Страница 107, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

462 Какая сумма будет на срочном вкладе через 3 года, если на него положены 2000 р. под 5 % годовых?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу сложных процентов, поскольку проценты начисляются ежегодно не только на первоначальную сумму, но и на уже начисленные проценты.

Формула для расчета конечной суммы ($S$) на вкладе при сложных процентах:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$

где:

• $S$ – итоговая сумма на вкладе;
• $P$ – первоначальная сумма вклада (в данном случае $2000$ р.);
• $r$ – годовая процентная ставка (в данном случае $5$ %);
• $n$ – количество лет, на которые размещен вклад (в данном случае $3$ года).

Подставим значения из условия в формулу:

$P = 2000$
$r = 5$
$n = 3$

$S = 2000 \cdot (1 + \frac{5}{100})^3$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Рассчитаем коэффициент ежегодного увеличения:
$1 + \frac{5}{100} = 1 + 0.05 = 1.05$

2. Возведем этот коэффициент в степень, равную количеству лет:
$(1.05)^3 = 1.05 \cdot 1.05 \cdot 1.05 = 1.157625$

3. Умножим первоначальную сумму на полученный результат, чтобы найти итоговую сумму:
$S = 2000 \cdot 1.157625 = 2315.25$ р.

Таким образом, через 3 года сумма на срочном вкладе составит 2315,25 рублей.

Ответ: 2315,25 р.

462 Какая сумма будет на срочном вкладе через 3 года, если на него положены 2000 р. под 5% годовых?

463 Первый срочный вклад равен 8000 р. под $10 \%$ годовых, а второй – 7500 р. под $20 \%$ годовых. На каком из вкладов через 3 года сумма будет больше и на сколько?

Для решения задачи необходимо рассчитать итоговую сумму на каждом вкладе через 3 года, используя формулу сложных процентов, а затем сравнить полученные результаты.

Формула для расчета итоговой суммы при ежегодном начислении сложных процентов выглядит следующим образом:

$S = P \cdot (1 + \frac{r}{100})^t$

где:

• $S$ – итоговая сумма на вкладе,
• $P$ – первоначальная сумма вклада,
• $r$ – годовая процентная ставка,
• $t$ – срок вклада в годах.

Расчет для первого вклада

Дано: первоначальная сумма $P_1 = 8000$ р., процентная ставка $r_1 = 10\%$ годовых, срок $t = 3$ года.

Подставим значения в формулу, чтобы найти итоговую сумму $S_1$:

$S_1 = 8000 \cdot (1 + \frac{10}{100})^3 = 8000 \cdot (1 + 0.1)^3 = 8000 \cdot (1.1)^3$

Выполним вычисления:

$S_1 = 8000 \cdot 1.331 = 10648$ р.

Расчет для второго вклада

Дано: первоначальная сумма $P_2 = 7500$ р., процентная ставка $r_2 = 20\%$ годовых, срок $t = 3$ года.

Подставим значения в формулу, чтобы найти итоговую сумму $S_2$:

$S_2 = 7500 \cdot (1 + \frac{20}{100})^3 = 7500 \cdot (1 + 0.2)^3 = 7500 \cdot (1.2)^3$

Выполним вычисления:

$S_2 = 7500 \cdot 1.728 = 12960$ р.

Сравнение результатов

Теперь сравним итоговые суммы на двух вкладах через 3 года:

Сумма на первом вкладе: $S_1 = 10648$ р.

Сумма на втором вкладе: $S_2 = 12960$ р.

Поскольку $12960 > 10648$, сумма на втором вкладе будет больше.

Найдем разницу между суммами, чтобы определить, на сколько больше:

$S_2 - S_1 = 12960 - 10648 = 2312$ р.

Ответ: Через 3 года сумма на втором вкладе будет больше, чем на первом, на 2312 р.

463 Первый срочный вклад равен 8000 р. под 10% годовых, а второй – 7500 р. под 20% годовых. На каком из вкладов через 3 года сумма будет больше и на сколько?

464 Какой капитал надо вложить в паевой инвестиционный фонд под 20 % годовых (срочный вклад), чтобы через 3 года получить вместе с процентами 100 000 р.? Ответ округли до тысяч.

Эта задача решается с помощью формулы сложных процентов, так как по условию вклад срочный, и проценты, как правило, капитализируются (прибавляются к основной сумме) в конце каждого периода (года).

Формула для расчета будущей стоимости вклада ($A$) при начислении сложных процентов выглядит так:

$A = P \cdot (1 + r)^n$

где:
$P$ — первоначальный капитал (сумма, которую необходимо найти);
$r$ — годовая процентная ставка, выраженная в долях ($20\% = 0,2$);
$n$ — срок вклада в годах (3 года);
$A$ — итоговая сумма, которую хотят получить (100 000 р.).

Чтобы найти первоначальный капитал $P$, выразим его из формулы:

$P = \frac{A}{(1 + r)^n}$

Теперь подставим в формулу известные значения:

$P = \frac{100000}{(1 + 0,2)^3} = \frac{100000}{(1,2)^3}$

Вычислим знаменатель:

$(1,2)^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728$

Теперь найдем $P$:

$P = \frac{100000}{1,728} \approx 57870,37037...$ р.

