Страница 124, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

569 Найди значения выражений:

a) $(-0,864 \div 1,2 - 0,2 \cdot (-3,5 \cdot \frac{9}{11} - \frac{9}{11} \cdot 7,5) + 0,92) \div (-\frac{4}{7});$

б) $(2,19 \cdot (-5,4)) \div (-2,19) - (-1,25 \cdot 0,7 \cdot (-8)) \div (-1\frac{5}{9}) - (0,21 \div (-0,1)).$

а) $(-0,864 : 1,2 - 0,2 \cdot (-3,5 \cdot \frac{9}{11} - \frac{9}{11} \cdot 7,5) + 0,92) : (-\frac{4}{7})$

Решим выражение по действиям, соблюдая порядок их выполнения (сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание).

1. Сначала выполним действие во внутренних скобках. Вынесем общий множитель $\frac{9}{11}$ за скобки:
$-3,5 \cdot \frac{9}{11} - \frac{9}{11} \cdot 7,5 = \frac{9}{11} \cdot (-3,5 - 7,5) = \frac{9}{11} \cdot (-11) = -9$.

2. Теперь подставим полученное значение в основное выражение в скобках и выполним остальные действия по порядку:

2.1. Деление: $-0,864 : 1,2 = -0,72$.

2.2. Умножение: $-0,2 \cdot (-9) = 1,8$.

2.3. Теперь выражение в больших скобках выглядит так: $-0,72 + 1,8 + 0,92$. Выполним сложение:
$-0,72 + 1,8 + 0,92 = 1,08 + 0,92 = 2$.

3. Последнее действие — деление результата из скобок на $-\frac{4}{7}$:
$2 : (-\frac{4}{7}) = 2 \cdot (-\frac{7}{4}) = -\frac{2 \cdot 7}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} = -3,5$.

Ответ: -3,5.

б) $(2,19 \cdot (-5,4)) : (-2,19) - (-1,25 \cdot 0,7 \cdot (-8)) : (-1\frac{5}{9}) - (0,21 : (-0,1))$

Решим это выражение, разбив его на три части и выполняя действия в каждой из них.

1. Первая часть: $(2,19 \cdot (-5,4)) : (-2,19)$.
Можно заметить, что здесь можно применить свойство деления: $(a \cdot b) : c = (a : c) \cdot b$.
$(2,19 : (-2,19)) \cdot (-5,4) = -1 \cdot (-5,4) = 5,4$.

2. Вторая часть: $(-1,25 \cdot 0,7 \cdot (-8)) : (-1\frac{5}{9})$.
Сначала вычислим выражение в первых скобках. Удобнее сначала умножить $-1,25$ на $-8$.
$-1,25 \cdot (-8) = 10$.
Затем $10 \cdot 0,7 = 7$.
Теперь выполним деление. Переведем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{5}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = -\frac{14}{9}$.
$7 : (-\frac{14}{9}) = 7 \cdot (-\frac{9}{14}) = -\frac{7 \cdot 9}{14} = -\frac{1 \cdot 9}{2} = -\frac{9}{2} = -4,5$.

3. Третья часть: $(0,21 : (-0,1))$.
$0,21 : (-0,1) = -2,1$.

4. Теперь объединим результаты всех частей:
$5,4 - (-4,5) - (-2,1) = 5,4 + 4,5 + 2,1 = 9,9 + 2,1 = 12$.

Ответ: 12.

569 Найди значения выражений:

а) $(-0.864 : 1.2 - 0.2 \cdot (-3.5 \cdot \frac{9}{11} - \frac{9}{11} \cdot 7.5) + 0.92) : (-\frac{4}{7})$

б) $(2.19 \cdot (-5.4)) : (-2.19) - (-1.25 \cdot 0.7 \cdot (-8)) : (-1\frac{5}{9}) - (0.21 : (-0.1))$

D 570 Выбери из множества $A=\{1.5; -7; \frac{3}{4}; 0; 9; -2\frac{1}{3}; 68\}$ подмножество:

1) B – натуральных чисел;

2) C – целых чисел;

3) D – рациональных чисел.

Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств A, B, C и D и отметь на ней элементы множества A.

Дано множество $A = \{1,5; -7; \frac{3}{4}; 0; 9; -2\frac{1}{3}; 68\}$.

Для решения задачи сначала определим принадлежность каждого элемента множества A к различным числовым множествам.
Натуральные числа (положительные целые числа, используемые при счете): 9; 68.
Целые числа (натуральные числа, им противоположные и ноль): -7; 0; 9; 68.
Рациональные числа (числа, представимые в виде дроби $\frac{p}{q}$): все элементы множества A являются рациональными, так как $1,5 = \frac{3}{2}$, $-7 = \frac{-7}{1}$, $0 = \frac{0}{1}$, $9 = \frac{9}{1}$, $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$, $68 = \frac{68}{1}$.

