Страница 111, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

502 Раскрой скобки и найди значение полученной алгебраической суммы:

а) $-0,8 - (1,6 - 9,2) + (-3,6 + 7,4 - 9,2);$

б) $0,3 - (8,04 - 0 + 5,306 - 0,09) + 0 - (-5,36 + 1,004 - 8).$

а) $-0,8 - (1,6 - 9,2) + (-3,6 + 7,4 - 9,2)$
Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные. Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых в скобках сохраняются.
$-0,8 - 1,6 + 9,2 - 3,6 + 7,4 - 9,2$
Теперь сгруппируем слагаемые для удобства вычисления. Заметим, что слагаемые $9,2$ и $-9,2$ являются противоположными числами, и их сумма равна нулю.
$(-0,8 - 1,6 - 3,6) + (9,2 - 9,2) + 7,4 = -6,0 + 0 + 7,4 = 1,4$
Ответ: $1,4$

б) $0,3 - (8,04 - 0 + 5,306 - 0,09) + 0 - (-5,36 + 1,004 - 8)$
Упростим выражение, убрав слагаемые, равные нулю.
$0,3 - (8,04 + 5,306 - 0,09) - (-5,36 + 1,004 - 8)$
Теперь раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак «-», все знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$0,3 - 8,04 - 5,306 + 0,09 + 5,36 - 1,004 + 8$
Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые и вычислим их суммы по отдельности.
Сумма положительных слагаемых: $0,3 + 0,09 + 5,36 + 8 = 13,75$
Сумма отрицательных слагаемых: $-8,04 - 5,306 - 1,004 = -(8,04 + 5,306 + 1,004) = -14,35$
Теперь сложим полученные результаты:
$13,75 + (-14,35) = 13,75 - 14,35 = -0,6$
Ответ: $-0,6$

502 Раскрой скобки и найди значение полученной алгебраической суммы:

а) $ -0.8 - (1.6 - 9.2) + (-3.6 + 7.4 - 9.2); $

б) $ 0.3 - (8.04 - 0 + 5.306 - 0.09) + 0 - (-5.36 + 1.004 - 8). $

503. На координатной прямой отмечены четыре точки $M(-0.7)$, $N(-5.2)$, $P(1.5)$ и $Q(-3.4)$. Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

На координатной прямой даны четыре точки с их координатами: $M(-0,7)$, $N(-5,2)$, $P(1,5)$ и $Q(-3,4)$.

Сколько получилось отрезков?

Отрезок образуется соединением двух любых точек. Чтобы найти общее количество отрезков, нужно подсчитать все возможные уникальные пары точек. Из четырех точек можно составить следующие пары: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

Всего получается 6 пар, следовательно, 6 отрезков.

Ответ: 6 отрезков.

Назови их.

Отрезки, которые можно построить, соединяя данные точки попарно: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

Ответ: MN, MP, MQ, NP, NQ, PQ.

Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

Длина отрезка на координатной прямой вычисляется как модуль разности координат его концов. Рассчитаем длины для каждого из шести отрезков:

• Длина отрезка MN: $|-0,7 - (-5,2)| = |-0,7 + 5,2| = |4,5| = 4,5$
• Длина отрезка MP: $|-0,7 - 1,5| = |-2,2| = 2,2$
• Длина отрезка MQ: $|-0,7 - (-3,4)| = |-0,7 + 3,4| = |2,7| = 2,7$
• Длина отрезка NP: $|-5,2 - 1,5| = |-6,7| = 6,7$
• Длина отрезка NQ: $|-5,2 - (-3,4)| = |-5,2 + 3,4| = |-1,8| = 1,8$
• Длина отрезка PQ: $|1,5 - (-3,4)| = |1,5 + 3,4| = |4,9| = 4,9$

Сравнив полученные длины (4,5; 2,2; 2,7; 6,7; 1,8; 4,9), находим, что:

• Наибольшая длина у отрезка NP, она равна 6,7.
• Наименьшая длина у отрезка NQ, она равна 1,8.