По условию задачи, ответ необходимо округлить до тысяч.
Число 57 870,37... при округлении до тысяч становится 58 000, так как цифра в разряде сотен (8) больше 5.

Ответ: 58 000 р.

464 Какой капитал надо вложить в паевой инвестиционный фонд под 20% годовых (срочный вклад), чтобы через 3 года получить вместе с процентами 100 000 р.? Ответ округли до тысяч.

465 Начальный вклад клиента банка составил 25 000 р. Годовая процентная ставка банка 8 %. Каким станет вклад через 2 года, если:

а) банк начисляет простые проценты?

б) банк начисляет сложные проценты?

Для решения задачи используем следующие данные: начальный вклад составляет 25 000 рублей, годовая процентная ставка — 8%, срок вклада — 2 года.

а) банк начисляет простые проценты

При начислении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы вклада за каждый год. Формула для расчета итоговой суммы $S_n$ при простых процентах:

$S_n = S_0 (1 + n \cdot r)$

где $S_0$ — начальный вклад (25 000 р.), $n$ — количество лет (2), $r$ — годовая процентная ставка в долях единицы (8% = 0,08).

Сначала рассчитаем сумму процентов, начисляемую ежегодно:

$25000 \cdot 0,08 = 2000$ р.

За два года общая сумма начисленных процентов составит:

$2000 \cdot 2 = 4000$ р.

Итоговая сумма на вкладе через 2 года будет равна сумме начального вклада и начисленных процентов:

$S_2 = 25000 + 4000 = 29000$ р.

Проверим расчет по общей формуле:

$S_2 = 25000 \cdot (1 + 2 \cdot 0,08) = 25000 \cdot (1 + 0,16) = 25000 \cdot 1,16 = 29000$ р.

Ответ: 29 000 р.

б) банк начисляет сложные проценты

При начислении сложных процентов доход за каждый следующий год рассчитывается от суммы, включающей ранее начисленные проценты (этот процесс называется капитализацией процентов). Формула для расчета итоговой суммы $S_n$ при сложных процентах:

$S_n = S_0 (1 + r)^n$

Рассчитаем сумму на вкладе после первого года:

$S_1 = 25000 \cdot (1 + 0,08) = 25000 \cdot 1,08 = 27000$ р.

Теперь рассчитаем сумму на вкладе после второго года. Проценты будут начисляться уже на сумму 27 000 р.:

$S_2 = 27000 \cdot (1 + 0,08) = 27000 \cdot 1,08 = 29160$ р.

Проверим расчет по общей формуле:

$S_2 = 25000 \cdot (1 + 0,08)^2 = 25000 \cdot (1,08)^2 = 25000 \cdot 1,1664 = 29160$ р.

Ответ: 29 160 р.

465 Начальный вклад клиента банка составил 25 000 р. Годовая процентная ставка банка 8%. Каким станет вклад через 2 года, если:

а) банк начисляет простые проценты;

б) банк начисляет сложные проценты?

476 Назови уменьшаемое и вычитаемое в разности. Замени вычитание сложением и вычисли:

а) $ (+1) - (+9); $

б) $ (-3) - (+6); $

в) $ (+4) - (-2); $

г) $ (-7) - (-5); $

д) $ 3 - 8; $

е) $ -2 - (-6); $

ж) $ 5 - (-4); $

з) $ -7 - 3; $

и) $ 16 - (-5); $

к) $ -23 - 9; $

л) $ 14 - 30; $

м) $ -30 - (-12); $

н) $ -9 - (-9); $

о) $ -37 - 0; $

п) $ 0 - 25; $

р) $ -46 - (-46). $

а) В разности $(+1) - (+9)$ уменьшаемое равно $1$, вычитаемое равно $9$.
Заменяем вычитание сложением, прибавляя к уменьшаемому число, противоположное вычитаемому: $(+1) + (-9) = 1 - 9 = -8$.
Ответ: $-8$.

б) В разности $(-3) - (+6)$ уменьшаемое равно $-3$, вычитаемое равно $6$.
Заменяем вычитание сложением: $(-3) + (-6) = -3 - 6 = -9$.
Ответ: $-9$.

в) В разности $(+4) - (-2)$ уменьшаемое равно $4$, вычитаемое равно $-2$.
Заменяем вычитание сложением: $(+4) + (+2) = 4 + 2 = 6$.
Ответ: $6$.

г) В разности $(-7) - (-5)$ уменьшаемое равно $-7$, вычитаемое равно $-5$.
Заменяем вычитание сложением: $(-7) + (+5) = -7 + 5 = -2$.
Ответ: $-2$.

д) В разности $3 - 8$ уменьшаемое равно $3$, вычитаемое равно $8$.
Заменяем вычитание сложением: $3 + (-8) = 3 - 8 = -5$.
Ответ: $-5$.

е) В разности $-2 - (-6)$ уменьшаемое равно $-2$, вычитаемое равно $-6$.
Заменяем вычитание сложением: $-2 + (+6) = -2 + 6 = 4$.
Ответ: $4$.

