Номер 447, страница 102, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Замечательные точки в треугольнике. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 447, страница 102.

Условие 2023.

C 447*

В произвольном треугольнике $ABC$ построй точку $A_1$ – середину стороны $BC$, точку $B_1$ – середину стороны $AC$, и точку $C_1$ – середину стороны $AB$. Построй окружности, описанные около треугольников $ABC_1$, $A_1BC_1$ и $A_1B_1C$. Что ты замечаешь?

Решение 2 (2023).

Задача состоит из двух частей: построение и наблюдение с доказательством.

В произвольном треугольнике ABC построй точку A₁ – середину стороны BC, точку B₁ – середину стороны AC, и точку C₁ – середину стороны AB. Построй окружности, описанные около треугольников AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C.

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Для каждой стороны треугольника найдем ее середину. С помощью циркуля и линейки разделим каждый отрезок ($AB, BC, AC$) пополам. Обозначим середины сторон: $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — середина $AC$, и $C_1$ — середина $AB$.
3. Построим окружность, описанную около треугольника $AB_1C_1$. Для этого найдем точку пересечения серединных перпендикуляров к двум его сторонам (например, к $AB_1$ и $AC_1$). Эта точка будет центром окружности. Проведем окружность через вершины $A, B_1, C_1$.
4. Аналогично построим окружность, описанную около треугольника $A_1BC_1$. Центр этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $A_1B$ и $BC_1$.
5. Аналогично построим окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C$. Центр этой окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $A_1C$ и $B_1C$.

Ответ: В результате построения мы получим три треугольника ($AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$) и три описанные около них окружности.

Что ты замечаешь?

При выполнении построений можно заметить, что все три окружности пересекаются в одной общей точке. Докажем это утверждение.

Пусть $\omega_1$ — окружность, описанная около $\Delta AB_1C_1$.

Пусть $\omega_2$ — окружность, описанная около $\Delta A_1BC_1$.

Пусть $\omega_3$ — окружность, описанная около $\Delta A_1B_1C$.

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ по построению уже имеют одну общую точку $C_1$. Пусть $P$ — вторая точка их пересечения (если окружности касаются, то $P$ совпадает с $C_1$).

Поскольку точки $A, C_1, P, B_1$ лежат на одной окружности $\omega_1$, они образуют вписанный четырехугольник. Свойство вписанного четырехугольника гласит, что углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Угол, опирающийся на дугу $C_1B_1$ с вершины $A$, равен $\angle C_1AB_1 = \angle A$. Угол, опирающийся на ту же дугу с вершины $P$, равен $\angle C_1PB_1$. Следовательно, $\angle C_1PB_1 = \angle A$.

Аналогично, поскольку точки $B, C_1, P, A_1$ лежат на окружности $\omega_2$, они образуют вписанный четырехугольник. Угол, опирающийся на дугу $C_1A_1$ с вершины $B$, равен $\angle C_1BA_1 = \angle B$. Угол, опирающийся на ту же дугу с вершины $P$, равен $\angle C_1PA_1$. Следовательно, $\angle C_1PA_1 = \angle B$.

Теперь рассмотрим четырехугольник $A_1CB_1P$. Чтобы доказать, что он вписанный (то есть точка $P$ лежит на окружности $\omega_3$), нужно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Проверим сумму углов $\angle C$ и $\angle A_1PB_1$.

Угол $\angle A_1PB_1$ можно найти как сумму углов $\angle C_1PA_1$ и $\angle C_1PB_1$ (предполагая, что луч $PC_1$ проходит между лучами $PA_1$ и $PB_1$):

$\angle A_1PB_1 = \angle C_1PB_1 + \angle C_1PA_1 = \angle A + \angle B$.

Теперь найдем сумму противоположных углов четырехугольника $A_1CB_1P$:

$\angle C + \angle A_1PB_1 = \angle C + (\angle A + \angle B)$.

Так как сумма углов в исходном треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$, то и полученная нами сумма равна $180^\circ$.

Условие, при котором четырехугольник можно вписать в окружность, выполнено. Это означает, что точки $A_1, C, B_1, P$ лежат на одной окружности. Эта окружность по определению и есть $\omega_3$, описанная около $\Delta A_1B_1C$.

Таким образом, точка $P$, являющаяся точкой пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, также принадлежит и окружности $\omega_3$. Следовательно, все три окружности пересекаются в одной точке.

Ответ: Все три построенные окружности пересекаются в одной общей точке. Эта точка известна в геометрии как точка Микеля.

Условие 2010-2022.

C 447 В произвольном треугольнике $ABC$ построй точку $A_1$ – середину стороны $BC$, точку $B_1$ – середину стороны $AC$, и точку $C_1$ – середину стороны $AB$. Построй окружности, описанные около треугольников $AB_1C_1$, $A_1BC_1$ и $A_1B_1C$. Что ты замечаешь?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).