Номер 478, страница 113, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Многогранники. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 478, страница 113.

Условие 2023.

478. a) Может ли у многогранника быть три вершины? Почему?

б) Какое наименьшее число вершин, рёбер и граней может быть у многогранника?

Решение 2 (2023).

а) Нет, у многогранника не может быть три вершины. Многогранник — это объёмное геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями). Три точки (вершины) всегда лежат в одной плоскости и могут образовать только плоскую фигуру — треугольник. Треугольник не является объёмным телом и не ограничивает часть пространства. Для создания объёмного тела требуется как минимум четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. Кроме того, в любом выпуклом многограннике в каждой вершине должно сходиться не менее трёх рёбер, что невозможно, если общее число вершин равно трём.
Ответ: Нет, не может, потому что три вершины могут определить только плоскую фигуру (треугольник), а не объёмное тело.

б) Наименьшее число вершин, рёбер и граней имеет простейший многогранник — тетраэдр (треугольная пирамида). Этот многогранник является фигурой с минимально возможным числом элементов для существования в трёхмерном пространстве.

• Вершины: у тетраэдра 4 вершины (три в основании и одна на вершине). Как было показано в пункте (а), это минимально возможное количество.
• Грани: у тетраэдра 4 грани, каждая из которых является треугольником.
• Рёбра: у тетраэдра 6 рёбер (три ребра в основании и три боковых ребра).

Эти значения согласуются с теоремой Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Для тетраэдра: $4 - 6 + 4 = 2$.
Ответ: Наименьшее число вершин — 4, рёбер — 6, граней — 4.

Условие 2010-2022.

478 a) Может ли у многогранника быть три вершины? Почему?

б) Какое наименьшее число вершин, ребер и граней может быть у многогранника?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).