Страница 118, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

K 538 Составь блок-схему алгоритма деления рациональных чисел.

Алгоритм деления одного рационального числа на другое можно представить в виде следующей блок-схемы. Пусть нам нужно разделить рациональное число $a = \frac{p_1}{q_1}$ на рациональное число $b = \frac{p_2}{q_2}$.

Описание шагов и соответствующих им блоков схемы:

1. Начало. Блок, обозначающий начало выполнения алгоритма (обычно овал с надписью "Начало").
2. Ввод данных. Вводятся два рациональных числа: делимое $a$ и делитель $b$. (Блок ввода/вывода - параллелограмм).
3. Проверка условия. Проверяется, равен ли делитель $b$ нулю. Поскольку рациональное число равно нулю, только если его числитель равен нулю, это условие эквивалентно проверке $p_2 = 0$. (Блок условия - ромб).
4. Ветвление. Алгоритм продолжает работу по одной из двух ветвей в зависимости от результата проверки:
   • Ветка "Да" (если $b=0$). Если условие истинно, то деление невозможно. Выводится сообщение "Ошибка: деление на ноль". После этого алгоритм переходит к завершению. (Блок ввода/вывода - параллелограмм).
   • Ветка "Нет" (если $b \neq 0$). Если условие ложно, выполняется основное действие. Деление заменяется умножением на число, обратное делителю: $c = a \cdot b^{-1}$. Для дробей это выглядит так: $c = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{q_2}{p_2} = \frac{p_1 \cdot q_2}{q_1 \cdot p_2}$. (Блок процесса - прямоугольник).
5. Вывод результата. Если деление было возможно, выводится полученное значение $c$. (Блок ввода/вывода - параллелограмм).
6. Конец. Блок, обозначающий завершение работы алгоритма (овал с надписью "Конец").

Упрощенное текстовое представление блок-схемы:

• [Начало]
• ↓
• [Ввести делимое $a$ и делитель $b$]
• ↓
• < $b=0$? >
• ↓ нет
• [Вычислить $c = a \cdot \frac{1}{b}$]
• ↓
• [Вывести результат $c$]
• ↓
• [Конец]
• ↑ да
• |
• [Вывести "Ошибка"]
• ↓
• [Конец]

Ответ: Блок-схема алгоритма деления рациональных чисел представляет собой последовательность шагов: ввод делимого и делителя, проверка делителя на равенство нулю, и в зависимости от результата — либо вывод сообщения об ошибке (если делитель равен нулю), либо вычисление частного путем умножения делимого на число, обратное делителю, с последующим выводом результата.

538 Составь блок-схему алгоритма деления рациональных чисел.

539 Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения:

1) $a : (-1) = -a$;

2) $a : (-a) = (-a) : a = -1 (a \neq 0)$.

1)

Перевод с математического языка на русский: частное от деления любого числа $a$ на $-1$ равно числу $-a$, которое является противоположным числу $a$.

Доказательство: Чтобы доказать утверждение $a : (-1) = -a$, воспользуемся определением деления. Согласно этому определению, равенство будет верным, если произведение частного (результата деления) и делителя равно делимому. В данном случае, произведение частного $(-a)$ и делителя $(-1)$ должно быть равно делимому $a$.

Выполним проверку умножением: $(-a) \cdot (-1)$.

Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное, равное произведению их модулей: $|-a| \cdot |-1| = a \cdot 1 = a$.

Так как в результате проверки мы получили делимое $a$, то равенство $a : (-1) = -a$ является верным, и утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Перевод с математического языка на русский: частное от деления ненулевого числа $a$ на противоположное ему число $-a$ равно $-1$. Аналогично, частное от деления числа $-a$ на число $a$ также равно $-1$. Иными словами, частное двух противоположных ненулевых чисел всегда равно $-1$.

Доказательство: Утверждение $a : (-a) = (-a) : a = -1$ при $a \neq 0$ состоит из двух равенств. Докажем каждое из них по отдельности, используя определение деления.

а) Докажем, что $a : (-a) = -1$.
Равенство будет верным, если произведение частного $(-1)$ и делителя $(-a)$ равно делимому $a$.
Проверка: $(-1) \cdot (-a) = |-1| \cdot |-a| = 1 \cdot a = a$.
Равенство выполняется. Условие $a \neq 0$ необходимо, так как оно гарантирует, что делитель $(-a)$ не равен нулю.

б) Докажем, что $(-a) : a = -1$.
Равенство будет верным, если произведение частного $(-1)$ и делителя $a$ равно делимому $(-a)$.
Проверка: $(-1) \cdot a = -a$.
Это равенство верно по свойству умножения на $-1$. Условие $a \neq 0$ гарантирует, что делитель $a$ не равен нулю.

Поскольку оба равенства, составляющие исходное утверждение, доказаны, то и все утверждение является верным.

Ответ: Утверждение доказано.