1) B – натуральных чисел

Подмножество B должно содержать только натуральные числа из множества A. Натуральными числами являются положительные целые числа, используемые для счета.

Из множества A к натуральным числам относятся 9 и 68.

Ответ: $B = \{9; 68\}$.

2) C – целых чисел

Подмножество C должно содержать только целые числа из множества A. К целым числам относятся натуральные числа, им противоположные числа и ноль.

Из множества A к целым числам относятся -7, 0, 9, 68.

Ответ: $C = \{-7; 0; 9; 68\}$.

3) D – рациональных чисел

Подмножество D должно содержать только рациональные числа из множества A. Рациональные числа — это все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби. Как было показано ранее, все элементы исходного множества A являются рациональными числами.

Ответ: $D = \{1,5; -7; \frac{3}{4}; 0; 9; -2\frac{1}{3}; 68\}$.

Построение диаграммы Эйлера – Венна

Для построения диаграммы определим отношения между множествами A, B, C и D.
Каждое натуральное число является целым, поэтому множество B является подмножеством множества C ($B \subset C$).
Каждое целое число является рациональным, поэтому множество C является подмножеством множества D ($C \subset D$).
Множество A по условию состоит только из рациональных чисел, поэтому оно совпадает с подмножеством D ($A = D$).
Таким образом, мы имеем следующую цепочку вложенности множеств: $B \subset C \subset D = A$.

Диаграмма будет состоять из трех вложенных областей. Внешняя область представляет множества A и D. Внутри нее находится область для множества C, а в самой середине — область для множества B. Элементы множества A распределены по этим областям:

• В области B: элементы, являющиеся натуральными числами (9; 68).
• В области C, но вне B: элементы, являющиеся целыми, но не натуральными числами (-7; 0).
• В области A (или D), но вне C: элементы, являющиеся рациональными, но не целыми числами (1,5; $\frac{3}{4}$; $-2\frac{1}{3}$).

D 570 Выбери из множества A = ${1,5; -7; \frac{3}{4}; 0; 9; -2\frac{1}{3}; 68}$ подмножество:

1) B – натуральных чисел;

2) C – целых чисел;

3) D – рациональных чисел.

Построй диаграмму Эйлера–Венна множеств A, B, C и D и отметь на ней элементы множества A.

571 Выполни действия:

а) $3,27 - 5,4;$ г) $0,04 - 0,096;$ ж) $0,08 \cdot (-260);$ к) $-45,54 : 0,9;$

б) $-0,56 + 2,5;$ д) $-13,9 - 8,21;$ з) $-1,6 \cdot 3,46;$ л) $-1,203 : (-0,6);$

в) $-1,38 - 14,2;$ е) $-15,172 + 17,2;$ и) $-40,8 \cdot (-1,05);$ м) $17,69 : (-5,8).$

а) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего вычесть меньшее и перед результатом поставить знак минус.
$3,27 - 5,4 = -(5,4 - 3,27) = -2,13$.
Ответ: $-2,13$.

б) При сложении чисел с разными знаками нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и поставить знак числа с большим модулем.
$-0,56 + 2,5 = 2,5 - 0,56 = 1,94$.
Ответ: $1,94$.

в) Вычитание положительного числа из отрицательного равносильно сложению двух отрицательных чисел. Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.
$-1,38 - 14,2 = -(1,38 + 14,2) = -15,58$.
Ответ: $-15,58$.

г) Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего вычесть меньшее и перед результатом поставить знак минус.
$0,04 - 0,096 = -(0,096 - 0,04) = -0,056$.
Ответ: $-0,056$.

д) Складываем два отрицательных числа: складываем их модули и ставим знак минус.
$-13,9 - 8,21 = -(13,9 + 8,21) = -22,11$.
Ответ: $-22,11$.

е) При сложении чисел с разными знаками из модуля большего числа вычитаем модуль меньшего и ставим знак числа с большим модулем.
$-15,172 + 17,2 = 17,2 - 15,172 = 2,028$.
Ответ: $2,028$.

ж) При умножении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.
$0,08 \cdot (-260) = -(0,08 \cdot 260) = -20,8$.
Ответ: $-20,8$.

з) При умножении чисел с разными знаками результат будет отрицательным.
$-1,6 \cdot 3,46 = -(1,6 \cdot 3,46) = -5,536$.
Ответ: $-5,536$.

и) При умножении двух отрицательных чисел результат будет положительным.
$-40,8 \cdot (-1,05) = 40,8 \cdot 1,05 = 42,84$.
Ответ: $42,84$.

к) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным. Для удобства деления умножим делимое и делитель на 10.
$-45,54 : 0,9 = -(45,54 : 0,9) = -(455,4 : 9) = -50,6$.
Ответ: $-50,6$.

л) При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным. Для удобства деления умножим делимое и делитель на 10.
$-1,203 : (-0,6) = 1,203 : 0,6 = 12,03 : 6 = 2,005$.
Ответ: $2,005$.

м) При делении чисел с разными знаками результат будет отрицательным. Для удобства деления умножим делимое и делитель на 10.
$17,69 : (-5,8) = -(17,69 : 5,8) = -(176,9 : 58) = -3,05$.
Ответ: $-3,05$.

571 Выполни действия:

а) $3.27 - 5.4$;

г) $0.04 - 0.096$;

ж) $0.08 \cdot (-260)$;

к) $-45.54 : 0.9$;

б) $-0.56 + 2.5$;

д) $-13.9 - 8.21$;

з) $-1.6 \cdot 3.46$;

л) $-1.203 : (-0.6)$;

в) $-1.38 - 14.2$;

е) $-15.172 + 17.2$;

и) $-40.8 \cdot (-1.05)$;

м) $17.69 : (-5.8)$.

572 Найди длину отрезка AB координатной прямой, если координаты точек A и B равны значениям выражений.

A $ \frac{-2,4 \cdot (-0,08) \cdot 7,4 \cdot (-2,5)}{-6 \cdot 4 \cdot 3,7 \cdot (-0,75)} $

B $ -0,48 : (-\frac{1}{12} : (-\frac{1}{3})) + 0,9 : (-2) + (-5,4) $

Для того чтобы найти длину отрезка AB, сначала необходимо найти координаты точек A и B, вычислив значения соответствующих выражений.

А
Найдем координату точки A, вычислив значение выражения:
$A = \frac{-2,4 \cdot (-0,08) \cdot 7,4 \cdot (-2,5)}{-6,4 \cdot 3,7 \cdot (-0,75)}$
1. Определим знак выражения. В числителе 3 отрицательных множителя, поэтому он будет отрицательным. В знаменателе 2 отрицательных множителя, поэтому он будет положительным. При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным.
2. Вычислим модуль значения, выполняя упрощения:
$\frac{2,4 \cdot 0,08 \cdot 7,4 \cdot 2,5}{6,4 \cdot 3,7 \cdot 0,75} = \frac{2,4 \cdot 0,08 \cdot (2 \cdot 3,7) \cdot 2,5}{6,4 \cdot 3,7 \cdot 0,75}$
Сократим на 3,7:
$\frac{2,4 \cdot 0,08 \cdot 2 \cdot 2,5}{6,4 \cdot 0,75} = \frac{2,4 \cdot 0,08 \cdot 5}{6,4 \cdot 0,75}$
Вычислим произведения в числителе и знаменателе:
$2,4 \cdot 0,08 \cdot 5 = 2,4 \cdot 0,4 = 0,96$
$6,4 \cdot 0,75 = 6,4 \cdot \frac{3}{4} = 1,6 \cdot 3 = 4,8$
Теперь разделим:
$\frac{0,96}{4,8} = \frac{9,6}{48} = 0,2$
С учетом знака, координата точки A равна $-0,2$.

В
Найдем координату точки B, вычислив значение выражения:
$B = -0,48 : (-\frac{1}{12} : (-\frac{1}{3})) + 0,9 : (-2) + (-5,4)$
Выполним вычисления по действиям, соблюдая порядок операций:
1) Деление в скобках: $-\frac{1}{12} : (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{12} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
2) Первое деление: $-0,48 : \frac{1}{4} = -0,48 \cdot 4 = -1,92$
3) Второе деление: $0,9 : (-2) = -0,45$
4) Сложение: $-1,92 + (-0,45) + (-5,4) = -1,92 - 0,45 - 5,4 = -2,37 - 5,4 = -7,77$
Таким образом, координата точки B равна $-7,77$.

Теперь, зная координаты обеих точек, мы можем найти длину отрезка AB. Длина отрезка на координатной прямой — это модуль разности его координат.
Координата точки A: $x_A = -0,2$.
Координата точки B: $x_B = -7,77$.
Длина отрезка AB равна:
$|x_B - x_A| = |-7,77 - (-0,2)| = |-7,77 + 0,2| = |-7,57| = 7,57$.
Ответ: 7,57

572 Найди длину отрезка AB координатной прямой, если координаты точек A и B равны значениям выражений:

A $ \frac{-2,4 \cdot (-0,08) \cdot 7,4 \cdot (-2,5)}{-6,4 \cdot 3,7 \cdot (-0,75)} $

B $ -0,48 : \left(-\frac{1}{12} : \left(-\frac{1}{3}\right)\right) + 0,9 : (-2) + (-5,4) $

573* В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ «в двух» дали вдвое меньше человек, чем ответ «в одной», а ответ «в трёх» – втрое меньше, чем «в одной». Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

Для решения задачи определим, сколько всего было зафиксировано участий в олимпиадах, и свяжем это с количеством уникальных учеников.

