Номер 449, страница 102, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 449, страница 102.

Условие 2023.

449* В произвольном треугольнике $ABC$ построй центр описанной окружности – точку $O$, центр тяжести – точку $M$ и ортоцентр – точку $H$. Рассмотри взаимное расположение точек $O$, $M$ и $H$ и найди отношение отрезков $OM : MH$. Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 2 (2023).

Построение центра описанной окружности (O), центра тяжести (M) и ортоцентра (H)

Для построения этих трёх замечательных точек в произвольном треугольнике $ABC$ необходимо выполнить следующие действия:

• Точка O (центр описанной окружности) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Для построения достаточно найти середины двух сторон, провести к ним перпендикуляры и найти точку их пересечения.
• Точка M (центр тяжести) находится в точке пересечения медиан треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Для построения достаточно провести две медианы и найти их точку пересечения.
• Точка H (ортоцентр) находится в точке пересечения высот треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Для построения достаточно провести две высоты и найти их точку пересечения.

Рассмотри взаимное расположение точек O, M и H и найди отношение отрезков OM : MH

Если выполнить построение для произвольного неравностороннего треугольника, можно заметить, что точки O, M и H всегда лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Эйлера.

Докажем этот факт и найдем отношение $OM:MH$. Для этого воспользуемся методом гомотетии (центрального подобия).
Рассмотрим гомотетию с центром в точке M (центре тяжести) и коэффициентом $k = -1/2$.
По свойству медиан, точка M делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ (где $A_1$ — середина $BC$) справедливо векторное равенство $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$. Следовательно, эта гомотетия переводит вершины $A$, $B$, $C$ в середины противоположных им сторон $A_1$, $B_1$, $C_1$.
Выясним, во что эта гомотетия переводит ортоцентр H. Ортоцентр H — это точка пересечения высот. Высота, проведенная из вершины $A$ ($h_A$), перпендикулярна стороне $BC$. При гомотетии прямая $h_A$ перейдет в параллельную ей прямую, проходящую через образ точки $A$, то есть через точку $A_1$. Прямая, проходящая через середину стороны $BC$ (точку $A_1$) и перпендикулярная $BC$, является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.
Аналогично, образами двух других высот будут два других серединных перпендикуляра.
Таким образом, точка пересечения высот (ортоцентр H) переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности O).

По определению гомотетии, из того, что H переходит в O, следует векторное равенство: $\vec{MO} = k \cdot \vec{MH}$, то есть $\vec{MO} = -\frac{1}{2}\vec{MH}$.
Из этого равенства следует:

1. Векторы $\vec{MO}$ и $\vec{MH}$ коллинеарны, а значит, точки O, M, H лежат на одной прямой.
2. Коэффициент $k = -1/2$ отрицателен, значит, точка M лежит между точками O и H.
3. Длины векторов связаны соотношением $|\vec{MO}| = |-\frac{1}{2}| \cdot |\vec{MH}|$, то есть $OM = \frac{1}{2}MH$.

Из последнего пункта следует, что искомое отношение $OM : MH = 1 : 2$.
Ответ: Точки O, M и H лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причем точка M расположена между O и H. Отношение длин отрезков $OM : MH = 1:2$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Замечание: Взаимное расположение центра описанной окружности, центра тяжести и ортоцентра подчиняется строгому закону: они всегда лежат на одной прямой, и расстояния между ними находятся в постоянном отношении.
Гипотеза: В любом треугольнике (кроме равностороннего) центр описанной окружности $O$, центр тяжести $M$ и ортоцентр $H$ лежат на одной прямой. При этом центр тяжести $M$ всегда лежит между точками $O$ и $H$ и делит отрезок $OH$ в отношении $1:2$, то есть $OM : MH = 1:2$.
Эта гипотеза является доказанной теоремой, известной как теорема о прямой Эйлера. В случае равностороннего треугольника все три точки O, M, H совпадают.
Ответ: Гипотеза заключается в том, что в любом неравностороннем треугольнике центр описанной окружности, центр тяжести и ортоцентр лежат на одной прямой. Центр тяжести находится между двумя другими точками и делит расстояние между ними в отношении 1:2.

Условие 2010-2022.

449 В произвольном треугольнике $ABC$ построй центр описанной окружности – точку $O$, центр тяжести – точку $M$, и ортоцентр – точку $H$.

Рассмотри взаимное расположение точек $O$, $M$ и $H$ и найди отношение отрезков $OM : MH$.

Что ты замечаешь? Сформулируй гипотезу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).