539 Переведи с математического языка на русский и докажи утверждения:

1) $a \div (-1) = -a$;

2) $a \div (-a) = (-a) \div a = -1$. $(a \neq 0)$

540 Выполни деление:

а) $-45 : (-9);$

б) $-84 : (-6);$

в) $-64 : 16;$

г) $132 : (-1);$

д) $-12 : 0,3;$

е) $0,18 : (-0,2);$

ж) $-0,36 : (-9);$

з) $-1,5 : 0,005;$

и) $-7,8 : 7,8;$

к) $-\frac{5}{6} : (-\frac{1}{3});$

л) $0 : (-16,2);$

м) $-12\frac{9}{11} : (-3);$

н) $0,3 : (-0,125);$

о) $-1\frac{3}{4} : (-0,25);$

п) $-4,2 : (-1);$

р) $-2\frac{3}{5} : 0,13.$

а) При делении отрицательного числа на отрицательное, результат будет положительным. $ -45 : (-9) = 45 : 9 = 5 $
Ответ: 5

б) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. $ -84 : (-6) = 84 : 6 = 14 $
Ответ: 14

в) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. $ -64 : 16 = -(64 : 16) = -4 $
Ответ: -4

г) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. $ 132 : (-1) = -132 $
Ответ: -132

д) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Для удобства вычислений, умножим делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в делителе. $ -12 : 0,3 = (-12 \cdot 10) : (0,3 \cdot 10) = -120 : 3 = -40 $
Ответ: -40

е) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Умножим делимое и делитель на 10. $ 0,18 : (-0,2) = (0,18 \cdot 10) : (-0,2 \cdot 10) = 1,8 : (-2) = -0,9 $
Ответ: -0,9

ж) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. $ -0,36 : (-9) = 0,36 : 9 = 0,04 $
Ответ: 0,04

з) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Умножим делимое и делитель на 1000. $ -1,5 : 0,005 = (-1,5 \cdot 1000) : (0,005 \cdot 1000) = -1500 : 5 = -300 $
Ответ: -300

и) При делении отрицательного числа на равное ему по модулю положительное число, результат всегда равен -1. $ -7,8 : 7,8 = -1 $
Ответ: -1

к) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь. $ -\frac{5}{6} : (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{6} : \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \cdot 3 = \frac{5 \cdot 3}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5 $
Ответ: 2,5

л) Деление нуля на любое ненулевое число равно нулю. $ 0 : (-16,2) = 0 $
Ответ: 0

м) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби. $ -12\frac{9}{11} = -(\frac{12 \cdot 11 + 9}{11}) = -\frac{132+9}{11} = -\frac{141}{11} $
Теперь выполним деление: $ -\frac{141}{11} : (-3) = \frac{141}{11} : 3 = \frac{141}{11 \cdot 3} = \frac{47}{11} = 4\frac{3}{11} $
Ответ: $ 4\frac{3}{11} $

н) При делении положительного числа на отрицательное, результат будет отрицательным. Представим десятичные дроби в виде обыкновенных. $ 0,3 = \frac{3}{10} $ и $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $
$ 0,3 : (-0,125) = \frac{3}{10} : (-\frac{1}{8}) = -(\frac{3}{10} \cdot 8) = -\frac{24}{10} = -2,4 $
Ответ: -2,4

о) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Представим оба числа в одном формате, например, в виде обыкновенных дробей. $ -1\frac{3}{4} = -\frac{7}{4} $ и $ -0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4} $
$ -1\frac{3}{4} : (-0,25) = -\frac{7}{4} : (-\frac{1}{4}) = \frac{7}{4} \cdot 4 = 7 $
Ответ: 7

п) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Деление числа на 1 не меняет его. $ -4,2 : (-1) = 4,2 $
Ответ: 4,2

р) При делении отрицательного числа на положительное, результат будет отрицательным. Переведем оба числа в дроби. $ -2\frac{3}{5} = -\frac{13}{5} $ и $ 0,13 = \frac{13}{100} $
$ -2\frac{3}{5} : 0,13 = -\frac{13}{5} : \frac{13}{100} = -(\frac{13}{5} \cdot \frac{100}{13}) = -\frac{100}{5} = -20 $
Ответ: -20

540 Выполни деление:

а) $-45 : (-9)$

б) $-84 : (-6)$

в) $-64 : 16$

г) $132 : (-1)$

д) $-12 : 0,3$

е) $0,18 : (-0,2)$

ж) $-0,36 : (-9)$

з) $-1,5 : 0,005$

и) $-7,8 : 7,8$

к) $-\frac{5}{6} : (-\frac{1}{3})$

л) $0 : (-16,2)$

м) $-12\frac{9}{11} : (-3)$

н) $0,3 : (-0,125)$

о) $-1\frac{3}{4} : (-0,25)$

п) $-4,2 : (-1)$

р) $-2\frac{3}{5} : 0,13$

541 Найди значения выражений:

1) $-3,6 : a$, если $a = -1; 0,01; -0,4; -10; -180; \frac{2}{7}$;

2) $x : (-3\frac{1}{3})$, если $x = 0; 3\frac{1}{3}; -0,1; 10; -2,5; -5\frac{5}{9}$.

1) Найдем значение выражения $-3,6 : a$ для каждого значения $a$.

При $a = -1$:
$-3,6 : (-1) = 3,6$
Ответ: 3,6

При $a = 0,01$:
$-3,6 : 0,01 = -360 : 1 = -360$
Ответ: -360

При $a = -0,4$:
$-3,6 : (-0,4) = 3,6 : 0,4 = 36 : 4 = 9$
Ответ: 9

При $a = -10$:
$-3,6 : (-10) = 0,36$
Ответ: 0,36

При $a = -180$:
$-3,6 : (-180) = 3,6 : 180 = 36 : 1800 = 2 : 100 = 0,02$
Ответ: 0,02

При $a = \frac{2}{7}$:
$-3,6 : \frac{2}{7} = -\frac{36}{10} : \frac{2}{7} = -\frac{18}{5} \cdot \frac{7}{2} = -\frac{18 \cdot 7}{5 \cdot 2} = -\frac{9 \cdot 7}{5} = -\frac{63}{5} = -12,6$
Ответ: -12,6

2) Найдем значение выражения $x : (-3\frac{1}{3})$ для каждого значения $x$.