Пусть $N_1$ — это количество учеников, которые участвовали ровно в одной олимпиаде.

Пусть $N_2$ — это количество учеников, которые участвовали ровно в двух олимпиадах.

Пусть $N_3$ — это количество учеников, которые участвовали во всех трёх олимпиадах.

Общее количество учеников, которое необходимо найти, равно сумме этих групп: $N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3$.

Из условия задачи нам известны соотношения между этими группами:

• Участвовавших в двух олимпиадах вдвое меньше, чем в одной: $N_2 = \frac{N_1}{2}$
• Участвовавших в трёх олимпиадах втрое меньше, чем в одной: $N_3 = \frac{N_1}{3}$

Теперь посчитаем общее число "участий". Если сложить количество участников по каждому предмету, мы получим общее количество зарегистрированных участий:

Общее число участий = $100$ (математика) $+ 50$ (физика) $+ 48$ (информатика) $= 198$.

Это общее число участий можно также выразить через количество учеников в каждой группе. Каждый ученик из группы $N_1$ вносит в эту сумму 1 участие, из группы $N_2$ — 2 участия, а из группы $N_3$ — 3 участия. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$1 \cdot N_1 + 2 \cdot N_2 + 3 \cdot N_3 = 198$

Теперь подставим в это уравнение выражения для $N_2$ и $N_3$ через $N_1$:

$N_1 + 2 \cdot \left(\frac{N_1}{2}\right) + 3 \cdot \left(\frac{N_1}{3}\right) = 198$

Упростим полученное уравнение:

$N_1 + N_1 + N_1 = 198$

$3N_1 = 198$

Отсюда находим количество учеников, участвовавших в одной олимпиаде:

$N_1 = \frac{198}{3} = 66$ человек.

Теперь, зная $N_1$, мы можем найти $N_2$ и $N_3$:

$N_2 = \frac{66}{2} = 33$ человека.

$N_3 = \frac{66}{3} = 22$ человека.

Наконец, найдем общее количество учеников, сложив все группы:

$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 = 66 + 33 + 22 = 121$ человек.

Ответ: 121

573 В школьной олимпиаде по математике участвовали 100 человек, по физике – 50, по информатике – 48. Когда учеников спросили, в скольких олимпиадах они участвовали, ответ “в двух” дали вдвое меньше человек, чем ответ “в одной”, а ответ “в трех” – втрое меньше, чем “в одной”. Сколько всего учеников участвовало в этих олимпиадах?

525 В физике при расчёте сопротивления R проводника используется формула

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения и $\rho$ – удельное сопротивление. Вырази из этой формулы значения $\rho$, $l$ и $S$.

В задаче дана формула для расчёта сопротивления проводника:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $R$ – сопротивление, $\rho$ – удельное сопротивление, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения.

Необходимо выразить из этой формулы переменные $\rho$, $l$ и $S$. Для этого будем использовать основные правила преобразования уравнений.

ρ

Чтобы найти $\rho$, нужно изолировать эту переменную. Исходная формула:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Сначала умножим обе части уравнения на $S$, чтобы избавиться от знаменателя:

$R \cdot S = \rho \cdot l$

Теперь разделим обе части уравнения на $l$, чтобы слева осталось только $\rho$ (записав его справа для удобства):

$\frac{R \cdot S}{l} = \rho$

Ответ: $\rho = \frac{R \cdot S}{l}$

l

Чтобы найти $l$, воспользуемся уже полученным промежуточным уравнением $R \cdot S = \rho \cdot l$.

Чтобы изолировать $l$, разделим обе части этого уравнения на $\rho$:

$\frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{\rho \cdot l}{\rho}$

$\frac{R \cdot S}{\rho} = l$

Ответ: $l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

S

Чтобы найти $S$, снова вернемся к промежуточному уравнению $R \cdot S = \rho \cdot l$.

Чтобы изолировать $S$, разделим обе части этого уравнения на $R$:

$\frac{R \cdot S}{R} = \frac{\rho \cdot l}{R}$

$S = \frac{\rho \cdot l}{R}$

Ответ: $S = \frac{\rho \cdot l}{R}$

525 В физике при расчете сопротивления $R$ проводника используется формула:

$R = \rho \frac{l}{S}$

где $l$ – длина проводника, $S$ – площадь его поперечного сечения и $\rho$ – удельное сопротивление. Вырази из этой формулы значения $\rho$, $l$ и $S$.