Ответ: длина наибольшего отрезка равна 6,7, а наименьшего — 1,8.

503 На координатной прямой отмечены четыре точки $M(-0,7)$, $N(-5,2)$, $P(1,5)$ и $Q(-3,4)$. Сколько получилось отрезков? Назови их. Найди длину наибольшего и наименьшего из этих отрезков.

504 Реши уравнения:

а) $|x|=9;$

б) $|y-3|=5;$

в) $|z+1|=4;$

г) $|a+2|=0.$

а) Дано уравнение $|x| = 9$.

По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 9$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 9. Таких чисел два: 9 и -9.

Следовательно, уравнение имеет два корня:

$x_1 = 9$

$x_2 = -9$

Ответ: $-9; 9$.

б) Дано уравнение $|y - 3| = 5$.

Это уравнение означает, что выражение под знаком модуля, $y - 3$, должно быть равно 5 или -5. Рассмотрим оба случая.

1) Если $y - 3 = 5$:

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$y = 5 + 3$

$y_1 = 8$

2) Если $y - 3 = -5$:

Прибавим 3 к обеим частям уравнения:

$y = -5 + 3$

$y_2 = -2$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-2; 8$.

в) Дано уравнение $|z + 1| = 4$.

Выражение под знаком модуля, $z + 1$, может быть равно 4 или -4. Рассмотрим оба этих варианта.

1) Если $z + 1 = 4$:

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$z = 4 - 1$

$z_1 = 3$

2) Если $z + 1 = -4$:

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$z = -4 - 1$

$z_2 = -5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $-5; 3$.

г) Дано уравнение $|a + 2| = 0$.

Модуль числа равен нулю только в том случае, если само число равно нулю. Поэтому выражение, стоящее под знаком модуля, должно быть равно нулю.

$a + 2 = 0$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$a = -2$

Это уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $-2$.

504 Реши уравнения:

а) $ |x|=9; $

б) $ |y-3|=5; $

в) $ |z+1|=4; $

г) $ |a+2|=0. $

505 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение.

Задуманное число уменьшили в 3 раза, результат вычли из 40, то, что получилось, увеличили в 5 раз, потом уменьшили на 50 и получили 90. Какое число задумали?

$(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5 - 50 = 90$

Для того чтобы перевести условие задачи на математический язык, обозначим задуманное число переменной $x$. Затем последовательно запишем все действия, описанные в задаче, в виде математических выражений.

1. "Задуманное число уменьшили в 3 раза" — это означает деление числа на 3: $\frac{x}{3}$.

2. "результат вычли из 40" — это означает, что из 40 вычитается полученное выражение: $40 - \frac{x}{3}$.

3. "то, что получилось, увеличили в 5 раз" — это означает умножение всей разности на 5 (для этого используем скобки): $(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5$.

4. "потом уменьшили на 50" — из предыдущего результата вычитаем 50: $(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5 - 50$.

5. "и получили 90" — итоговое выражение равно 90.

Таким образом, мы составили уравнение:

$(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5 - 50 = 90$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Сначала перенесем -50 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5 = 90 + 50$

$(40 - \frac{x}{3}) \cdot 5 = 140$

Теперь разделим обе части уравнения на 5:

$40 - \frac{x}{3} = \frac{140}{5}$

$40 - \frac{x}{3} = 28$

Далее, перенесем 40 в правую часть, чтобы изолировать слагаемое с $x$:

$-\frac{x}{3} = 28 - 40$

$-\frac{x}{3} = -12$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от знаков "минус":

$\frac{x}{3} = 12$

Наконец, умножим обе части на 3, чтобы найти значение $x$:

$x = 12 \cdot 3$

$x = 36$

Таким образом, задуманное число — 36.

Ответ: 36.

505 Переведи условие задачи на математический язык и реши уравнение:

Задуманное число уменьшили в 3 раза, результат вычли из 40, то, что получилось, увеличили в 5 раз, потом уменьшили на 50 и получили 90. Какое число задумали?

$5 \cdot (40 - \frac{x}{3}) - 50 = 90$

506. Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом проб и ошибок.