Сначала преобразуем делитель в неправильную дробь: $-3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$.

При $x = 0$:
$0 : (-\frac{10}{3}) = 0$
Ответ: 0

При $x = 3\frac{1}{3}$:
$3\frac{1}{3} : (-3\frac{1}{3}) = \frac{10}{3} : (-\frac{10}{3}) = -1$
Ответ: -1

При $x = -0,1$:
$-0,1 : (-\frac{10}{3}) = -\frac{1}{10} : (-\frac{10}{3}) = -\frac{1}{10} \cdot (-\frac{3}{10}) = \frac{3}{100} = 0,03$
Ответ: 0,03

При $x = 10$:
$10 : (-\frac{10}{3}) = 10 \cdot (-\frac{3}{10}) = -3$
Ответ: -3

При $x = -2,5$:
$-2,5 : (-\frac{10}{3}) = -\frac{25}{10} : (-\frac{10}{3}) = -\frac{5}{2} \cdot (-\frac{3}{10}) = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 10} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0,75$
Ответ: 0,75

При $x = -5\frac{5}{9}$:
$-5\frac{5}{9} : (-3\frac{1}{3}) = -\frac{5 \cdot 9 + 5}{9} : (-\frac{10}{3}) = -\frac{50}{9} : (-\frac{10}{3}) = \frac{50}{9} \cdot \frac{3}{10} = \frac{50 \cdot 3}{9 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$
Ответ: $1\frac{2}{3}$

541 11

Найди значения выражений:

1) $-3,6 : a$, если $a = -1; 0,01; -0,4; -10; -180; \frac{2}{7};$

2) $x : (-3\frac{1}{3})$, если $x = 0; 3\frac{1}{3}; -0,1; 10; -2,5; -5\frac{5}{9}.$

542 Реши уравнения:

a) $-8x = 2,4$;

б) $0,72 : (-y) = -0,4$;

в) $-z : 5,6 = -3\frac{4}{7}$;

г) $-0,5(-a) = -2$;

д) $-b : 0,06 = -60$;

е) $0,4 : c = -\frac{1}{3}$;

ж) $\frac{-3,5}{k} = 70$;

з) $-1,8m = -1$;

и) $\frac{-n}{9,4} = -0,5$.

а) $-8x = 2,4$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $2,4$ разделить на известный множитель $-8$.

$x = 2,4 : (-8)$

$x = -0,3$

Ответ: $-0,3$

б) $0,72 : (-y) = -0,4$

Чтобы найти неизвестный делитель $(-y)$, нужно делимое $0,72$ разделить на частное $-0,4$.

$-y = 0,72 : (-0,4)$

$-y = -1,8$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $y$.

$y = 1,8$

Ответ: $1,8$

в) $-z : 5,6 = -3\frac{4}{7}$

Чтобы найти неизвестное делимое $(-z)$, нужно делитель $5,6$ умножить на частное $-3\frac{4}{7}$.

Представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей:

$5,6 = \frac{56}{10} = \frac{28}{5}$

$-3\frac{4}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = -\frac{25}{7}$

Подставим значения в уравнение:

$-z = -\frac{25}{7} \cdot \frac{28}{5}$

Сократим дроби:

$-z = -\frac{25 \cdot 28}{7 \cdot 5} = -\frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 1} = -20$

$-z = -20$

$z = 20$

Ответ: $20$

г) $-0,5(-a) = -2$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

$0,5a = -2$

Чтобы найти неизвестный множитель $a$, нужно произведение $-2$ разделить на известный множитель $0,5$.

$a = -2 : 0,5$

$a = -4$

Ответ: $-4$

д) $-b : 0,06 = -60$

Чтобы найти неизвестное делимое $(-b)$, нужно частное $-60$ умножить на делитель $0,06$.

$-b = -60 \cdot 0,06$

$-b = -3,6$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $b$.

$b = 3,6$

Ответ: $3,6$

е) $0,4 : c = -\frac{1}{3}$

Чтобы найти неизвестный делитель $c$, нужно делимое $0,4$ разделить на частное $-\frac{1}{3}$.

Представим $0,4$ в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

$c = \frac{2}{5} : (-\frac{1}{3})$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$c = \frac{2}{5} \cdot (-\frac{3}{1})$

$c = -\frac{6}{5} = -1,2$

Ответ: $-1,2$

ж) $\frac{-3,5}{k} = 70$

Данное уравнение эквивалентно уравнению $-3,5 : k = 70$.

Чтобы найти неизвестный делитель $k$, нужно делимое $-3,5$ разделить на частное $70$.

$k = -3,5 : 70$

$k = -0,05$

Ответ: $-0,05$

з) $-1,8m = -1$

Чтобы найти неизвестный множитель $m$, нужно произведение $-1$ разделить на известный множитель $-1,8$.

$m = -1 : (-1,8)$

Частное двух отрицательных чисел положительно:

$m = 1 : 1,8 = 1 : \frac{18}{10} = 1 : \frac{9}{5}$

$m = 1 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$

и) $\frac{-n}{9,4} = -0,5$

Данное уравнение эквивалентно уравнению $-n : 9,4 = -0,5$.

Чтобы найти неизвестное делимое $(-n)$, нужно частное $-0,5$ умножить на делитель $9,4$.