526 Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания физического тела, можно вычислить по формуле

$Q = cm(t_2 - t_1)$

где $c$ – удельная теплоёмкость вещества, $m$ – масса тела, $t_1$ – начальная и $t_2$ – конечная температуры тела. Вырази из этой формулы значения $c, m, t_1$ и $t_2$.

Дана формула для вычисления количества теплоты: $Q = cm(t_2 - t_1)$.

Для того чтобы выразить каждую из переменных ($c, m, t_1, t_2$), необходимо выполнить алгебраические преобразования, чтобы изолировать искомую переменную в левой части уравнения.

c
В исходном уравнении $Q = cm(t_2 - t_1)$ переменная $c$ является одним из множителей в правой части. Чтобы найти неизвестный множитель $c$, нужно произведение $Q$ разделить на остальные множители, то есть на $m(t_2 - t_1)$.
$c = \frac{Q}{m(t_2 - t_1)}$
Ответ: $c = \frac{Q}{m(t_2 - t_1)}$

m
Аналогично, чтобы выразить массу $m$, нужно произведение $Q$ разделить на множители $c$ и $(t_2 - t_1)$.
$m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}$
Ответ: $m = \frac{Q}{c(t_2 - t_1)}$

t₁
Чтобы выразить начальную температуру $t_1$, сначала выразим разность температур $(t_2 - t_1)$. Эта разность является множителем, поэтому для её нахождения разделим $Q$ на $cm$.
$t_2 - t_1 = \frac{Q}{cm}$
Теперь в полученном уравнении $t_1$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($t_2$) вычесть разность ($\frac{Q}{cm}$).
$t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$
Ответ: $t_1 = t_2 - \frac{Q}{cm}$

t₂
Чтобы выразить конечную температуру $t_2$, начнём так же, как и в предыдущем пункте, с выражения для разности температур:
$t_2 - t_1 = \frac{Q}{cm}$
В этом уравнении $t_2$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности ($\frac{Q}{cm}$) прибавить вычитаемое ($t_1$).
$t_2 = t_1 + \frac{Q}{cm}$
Ответ: $t_2 = t_1 + \frac{Q}{cm}$

526 Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания физического тела, можно вычислить по формуле:

$Q = cm(t_2 - t_1)$,

где $c$ – удельная теплоемкость вещества, $m$ – масса тела, $t_1$ – начальная и $t_2$ – конечная температуры тела. Вырази из этой формулы значения $c$, $m$, $t_1$ и $t_2$.

527 Выполни действия и упрости, если возможно, полученные выражения (значения всех переменных отличны от нуля):

а) $\frac{m}{15} - \frac{m}{25};$

б) $\frac{8}{3a} + \frac{2}{a^2};$

в) $-\frac{7x}{12y^2} \cdot \frac{6y^3}{x};$

г) $\frac{ab}{9c^2} : \frac{-5a^2}{18c}.$

а) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{m}{15} - \frac{m}{25}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 15 и 25. Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $25 = 5^2$. НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 75$. Теперь приведем дроби к знаменателю 75. Дополнительный множитель для первой дроби: $75 / 15 = 5$. Дополнительный множитель для второй дроби: $75 / 25 = 3$. Получаем:
$\frac{m \cdot 5}{15 \cdot 5} - \frac{m \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{5m}{75} - \frac{3m}{75} = \frac{5m - 3m}{75} = \frac{2m}{75}$.
Ответ: $\frac{2m}{75}$

б) Для сложения дробей $\frac{8}{3a} + \frac{2}{a^2}$ найдем общий знаменатель. Общим знаменателем для $3a$ и $a^2$ будет $3a^2$. Дополнительный множитель для первой дроби: $3a^2 / (3a) = a$. Дополнительный множитель для второй дроби: $3a^2 / a^2 = 3$. Приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
$\frac{8 \cdot a}{3a \cdot a} + \frac{2 \cdot 3}{a^2 \cdot 3} = \frac{8a}{3a^2} + \frac{6}{3a^2} = \frac{8a + 6}{3a^2}$.
В числителе можно вынести общий множитель 2 за скобки: $\frac{2(4a + 3)}{3a^2}$. Дальнейшее сокращение невозможно.
Ответ: $\frac{8a+6}{3a^2}$