ж) В разности $5 - (-4)$ уменьшаемое равно $5$, вычитаемое равно $-4$.
Заменяем вычитание сложением: $5 + (+4) = 5 + 4 = 9$.
Ответ: $9$.

з) В разности $-7 - 3$ уменьшаемое равно $-7$, вычитаемое равно $3$.
Заменяем вычитание сложением: $-7 + (-3) = -7 - 3 = -10$.
Ответ: $-10$.

и) В разности $16 - (-5)$ уменьшаемое равно $16$, вычитаемое равно $-5$.
Заменяем вычитание сложением: $16 + (+5) = 16 + 5 = 21$.
Ответ: $21$.

к) В разности $-23 - 9$ уменьшаемое равно $-23$, вычитаемое равно $9$.
Заменяем вычитание сложением: $-23 + (-9) = -23 - 9 = -32$.
Ответ: $-32$.

л) В разности $14 - 30$ уменьшаемое равно $14$, вычитаемое равно $30$.
Заменяем вычитание сложением: $14 + (-30) = 14 - 30 = -16$.
Ответ: $-16$.

м) В разности $-30 - (-12)$ уменьшаемое равно $-30$, вычитаемое равно $-12$.
Заменяем вычитание сложением: $-30 + (+12) = -30 + 12 = -18$.
Ответ: $-18$.

н) В разности $-9 - (-9)$ уменьшаемое равно $-9$, вычитаемое равно $-9$.
Заменяем вычитание сложением: $-9 + (+9) = -9 + 9 = 0$.
Ответ: $0$.

о) В разности $-37 - 0$ уменьшаемое равно $-37$, вычитаемое равно $0$.
Заменяем вычитание сложением: $-37 + 0 = -37$.
Ответ: $-37$.

п) В разности $0 - 25$ уменьшаемое равно $0$, вычитаемое равно $25$.
Заменяем вычитание сложением: $0 + (-25) = -25$.
Ответ: $-25$.

р) В разности $-46 - (-46)$ уменьшаемое равно $-46$, вычитаемое равно $-46$.
Заменяем вычитание сложением: $-46 + (+46) = -46 + 46 = 0$.
Ответ: $0$.

476 Назови уменьшаемое и вычитаемое в разности. Замени вычитание сложением и вычисли:

а) $ (+1) - (+9) $;

б) $ (-3) - (+6) $;

в) $ (+4) - (-2) $;

г) $ (-7) - (-5) $;

д) $ 3 - 8 $;

е) $ -2 - (-6) $;

ж) $ 5 - (-4) $;

з) $ -7 - 3 $;

и) $ 16 - (-5) $;

к) $ -23 - 9 $;

л) $ 14 - 30 $;

м) $ -30 - (-12) $;

н) $ -9 - (-9) $;

о) $ -37 - 0 $;

п) $ 0 - 25 $;

р) $ -46 - (-46) $.

477 Выполни предыдущее задание, представляя выражения в виде алгебраической суммы. Какой способ вычислений ты находишь более удобным?

а)

Представим выражение в виде алгебраической суммы. Вычитание числа $5,7$ — это то же самое, что и прибавление противоположного ему числа $(-5,7)$.

$-3,8 - 5,7 = -3,8 + (-5,7)$

Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и перед результатом ставим знак минус.

$|-3,8| + |-5,7| = 3,8 + 5,7 = 9,5$

$-3,8 + (-5,7) = -9,5$

Ответ: $-9,5$

б)

Выражение уже представлено в виде алгебраической суммы. Складываем числа с разными знаками. Из модуля большего числа вычитаем модуль меньшего и ставим знак числа с большим модулем.

$|-8,4| > |3,7|$, значит, результат будет отрицательным.

$-8,4 + 3,7 = -(8,4 - 3,7) = -4,7$

Ответ: $-4,7$

в)

Представим выражение в виде алгебраической суммы, заменив вычитание сложением с противоположным числом.

$3,9 - 8,4 = 3,9 + (-8,4)$

Складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа больше, значит, результат будет отрицательным.

$3,9 + (-8,4) = -(8,4 - 3,9) = -4,5$

Ответ: $-4,5$

г)

Выражение уже представлено в виде алгебраической суммы. Складываем числа с разными знаками. Модуль положительного числа больше, значит, результат будет положительным.

$-2,9 + 7,3 = 7,3 - 2,9 = 4,4$

Ответ: $4,4$

д)

Представим выражение в виде алгебраической суммы. Вычесть отрицательное число — то же самое, что прибавить противоположное ему положительное число.

$10,2 - (-3,5) = 10,2 + 3,5 = 13,7$

Ответ: $13,7$

е)

Представим выражение в виде алгебраической суммы.

$-7,6 - (-4,8) = -7,6 + 4,8$

Складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа больше, значит, результат будет отрицательным.

$-7,6 + 4,8 = -(7,6 - 4,8) = -2,8$

Ответ: $-2,8$

ж)

Представим выражение в виде алгебраической суммы.

