Номер 490, страница 116, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 2. Многогранники - номер 490, страница 116.

Условие 2023.

490 а) Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нём отрезком. Какие из многогранников на рис. 50 (см. с. 111) являются выпуклыми, а какие – нет? Почему? Какие ещё выпуклые многогранники ты знаешь?

б) Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ($B$), числом рёбер ($P$) и числом граней ($\Gamma$) выпуклого многогранника. Восстанови эту формулу по записи:

$B + \Gamma - P = 2$

Решение 2 (2023).

а) Согласно определению, многогранник является выпуклым, если любой отрезок, соединяющий две его точки, целиком находится внутри этого многогранника. Визуально это означает, что у многогранника нет "впадин" или "углублений", и он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней.

Чтобы определить, какие из многогранников на рисунке 50 выпуклые, а какие — нет, необходимо для каждой фигуры мысленно провести проверку. Если вы можете найти две такие точки внутри многогранника, что отрезок между ними частично проходит снаружи фигуры, то такой многогранник не является выпуклым. Если же для любой пары точек отрезок полностью содержится в многограннике, то он выпуклый.

К выпуклым многогранникам относятся, например, все платоновы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр), а также любые призмы и пирамиды.

Ответ: Выпуклыми являются те многогранники с рисунка, у которых нет "вмятин", и отрезок, соединяющий любые две их точки, полностью им принадлежит. Примеры других выпуклых многогранников: куб, призма, пирамида, тетраэдр, октаэдр.

б) Формула, открытая Леонардом Эйлером, связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) для любого выпуклого многогранника. В предложенной записи $ \Box + \Box - \Box = 2 $ нужно расставить эти три величины.

Эта знаменитая формула гласит: сумма числа вершин и граней минус число рёбер равна двум. Следовательно, складываются числа В и Г, а вычитается число Р. Восстановленная формула выглядит так:

$ В + Г - Р = 2 $

Для проверки можно взять простой выпуклый многогранник, например, куб. У куба:

• 8 вершин (В = 8)
• 12 рёбер (Р = 12)
• 6 граней (Г = 6)

Подставим эти значения в формулу: $ 8 + 6 - 12 = 14 - 12 = 2 $. Равенство выполняется, значит, формула верна.

Ответ: $ В + Г - Р = 2 $

Условие 2010-2022.

490 а) Многогранник называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить содержащимся в нем отрезком. Какие из многогранников на рис. 50 (см. стр.111) являются выпуклыми, а какие – нет? Почему? Какие еще выпуклые многогранники ты знаешь?

б) Леонард Эйлер открыл удивительную формулу зависимости между числом вершин ($B$), числом ребер ($P$) и числом граней ($Г$) выпуклого многогранника. Восстанови эту формулу по записи:

$B + \Gamma - P = 2.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).