в) Чтобы перемножить дроби $-\frac{7x}{12y^2} \cdot \frac{6y^3}{x}$, нужно перемножить их числители и знаменатели, а затем упростить выражение:
$-\frac{7x}{12y^2} \cdot \frac{6y^3}{x} = -\frac{7x \cdot 6y^3}{12y^2 \cdot x} = -\frac{42xy^3}{12xy^2}$.
Теперь сократим полученную дробь. Коэффициенты 42 и 12 делятся на 6: $42/6 = 7$, $12/6 = 2$. Переменная $x$ в числителе и знаменателе сокращается. Для переменной $y$ используем свойство степеней: $\frac{y^3}{y^2} = y^{3-2} = y$.
В результате получаем: $-\frac{7y}{2}$.
Ответ: $-\frac{7y}{2}$

г) Деление дробей $\frac{ab}{9c^2} \div \frac{-5a^2}{18c}$ заменяется на умножение первой дроби на дробь, обратную второй (переворачиваем вторую дробь):
$\frac{ab}{9c^2} \cdot \frac{18c}{-5a^2} = \frac{ab \cdot 18c}{9c^2 \cdot (-5a^2)} = -\frac{18abc}{45a^2c^2}$.
Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты 18 и 45 на их наибольший общий делитель, который равен 9: $18/9 = 2$, $45/9 = 5$. Сократим переменные, используя свойства степеней: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$ и $\frac{c}{c^2} = \frac{1}{c}$.
Собираем все вместе: $-\frac{2 \cdot b}{5 \cdot a \cdot c} = -\frac{2b}{5ac}$.
Ответ: $-\frac{2b}{5ac}$

527 Выполни действия и упрости, если возможно, полученные выражения (значения всех переменных отличны от нуля):

а) $\frac{m}{15} - \frac{m}{25};$

б) $\frac{8}{3a} + \frac{2}{a^2};$

В) $-\frac{7x}{12y^2} \cdot \frac{6y^3}{x};$

Г) $\frac{ab}{9c^2} : \frac{-5a^2}{18c}.$

D 528 Склей из бумаги модель цилиндра, радиус основания которого равен $3,5 \text{ см}$, а развёртка боковой поверхности — прямоугольник со сторонами $7\pi \text{ см}$ и $10 \text{ см}$, где $\pi$ — число, равное примерно $3,14$.

Для того чтобы склеить модель цилиндра, необходимо подготовить его развёртку. Развёртка цилиндра состоит из двух одинаковых кругов, являющихся основаниями, и одного прямоугольника, образующего боковую поверхность.

Сначала определим размеры оснований. По условию, радиус основания цилиндра равен $r = 3.5$ см. Следовательно, для модели нужно вырезать два одинаковых круга с радиусом 3,5 см.

Далее определим размеры боковой поверхности. В условии сказано, что её развёртка представляет собой прямоугольник со сторонами $7\pi$ см и $10$ см. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — длине окружности его основания ($C$).

Чтобы выяснить, какая из сторон является высотой, найдём длину окружности основания по формуле $C = 2\pi r$. Подставим в неё известное значение радиуса $r = 3.5$ см:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 3.5 = 7\pi$ см.

Длина окружности основания оказалась равной $7\pi$ см, что совпадает с одной из сторон прямоугольника, данного в условии. Это означает, что вторая сторона прямоугольника является высотой цилиндра. Таким образом, высота цилиндра $h = 10$ см, а длина окружности основания $C = 7\pi$ см.

Для практического вырезания прямоугольника из бумаги, найдём его длину в сантиметрах, используя приближённое значение $\pi \approx 3.14$:

$C = 7\pi \approx 7 \cdot 3.14 = 21.98$ см.

Итак, для изготовления модели цилиндра необходимо вырезать из бумаги следующие детали:

• Два круга радиусом 3,5 см.
• Один прямоугольник со сторонами 10 см и 21,98 см.

Ответ: Для склеивания модели цилиндра нужно вырезать из бумаги два круга радиусом 3,5 см и один прямоугольник со сторонами 10 см и $7\pi$ см (приблизительно 21,98 см).

528 Склей из бумаги модель цилиндра, радиус основания которого равен 3,5 см, а развертка боковой поверхности – прямоугольник со сторонами $7\pi$ см и 10 см, где $\pi$ – число, равное примерно 3,14.

529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали, если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела.

Геометрическое тело и его размеры

Геометрическое тело, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали, представляет собой объединение двух одинаковых прямых круговых конусов, соединенных своими основаниями. Диагональ квадрата, являясь осью вращения, делит его на два конгруэнтных прямоугольных равнобедренных треугольника. Вращение каждого такого треугольника вокруг одного из его катетов (который является частью оси вращения) и образует один из конусов.

Рассчитаем размеры полученного тела вращения.

1. Общая высота тела. Она равна длине диагонали квадрата, которая по условию составляет $d = 12$ см.

