Номер 463, страница 108, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Пространственные фигуры и их изображение. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 463, страница 108.

Условие 2023.

463 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{12ab}{15b^2};$

б) $\frac{14xy}{21xyz};$

в) $\frac{10m^3n}{15b^2};$

г) $\frac{36c^2d}{45c^3d^3};$

д) $\frac{xy - xz}{xy + xz};$

е) $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2};$

ж) $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3};$

з) $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}.$

Решение 2 (2023).

а) Чтобы сократить дробь $\frac{12ab}{15b^2}$, найдем общие множители в числителе и знаменателе.
Коэффициенты 12 и 15 имеют общий делитель 3. ($12 = 3 \cdot 4$, $15 = 3 \cdot 5$).
Переменные: в числителе есть $b$, а в знаменателе $b^2$. Их общий множитель - $b$.
Выполним сокращение дроби на общий множитель $3b$:$\frac{12ab}{15b^2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot a \cdot b}{3 \cdot 5 \cdot b \cdot b} = \frac{4a}{5b}$.
Ответ: $\frac{4a}{5b}$

б) Сократим дробь $\frac{14xy}{21xyz}$.
Найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 14 и 21, который равен 7.
Переменные $x$ и $y$ являются общими множителями для числителя и знаменателя.
Выполним сокращение на $7xy$:$\frac{14xy}{21xyz} = \frac{2 \cdot 7 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 7 \cdot x \cdot y \cdot z} = \frac{2}{3z}$.
Ответ: $\frac{2}{3z}$

в) Сократим дробь $\frac{10m^3n}{15b^2}$.
Найдем общий множитель для коэффициентов 10 и 15, который равен 5.
Среди переменных ($m, n, b$) общих множителей нет.
Сократим дробь на 5:$\frac{10m^3n}{15b^2} = \frac{2 \cdot 5 \cdot m^3n}{3 \cdot 5 \cdot b^2} = \frac{2m^3n}{3b^2}$.
Ответ: $\frac{2m^3n}{3b^2}$

г) Сократим дробь $\frac{36c^2d}{45c^3d^3}$.
Найдем НОД для коэффициентов 36 и 45. $36 = 9 \cdot 4$, $45 = 9 \cdot 5$. НОД(36, 45) = 9.
Для переменных: общий множитель для $c^2$ и $c^3$ есть $c^2$. Общий множитель для $d$ и $d^3$ есть $d$.
Выполним сокращение на общий множитель $9c^2d$:$\frac{36c^2d}{45c^3d^3} = \frac{9 \cdot 4 \cdot c^2 \cdot d}{9 \cdot 5 \cdot c^3 \cdot d^3} = \frac{4}{5c^{3-2}d^{3-1}} = \frac{4}{5cd^2}$.
Ответ: $\frac{4}{5cd^2}$

д) Чтобы сократить дробь $\frac{xy - xz}{xy + xz}$, нужно сначала разложить числитель и знаменатель на множители, вынеся общий множитель за скобки.
Числитель: $xy - xz = x(y - z)$.
Знаменатель: $xy + xz = x(y + z)$.
Теперь дробь имеет вид: $\frac{x(y - z)}{x(y + z)}$.
Сократим на общий множитель $x$:$\frac{x(y - z)}{x(y + z)} = \frac{y - z}{y + z}$.
Ответ: $\frac{y - z}{y + z}$

е) Сократим дробь $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $a^2 - ab = a(a - b)$.
Знаменатель: $ab - b^2 = b(a - b)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{a(a - b)}{b(a - b)}$.
Сократим на общий множитель $(a - b)$:$\frac{a(a - b)}{b(a - b)} = \frac{a}{b}$.
Ответ: $\frac{a}{b}$

ж) Сократим дробь $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $c$: $cd^2 + c^3 = c(d^2 + c^2)$.
В знаменателе вынесем общий множитель $d$: $c^2d + d^3 = d(c^2 + d^2)$.
Дробь примет вид: $\frac{c(d^2 + c^2)}{d(c^2 + d^2)}$.
Общим множителем является выражение $(c^2 + d^2)$, на которое можно сократить дробь:$\frac{c(c^2 + d^2)}{d(c^2 + d^2)} = \frac{c}{d}$.
Ответ: $\frac{c}{d}$

з) Сократим дробь $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель раскладываем по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
В знаменателе сначала вынесем общий множитель $a$: $a^3 - a = a(a^2 - 1)$.
Затем выражение в скобках также раскладываем по формуле разности квадратов: $a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1)$.
Подставим разложения в дробь: $\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a - 1)(a + 1)}$.
Сократим на общие множители $(a - 1)$ и $(a + 1)$:$\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a}$.
Ответ: $\frac{1}{a}$

Условие 2010-2022.

463 Сократи дроби с натуральными числителями и знаменателями:

а) $\frac{12ab}{15b^2}$;

б) $\frac{14xy}{21xyz}$;

в) $\frac{10m^3n}{15b^2}$;

г) $\frac{36c^2d}{45c^3d^3}$;

д) $\frac{xy - xz}{xy + xz}$;

е) $\frac{a^2 - ab}{ab - b^2}$;

ж) $\frac{cd^2 + c^3}{c^2d + d^3}$;

з) $\frac{a^2 - 1}{a^3 - a}$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).