$-n = -0,5 \cdot 9,4$

$-n = -4,7$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $n$.

$n = 4,7$

Ответ: $4,7$

542 Реши уравнения:

а) $-8x = 2,4;$

б) $0,72 : (-y) = -0,4;$

в) $-z : 5,6 = -3\frac{4}{7};$

г) $-0,5(-a) = -2;$

д) $-b : 0,06 = -60;$

е) $0,4 : c = -\frac{1}{3};$

ж) $\frac{-3,5}{k} = 70;$

з) $-1,8m = -1;$

и) $\frac{-n}{9,4} = -0,5.$

500 Склей из бумаги модель тетраэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см.

Для того чтобы склеить из бумаги модель правильного тетраэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Подготовка

Приготовьте следующие материалы и инструменты:

• Лист плотной бумаги или тонкого картона
• Карандаш и ластик
• Линейка
• Циркуль
• Ножницы
• Клей для бумаги (например, ПВА или клей-карандаш)

2. Построение развёртки

Развёртка тетраэдра — это плоская фигура, из которой можно сложить и склеить объёмную модель. Она состоит из четырёх равносторонних треугольников со стороной $10 \text{ см}$.

1. Начертите на бумаге с помощью линейки и карандаша отрезок $AB$ длиной $10 \text{ см}$.
2. Установите раствор циркуля равным $10 \text{ см}$. Поставьте иглу циркуля в точку $A$ и проведите дугу. Затем поставьте иглу в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересеклась с первой. Точку пересечения обозначьте $C$.
3. Соедините точку $C$ с точками $A$ и $B$. Вы получили первый равносторонний треугольник $ABC$ — одну из граней будущего тетраэдра.
4. Далее необходимо построить ещё три таких же треугольника, примыкающих к сторонам центрального треугольника $ABC$. Удобнее всего расположить их так, чтобы они "вырастали" из каждой стороны треугольника $ABC$.
5. Для удобства склеивания дочертите к трём свободным внешним сторонам развёртки небольшие клапаны — полоски шириной $0.5-1 \text{ см}$.

Альтернативный и более простой способ построения развёртки: начертите один большой равносторонний треугольник со стороной $20 \text{ см}$. Затем найдите середины его сторон и соедините их отрезками. В результате большой треугольник разделится на четыре малых равносторонних треугольника со стороной $10 \text{ см}$. Это и есть готовая развёртка.

3. Сборка модели тетраэдра

1. Аккуратно вырежьте развёртку по внешнему контуру, не забывая про клапаны для склейки.
2. Чтобы сгибы были ровными и чёткими, проведите по всем внутренним линиям (сторонам треугольников) под линейку тупой стороной ножниц или непишущей ручкой, а затем согните бумагу по этим линиям.
3. Нанесите клей на внешнюю сторону клапанов.
4. Сформируйте из развёртки объёмную пирамиду (тетраэдр), соединяя рёбра. Приклейте клапаны к внутренним сторонам соседних граней.
5. Прижмите склеиваемые поверхности друг к другу и подержите несколько секунд до высыхания клея.

В результате у вас получится правильный тетраэдр — объёмная фигура с четырьмя гранями, каждая из которых является равносторонним треугольником со стороной $10 \text{ см}$.

Ответ: Чтобы склеить модель тетраэдра, нужно начертить на бумаге развёртку из четырёх равносторонних треугольников со стороной 10 см, добавить к ней клапаны для склейки, вырезать полученную заготовку, согнуть её по линиям и склеить в объёмную фигуру.

Склей из бумаги модель тетраэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 10 см.

501 Склей из бумаги прямоугольный параллелепипед с измерениями 9 см, 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе $1:2$.

Задача состоит из двух частей: практической (склеивание модели) и чертёжной (построение проекций). Решение чертёжной части приведено ниже.

Исходные размеры прямоугольного параллелепипеда: длина $a = 9$ см, ширина $b = 5$ см и высота $c = 3$ см.

Проекции необходимо выполнить в масштабе 1:2. Это означает, что все линейные размеры на чертеже должны быть в два раза меньше реальных. Вычислим размеры для построения проекций:
Длина на чертеже: $a' = \frac{a}{2} = \frac{9 \text{ см}}{2} = 4.5 \text{ см}$
Ширина на чертеже: $b' = \frac{b}{2} = \frac{5 \text{ см}}{2} = 2.5 \text{ см}$
Высота на чертеже: $c' = \frac{c}{2} = \frac{3 \text{ см}}{2} = 1.5 \text{ см}$

Три проекции прямоугольного параллелепипеда — это его вид спереди (фронтальная проекция), вид сверху (горизонтальная проекция) и вид сбоку (профильная проекция). Все три проекции будут представлять собой прямоугольники.

Проекция 1: Вид спереди
Эта проекция определяется длиной и высотой параллелепипеда. На чертеже это будет прямоугольник с размерами $a' \times c'$.
Размеры: $4.5 \text{ см} \times 1.5 \text{ см}$.

Проекция 2: Вид сверху
Эта проекция определяется длиной и шириной параллелепипеда. На чертеже это будет прямоугольник с размерами $a' \times b'$.
Размеры: $4.5 \text{ см} \times 2.5 \text{ см}$.

Проекция 3: Вид сбоку
Эта проекция определяется шириной и высотой параллелепипеда. На чертеже это будет прямоугольник с размерами $b' \times c'$.
Размеры: $2.5 \text{ см} \times 1.5 \text{ см}$.

