Номер 454, страница 106, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 454, страница 106.

Условие 2023.

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй её сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.

а) Точки: $M$, $N$, $K$.

б) Точки: $M$, $N$, $K$.

в) Точки: $M$, $N$, $K$.

Решение 2 (2023).

Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N и K, будем использовать метод следов или метод вспомогательных плоскостей. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а вершины основания (против часовой стрелки) как $A, B, C, D$.

а)

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SC$, точка $N$ — на ребре $SD$.

1. Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SCD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NK$ — сторона искомого сечения.
2. Точки $N$ и $M$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NM$ — сторона искомого сечения.
3. Теперь необходимо найти четвертую вершину сечения, которая должна лежать на ребре $SB$. Для этого воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость диагонального сечения $(SBD)$.
4. Найдем прямую пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(SBD)$. Одна точка, принадлежащая обеим плоскостям, — это точка $N$ (так как $N \in SD$, а $SD \subset (SBD)$).
5. Чтобы найти вторую точку, найдем точку пересечения прямой $MK$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью $(SBD)$. Прямая $MK$ лежит в плоскости диагонального сечения $(SAC)$. Плоскости $(SAC)$ и $(SBD)$ пересекаются по высоте пирамиды $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$). Найдем точку пересечения $P$ прямых $MK$ и $SO$: $P = MK \cap SO$.
6. Прямая $NP$ является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(SBD)$.
7. Эта прямая $NP$ пересекает ребро $SB$ (которое также лежит в плоскости $(SBD)$) в некоторой точке $L$. Точка $L$ — четвертая вершина сечения.
8. Соединяем последовательно вершины сечения: $M$, $L$, $K$ и $N$. Отрезки $ML$ (в грани $(SAB)$) и $LK$ (в грани $(SBC)$) — остальные стороны сечения.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MLKN$.

б)

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SD$, а точка $N$ лежит на диагонали основания $BD$.

1. Точки $K$ и $N$ лежат в плоскости диагонального сечения $(SBD)$. Проведем через них прямую. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $L$. Точка $L$ является вершиной искомого сечения.
2. Точки $M$ и $L$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAB)$. Соединяем их. Отрезок $ML$ — сторона сечения.
3. Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их. Отрезок $MK$ — сторона сечения.
4. Для нахождения остальных вершин сечения построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе.
5. Найдем вторую точку следа. Для этого в плоскости грани $(SAB)$ продлим прямую $ML$ до пересечения с продолжением стороны основания $AB$. Обозначим точку их пересечения как $P$. Точка $P$ лежит как в секущей плоскости, так и в плоскости основания, а значит, принадлежит следу.
6. Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
7. Найдем точки пересечения следа $PN$ со сторонами основания. Прямая $PN$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$ и сторону $CD$ в точке $R$. Точки $Q$ и $R$ — вершины сечения.
8. Соединяем последовательно все найденные вершины: $M, L, Q, R, K$. Отрезки $LQ$ (в грани $(SBC)$), $QR$ (в основании $(ABCD)$) и $RK$ (в грани $(SCD)$) замыкают многоугольник сечения.

Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MLQRK$.

в)

В данном случае точки расположены следующим образом: точка $K$ лежит на ребре $SD$, точка $N$ — на диагонали основания $AC$, а точка $M$ — внутри боковой грани $(SBC)$.

1. Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе, так как $N \in (ABCD)$.
2. Найдем вторую точку следа — точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания. Для этого используем вспомогательную плоскость. Проведем прямую через вершину $S$ и точку $M$ до пересечения с ребром основания $BC$ в точке $M'$.
3. Рассмотрим вспомогательную плоскость $(SM'D)$. Она содержит прямую $SD$ (а значит, и точку $K$) и прямую $SM'$ (а значит, и точку $M$). Следовательно, вся прямая $MK$ лежит в этой плоскости.
4. Плоскость $(SM'D)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $M'D$.
5. Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания должна лежать на прямой $M'D$. Найдем точку $P$ как пересечение прямых $MK$ и $M'D$: $P = MK \cap M'D$.
6. Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
7. Теперь найдем вершины сечения на ребрах пирамиды. Продлим стороны основания до пересечения со следом $PN$.
   • Пусть $T_1 = PN \cap CD$. Прямая $T_1K$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SCD)$. Она пересекает ребро $SC$ в точке $L$. $L$ — вершина сечения. Отрезок $KL$ — сторона сечения.
   • Пусть $T_2 = PN \cap BC$. Прямая $T_2M$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SBC)$. Она пересекает ребро $SB$ в точке $L_B$. Точка $L$ также должна лежать на этой прямой. $L_B$ — вершина сечения. Отрезок $LL_B$ — сторона сечения.
   • Пусть $T_3 = PN \cap AB$. Прямая $T_3L_B$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SAB)$. Она пересекает ребро $SA$ в точке $L_A$. $L_A$ — вершина сечения. Отрезок $L_BL_A$ — сторона сечения.
8. Последние две вершины, $L_A$ на $SA$ и $K$ на $SD$, лежат в плоскости грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком $L_AK$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $L_A L_B L K$.

Условие 2010-2022.

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.

а) M, N, K

б) M, N, K

в) M, N, K

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).