Одно из двух положительных чисел на 0,5 больше другого, а их произведение равно 0,14. Найти эти числа.

Перевод на математический язык:

Пусть одно число равно $x$, а другое — $y$.

Тогда система уравнений выглядит так:

$x - y = 0.5$

$x \cdot y = 0.14$

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть меньшее из двух положительных чисел равно $x$. Согласно условию, другое число на 0,5 больше, следовательно, оно равно $(x + 0.5)$. Оба числа положительные, значит $x > 0$.

Произведение этих чисел равно 0,14. Составим уравнение, отражающее это условие: $x \cdot (x + 0.5) = 0.14$.

Для приведения к стандартному виду раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 0.5x - 0.14 = 0$.

Это уравнение является математической записью условия задачи.

Ответ: $x \cdot (x + 0.5) = 0.14$.

Решение задачи методом проб и ошибок

Нам необходимо найти такое положительное значение $x$, при котором произведение $x \cdot (x + 0.5)$ будет равно 0,14. Будем подбирать возможные значения $x$.

• Проба 1: Возьмем $x = 0.1$. Тогда второе число будет $0.1 + 0.5 = 0.6$. Их произведение: $0.1 \cdot 0.6 = 0.06$. Полученное значение $0.06$ меньше, чем $0.14$. Это значит, что $x$ должен быть больше $0.1$.
• Проба 2: Возьмем значение побольше, например, $x = 0.3$. Тогда второе число будет $0.3 + 0.5 = 0.8$. Их произведение: $0.3 \cdot 0.8 = 0.24$. Полученное значение $0.24$ больше, чем $0.14$. Это значит, что $x$ должен быть меньше $0.3$.
• Проба 3: Попробуем значение $x$, находящееся между 0,1 и 0,3. Возьмем $x = 0.2$. Тогда второе число будет $0.2 + 0.5 = 0.7$. Их произведение: $0.2 \cdot 0.7 = 0.14$. Это значение в точности соответствует условию задачи.

Таким образом, искомые числа — это 0,2 и 0,7.

Ответ: 0,2 и 0,7.

506 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом проб и ошибок:

Одно из двух положительных чисел на 0,5 больше другого, а их произведение равно 0,14. Найти эти числа.

507 Переведи условие задачи на математический язык и реши её методом перебора.

Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа.

Какое это число?

Перевод условия задачи на математический язык

Пусть искомое двузначное число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Тогда его можно представить в виде $10a + b$. Поскольку число двузначное, цифра десятков $a$ может быть от 1 до 9 ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а цифра единиц $b$ — от 0 до 9 ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$).

Если поменять цифры местами, то получится новое число, у которого $b$ десятков и $a$ единиц. Его можно представить в виде $10b + a$. В условии сказано, что полученное число также является двузначным, следовательно, цифра десятков $b$ не может быть нулем, то есть $b \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Согласно условию, если полученное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа. Запишем это в виде уравнения:
$2 \cdot (10b + a) = (10a + b) - 34$

Упростим это уравнение:
$20b + 2a = 10a + b - 34$
$20b - b = 10a - 2a - 34$
$19b = 8a - 34$
Или, выразив $8a$:
$8a = 19b + 34$

Решение методом перебора

Теперь нам нужно найти такие целые значения $a$ и $b$ (где $a, b \in \{1, 2, ..., 9\}$), которые удовлетворяют уравнению $8a = 19b + 34$. Будем перебирать возможные значения $b$ от 1 до 9.

Можно заметить, что левая часть уравнения, $8a$, всегда является четным числом. Правая часть, $19b + 34$, также должна быть четной. Поскольку 34 — четное число, слагаемое $19b$ тоже должно быть четным. Это возможно только если $b$ — четное число. Значит, нам достаточно проверить только $b \in \{2, 4, 6, 8\}$.