$-\frac{5}{12} - (-\frac{7}{12}) = -\frac{5}{12} + \frac{7}{12}$

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

з)

Выражение уже представлено в виде алгебраической суммы. Складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$-\frac{11}{18} + \frac{5}{18} = \frac{-11 + 5}{18} = \frac{-6}{18} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $-\frac{1}{3}$

и)

Представим выражение в виде алгебраической суммы.

$\frac{11}{24} - (-\frac{17}{24}) = \frac{11}{24} + \frac{17}{24}$

Складываем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{11 + 17}{24} = \frac{28}{24} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

Ответ: $1\frac{1}{6}$

к)

Выражение уже представлено в виде алгебраической суммы. Складываем числа с разными знаками. Модуль отрицательного числа больше.

$-3\frac{5}{14} + 1\frac{4}{14} = -(3\frac{5}{14} - 1\frac{4}{14})$

Вычитаем целые и дробные части по отдельности.

$-( (3-1) + (\frac{5}{14} - \frac{4}{14}) ) = -(2 + \frac{1}{14}) = -2\frac{1}{14}$

Ответ: $-2\frac{1}{14}$

л)

Представим выражение в виде алгебраической суммы.

$-4\frac{2}{7} - 3\frac{4}{7} = -4\frac{2}{7} + (-3\frac{4}{7})$

Складываем два отрицательных числа. Для этого складываем их модули и ставим знак минус.

$-(4\frac{2}{7} + 3\frac{4}{7}) = -((4+3) + (\frac{2}{7} + \frac{4}{7})) = -(7 + \frac{6}{7}) = -7\frac{6}{7}$

Ответ: $-7\frac{6}{7}$

м)

Выражение уже представлено в виде алгебраической суммы. Складываем два отрицательных числа.

$-2\frac{3}{8} + (-1\frac{5}{8}) = -(2\frac{3}{8} + 1\frac{5}{8})$

Складываем целые и дробные части.

$-( (2+1) + (\frac{3}{8} + \frac{5}{8}) ) = -(3 + \frac{8}{8}) = -(3+1) = -4$

Ответ: $-4$

Какой способ вычислений ты находишь более удобным?

Представление выражений в виде алгебраической суммы является более универсальным и систематическим подходом. Этот метод сводит операцию вычитания к операции сложения, что помогает избежать путаницы со знаками, особенно в выражениях с несколькими действиями. Когда все выражение представлено как сумма, можно свободно применять переместительный и сочетательный законы сложения, чтобы группировать слагаемые удобным образом (например, сначала сложить все положительные числа, а затем все отрицательные, или наоборот). Поэтому способ вычислений через представление в виде алгебраической суммы можно считать более удобным и надежным, так как он основан на меньшем количестве правил и позволяет гибко подходить к процессу вычисления.

477 Выполни предыдущее задание, представляя выражения в виде алгебраической суммы. Какой способ вычислений ты находишь более удобным?

478 Вычисли:

а) $34 - (-6);$

Д) $-0,7 - 0,7;$

И) $2,5 - 4,1;$

Н) $0 - 2,96;$

б) $5 - 32;$

е) $\frac{3}{8} - (-\frac{1}{4});$

к) $-\frac{3}{4} - (-\frac{5}{6});$

о) $-4\frac{3}{7} - (-4\frac{3}{7});$

в) $-12 - 9;$

ж) $-5 - (-0,2);$

л) $1,6 - (-1,6);$

п) $-7,24 - 0;$

г) $-28 - (-4);$

з) $\frac{7}{12} - \frac{8}{9};$

м) $-\frac{2}{15} - \frac{1}{3};$

р) $3,8 - 3\frac{4}{5}.$

а) Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с противоположным ему положительным числом. Таким образом, выражение $34 - (-6)$ превращается в $34 + 6$.
$34 - (-6) = 34 + 6 = 40$.
Ответ: 40

б) Вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным. Модуль разности равен $32 - 5 = 27$.
$5 - 32 = -27$.
Ответ: -27

в) Вычитание положительного числа из отрицательного аналогично сложению двух отрицательных чисел. Мы складываем их модули и ставим знак минус перед результатом.
$-12 - 9 = -(12 + 9) = -21$.
Ответ: -21

г) Вычитание отрицательного числа заменяется сложением с противоположным ему положительным числом.
$-28 - (-4) = -28 + 4 = -24$.
Ответ: -24

д) Сложение двух отрицательных чисел: складываем их модули и ставим знак минус.
$-0,7 - 0,7 = -(0,7 + 0,7) = -1,4$.
Ответ: -1,4

е) Вычитание отрицательной дроби заменяется сложением с положительной. Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 4 - это 8.
$\frac{3}{8} - (-\frac{1}{4}) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{3+2}{8} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$

ж) Вычитание отрицательного числа заменяется сложением с положительным.
$-5 - (-0,2) = -5 + 0,2 = -4,8$.
Ответ: -4,8

з) Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 9 - это 36.
$\frac{7}{12} - \frac{8}{9} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{21}{36} - \frac{32}{36} = \frac{21 - 32}{36} = -\frac{11}{36}$.
Ответ: $-\frac{11}{36}$

