Номер 459, страница 107, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 1. Пространственные фигуры и их изображение - номер 459, страница 107.

Условие 2023.

459 Сформулируй признаки делимости на $10, 2, 5, 3, 9$, используя обороты: «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Какие два логических следования в них содержатся? Почему для их названия используется слово «признаки»?

Решение 2 (2023).

Признаки делимости можно сформулировать следующим образом:

• Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0.

  Ответ: Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0.

• Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась четной цифрой (0, 2, 4, 6 или 8).

  Ответ: Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась четной цифрой.

• Натуральное число делится на 5, если и только если его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

  Ответ: Натуральное число делится на 5, если и только если его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

• Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

  Ответ: Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

  Ответ: Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Какие два логических следования в них содержатся?

Обороты «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» выражают логическую равносильность (эквивалентность) двух утверждений. Такая равносильность всегда включает в себя два логических следования (импликации): прямое и обратное.

Рассмотрим на примере признака делимости на 10. Пусть утверждение А — «натуральное число делится на 10», а утверждение В — «десятичная запись этого числа оканчивается на 0».

1. Прямое следование (достаточность): «Если запись числа оканчивается на 0, то оно делится на 10». Это можно записать как $B \Rightarrow A$. Наличие признака В является достаточным условием для свойства А.

2. Обратное следование (необходимость): «Если число делится на 10, то его запись оканчивается на 0». Это можно записать как $A \Rightarrow B$. Наличие признака В является необходимым условием для свойства А. Без него свойство А невозможно.

Ответ: В этих формулировках содержатся два логических следования: прямое (если выполняется условие, то число обладает свойством делимости) и обратное (если число обладает свойством делимости, то для него выполняется это условие).

Почему для их названия используется слово «признаки»?

Слово «признак» используется потому, что это легко проверяемая особенность числа (например, его последняя цифра или сумма цифр), по которой можно однозначно распознать наличие другого, более сложного для прямой проверки свойства (делимости на другое число).

Вместо того чтобы выполнять операцию деления, которая может быть трудоемкой для больших чисел, мы проверяем простой «признак». Если признак есть, то и свойство делимости есть, и наоборот. Таким образом, признак — это своего рода «индикатор» или «сигнал», который указывает на наличие основного свойства.

Ответ: Слово «признаки» используется потому, что это простые, легко проверяемые свойства, которые позволяют однозначно определить наличие более сложного свойства (делимости), не выполняя саму операцию деления.

Условие 2010-2022.

459 Сформулируй признаки делимости на 10, 2, 5, 3, 9, используя обороты: «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Какие два логические следования в них содержатся? Почему для их названия используется слово «признаки»?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).