Номер 468, страница 109, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Пространственные фигуры и их изображение. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 468, страница 109.

Условие 2023.

468 а) Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время может вырыть котлован каждый из них в отдельности, если второй работает в 1,5 раза быстрее, чем первый?

б) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 8 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если производительность первого крана на 20 % меньше, чем второго?

Решение 2 (2023).

а)

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1.

Пусть $x$ часов — время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая в одиночку. Тогда его производительность (скорость работы) равна $v_1 = \frac{1}{x}$ (часть котлована в час).

По условию, второй экскаватор работает в 1,5 раза быстрее, чем первый. Следовательно, его производительность $v_2$ в 1,5 раза больше производительности первого:

$v_2 = 1.5 \cdot v_1 = 1.5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1.5}{x}$ (часть котлована в час).

Работая вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = \frac{1}{x} + \frac{1.5}{x} = \frac{2.5}{x}$

По условию, работая вместе, они вырывают котлован за 48 часов. Это означает, что их общая производительность также равна $\frac{1}{48}$ (часть котлована в час).

Приравняем выражения для общей производительности и решим уравнение:

$\frac{2.5}{x} = \frac{1}{48}$

$x = 2.5 \cdot 48 = 120$

Таким образом, первому экскаватору для выполнения всей работы потребуется 120 часов.

Теперь найдем время, за которое второй экскаватор может вырыть котлован в одиночку. Его время обратно пропорционально производительности, то есть в 1,5 раза меньше, чем у первого:

$t_2 = \frac{x}{1.5} = \frac{120}{1.5} = 80$

Второму экскаватору потребуется 80 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 120 часов, а второй — за 80 часов.

б)

Примем всю работу по разгрузке баржи за 1.

Пусть $v_2$ (часть баржи в час) — производительность второго крана. Тогда время, за которое он разгрузит баржу в одиночку, равно $t_2 = \frac{1}{v_2}$ часов.

По условию, производительность первого крана на 20% меньше, чем второго. Это означает, что производительность первого крана составляет $100\% - 20\% = 80\%$ от производительности второго:

$v_1 = (1 - 0.20) \cdot v_2 = 0.8 \cdot v_2$

Когда два крана работают вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей:

$v_{общ} = v_1 + v_2 = 0.8 v_2 + v_2 = 1.8 v_2$

Из условия известно, что вместе они разгружают баржу за 8 часов. Следовательно, их общая производительность равна $\frac{1}{8}$ (часть баржи в час).

Составим и решим уравнение:

$1.8 v_2 = \frac{1}{8}$

$v_2 = \frac{1}{8 \cdot 1.8} = \frac{1}{14.4} = \frac{10}{144} = \frac{5}{72}$

Теперь, зная производительность второго крана, найдем время, за которое он может разгрузить баржу:

$t_2 = \frac{1}{v_2} = \frac{1}{5/72} = \frac{72}{5} = 14.4$ часа.

Найдем производительность первого крана:

$v_1 = 0.8 \cdot v_2 = 0.8 \cdot \frac{5}{72} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{72} = \frac{4}{72} = \frac{1}{18}$

Найдем время для первого крана:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{1/18} = 18$ часов.

Ответ: первый кран может разгрузить баржу за 18 часов, а второй — за 14,4 часа.

Условие 2010-2022.

468 a) Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время может вырыть котлован каждый из них в отдельности, если второй работает в 1,5 раза быстрее, чем первый?

б) Два портальных крана, работая вместе, разгрузили баржу за 8 ч. За какое время может разгрузить баржу каждый кран в отдельности, если производительность первого крана на 20% меньше, чем второго?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).