• При $b = 2$:
  $8a = 19 \cdot 2 + 34 = 38 + 34 = 72$
  $a = 72 \div 8 = 9$.
  Значение $a = 9$ является цифрой от 1 до 9, поэтому это решение нам подходит.
  Искомое число: $10a + b = 10 \cdot 9 + 2 = 92$.
• При $b = 4$:
  $8a = 19 \cdot 4 + 34 = 76 + 34 = 110$
  $a = 110 \div 8 = 13.75$. Это не целое число, решение не подходит.
• При $b = 6$:
  $8a = 19 \cdot 6 + 34 = 114 + 34 = 148$
  $a = 148 \div 8 = 18.5$. Это не целое число, решение не подходит.
• При $b = 8$:
  $8a = 19 \cdot 8 + 34 = 152 + 34 = 186$
  $a = 186 \div 8 = 23.25$. Это не целое число, решение не подходит.

Единственная пара цифр, удовлетворяющая условию, — это $a = 9$ и $b = 2$.
Проверим найденное решение. Исходное число — 92. Число с переставленными цифрами — 29.
$2 \cdot 29 = 58$.
$92 - 58 = 34$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 92.

507 Переведи условие задачи на математический язык и реши ее методом перебора:

Если цифры двузначного числа поменять местами и полученное двузначное число умножить на 2, то результат окажется на 34 меньше исходного числа.

Какое это число?

508 Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:

а) $(5.219 - 1\frac{4}{7}) - (\frac{3}{7} - 1.781);$

б)* $-(1.08 + 3\frac{5}{9}) - (1\frac{4}{9} - 5.8).$

а)

Исходное выражение: $(5,219 - 1\frac{4}{7}) - (\frac{3}{7} - 1,781)$.

Сначала раскроем скобки. Перед первой скобкой знака нет, что означает знак плюс, поэтому знаки слагаемых в ней не меняются. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри второй скобки меняются на противоположные:

$(5,219 - 1\frac{4}{7}) - (\frac{3}{7} - 1,781) = 5,219 - 1\frac{4}{7} - \frac{3}{7} + 1,781$.

Для удобства вычислений сгруппируем десятичные дроби и обыкновенные дроби:

$(5,219 + 1,781) + (-1\frac{4}{7} - \frac{3}{7})$.

Выполним вычисления в каждой группе:

1) Сложим десятичные дроби:

$5,219 + 1,781 = 7$.

2) Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$-1\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = -(1\frac{4}{7} + \frac{3}{7}) = -(1 + \frac{4+3}{7}) = -(1 + \frac{7}{7}) = -(1+1) = -2$.

3) Сложим полученные результаты:

$7 + (-2) = 7 - 2 = 5$.

Ответ: 5

б)

Исходное выражение: $-(1,08 + 3\frac{5}{9}) - (1\frac{4}{9} - 5,8)$.

Раскроем скобки. Так как перед обеими скобками стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$-(1,08 + 3\frac{5}{9}) - (1\frac{4}{9} - 5,8) = -1,08 - 3\frac{5}{9} - 1\frac{4}{9} + 5,8$.

Сгруппируем десятичные дроби вместе и смешанные числа вместе:

$(5,8 - 1,08) + (-3\frac{5}{9} - 1\frac{4}{9})$.

Выполним вычисления в каждой группе:

1) Вычтем десятичные дроби:

$5,8 - 1,08 = 4,72$.

2) Сложим смешанные числа:

$-3\frac{5}{9} - 1\frac{4}{9} = -(3\frac{5}{9} + 1\frac{4}{9}) = -((3+1) + (\frac{5}{9} + \frac{4}{9})) = -(4 + \frac{9}{9}) = -(4+1) = -5$.

3) Сложим полученные результаты:

$4,72 + (-5) = 4,72 - 5 = -0,28$.

Ответ: -0,28

508 Раскрой скобки и вычисли наиболее удобным способом:

a) $ (5,219 - 1 \frac{4}{7}) - (\frac{3}{7} - 1,781); $

б) $ - (1,08 + 3 \frac{5}{9}) - (1 \frac{4}{9} - 5,8). $

C 509 Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину от того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?

Обозначим весь путь, который должен был проехать пассажир, за $S$.