Ответ: Нужно начертить три прямоугольника со следующими размерами: 4.5 см × 1.5 см (вид спереди), 4.5 см × 2.5 см (вид сверху) и 2.5 см × 1.5 см (вид сбоку).

501 Склей из бумаги прямоугольный параллелепипед с измерениями 9 см, 5 см и 3 см. Начерти три его проекции в масштабе 1 : 2.

502 Найди неизвестный член пропорции и расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что означает полученное слово?

И $\frac{x}{3,6} = \frac{0,9}{-4}$

С $\frac{2,4}{-0,75} = \frac{-0,32}{x}$

У $\frac{-0,01}{4,2} = \frac{x}{-25,2}$

А $\frac{3}{4} : (-0,8) = 2,25 : x$

Д $0,125 : \frac{1}{3} = -\frac{3}{7} : x$

Р $-1,6 : x = 1\frac{1}{3} : 2,5$

Для решения задачи необходимо найти неизвестный член $x$ в каждой пропорции.

И

Дана пропорция: $\frac{x}{3,6} = \frac{0,9}{-4}$.

Используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов равно произведению средних членов:

$x \cdot (-4) = 3,6 \cdot 0,9$

$-4x = 3,24$

$x = \frac{3,24}{-4}$

$x = -0,81$

Ответ: $-0,81$.

С

Дана пропорция: $\frac{2,4}{-0,75} = \frac{-0,32}{x}$.

По основному свойству пропорции:

$2,4 \cdot x = -0,75 \cdot (-0,32)$

$2,4x = 0,24$

$x = \frac{0,24}{2,4}$

$x = 0,1$

Ответ: $0,1$.

У

Дана пропорция: $\frac{-0,01}{4,2} = \frac{x}{-25,2}$.

По основному свойству пропорции:

$-0,01 \cdot (-25,2) = 4,2 \cdot x$

$0,252 = 4,2x$

$x = \frac{0,252}{4,2}$

$x = 0,06$

Ответ: $0,06$.

А

Дана пропорция: $\frac{3}{4} : (-0,8) = 2,25 : x$.

Запишем ее в виде дробей: $\frac{\frac{3}{4}}{-0,8} = \frac{2,25}{x}$.

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$; $2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

Пропорция примет вид: $\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{9}{4}}{x}$.

По основному свойству пропорции:

$\frac{3}{4} \cdot x = -\frac{4}{5} \cdot \frac{9}{4}$

$\frac{3}{4}x = -\frac{9}{5}$

$x = -\frac{9}{5} \cdot \frac{4}{3}$

$x = -\frac{3 \cdot 4}{5}$

$x = -\frac{12}{5} = -2,4$

Ответ: $-2,4$.

Д

Дана пропорция: $0,125 : \frac{1}{3} = -\frac{3}{7} : x$.

Запишем ее в виде дробей: $\frac{0,125}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{3}{7}}{x}$.

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Пропорция примет вид: $\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{3}{7}}{x}$.

По основному свойству пропорции:

$\frac{1}{8} \cdot x = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{3}{7})$

$\frac{1}{8}x = -\frac{1}{7}$

$x = -\frac{1}{7} \cdot 8$

$x = -\frac{8}{7}$

Ответ: $-\frac{8}{7}$.

Р

Дана пропорция: $-1,6 : x = 1\frac{1}{3} : 2,5$.

Запишем ее в виде дробей: $\frac{-1,6}{x} = \frac{1\frac{1}{3}}{2,5}$.

Преобразуем числа в обыкновенные дроби: $-1,6 = -\frac{16}{10} = -\frac{8}{5}$; $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$; $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Пропорция примет вид: $\frac{-\frac{8}{5}}{x} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{2}}$.

По основному свойству пропорции:

$x \cdot \frac{4}{3} = -\frac{8}{5} \cdot \frac{5}{2}$

$\frac{4}{3}x = -\frac{8 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

$\frac{4}{3}x = -4$

$x = -4 \cdot \frac{3}{4}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

Теперь расположим полученные числа в порядке возрастания и сопоставим им соответствующие буквы:

1. $-3$ (Р)

2. $-2,4$ (А)

3. $-\frac{8}{7} \approx -1,14$ (Д)

4. $-0,81$ (И)

5. $0,06$ (У)

6. $0,1$ (С)

Сложив буквы в этом порядке, получаем слово: РАДИУС.

Что означает полученное слово?

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности (или сферы) с любой точкой, лежащей на окружности (или поверхности сферы), а также длина этого отрезка.

502 Найди неизвестный член пропорции и расположи полученные числа в порядке возрастания, сопоставив их соответствующим буквам. Что означает полученное слово?

$\frac{x}{3,6} = \frac{0,9}{-4}$

$\frac{2,4}{-0,75} = \frac{-0,32}{x}$

$\frac{-0,01}{4,2} = \frac{x}{-25,2}$

$\frac{3}{4} : (-0,8) = 2,25 : x$

$0,125 : \frac{1}{3} = -\frac{3}{7} : x$

$-1,6 : x = 1\frac{1}{3} : 2,5$

503 Реши уравнения:

a) $ \frac{2x - 5,6}{3} = \frac{1 - x}{1,5}; $

б) $ 2\frac{1}{3} : y = 1\frac{2}{5} : (-1,1); $

в) $ \frac{3z - 6}{7 - 2z} = \frac{1,2}{3,2}. $

а)

Дано уравнение в виде пропорции: $ \frac{2x - 5,6}{3} = \frac{1 - x}{1,5} $.

