Номер 453, страница 105, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 453, страница 105.

Условие 2023.

453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Проверь правильность построения с помощью модели куба.

а) б) в)

Решение 2 (2023).

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через три заданные точки, будем использовать метод следов и свойство параллельности плоскостей. Основной принцип: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

а)

Обозначим вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание, а $A_1B_1C_1D_1$ — верхнее. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $A_1B_1$ (верхняя передняя грань).
• Точка $N$ — середина ребра $B_1C_1$ (верхняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $AB$ (нижняя передняя грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ и $N$ лежат в одной плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Соединим их отрезком $MN$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с верхней гранью куба.
2. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости передней грани $ABB_1A_1$. Соединим их отрезком $MK$. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с передней гранью куба.
3. Плоскость верхней грани $(A_1B_1C_1D_1)$ параллельна плоскости нижней грани $(ABCD)$. Следовательно, секущая плоскость пересекает нижнюю грань по прямой, параллельной линии пересечения с верхней гранью, то есть прямой $MN$.
4. Проведем через точку $K$, лежащую в плоскости нижней грани, прямую, параллельную $MN$. Эта прямая пересечет ребро $BC$ в точке $L$. Так как $M$ и $N$ — середины ребер $A_1B_1$ и $B_1C_1$, то отрезок $MN$ параллелен диагонали $A_1C_1$ и равен ее половине. Следовательно, отрезок $KL$ будет параллелен диагонали $AC$, и точка $L$ окажется серединой ребра $BC$. Отрезок $KL$ — еще одна сторона сечения.
5. Точки $N$ и $L$ обе лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $NL$, который будет последней стороной искомого сечения.

В результате построен четырехугольник $MNLK$, который и является искомым сечением.

Ответ: Сечением является четырехугольник $MNLK$, вершины которого — точка $M$ (середина $A_1B_1$), $N$ (середина $B_1C_1$), $L$ (середина $BC$) и $K$ (середина $AB$).

б)

Обозначим вершины куба аналогично предыдущему пункту. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$ (верхняя левая грань).
• Точка $N$ — середина ребра $B_1C_1$ (верхняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $AA_1$ (передняя левая грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ (середина $A_1D_1$) и $N$ (середина $B_1C_1$) лежат в плоскости верхней грани. Отрезок $MN$ является следом секущей плоскости на верхней грани и одной из сторон сечения. Заметим, что прямая $MN$ параллельна ребрам $A_1B_1$ и $AB$, а значит, параллельна плоскости передней грани $ABB_1A_1$.
2. Согласно свойству, если прямая ($MN$), лежащая в секущей плоскости, параллельна некоторой другой плоскости (передней грани), то линия пересечения секущей плоскости с этой другой плоскостью будет параллельна исходной прямой.
3. Линия пересечения секущей плоскости с передней гранью проходит через точку $K$. Проведем через точку $K$ прямую, параллельную $MN$ (и, следовательно, $AB$). Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $P$. Поскольку $K$ — середина $AA_1$, точка $P$ будет серединой ребра $BB_1$. Отрезок $KP$ — сторона сечения, лежащая на передней грани.
4. Теперь у нас есть четыре вершины сечения: $K, M, N, P$. Последовательно соединим их. Точки $K$ и $M$ лежат на левой грани $ADD_1A_1$, соединяем их отрезком $KM$.
5. Точки $N$ и $P$ лежат на правой грани $BCC_1B_1$, соединяем их отрезком $NP$.

В результате построен четырехугольник $KMNP$, который является искомым сечением. Данный четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $KMNP$, вершины которого — точка $K$ (середина $AA_1$), $M$ (середина $A_1D_1$), $N$ (середина $B_1C_1$) и $P$ (середина $BB_1$).

в)

Обозначим вершины куба, как и ранее. В соответствии с рисунком, точки расположены следующим образом:

• Точка $M$ — середина ребра $AB$ (нижняя передняя грань).
• Точка $N$ — середина ребра $C_1C$ (задняя правая грань).
• Точка $K$ — середина ребра $DC$ (нижняя задняя грань).

Построение сечения:

1. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости нижней грани $ABCD$. Соединим их отрезком $MK$. Это сторона сечения.
2. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости задней грани $DCC_1D_1$. Соединим их отрезком $NK$. Это еще одна сторона сечения.
3. Плоскость задней грани $(DCC_1D_1)$ параллельна плоскости передней грани $(ABB_1A_1)$. Следовательно, секущая плоскость пересекает переднюю грань по прямой, параллельной линии пересечения с задней гранью, то есть прямой $NK$.
4. Проведем через точку $M$, лежащую на передней грани, прямую, параллельную $NK$. Эта прямая пересечет ребро $BB_1$ в точке $L$. Так как $N$ и $K$ — середины ребер $C_1C$ и $DC$, то $NK$ параллельна диагонали $C_1D$. Соответственно, прямая $ML$ будет параллельна диагонали $B_1A$, и точка $L$ окажется серединой ребра $BB_1$. Отрезок $ML$ — третья сторона сечения.
5. Точки $L$ и $N$ лежат в плоскости правой грани $BCC_1B_1$. Соединим их отрезком $LN$, который замыкает многоугольник сечения.

В результате построен четырехугольник $KMLN$, который является искомым сечением. Этот четырехугольник также является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $KMLN$, вершины которого — точка $K$ (середина $DC$), $M$ (середина $AB$), $L$ (середина $BB_1$) и $N$ (середина $CC_1$).

Условие 2010-2022.

453 Перенеси рисунок куба в тетрадь и построй его сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Проверь правильность построения с помощью модели куба.

a) б) в)

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).