Согласно условию, пассажир начал смотреть в окно, когда проехал половину пути. Это значит, что первая часть пути, которую он проехал не глядя в окно, равна $S/2$.

Пусть $x$ — это расстояние, которое пассажир проехал, смотря в окно.

Пассажир смотрел в окно до тех пор, пока не осталось проехать половину от того пути, что он проехал, смотря в окно. Это означает, что оставшаяся часть пути равна $x/2$.

Весь путь $S$ можно представить как сумму трех частей:
(путь, пройденный до окна) + (путь, смотря в окно) + (оставшийся путь).

Составим уравнение, приравняв сумму этих частей ко всему пути $S$:
$S/2 + x + x/2 = S$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$ как часть от $S$.
Перенесем $S/2$ в правую часть:
$x + x/2 = S - S/2$
Приведем подобные слагаемые:
$3x/2 = S/2$
Умножим обе части уравнения на 2:
$3x = S$
Отсюда выразим $x$:
$x = S/3$

Это означает, что расстояние, которое пассажир смотрел в окно ($x$), составляет одну треть от всего пути ($S$). Вопрос задачи — какую часть всего пути пассажир смотрел в окно. Эта часть равна $x/S$.
$x/S = (S/3)/S = 1/3$.

Ответ: $1/3$

C 509 Когда пассажир проехал половину пути, он стал смотреть в окно и смотрел до тех пор, пока не осталось проехать половину от того пути, что он проехал, смотря в окно. Какую часть всего пути пассажир смотрел в окно?

510 В бассейне с горизонтальным дном площадью 0,5 га содержится 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?

Чтобы ответить на вопрос, можно ли проводить соревнования по плаванию в этом бассейне, необходимо сначала определить глубину воды в нём. Глубину ($h$) можно вычислить, зная объём воды ($V$) и площадь горизонтального дна бассейна ($S$) по формуле объёма: $V = S \cdot h$. Отсюда, $h = \frac{V}{S}$.

Для проведения расчётов необходимо привести все исходные данные к единой системе измерений (СИ).

Перевод площади в квадратные метры ($м^2$)
Площадь дна дана в гектарах. Известно, что 1 гектар (га) равен $10 \ 000$ квадратных метров ($м^2$).
$S = 0,5 \text{ га} = 0,5 \times 10 \ 000 \text{ м}^2 = 5 \ 000 \text{ м}^2$.

Перевод объёма в кубические метры ($м^3$)
Объём воды дан в литрах. Известно, что 1 кубический метр ($м^3$) равен $1 \ 000$ литров (л).
$V = 1 \ 000 \ 000 \text{ л} = \frac{1 \ 000 \ 000}{1000} \text{ м}^3 = 1 \ 000 \text{ м}^3$.

Расчёт глубины бассейна
Теперь, когда все величины выражены в единицах СИ, мы можем рассчитать глубину воды:
$h = \frac{V}{S} = \frac{1 \ 000 \text{ м}^3}{5 \ 000 \text{ м}^2} = \frac{1}{5} \text{ м} = 0,2 \text{ м}$.

Таким образом, глубина воды в бассейне составляет 0,2 метра, что равно 20 сантиметрам.

Согласно правилам Международной федерации плавания (FINA), минимальная глубина для проведения соревнований составляет 1,35 метра. Глубина в 20 сантиметров (примерно по щиколотку взрослому человеку) абсолютно недостаточна не только для проведения соревнований, но и для обычного плавания.

Ответ: нет, в этом бассейне нельзя проводить соревнования по плаванию, так как его глубина составляет всего 20 см.

510 В бассейне с горизонтальным дном площадью 0,5 га содержится 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?

511* Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{6}$ и $\frac{9}{20}$ своего задания, а второй за эти же дни — $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{11}$ и $\frac{3}{7}$ своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?

Пусть первый токарь получил задание изготовить $x$ деталей, а второй — $y$ деталей. По условию задачи, общее число деталей меньше 1000, следовательно, $x + y < 1000$. Поскольку речь идет о количестве деталей, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами, а количество деталей, изготовленных за каждый день, должно быть целым числом.

