Номер 495, страница 117, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 2. Многогранники - номер 495, страница 117.

Условие 2023.

495. a) На рёбрах куба (рис. 70) отмечены точки $M$, $N$ и $K$. Принадлежат ли граням куба отрезки $MN$, $MK$ и $KN$?

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$, $N$ и $K$. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью $\alpha$ по следующему алгоритму.

1. Соединить точки $M$ и $N$.

2. В плоскости грани $AA_1D_1D$ провести прямую $MK$ до её пересечения с прямой $DD_1$ в точке $P$.

3. В плоскости грани $DD_1C_1C$ построить точку пересечения прямых $DC$ и $PN$. Обозначить её $T$. Соединить точки $K$ и $T$.

4. Четырёхугольник $MNTK$ – искомый.

в) Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели куба.

Решение 2 (2023).

а)

Для определения принадлежности отрезков граням куба рассмотрим расположение точек M, N и K на рёбрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Из условия задачи (в частности, из алгоритма построения в пункте б) следует, что точки M и K лежат в плоскости одной грани, а точки N и P (где P – вспомогательная точка на прямой $DD_1$) – в плоскости другой грани. Примем, что точка M лежит на ребре $AA_1$, точка K – на ребре $AD$, а точка N – на ребре $CC_1$.

1. Отрезок MK: Точка M лежит на ребре $AA_1$, а точка K – на ребре $AD$. Оба этих ребра принадлежат одной грани куба – левой грани $AA_1D_1D$. Следовательно, обе точки M и K лежат в плоскости этой грани, и соединяющий их отрезок MK полностью принадлежит грани $AA_1D_1D$.
2. Отрезок MN: Точка M лежит на ребре $AA_1$, а точка N – на ребре $CC_1$. Эти рёбра являются скрещивающимися и принадлежат разным граням, которые не имеют общих точек, кроме вершин (например, $AA_1$ принадлежит передней грани $ABB_1A_1$, а $CC_1$ – задней грани $DCC_1D_1$). Точки M и N не лежат в плоскости одной грани, поэтому отрезок MN проходит через внутреннюю область куба и не принадлежит ни одной из его граней.
3. Отрезок KN: Точка K лежит на ребре $AD$, а точка N – на ребре $CC_1$. Эти рёбра также не принадлежат одной грани. Точка K лежит на нижней грани $ABCD$, а точка N – на задней грани $DCC_1D_1$ и правой грани $BCC_1B_1$. Таким образом, отрезок KN, соединяющий эти точки, также проходит через внутреннюю область куба и не принадлежит ни одной из его граней.

Ответ: Грани куба принадлежит только отрезок MK.

б)

Построение сечения куба плоскостью $\alpha$, проходящей через точки M, N и K, выполняется согласно предложенному алгоритму. Пусть куб имеет обозначение $ABCDA_1B_1C_1D_1$, точка M $\in AA_1$, точка K $\in AD$, точка N $\in CC_1$.

Алгоритм построения:

1. Шаг 1: Соединяем точки M и N. Этот отрезок является диагональю будущего сечения, проходящей внутри куба.
2. Шаг 2: Рассматриваем плоскость левой грани $AA_1D_1D$. Точки M и K лежат в этой плоскости. Проводим через них прямую MK. Также в этой плоскости лежит прямая, содержащая ребро $DD_1$. Прямые MK и $DD_1$ не параллельны (в общем случае), поэтому они пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку P. Точка P принадлежит плоскости сечения $\alpha$, так как лежит на прямой MK, и одновременно принадлежит плоскости задней грани $DCC_1D_1$.
   $P = MK \cap DD_1$
3. Шаг 3: Рассматриваем плоскость задней грани $DCC_1D_1$. Точка N (на ребре $CC_1$) и построенная точка P (на прямой $DD_1$) лежат в этой плоскости. Проводим через них прямую PN. В этой же плоскости лежит прямая, содержащая ребро DC. Прямые PN и DC не параллельны (в общем случае) и пересекаются. Обозначим точку их пересечения T. Точка T принадлежит плоскости сечения $\alpha$ и плоскости нижней грани $ABCD$. Далее, соединяем точки K и T отрезком.
   $T = PN \cap DC$
4. Шаг 4: Согласно условию, искомое сечение — это четырёхугольник MNTK. Его вершины — это точки M, N, T, K. Стороны сечения определяются отрезками KM (на грани $AA_1D_1D$), KT (на грани $ABCD$), TN (на грани $DCC_1D_1$) и диагональю MN.

Ответ: В результате выполнения алгоритма построен четырёхугольник MNTK, который является искомым сечением.

в)

Иллюстрация построения сечения на каркасной модели куба (модели, состоящей только из рёбер) будет выглядеть следующим образом:

1. На рёбрах (проволоках) каркаса $AA_1$, $AD$ и $CC_1$ отмечаем точки M, K и N соответственно.
2. Построение выполняется с помощью воображаемых плоскостей, проходящих через рёбра каркаса. Представляем плоскость, проходящую через рёбра $AA_1, A_1D_1, D_1D, DA$. В этой плоскости проводим прямую через точки M и K.
3. Находим точку пересечения P этой прямой с прямой, содержащей ребро-проволоку $DD_1$. Точка P может оказаться как на самом ребре $DD_1$, так и на его продолжении в пространстве.
4. Далее представляем плоскость, проходящую через рёбра $DD_1, D_1C_1, C_1C, CD$. В этой плоскости проводим прямую через построенную точку P и заданную точку N.
5. Находим точку пересечения T этой прямой с прямой, содержащей ребро-проволоку DC. Точка T, как и точка P, может лежать вне самого ребра, на его продолжении.
6. В результате мы получаем четыре вершины искомого сечения: M, N, K (лежат на рёбрах каркаса) и T (лежит на прямой, содержащей ребро DC).
7. Иллюстрация завершается соединением этих четырёх точек отрезками: KM, MT, TN и NK. На каркасной модели мы увидим исходный каркас куба и построенный внутри него (и частично выходящий на плоскости граней) пространственный четырёхугольник MNTK.

Ответ: На каркасной модели куба будут изображены 12 рёбер куба, точки M, K, N на трёх из них, вспомогательные построения (прямые MK и PN, выходящие за пределы граней для нахождения точек P и T), и, наконец, сам четырёхугольник MNTK, стороны которого соединяют построенные вершины.

Условие 2010-2022.

495 a) На ребрах куба (рис. 70) отмечены точки $M, N$ и $K$. Принадлежат ли граням куба отрезки $MN, MK$ и $KN$?

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M, N$ и $K$. Перенеси рисунок в тетрадь и построй сечение куба плоскостью $\alpha$ по следующему алгоритму.

1. Соединить точки $M$ и $N$.

2. В плоскости грани $AA_1D_1D$ провести прямую $MK$ до ее пересечения с прямой $DD_1$ в точке $P$.

3. В плоскости грани $DD_1C_1C$ построить точку пересечения прямых $DC$ и $PN$. Обозначить ее $T$. Соединить точки $K$ и $T$.

4. Четырехугольник $MNTK$ – искомый.

в) Проиллюстрируй построение сечения на каркасной модели куба.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).