Номер 471, страница 110, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 471, страница 110.

Условие 2023.

471 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{825}{2750};$

б) $\frac{121212}{212121};$

в) $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2};$

г) $\frac{32x^2y}{24xy^2};$

д) $\frac{ab + a}{ab - a}.$

Решение 2 (2023).

а) Чтобы сократить дробь $\frac{825}{2750}$, разложим числитель и знаменатель на простые множители.

Разложение числителя: $825 = 5 \cdot 165 = 5 \cdot 5 \cdot 33 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$.

Разложение знаменателя: $2750 = 10 \cdot 275 = 2 \cdot 5 \cdot 275 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 55 = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = 2 \cdot 5^3 \cdot 11$.

Подставим разложения в дробь и сократим общие множители:

$\frac{825}{2750} = \frac{3 \cdot 5^2 \cdot 11}{2 \cdot 5^3 \cdot 11} = \frac{3 \cdot \cancel{5^2} \cdot \cancel{11}}{2 \cdot 5 \cdot \cancel{5^2} \cdot \cancel{11}} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{121212}{212121}$, заметим, что числитель и знаменатель имеют общую структуру.

Представим числитель и знаменатель в виде произведений:

Числитель: $121212 = 12 \cdot 10000 + 12 \cdot 100 + 12 = 12 \cdot (10000 + 100 + 1) = 12 \cdot 10101$.

Знаменатель: $212121 = 21 \cdot 10000 + 21 \cdot 100 + 21 = 21 \cdot (10000 + 100 + 1) = 21 \cdot 10101$.

Подставим эти выражения в дробь и сократим общий множитель 10101:

$\frac{121212}{212121} = \frac{12 \cdot 10101}{21 \cdot 10101} = \frac{12}{21}$.

Теперь сократим полученную дробь $\frac{12}{21}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7}$.

Ответ: $\frac{4}{7}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в знаменателе и затем сократим дробь.

Упростим знаменатель: $2^3 \cdot 3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^{1+2} \cdot 5^2 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^2}$.

Сокращаем степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}$ при $n>m$:

$\frac{2^1}{2^3} = \frac{1}{2^{3-1}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

$\frac{3^2}{3^3} = \frac{1}{3^{3-2}} = \frac{1}{3}$

$\frac{5^1}{5^2} = \frac{1}{5^{2-1}} = \frac{1}{5}$

Множитель 7 остается в числителе. Перемножим оставшиеся множители:

$\frac{7}{2^2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{60}$.

Ответ: $\frac{7}{60}$.

г) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{32x^2y}{24xy^2}$, сократим отдельно числовые коэффициенты и переменные.

Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{32}{24}$. Наибольший общий делитель чисел 32 и 24 равен 8.

$\frac{32 \div 8}{24 \div 8} = \frac{4}{3}$.

Сокращаем переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$.

$\frac{y}{y^2} = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.

Объединяем полученные результаты:

$\frac{32x^2y}{24xy^2} = \frac{4}{3} \cdot x \cdot \frac{1}{y} = \frac{4x}{3y}$. (Дробь определена при $x \ne 0, y \ne 0$).

Ответ: $\frac{4x}{3y}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{ab + a}{ab - a}$, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся общий множитель за скобки.

В числителе $ab + a$ общий множитель $a$: $a(b+1)$.

В знаменателе $ab - a$ общий множитель $a$: $a(b-1)$.

Подставим разложения в дробь:

$\frac{a(b+1)}{a(b-1)}$.

Сократим общий множитель $a$ (при условии, что $a \ne 0$):

$\frac{\cancel{a}(b+1)}{\cancel{a}(b-1)} = \frac{b+1}{b-1}$. (Дробь определена при $a \ne 0, b \ne 1$).

Ответ: $\frac{b+1}{b-1}$.

Условие 2010-2022.

471 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{825}{2750}$;

б) $\frac{121212}{212121}$;

в) $\frac{2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7}{2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2}$;

г) $\frac{32x^2y}{24xy^2}$;

д) $\frac{ab+a}{ab-a}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).