и) Вычитаем из меньшего числа большее, результат будет отрицательным.
$2,5 - 4,1 = -(4,1 - 2,5) = -1,6$.
Ответ: -1,6

к) Вычитание отрицательной дроби заменяется сложением. Приводим дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 - это 12.
$-\frac{3}{4} - (-\frac{5}{6}) = -\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = -\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = -\frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{10 - 9}{12} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$

л) Вычитание отрицательного числа заменяется сложением с положительным.
$1,6 - (-1,6) = 1,6 + 1,6 = 3,2$.
Ответ: 3,2

м) Сложение двух отрицательных дробей. Приводим их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 3 - это 15.
$-\frac{2}{15} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{15} - \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = -\frac{2}{15} - \frac{5}{15} = \frac{-2-5}{15} = -\frac{7}{15}$.
Ответ: $-\frac{7}{15}$

н) Вычитание числа из нуля дает противоположное число.
$0 - 2,96 = -2,96$.
Ответ: -2,96

о) Вычитание числа из самого себя. Результат всегда равен нулю.
$-4\frac{3}{7} - (-4\frac{3}{7}) = -4\frac{3}{7} + 4\frac{3}{7} = 0$.
Ответ: 0

п) Вычитание нуля из любого числа не изменяет это число.
$-7,24 - 0 = -7,24$.
Ответ: -7,24

р) Для решения преобразуем смешанное число в десятичную дробь. Дробь $\frac{4}{5}$ равна $\frac{8}{10}$, то есть 0,8. Таким образом, $3\frac{4}{5} = 3,8$.
$3,8 - 3\frac{4}{5} = 3,8 - 3,8 = 0$.
Ответ: 0

478 Вычисли:

а) $34 - (-6);$

б) $5 - 32;$

в) $-12 - 9;$

г) $-28 - (-4);$

д) $-0,7 - 0,7;$

е) $\frac{3}{8} - (-\frac{1}{4});$

ж) $-5 - (-0,2);$

з) $\frac{7}{12} - \frac{8}{9};$

и) $2,5 - 4,1;$

к) $-\frac{3}{4} - (-\frac{5}{6});$

л) $1,6 - (-1,6);$

м) $-\frac{2}{15} - \frac{1}{3};$

н) $0 - 2,96;$

о) $-\frac{4}{7} - (-4\frac{3}{7});$

п) $-7,24 - 0;$

р) $3,8 - 3\frac{4}{5}.$

479 Найди значения выражений, расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Как ты думаешь, что обозначает получившийся математический термин?

Н $(-12) + (-6) - (-3)$

О $(+7) - (+4) + (-14)$

И $(-5) - (-15) - (+8)$

Н $(+1) - (+2) + (-3) - (-4)$

О $(-4) + (-8) - (-7) - (+9)$

Р $(+3) + (-10) - (+6) - (-7)$

Г $(+6) - (+9) + (-2) - (-4) - (+11)$

Н $(-8) - (+1) - (-14) - 0 + (-7)$

А $(+24) + (-2) - (-3) - (+24) + (-5)$

Г $(-4) - (+7) + (-16) - (-16) - (+1) - (-4)$

К $(+2) - (-5) + (-12) - (+2) - (-12) + (+5)$

М $(-9) + (+1) - (+18) - (-9) + (-1) + (-18)$

Сначала найдем значение каждого выражения:

Н: $(-12) + (-6) - (-3)$
$(-12) + (-6) - (-3) = -12 - 6 + 3 = -18 + 3 = -15$
Ответ: -15

О: $(+7) - (+4) + (-14)$
$(+7) - (+4) + (-14) = 7 - 4 - 14 = 3 - 14 = -11$
Ответ: -11

И: $(-5) - (-15) - (+8)$
$(-5) - (-15) - (+8) = -5 + 15 - 8 = 10 - 8 = 2$
Ответ: 2

Н: $(+1) - (+2) + (-3) - (-4)$
$(+1) - (+2) + (-3) - (-4) = 1 - 2 - 3 + 4 = -1 - 3 + 4 = -4 + 4 = 0$
Ответ: 0

О: $(-4) + (-8) - (-7) - (+9)$
$(-4) + (-8) - (-7) - (+9) = -4 - 8 + 7 - 9 = -12 + 7 - 9 = -5 - 9 = -14$
Ответ: -14

Р: $(+3) + (-10) - (+6) - (-7)$
$(+3) + (-10) - (+6) - (-7) = 3 - 10 - 6 + 7 = -7 - 6 + 7 = -13 + 7 = -6$
Ответ: -6

Г: $(+6) - (+9) + (-2) - (-4) - (+11)$
$(+6) - (+9) + (-2) - (-4) - (+11) = 6 - 9 - 2 + 4 - 11 = -3 - 2 + 4 - 11 = -5 + 4 - 11 = -1 - 11 = -12$
Ответ: -12

Н: $(-8) - (+1) - (-14) - 0 + (-7)$
$(-8) - (+1) - (-14) - 0 + (-7) = -8 - 1 + 14 - 7 = -9 + 14 - 7 = 5 - 7 = -2$
Ответ: -2