Чтобы решить его, воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$ (2x - 5,6) \cdot 1,5 = 3 \cdot (1 - x) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 1,5 \cdot 2x - 1,5 \cdot 5,6 = 3 \cdot 1 - 3 \cdot x $

$ 3x - 8,4 = 3 - 3x $

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, изменяя знаки при переносе:

$ 3x + 3x = 3 + 8,4 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 6x = 11,4 $

Найдем $x$, разделив обе части на 6:

$ x = \frac{11,4}{6} $

$ x = 1,9 $

Ответ: $1,9$.

б)

Дано уравнение: $ 2\frac{1}{3} : y = 1\frac{2}{5} : (-1,1) $.

Это пропорция, где $y$ является неизвестным средним членом. Чтобы найти его, нужно произведение крайних членов разделить на известный средний член.

$ y = (2\frac{1}{3} \cdot (-1,1)) : 1\frac{2}{5} $

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа и десятичную дробь в неправильные дроби:

$ 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $

$ -1,1 = -\frac{11}{10} $

$ 1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5} $

Подставим эти значения в выражение для $y$:

$ y = (\frac{7}{3} \cdot (-\frac{11}{10})) : \frac{7}{5} $

Сначала выполним умножение в скобках:

$ \frac{7}{3} \cdot (-\frac{11}{10}) = -\frac{7 \cdot 11}{3 \cdot 10} = -\frac{77}{30} $

Теперь выполним деление (деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь):

$ y = -\frac{77}{30} : \frac{7}{5} = -\frac{77}{30} \cdot \frac{5}{7} $

Сократим множители в числителе и знаменателе:

$ y = -\frac{11 \cdot 7 \cdot 5}{6 \cdot 5 \cdot 7} = -\frac{11}{6} $

Представим ответ в виде смешанного числа:

$ y = -1\frac{5}{6} $

Ответ: $ -1\frac{5}{6} $.

в)

Дано уравнение: $ \frac{3z - 6}{7 - 2z} = \frac{1,2}{3,2} $.

Упростим правую часть уравнения. Для этого избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10, а затем сократим полученную дробь:

$ \frac{1,2}{3,2} = \frac{1,2 \cdot 10}{3,2 \cdot 10} = \frac{12}{32} $

Наибольший общий делитель для 12 и 32 равен 4. Сократим дробь:

$ \frac{12 : 4}{32 : 4} = \frac{3}{8} $

Теперь уравнение имеет вид:

$ \frac{3z - 6}{7 - 2z} = \frac{3}{8} $

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ 8 \cdot (3z - 6) = 3 \cdot (7 - 2z) $

Раскроем скобки:

$ 24z - 48 = 21 - 6z $

Перенесем слагаемые, содержащие $z$, в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 24z + 6z = 21 + 48 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 30z = 69 $

Найдем $z$:

$ z = \frac{69}{30} $

Сократим дробь на 3:

$ z = \frac{23}{10} $

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$ z = 2,3 $

Ответ: $2,3$.

503 Реши уравнения:

а) $ \frac{2x - 5,6}{3} = \frac{1 - x}{1,5} $

б) $ 2 \frac{1}{3} : y = 1 \frac{2}{5} : (-1,1) $

в) $ \frac{3z - 6}{7 - 2z} = \frac{1,2}{3,2} $

504 а) Для кругосветного путешествия длительностью 144 дня был заготовлен запас продовольствия для 75 туристов. В плавание отправились 50 человек. На сколько дней хватит этого запаса продовольствия, если расход продовольствия на каждого туриста одинаков?

б) За четверть суток корабль прошёл 189 км. Сколько километров он пройдёт с той же скоростью за 14 ч?

а)

Чтобы решить эту задачу, сначала определим общий объём заготовленного продовольствия. Этот объём можно выразить в «человеко-днях», то есть сколько порций на одного человека в день было заготовлено на весь срок.
1. Рассчитаем общий запас продовольствия:
$75 \text{ туристов} \times 144 \text{ дня} = 10800$ человеко-дней.
Это общее количество условных порций продовольствия.

2. Теперь этот же запас продовольствия будет расходоваться группой из 50 человек. Чтобы найти, на сколько дней хватит запаса, разделим общее количество «человеко-дней» на новое количество туристов:
$\frac{10800}{50} = 216$ дней.

Ответ: запаса продовольствия хватит на 216 дней.

б)

1. Сначала определим, сколько часов составляет четверть суток. В сутках 24 часа.
$24 \text{ часа} \div 4 = 6$ часов.
Значит, за 6 часов корабль прошёл 189 км.

2. Теперь найдём скорость корабля, разделив расстояние на время:
Скорость $v = \frac{S}{t} = \frac{189 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 31,5$ км/ч.

3. Зная, что корабль движется с той же скоростью, рассчитаем, какое расстояние он пройдёт за 14 часов. Для этого умножим скорость на время:
$S = v \times t = 31,5 \text{ км/ч} \times 14 \text{ ч} = 441$ км.

Ответ: за 14 часов корабль пройдёт 441 км.

504 a) Для кругосветного путешествия длительностью 144 дня был заготовлен запас продовольствия для 75 туристов. В плавание отправились 50 человек. На сколько дней хватит этого запаса продовольствия, если расход продовольствия на каждого туриста одинаков?

б) За четверть суток корабль прошел 189 км. Сколько километров он пройдет с той же скоростью за 14 ч?