2. Размеры конусов. Тело состоит из двух идентичных конусов. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам и взаимно перпендикулярны. Поэтому высота каждого конуса $h$ и радиус их общего основания $R$ равны половине длины диагонали:
$h = R = d/2 = 12 / 2 = 6$ см.

3. Размеры для чертежа. Чертеж выполняется в масштабе 1:3, поэтому все реальные размеры нужно уменьшить в три раза:

• Общая высота тела на чертеже: $H' = 12 \text{ см} / 3 = 4 \text{ см}$.
• Радиус основания на чертеже: $R' = 6 \text{ см} / 3 = 2 \text{ см}$.
• Диаметр основания на чертеже: $D' = 2 \times R' = 4 \text{ см}$.

Ответ: Тело вращения состоит из двух конусов, соединенных основаниями. Реальные размеры: общая высота 12 см, диаметр общего основания 12 см. Для чертежа в масштабе 1:3 используются размеры: общая высота 4 см, диаметр общего основания 4 см.

Три проекции этого тела

Для построения трех ортогональных проекций (вид спереди, вид сверху, вид сбоку) расположим тело так, чтобы его ось вращения была горизонтальна и параллельна фронтальной плоскости проекций.

• Вид спереди (фронтальная проекция). Силуэт тела представляет собой квадрат, диагонали которого — это ось вращения (высота тела) и диаметр основания. Поскольку высота тела и диаметр основания равны (по 4 см на чертеже), проекция является квадратом, повернутым на 45°.
• Вид сверху (горизонтальная проекция). Из-за осевой симметрии тела вид сверху будет идентичен виду спереди — такой же повернутый квадрат.
• Вид сбоку (профильная проекция). При взгляде вдоль оси вращения мы видим общее основание конусов. Эта проекция представляет собой окружность, диаметр которой равен диаметру основания тела (4 см на чертеже).

Ниже представлен чертеж трех проекций в масштабе 1:3 с указанием размеров в сантиметрах.

Ответ: Фронтальная и горизонтальная проекции тела представляют собой квадраты с диагоналями 4 см, повернутые на 45°. Профильная проекция — это окружность диаметром 4 см.

529 Нарисуй в масштабе 1 : 3 геометрическое тело, которое получается при вращении квадрата вокруг своей диагонали, если длина диагонали равна 12 см. Начерти три проекции этого тела.

530 Упрости выражения и найди их значения:

a) $\frac{3}{a} + \frac{7}{2a}$, если $a = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{2}{5c} - \frac{1}{4c} + \frac{4}{15c}$, если $c = -\frac{5}{6}$;

в) $\frac{3mn}{2xy} : \frac{6m^2}{xy}$, если $m = \frac{1}{6}; n = -\frac{2}{3}; x = 0,8; y = -0,5.$

а)

Сначала упростим выражение, приведя дроби к общему знаменателю $2a$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$\frac{3}{a} + \frac{7}{2a} = \frac{3 \cdot 2}{a \cdot 2} + \frac{7}{2a} = \frac{6}{2a} + \frac{7}{2a}$
Теперь сложим дроби:
$\frac{6 + 7}{2a} = \frac{13}{2a}$
Подставим значение $a = -\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение:
$\frac{13}{2a} = \frac{13}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{13}{-1} = -13$
Ответ: -13.

б)

Упростим выражение. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{2}{5c}$, $\frac{1}{4c}$ и $\frac{4}{15c}$. Наименьшее общее кратное для чисел 5, 4 и 15 равно 60. Таким образом, общий знаменатель равен $60c$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$\frac{2 \cdot 12}{5c \cdot 12} - \frac{1 \cdot 15}{4c \cdot 15} + \frac{4 \cdot 4}{15c \cdot 4} = \frac{24}{60c} - \frac{15}{60c} + \frac{16}{60c}$
Выполним действия с числителями:
$\frac{24 - 15 + 16}{60c} = \frac{9 + 16}{60c} = \frac{25}{60c}$
Сократим полученную дробь на 5:
$\frac{25 \div 5}{60c \div 5} = \frac{5}{12c}$
Теперь подставим значение $c = -\frac{5}{6}$ в упрощенное выражение:
$\frac{5}{12c} = \frac{5}{12 \cdot (-\frac{5}{6})} = \frac{5}{-\frac{12 \cdot 5}{6}} = \frac{5}{-2 \cdot 5} = \frac{5}{-10} = -0,5$
Ответ: -0,5.