А: $(+24) + (-2) - (-3) - (+24) + (-5)$
$(+24) + (-2) - (-3) - (+24) + (-5) = 24 - 2 + 3 - 24 - 5 = (24 - 24) - 2 + 3 - 5 = 1 - 5 = -4$
Ответ: -4

Г: $(-4) - (+7) + (-16) - (-16) - (+1) - (-4)$
$(-4) - (+7) + (-16) - (-16) - (+1) - (-4) = -4 - 7 - 16 + 16 - 1 + 4 = (-4+4) - 7 + (-16+16) - 1 = -7 - 1 = -8$
Ответ: -8

К: $(+2) - (-5) + (-12) - (+2) - (-12) + (+5)$
$(+2) - (-5) + (-12) - (+2) - (-12) + (+5) = 2 + 5 - 12 - 2 + 12 + 5 = (2-2) + (-12+12) + (5+5) = 0 + 0 + 10 = 10$
Ответ: 10

М: $(-9) + (+1) - (+18) - (-9) + (-1) + (-18)$
$(-9) + (+1) - (+18) - (-9) + (-1) + (-18) = -9 + 1 - 18 + 9 - 1 - 18 = (-9+9) + (1-1) - 18 - 18 = 0 + 0 - 36 = -36$
Ответ: -36

Теперь расположим полученные значения в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

• -36 (М)
• -15 (Н)
• -14 (О)
• -12 (Г)
• -11 (О)
• -8 (Г)
• -6 (Р)
• -4 (А)
• -2 (Н)
• 0 (Н)
• 2 (И)
• 10 (К)

Таким образом, получился математический термин: МНОГОГРАННИК.

Многогранник — это геометрическое тело в трехмерном пространстве, ограниченное конечным числом плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — рёбрами, а вершины — вершинами многогранника. Примерами многогранников являются куб, пирамида, призма.

479 Найди значения выражений, расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Как ты думаешь, что обозначает получившийся математический термин?

Н $(-12) + (-6) - (-3)$
О $(+7) - (+4) + (-14)$
И $(-5) - (-15) - (+8)$
Н $(+1) - (+2) + (-3) - (-4)$
О $(-4) + (-8) - (-7) - (+9)$
Р $(+3) + (-10) - (+6) - (-7)$
Г $(+6) - (+9) + (-2) - (-4) - (+11)$
Н $(-8) - (+1) - (-14) - 0 + (-7)$
А $(+24) + (-2) - (-3) - (+24) + (-5)$
Г $(-4) - (+7) + (-16) - (-16) - (+1) - (-4)$
К $(+2) - (-5) + (-12) - (+2) - (-12) + (+5)$
М $(-9) + (+1) - (+18) - (-9) + (-1) + (+18)$

456 По рисункам фигур изобрази их проекции. Проверь свои изображения, сложив фигуры из кубиков.

а) б) в)

Для построения проекций данной фигуры рассмотрим ее с трех стандартных направлений: спереди, сверху и сбоку (слева).

• Вид спереди: Мы видим сплошную стенку, состоящую из 3 кубиков в длину и 1 в высоту. Отверстие не видно с этого ракурса. Проекция будет представлять собой прямоугольник размером 3x1.
• Вид сверху: Мы видим квадратную раму размером 3x3 кубика с пустым пространством 1x1 в центре.
• Вид сбоку (слева): Аналогично виду спереди, мы видим сплошную стенку размером 3x1 кубик.

Ответ:

Рассмотрим проекции второй фигуры, состоящей из основания и одного кубика сверху.

• Вид спереди: Мы видим основание размером 3x1 кубик, и на центральном кубике основания стоит еще один кубик.
• Вид сверху: Мы видим прямоугольное основание размером 3x2 кубика. В центре переднего края будет виден квадрат — верхняя грань кубика, стоящего на основании.
• Вид сбоку (слева): Мы видим основание размером 2x1 кубик, и на нем по центру стоит еще один кубик.

Ответ:

Рассмотрим проекции третьей, крестообразной фигуры.

• Вид спереди: Мы видим основание, состоящее из 3 кубиков в ряд, и еще один кубик, стоящий на центральном кубике основания.
• Вид сверху: Мы видим фигуру в форме креста (или знака "плюс"), состоящую из 5 кубиков.
• Вид сбоку (слева): Проекция будет идентична виду спереди. Мы увидим основание из 3 кубиков в ряд и один кубик на центральном.

Ответ:

456. По рисункам фигур изобрази их проекции. Проверь свои изображения, сложив фигуры из кубиков.

а) б) в)

457 По данным проекциям фигуры сложи её из кубиков и нарисуй.