505 Найди неизвестный член пропорции

$\frac{1,2 : 0,375 - 0,2}{6\frac{4}{25} : 15,4 + 0,8} = \frac{0,12 : 0,16 + 0,7}{x}$

Для того чтобы найти неизвестный член пропорции, необходимо сначала упростить выражения в левой и правой частях уравнения.

Исходное уравнение:

$$ \frac{1,2 : 0,375 - 0,2}{6\frac{4}{25} : 15,4 + 0,8} = \frac{0,12 : 0,16 + 0,7}{x} $$

1. Упростим левую часть пропорции.

Сначала вычислим значение числителя: $1,2 : 0,375 - 0,2$.

1) $1,2 : 0,375 = 1200 : 375 = 3,2$

2) $3,2 - 0,2 = 3$

Теперь вычислим значение знаменателя: $6\frac{4}{25} : 15,4 + 0,8$.

3) Переведем смешанную дробь в десятичную: $6\frac{4}{25} = 6 + \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = 6 + \frac{16}{100} = 6,16$

4) $6,16 : 15,4 = 0,4$

5) $0,4 + 0,8 = 1,2$

Таким образом, левая часть пропорции равна:

$$ \frac{3}{1,2} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2,5 $$

2. Упростим числитель правой части пропорции.

Вычислим значение выражения $0,12 : 0,16 + 0,7$.

1) $0,12 : 0,16 = 12 : 16 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} = 0,75$

2) $0,75 + 0,7 = 1,45$

3. Решим полученную пропорцию.

После всех упрощений исходная пропорция принимает вид:

$$ 2,5 = \frac{1,45}{x} $$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое $1,45$ разделить на частное $2,5$.

$$ x = \frac{1,45}{2,5} $$

Для удобства вычислений избавимся от дробей в делителе:

$$ x = \frac{1,45 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{14,5}{25} $$

Можно представить это как деление обыкновенных дробей:

$$ x = \frac{145}{100} : \frac{25}{10} = \frac{145}{100} \cdot \frac{10}{25} = \frac{145}{10 \cdot 25} = \frac{145}{250} $$

Сократим дробь на 5:

$$ x = \frac{145 : 5}{250 : 5} = \frac{29}{50} $$

Переведем результат в десятичную дробь:

$$ x = \frac{29 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{58}{100} = 0,58 $$

Ответ: $0,58$.

505 Найди неизвестный член пропорции:

$\frac{1{,}2 : 0{,}375 - 0{,}2}{6\frac{4}{25} : 15{,}4 + 0{,}8} = \frac{0{,}12 : 0{,}16 + 0{,}7}{x}.$

506 Сравни суммы длин всех рёбер, объёмы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м, 5 м и 6 м.

Для решения задачи необходимо вычислить три характеристики для каждой из фигур (куба и прямоугольного параллелепипеда) и затем сравнить их.

Данные для куба: длина ребра $a = 7$ м.

Данные для прямоугольного параллелепипеда: измерения $l = 10$ м, $w = 5$ м, $h = 6$ м.

Суммы длин всех рёбер

1. Сумма длин всех рёбер куба. У куба 12 рёбер, и все они равны.

Формула: $L_{куба} = 12a$

Вычисление: $L_{куба} = 12 \cdot 7 = 84$ м.

2. Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда. У него по 4 ребра каждой длины.

Формула: $L_{парал.} = 4(l + w + h)$

Вычисление: $L_{парал.} = 4(10 + 5 + 6) = 4 \cdot 21 = 84$ м.

3. Сравнение:

$84 \text{ м} = 84 \text{ м}$.

Ответ: Суммы длин всех рёбер куба и прямоугольного параллелепипеда равны.

Объёмы

1. Объём куба.

Формула: $V_{куба} = a^3$

Вычисление: $V_{куба} = 7^3 = 343 \text{ м}^3$.

2. Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула: $V_{парал.} = l \cdot w \cdot h$

Вычисление: $V_{парал.} = 10 \cdot 5 \cdot 6 = 300 \text{ м}^3$.

3. Сравнение:

$343 \text{ м}^3 > 300 \text{ м}^3$.

Ответ: Объём куба больше объёма прямоугольного параллелепипеда.

Площади поверхности

1. Площадь поверхности куба. Поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней.

Формула: $S_{куба} = 6a^2$

Вычисление: $S_{куба} = 6 \cdot 7^2 = 6 \cdot 49 = 294 \text{ м}^2$.

2. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Поверхность состоит из 6 прямоугольных граней (по 2 одинаковые).

Формула: $S_{парал.} = 2(lw + lh + wh)$

Вычисление: $S_{парал.} = 2(10 \cdot 5 + 10 \cdot 6 + 5 \cdot 6) = 2(50 + 60 + 30) = 2 \cdot 140 = 280 \text{ м}^2$.

3. Сравнение:

$294 \text{ м}^2 > 280 \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь поверхности куба больше площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

506 Сравни суммы длин всех ребер, объемы и площади поверхности куба с ребром 7 м и прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 м, 5 м и 6 м.

507* Кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нём просверлили 6 сквозных дырок, параллельных рёбрам (рис. 71). Сколько маленьких кубиков остались неповреждёнными?

Рис. 71

Рис. 72

Для решения задачи сначала определим общее количество маленьких кубиков в большом кубе. Затем мы вычислим, сколько маленьких кубиков было повреждено (просверлено), и вычтем это число из общего количества.