в)

Упростим выражение. Деление дробей эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{3mn}{2xy} : \frac{6m^2}{xy} = \frac{3mn}{2xy} \cdot \frac{xy}{6m^2}$
Теперь умножим дроби и сократим общие множители:
$\frac{3mn \cdot xy}{2xy \cdot 6m^2} = \frac{3 \cdot m \cdot n \cdot x \cdot y}{12 \cdot m^2 \cdot x \cdot y}$
Сокращаем $3$ и $12$ на $3$, $m$ и $m^2$ на $m$, а также $xy$:
$\frac{n}{4m}$
Подставим значения $m = \frac{1}{6}$ и $n = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение (значения $x$ и $y$ не требуются):
$\frac{n}{4m} = \frac{-\frac{2}{3}}{4 \cdot \frac{1}{6}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{4}{6}} = \frac{-\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}$
Так как числитель и знаменатель являются противоположными числами, их частное равно -1.
$-\frac{2}{3} : \frac{2}{3} = -1$
Ответ: -1.

530 Упрости выражения и найди их значения:

a) $\frac{3}{a} + \frac{7}{2a}$, если $a = -\frac{1}{2}$;

б) $\frac{2}{5c} - \frac{1}{4c} + \frac{4}{15c}$, если $c = -\frac{5}{6}$;

в) $\frac{3mn}{2xy} : \frac{6m^2}{xy}$, если $m = \frac{1}{6}$; $n = -\frac{2}{3}$; $x = 0,8$; $y = -0,5$.

531 На выполнение домашних заданий у Димы ушло 2 ч. Это время он распределил между математикой, русским языком, английским языком и биологией в отношении $2 : 2 : 3 : 1$. Сколько времени ушло на каждый из предметов?

Для решения задачи нам нужно разделить общее время, 2 часа, на части в соответствии с заданным отношением $2:2:3:1$.

1. Сначала переведем общее время в минуты для удобства вычислений. В одном часе 60 минут, следовательно:

$2 \text{ ч} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{ч}} = 120 \text{ минут}$

2. Далее найдем общее количество частей, на которые разделено время. Для этого сложим все числа в отношении:

$2 + 2 + 3 + 1 = 8 \text{ частей}$

3. Теперь определим, сколько минут составляет одна часть. Разделим общее время в минутах на общее количество частей:

$120 \text{ минут} \div 8 \text{ частей} = 15 \text{ минут}$

Таким образом, одна часть времени равна 15 минутам.

4. Наконец, рассчитаем время, затраченное на каждый предмет, умножив количество частей на время одной части.

• Математика (2 части):

  $2 \times 15 \text{ минут} = 30 \text{ минут}$

  Ответ: 30 минут.

• Русский язык (2 части):

  $2 \times 15 \text{ минут} = 30 \text{ минут}$

  Ответ: 30 минут.

• Английский язык (3 части):

  $3 \times 15 \text{ минут} = 45 \text{ минут}$

  Ответ: 45 минут.

• Биология (1 часть):

  $1 \times 15 \text{ минут} = 15 \text{ минут}$

  Ответ: 15 минут.

531 На выполнение домашних заданий у Димы ушло 2 ч. Это время он распределил между математикой, русским языком, английским языком и биологией в отношении $2 : 2 : 3 : 1$. Сколько времени ушло на каждый из предметов?

532 Скорость v, с которой тело движется по окружности, можно вычислить по формуле:

$v = \frac{2\pi r}{T}$

где r – радиус окружности, T – время, за которое оно совершает один полный оборот (период обращения), π – число, равное примерно 3,14. Вырази из этой формулы значения r и T.

Для того чтобы выразить переменные $r$ и $T$ из формулы скорости $v = \frac{2\pi r}{T}$, необходимо выполнить алгебраические преобразования.

r

1. Исходная формула:

$$v = \frac{2\pi r}{T}$$

2. Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $T$:

$$v \cdot T = \frac{2\pi r}{T} \cdot T$$

$$vT = 2\pi r$$

3. Теперь, чтобы выразить $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$$\frac{vT}{2\pi} = \frac{2\pi r}{2\pi}$$

$$r = \frac{vT}{2\pi}$$

Ответ: $r = \frac{vT}{2\pi}$

T

1. Снова возьмем исходную формулу:

$$v = \frac{2\pi r}{T}$$

2. Умножим обе части уравнения на $T$, чтобы переместить $T$ из знаменателя в числитель:

$$v \cdot T = 2\pi r$$

3. Теперь, чтобы выразить $T$, разделим обе части уравнения на $v$:

$$\frac{vT}{v} = \frac{2\pi r}{v}$$

$$T = \frac{2\pi r}{v}$$

Ответ: $T = \frac{2\pi r}{v}$

532 Скорость $v$, с которой тело движется по окружности, можно вычислить по формуле:

$$v = \frac{2\pi r}{T},$$

где $r$ – радиус окружности, $T$ – время, за которое оно совершает один полный оборот (период обращения), $\pi$ – число, равное примерно $3,14$. Вырази из этой формулы значения $r$ и $T$.