Вид спереди

Вид слева

Вид сверху

а) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c:c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \end{array}$

б) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c:c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \end{array}$

В) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \square & \square \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Г) Вид спереди: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид слева: $\begin{array}{|c|c|} \hline \square & \phantom{\square} \\ \text{горизонтальная пунктирная линия} \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Вид сверху: $\begin{array}{|c|c|} \hline \phantom{\square} & \square \\ \hline \square & \square \\ \hline \end{array}$

Для решения задачи необходимо по трём ортогональным проекциям (вид спереди, вид слева, вид сверху) восстановить трёхмерную фигуру, состоящую из единичных кубиков, и нарисовать её. Будем использовать систему координат, где ось X направлена вправо, ось Y — вглубь (от нас), а ось Z — вверх. Положение каждого кубика будем определять координатами его нижнего левого ближнего угла (x, y, z), где x, y, z — целые числа, начиная с 1.

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (проекция на плоскость XZ) представляет собой прямоугольник размером 2x1. Это означает, что ширина фигуры составляет 2 кубика, а максимальная высота — 1 кубик.
• Вид слева (проекция на плоскость YZ) — это прямоугольник 2x1. Это означает, что глубина фигуры составляет 2 кубика, а максимальная высота — 1 кубик.
• Вид сверху (проекция на плоскость XY) показывает расположение кубиков в основании. Это Г-образная фигура, состоящая из 3 кубиков и вписывающаяся в квадрат 2x2.

Из того, что максимальная высота фигуры равна 1, следует, что все кубики лежат на одной плоскости (z=1). Их расположение полностью определяется видом сверху. Фигура состоит из трёх кубиков в следующих координатах (x, y, z): (1, 1, 1), (2, 1, 1) и (1, 2, 1).

Примечание: Для такой фигуры вид слева должен иметь сплошную линию между двумя квадратами, так как она соответствует видимому ребру между кубиками (1, 1, 1) и (1, 2, 1). Пунктирная линия в условии, вероятно, является либо ошибкой, либо следует особому правилу черчения, которое отличает эту фигуру от фигуры в пункте в). Однако, исходя из трёх проекций, обе фигуры (а) и (в) должны быть идентичны. Мы построим фигуру согласно проекциям её формы.

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из трёх кубиков, лежащих на плоскости в форме буквы 'Г', как показано на рисунке.

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (2x1) указывает на ширину фигуры в 2 кубика.
• Вид сверху (Г-образная форма из 4 кубиков) показывает фигуру шириной 3 кубика.

Данные проекции противоречат друг другу: ширина фигуры не может быть одновременно равна 2 и 3. Вероятнее всего, в условии допущена ошибка.

Предположим, что вид спереди должен соответствовать виду сверху и быть размером 3x1. Тогда фигура имеет высоту в 1 кубик и состоит из 4 кубиков, расположенных в основании следующим образом: (1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 1, 1) и (1, 2, 1).

Изображение фигуры (согласно исправленному условию):

Ответ: Условие задачи содержит противоречие. Если предположить, что вид спереди должен иметь размер 3x1, то фигура состоит из четырёх кубиков, образующих Г-образное основание, как на рисунке.

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (2x1) → ширина 2, макс. высота 1.
• Вид слева (2x1) → глубина 2, макс. высота 1.
• Вид сверху (Г-форма из 3 кубиков) → расположение в основании.

Все проекции согласуются между собой. Высота фигуры равна 1 кубику. Расположение кубиков в основании определяется видом сверху. Фигура состоит из трёх кубиков в координатах (x, y, z): (1, 1, 1), (2, 1, 1) и (1, 2, 1). Вид слева для такой фигуры действительно будет прямоугольником 2x1 со сплошной линией, разделяющей проекции кубиков (1,1,1) и (1,2,1).

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из трёх кубиков, лежащих на плоскости в форме буквы 'Г', как показано на рисунке. Эта фигура идентична фигуре из пункта а).

Проанализируем данные проекции:

• Вид спереди (Г-форма) показывает, что в столбике x=1 высота равна 2 кубикам, а в столбике x=2 — 1 кубику.
• Вид сверху (Г-форма) показывает расположение кубиков в основании: есть кубики в позициях (1,1), (1,2) и (2,1).
• Вид слева (Г-форма) показывает, что в ряду y=1 высота равна 2 кубикам, а в ряду y=2 — 1 кубику.

Совместим информацию о высотах $h(x,y)$ для каждой клетки основания:

• Из вида спереди: $\max(h(1,1), h(1,2)) = 2$; $h(2,1) = 1$.
• Из вида слева: $\max(h(1,1), h(2,1)) = 2$; $h(1,2) = 1$.

Из $h(1,2)=1$ и $\max(h(1,1), h(1,2))=2$ следует, что $h(1,1)=2$. Это не противоречит остальным условиям: $\max(h(1,1), h(2,1)) = \max(2, 1) = 2$. Таким образом, высоты кубиков в основании: $h(1,1)=2$, $h(1,2)=1$, $h(2,1)=1$. Фигура состоит из 4 кубиков: стопка из двух кубиков в позиции (1,1) и по одному кубику в позициях (1,2) и (2,1).

Изображение фигуры:

Ответ: Фигура состоит из четырёх кубиков. В основании лежит Г-образная фигура из трёх кубиков, причём на одном из них (в углу) стоит второй кубик, как показано на рисунке.

457 По данным проекциям фигуры сложи ее из кубиков и нарисуй.