Шаг 1. Определение общего количества маленьких кубиков

Большой куб составлен из маленьких. Судя по рисунку, ребро большого кубика равно 4-м маленьким кубикам. Следовательно, общее количество маленьких кубиков равно:

$V_{общ} = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ кубика.

Шаг 2. Определение количества поврежденных кубиков

В кубе просверлено 6 сквозных дырок в трех взаимно перпендикулярных направлениях (по 2 дырки в каждом направлении). Чтобы найти общее число поврежденных кубиков, мы посчитаем, сколько кубиков затрагивает каждая группа дырок, а затем воспользуемся принципом включений-исключений, чтобы учесть кубики, находящиеся на пересечении дырок.

• Дырки, просверленные спереди назад: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.
• Дырки, просверленные сверху вниз: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.
• Дырки, просверленные справа налево: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.

Если просто сложить эти числа, мы получим $8 + 8 + 8 = 24$ кубика. Однако некоторые кубики, находящиеся на пересечении дырок, посчитаны дважды. Найдем эти пересечения. Удобно ввести систему координат $(x, y, z)$, где $x, y, z$ принимают значения от 1 до 4. Из рисунка можно определить координаты рядов, через которые проходят дырки:

• Дырки "справа-налево" (вдоль оси X) удаляют кубики, для которых $(y,z) = (2,2)$ или $(y,z) = (3,3)$.
• Дырки "сверху-вниз" (вдоль оси Y) удаляют кубики, для которых $(x,z) = (2,3)$ или $(x,z) = (3,2)$.
• Дырки "спереди-назад" (вдоль оси Z) удаляют кубики, для которых $(x,y) = (2,2)$ или $(x,y) = (3,3)$.

Теперь найдем кубики на пересечениях двух дырок:

• Пересечение дырок направлений X и Y: кубики $(3, 2, 2)$ и $(2, 3, 3)$. Всего 2 кубика.
• Пересечение дырок направлений X и Z: кубики $(2, 2, 2)$ и $(3, 3, 3)$. Всего 2 кубика.
• Пересечение дырок направлений Y и Z: кубики $(2, 2, 3)$ и $(3, 3, 2)$. Всего 2 кубика.

Всего на пересечениях двух направлений лежат $2 + 2 + 2 = 6$ кубиков. Проверка показывает, что пересечений трех дырок нет (ни один из 6 найденных кубиков не повреждается третьей дыркой).

Общее число уникальных поврежденных кубиков по формуле включений-исключений равно:

$N_{повр} = (8 + 8 + 8) - (2 + 2 + 2) + 0 = 24 - 6 = 18$ кубиков.

Шаг 3. Определение количества неповрежденных кубиков

Чтобы найти количество неповрежденных кубиков, нужно вычесть количество поврежденных из общего количества кубиков:

$N_{неповр} = V_{общ} - N_{повр} = 64 - 18 = 46$ кубиков.

Ответ: 46

C 507 Кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6 сквозных дырок, параллельных ребрам (рис. 71). Сколько маленьких кубиков остались неповрежденными?

Рис. 71

Рис. 72

508 На ребре $AD$ тетраэдра $ABCD$ отметили точку $M$, на ребре $AC$ – точку $N$, а на ребре $BC$ – точку $K$ (рис. 72). Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.

Рис. 72

Для построения сечения тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точки M, N и K, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Эти линии в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением. Построение выполняется методом следов.

1. Построение отрезков сечения на гранях ACD и ABC.

Точки M и N лежат на ребрах AD и AC соответственно, которые принадлежат одной грани ACD. Следовательно, отрезок MN является линией пересечения плоскости сечения $\alpha$ с гранью ACD. Аналогично, точки N и K лежат на ребрах AC и BC, принадлежащих грани ABC, поэтому отрезок NK является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью ABC.

2. Построение вспомогательной точки L (точки следа).

Прямые MN и CD лежат в одной плоскости (плоскости грани ACD). Найдем точку их пересечения, продлив отрезки MN и CD до их пересечения. Обозначим эту точку L.
$L = MN \cap CD$.
Точка L принадлежит прямой MN, а значит, лежит в плоскости сечения $\alpha$. Также точка L принадлежит прямой CD, а значит, лежит в плоскости грани BCD. Таким образом, точка L является общей точкой для плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани BCD.

(Примечание: если прямые MN и CD окажутся параллельными, то линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани BCD будет проходить через точку K параллельно прямой CD).

3. Построение отрезка сечения на грани BCD.

Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани BCD: это точка K (по условию) и точка L (по построению). Прямая, проходящая через эти две точки (прямая KL), является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани BCD (следом секущей плоскости на грани BCD).
Проведем прямую KL. Эта прямая пересечет ребро BD в некоторой точке P.
$P = KL \cap BD$.
Точка P является четвертой вершиной искомого сечения, а отрезок KP — его стороной, лежащей на грани BCD.

4. Завершение построения сечения.

Точки M и P лежат на ребрах AD и BD соответственно, которые принадлежат грани ABD. Соединим точки M и P отрезком. Отрезок MP является последней стороной сечения и лежит на грани ABD.

В результате выполненных построений получен многоугольник MNKP, который является искомым сечением тетраэдра ABCD плоскостью $\alpha$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник MNKP, построенный согласно описанным шагам.

508 На ребре $AD$ тетраэдра $ABCD$ отметили точку $M$, на ребре $AC$ – точку $N$, а на ребре $BC$ – точку $K$ (рис. 72). Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.