Номер 454, страница 106, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 3
Цвет обложки: голубой в клеточку
ISBN: 978-5-09-107332-4
Популярные ГДЗ в 6 классе
1. Пространственные фигуры и их изображение. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 454, страница 106.
№454 (с. 106)
Условие 2023. №454 (с. 106)
скриншот условия

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй её сечение плоскостью, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.
а) Точки: $M$, $N$, $K$.
б) Точки: $M$, $N$, $K$.
в) Точки: $M$, $N$, $K$.
Решение 2 (2023). №454 (с. 106)
Для построения сечения пирамиды плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N и K, будем использовать метод следов или метод вспомогательных плоскостей. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а вершины основания (против часовой стрелки) как $A, B, C, D$.
а)В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SC$, точка $N$ — на ребре $SD$.
- Точки $N$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SCD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NK$ — сторона искомого сечения.
- Точки $N$ и $M$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком. Отрезок $NM$ — сторона искомого сечения.
- Теперь необходимо найти четвертую вершину сечения, которая должна лежать на ребре $SB$. Для этого воспользуемся методом вспомогательных плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости выберем плоскость диагонального сечения $(SBD)$.
- Найдем прямую пересечения секущей плоскости $(MNK)$ с плоскостью $(SBD)$. Одна точка, принадлежащая обеим плоскостям, — это точка $N$ (так как $N \in SD$, а $SD \subset (SBD)$).
- Чтобы найти вторую точку, найдем точку пересечения прямой $MK$ (лежащей в секущей плоскости) с плоскостью $(SBD)$. Прямая $MK$ лежит в плоскости диагонального сечения $(SAC)$. Плоскости $(SAC)$ и $(SBD)$ пересекаются по высоте пирамиды $SO$ (где $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$). Найдем точку пересечения $P$ прямых $MK$ и $SO$: $P = MK \cap SO$.
- Прямая $NP$ является линией пересечения плоскостей $(MNK)$ и $(SBD)$.
- Эта прямая $NP$ пересекает ребро $SB$ (которое также лежит в плоскости $(SBD)$) в некоторой точке $L$. Точка $L$ — четвертая вершина сечения.
- Соединяем последовательно вершины сечения: $M$, $L$, $K$ и $N$. Отрезки $ML$ (в грани $(SAB)$) и $LK$ (в грани $(SBC)$) — остальные стороны сечения.
Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $MLKN$.
б)В данном случае точки расположены следующим образом: точка $M$ лежит на ребре $SA$, точка $K$ — на ребре $SD$, а точка $N$ лежит на диагонали основания $BD$.
- Точки $K$ и $N$ лежат в плоскости диагонального сечения $(SBD)$. Проведем через них прямую. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $L$. Точка $L$ является вершиной искомого сечения.
- Точки $M$ и $L$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAB)$. Соединяем их. Отрезок $ML$ — сторона сечения.
- Точки $M$ и $K$ лежат в одной плоскости боковой грани $(SAD)$. Соединяем их. Отрезок $MK$ — сторона сечения.
- Для нахождения остальных вершин сечения построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе.
- Найдем вторую точку следа. Для этого в плоскости грани $(SAB)$ продлим прямую $ML$ до пересечения с продолжением стороны основания $AB$. Обозначим точку их пересечения как $P$. Точка $P$ лежит как в секущей плоскости, так и в плоскости основания, а значит, принадлежит следу.
- Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
- Найдем точки пересечения следа $PN$ со сторонами основания. Прямая $PN$ пересекает сторону $BC$ в точке $Q$ и сторону $CD$ в точке $R$. Точки $Q$ и $R$ — вершины сечения.
- Соединяем последовательно все найденные вершины: $M, L, Q, R, K$. Отрезки $LQ$ (в грани $(SBC)$), $QR$ (в основании $(ABCD)$) и $RK$ (в грани $(SCD)$) замыкают многоугольник сечения.
Ответ: Искомое сечение — пятиугольник $MLQRK$.
в)В данном случае точки расположены следующим образом: точка $K$ лежит на ребре $SD$, точка $N$ — на диагонали основания $AC$, а точка $M$ — внутри боковой грани $(SBC)$.
- Построим след секущей плоскости $(MNK)$ на плоскости основания $(ABCD)$. Точка $N$ уже лежит на этом следе, так как $N \in (ABCD)$.
- Найдем вторую точку следа — точку пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания. Для этого используем вспомогательную плоскость. Проведем прямую через вершину $S$ и точку $M$ до пересечения с ребром основания $BC$ в точке $M'$.
- Рассмотрим вспомогательную плоскость $(SM'D)$. Она содержит прямую $SD$ (а значит, и точку $K$) и прямую $SM'$ (а значит, и точку $M$). Следовательно, вся прямая $MK$ лежит в этой плоскости.
- Плоскость $(SM'D)$ пересекает плоскость основания $(ABCD)$ по прямой $M'D$.
- Точка пересечения прямой $MK$ с плоскостью основания должна лежать на прямой $M'D$. Найдем точку $P$ как пересечение прямых $MK$ и $M'D$: $P = MK \cap M'D$.
- Прямая $PN$ — это след секущей плоскости на плоскости основания.
- Теперь найдем вершины сечения на ребрах пирамиды. Продлим стороны основания до пересечения со следом $PN$.
- Пусть $T_1 = PN \cap CD$. Прямая $T_1K$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SCD)$. Она пересекает ребро $SC$ в точке $L$. $L$ — вершина сечения. Отрезок $KL$ — сторона сечения.
- Пусть $T_2 = PN \cap BC$. Прямая $T_2M$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SBC)$. Она пересекает ребро $SB$ в точке $L_B$. Точка $L$ также должна лежать на этой прямой. $L_B$ — вершина сечения. Отрезок $LL_B$ — сторона сечения.
- Пусть $T_3 = PN \cap AB$. Прямая $T_3L_B$ лежит в секущей плоскости и в плоскости грани $(SAB)$. Она пересекает ребро $SA$ в точке $L_A$. $L_A$ — вершина сечения. Отрезок $L_BL_A$ — сторона сечения.
- Последние две вершины, $L_A$ на $SA$ и $K$ на $SD$, лежат в плоскости грани $(SAD)$. Соединяем их отрезком $L_AK$.
Ответ: Искомое сечение — четырехугольник $L_A L_B L K$.
Условие 2010-2022. №454 (с. 106)
скриншот условия

454 Перерисуй пирамиду в тетрадь и построй ее сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K. Построй модель этого сечения из палочек и пластилина.
а) M, N, K
б) M, N, K
в) M, N, K
Решение 1 (2010-2022). №454 (с. 106)



Решение 2 (2010-2022). №454 (с. 106)

Решение 3 (2010-2022). №454 (с. 106)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 454 расположенного на странице 106 для 3-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №454 (с. 106), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 3-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.