Номер 457, страница 107, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 457, страница 107.

Условие 2023.

457 По данным проекциям фигуры сложи её из кубиков и нарисуй.

Вид спереди

Вид слева

Вид сверху

а) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c:c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \end{array}$

б) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c:c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \end{array}$

В) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \square & \square \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Г) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \text{горизонтальная пунктирная линия} \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \phantom{\square} & \square \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Решение 2 (2023).

Для решения задачи необходимо по трём ортогональным проекциям (вид спереди, вид слева, вид сверху) восстановить трёхмерную фигуру, состоящую из единичных кубиков, и нарисовать её. Будем использовать систему координат, где ось X направлена вправо, ось Y — вглубь (от нас), а ось Z — вверх. Положение каждого кубика будем определять координатами его нижнего левого ближнего угла (x, y, z), где x, y, z — целые числа, начиная с 1.

а)

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (проекция на плоскость XZ) представляет собой прямоугольник размером 2x1. Это означает, что ширина фигуры составляет 2 кубика, а максимальная высота — 1 кубик.
• Вид слева (проекция на плоскость YZ) — это прямоугольник 2x1. Это означает, что глубина фигуры составляет 2 кубика, а максимальная высота — 1 кубик.
• Вид сверху (проекция на плоскость XY) показывает расположение кубиков в основании. Это Г-образная фигура, состоящая из 3 кубиков и вписывающаяся в квадрат 2x2.

Из того, что максимальная высота фигуры равна 1, следует, что все кубики лежат на одной плоскости (z=1). Их расположение полностью определяется видом сверху. Фигура состоит из трёх кубиков в следующих координатах (x, y, z): (1, 1, 1), (2, 1, 1) и (1, 2, 1).

Примечание: Для такой фигуры вид слева должен иметь сплошную линию между двумя квадратами, так как она соответствует видимому ребру между кубиками (1, 1, 1) и (1, 2, 1). Пунктирная линия в условии, вероятно, является либо ошибкой, либо следует особому правилу черчения, которое отличает эту фигуру от фигуры в пункте в). Однако, исходя из трёх проекций, обе фигуры (а) и (в) должны быть идентичны. Мы построим фигуру согласно проекциям её формы.

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из трёх кубиков, лежащих на плоскости в форме буквы 'Г', как показано на рисунке.

б)

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (2x1) указывает на ширину фигуры в 2 кубика.
• Вид сверху (Г-образная форма из 4 кубиков) показывает фигуру шириной 3 кубика.

Данные проекции противоречат друг другу: ширина фигуры не может быть одновременно равна 2 и 3. Вероятнее всего, в условии допущена ошибка.

Предположим, что вид спереди должен соответствовать виду сверху и быть размером 3x1. Тогда фигура имеет высоту в 1 кубик и состоит из 4 кубиков, расположенных в основании следующим образом: (1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1) и (1, 2, 1).

Изображение фигуры (согласно исправленному условию):

Ответ: Условие задачи содержит противоречие. Если предположить, что вид спереди должен иметь размер 3x1, то фигура состоит из четырёх кубиков, образующих Г-образное основание, как на рисунке.

в)

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (2x1) → ширина 2, макс. высота 1.
• Вид слева (2x1) → глубина 2, макс. высота 1.
• Вид сверху (Г-форма из 3 кубиков) → расположение в основании.

Все проекции согласуются между собой. Высота фигуры равна 1 кубику. Расположение кубиков в основании определяется видом сверху. Фигура состоит из трёх кубиков в координатах (x, y, z): (1, 1, 1), (2, 1, 1) и (1, 2, 1). Вид слева для такой фигуры действительно будет прямоугольником 2x1 со сплошной линией, разделяющей проекции кубиков (1,1,1) и (1,2,1).

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из трёх кубиков, лежащих на плоскости в форме буквы 'Г', как показано на рисунке. Эта фигура идентична фигуре из пункта а).

г)

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (Г-форма) показывает, что в столбике x=1 высота равна 2 кубикам, а в столбике x=2 — 1 кубику.
• Вид сверху (Г-форма) показывает расположение кубиков в основании: есть кубики в позициях (1,1), (1,2) и (2,1).
• Вид слева (Г-форма) показывает, что в ряду y=1 высота равна 2 кубикам, а в ряду y=2 — 1 кубику.

Совместим информацию о высотах $h(x,y)$ для каждой клетки основания:

• Из вида спереди: $\max(h(1,1), h(1,2)) = 2$; $h(2,1) = 1$.
• Из вида слева: $\max(h(1,1), h(2,1)) = 2$; $h(1,2) = 1$.

Из $h(1,2)=1$ и $\max(h(1,1), h(1,2))=2$ следует, что $h(1,1)=2$. Это не противоречит остальным условиям: $\max(h(1,1), h(2,1)) = \max(2, 1) = 2$. Таким образом, высоты кубиков в основании: $h(1,1)=2$, $h(1,2)=1$, $h(2,1)=1$. Фигура состоит из 4 кубиков: стопка из двух кубиков в позиции (1,1) и по одному кубику в позициях (1,2) и (2,1).

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из четырёх кубиков. В основании лежит Г-образная фигура из трёх кубиков, причём на одном из них (в углу) стоит второй кубик, как показано на рисунке.

Условие 2010-2022.

457 По данным проекциям фигуры сложи ее из кубиков и нарисуй.

Вид спереди

Вид слева

Вид сверху

а) б) в) г)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).