 67 удовлетворяют этому условию. Проверим, можно ли из каждой из них собрать куб без наложения граней.

• Заготовка A: Можно собрать куб. Если взять второй квадрат в длинной полосе за основание, то первый квадрат станет левой стенкой, третий – правой, а четвёртый, обогнув правую стенку, станет задней стенкой. Квадрат над левой стенкой станет крышкой, а квадрат, примыкающий к задней стенке, – передней стенкой. Все грани занимают свои места.
• Заготовка B: Можно собрать куб. Это одна из самых распространённых развёрток. Полоса из четырёх квадратов образует боковые стенки, а два оставшихся квадрата (сверху и снизу от второго квадрата полосы) становятся дном и крышкой.
• Заготовка C: Нельзя собрать куб. Если принять центральный квадрат нижнего ряда за основание, то левый и правый квадраты этого ряда станут левой и правой стенками, а центральный квадрат верхнего ряда – задней стенкой. Тогда оставшийся левый квадрат верхнего ряда при сгибании наложится на левую стенку, а правый квадрат верхнего ряда наложится на правую стенку. В итоге две стенки окажутся двойными, а передняя стенка и крышка будут отсутствовать.
• Заготовка D: Можно собрать куб. Это классическая развёртка в форме креста. Центральный квадрат можно взять за основание, четыре смежных с ним квадрата станут боковыми стенками, а последний квадрат – крышкой.

Таким образом, единственная заготовка, из которой нельзя собрать куб, – это заготовка C.

Ответ: Заготовка C.

Условие 2010-2022.

488 a) Почему заготовка на рис. 66 не может быть разверткой прямоугольного параллелепипеда?

Рис. 66

Рис. 67

б) Какие из заготовок на рис. 67 не могут быть развертками куба?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).