Вид спереди

Вид слева

Вид сверху

а) б) в) г)

π 458 Закончи предложения так, чтобы получились истинные высказывания, и запиши их на математическом языке. Что объединяет эти предложения? Подбери для них общее название.

а) Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма ...

б) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое — не делится на это число, то их сумма ...

в) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то их произведение ...

г) Если первое число делится на второе число, а второе число делится на третье, то ...

а) Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма тоже делится на это число.
На математическом языке: если числа $a$ и $b$ делятся на число $c$, то их сумма $(a+b)$ также делится на $c$.
Формулой: если $a \vdots c$ и $b \vdots c$, то $(a+b) \vdots c$.
Пример: 10 делится на 5, и 15 делится на 5. Их сумма 10 + 15 = 25 тоже делится на 5.
Ответ: тоже делится на это число.

б) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое - не делится на это число, то их сумма не делится на это число.
На математическом языке: если число $a$ делится на число $c$, а число $b$ не делится на число $c$, то их сумма $(a+b)$ не делится на $c$.
Формулой: если $a \vdots c$ и $b \not\vdots c$, то $(a+b) \not\vdots c$.
Пример: 10 делится на 5, а 12 не делится на 5. Их сумма 10 + 12 = 22 не делится на 5.
Ответ: не делится на это число.

в) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то их произведение делится на это число.
На математическом языке: если хотя бы один из множителей ($a$ или $b$) делится на число $c$, то и произведение $(a \cdot b)$ делится на $c$.
Формулой: если $a \vdots c$, то $(a \cdot b) \vdots c$ для любого целого $b$.
Пример: 10 делится на 5. Произведение 10 и 7, равное 70, тоже делится на 5.
Ответ: делится на это число.

г) Если первое число делится на второе число, а второе число делится на третье, то первое число делится на третье.
На математическом языке: если число $a$ делится на число $b$, а число $b$ делится на число $c$, то число $a$ делится на число $c$.
Формулой: если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$.
Пример: 36 делится на 12, а 12 делится на 4. Значит, 36 тоже делится на 4.
Ответ: первое число делится на третье.

Все эти предложения объединяет то, что они описывают основные правила, связанные с отношением делимости целых чисел. Они устанавливают, как делимость ведёт себя при выполнении арифметических операций (сложение, умножение) и как отношение (транзитивность).

Общее название для этих утверждений — свойства делимости.

458 Закончи предложения так, чтобы получились истинные высказывания, и запиши их на математическом языке. Что объединяет эти предложения? Подбери для них общее название.

a) Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма ...

б) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое – не делится на это число, то их сумма ...

в) Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то их произведение ...

г) Если первое число делится на второе число, а второе число делится на третье, то ...

459 Сформулируй признаки делимости на $10, 2, 5, 3, 9$, используя обороты: «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Какие два логических следования в них содержатся? Почему для их названия используется слово «признаки»?

Признаки делимости можно сформулировать следующим образом:

• Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0.

  Ответ: Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0.

• Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась четной цифрой (0, 2, 4, 6 или 8).

  Ответ: Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась четной цифрой.

• Натуральное число делится на 5, если и только если его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

  Ответ: Натуральное число делится на 5, если и только если его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5.

• Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

  Ответ: Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

• Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

  Ответ: Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Какие два логических следования в них содержатся?

Обороты «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно» выражают логическую равносильность (эквивалентность) двух утверждений. Такая равносильность всегда включает в себя два логических следования (импликации): прямое и обратное.

Рассмотрим на примере признака делимости на 10. Пусть утверждение А — «натуральное число делится на 10», а утверждение В — «десятичная запись этого числа оканчивается на 0».

1. Прямое следование (достаточность): «Если запись числа оканчивается на 0, то оно делится на 10». Это можно записать как $B \Rightarrow A$. Наличие признака В является достаточным условием для свойства А.

2. Обратное следование (необходимость): «Если число делится на 10, то его запись оканчивается на 0». Это можно записать как $A \Rightarrow B$. Наличие признака В является необходимым условием для свойства А. Без него свойство А невозможно.

Ответ: В этих формулировках содержатся два логических следования: прямое (если выполняется условие, то число обладает свойством делимости) и обратное (если число обладает свойством делимости, то для него выполняется это условие).

Почему для их названия используется слово «признаки»?

Слово «признак» используется потому, что это легко проверяемая особенность числа (например, его последняя цифра или сумма цифр), по которой можно однозначно распознать наличие другого, более сложного для прямой проверки свойства (делимости на другое число).

Вместо того чтобы выполнять операцию деления, которая может быть трудоемкой для больших чисел, мы проверяем простой «признак». Если признак есть, то и свойство делимости есть, и наоборот. Таким образом, признак — это своего рода «индикатор» или «сигнал», который указывает на наличие основного свойства.

Ответ: Слово «признаки» используется потому, что это простые, легко проверяемые свойства, которые позволяют однозначно определить наличие более сложного свойства (делимости), не выполняя саму операцию деления.

459 Сформулируй признаки делимости на 10, 2, 5, 3, 9, используя обороты: «если и только если», «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно». Какие два логические следования в них содержатся? Почему для их названия используется слово «признаки»?