1. Найдем общее количество деталей для первого токаря ($x$).

• В первый день он изготовил $\frac{1}{7}$ своего задания, значит, $\frac{1}{7}x$ — целое число. Это означает, что $x$ делится на 7.
• Во второй день он изготовил $\frac{1}{6}$ своего задания, значит, $\frac{1}{6}x$ — целое число. Это означает, что $x$ делится на 6.
• В третий день он изготовил $\frac{9}{20}$ своего задания, значит, $\frac{9}{20}x$ — целое число. Поскольку числа 9 и 20 взаимно простые (не имеют общих делителей кроме 1), $x$ должен делиться на 20.

Таким образом, $x$ должен быть общим кратным для чисел 6, 7 и 20. Чтобы найти наименьшее возможное значение $x$, найдем их наименьшее общее кратное (НОК):
$НОК(6, 7, 20) = НОК(2 \cdot 3, 7, 2^2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 420$.
Значит, $x$ должен быть кратен 420. То есть $x$ может быть равен 420, 840, 1260 и т.д.

2. Найдем общее количество деталей для второго токаря ($y$).

• В первый день он изготовил $\frac{1}{4}$ своего задания, значит, $y$ делится на 4.
• Во второй день он изготовил $\frac{3}{11}$ своего задания, значит, $\frac{3}{11}y$ — целое число. Поскольку 3 и 11 взаимно простые, $y$ должен делиться на 11.
• В третий день он изготовил $\frac{3}{7}$ своего задания, значит, $\frac{3}{7}y$ — целое число. Поскольку 3 и 7 взаимно простые, $y$ должен делиться на 7.

Таким образом, $y$ должен быть общим кратным для чисел 4, 7 и 11. Найдем их НОК:
$НОК(4, 7, 11) = НОК(2^2, 7, 11) = 2^2 \cdot 7 \cdot 11 = 4 \cdot 77 = 308$.
Значит, $y$ должен быть кратен 308. То есть $y$ может быть равен 308, 616, 924 и т.д.

3. Подберем значения $x$ и $y$ с учетом общего условия.

Мы знаем, что $x$ кратно 420, $y$ кратно 308, и $x + y < 1000$.Пусть $x = 420k$ и $y = 308m$, где $k$ и $m$ — натуральные числа.$420k + 308m < 1000$.Рассмотрим наименьшие возможные значения: $k=1$ и $m=1$.$x = 420 \cdot 1 = 420$$y = 308 \cdot 1 = 308$Проверим сумму: $420 + 308 = 728$.$728 < 1000$. Это решение удовлетворяет условию.Проверим, есть ли другие решения. Если взять $k=2$, то $x = 840$. Тогда $840 + 308m < 1000$, что дает $308m < 160$, а это невозможно для натурального $m$. Если взять $m=2$, то $y=616$. Тогда $420k + 616 < 1000$, что дает $420k < 384$, а это невозможно для натурального $k$.Следовательно, единственное решение: первый токарь должен был изготовить 420 деталей, а второй — 308 деталей.

4. Вычислим, сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день.

Первый токарь в третий день изготовил $\frac{9}{20}$ своего задания:$\frac{9}{20} \cdot 420 = 9 \cdot 21 = 189$ деталей.Второй токарь в третий день изготовил $\frac{3}{7}$ своего задания:$\frac{3}{7} \cdot 308 = 3 \cdot 44 = 132$ детали.

Ответ: в третий день первый токарь изготовил 189 деталей, а второй токарь — 132 детали.

511. Два токаря получили задание изготовить детали, общее число которых меньше 1000. За первый, второй и третий день первый токарь выполнил соответственно $ \frac{1}{7}, \frac{1}{6} \text{ и } \frac{9}{20} $ своего задания, а второй за эти же дни $ \frac{1}{4}, \frac{3}{11} \text{ и } \frac{3}{7} $ своего задания. Сколько деталей изготовил каждый токарь в третий день?