Страница 129, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

546 Найди объём тела, изображённого на рис. 89, и построй три его проекции в масштабе $1:10$.

40 см

40 см

40 см

Рис. 89

45 см

32 см

50 см

50 см

32 см

45 см

Рис. 90

Задача состоит из двух частей: нахождение объёма тела и построение его трёх проекций.

Тело, изображённое на рис. 89, представляет собой комбинацию двух геометрических тел: куба в основании и правильной четырёхугольной пирамиды сверху.

Размеры куба:
- Длина ребра основания: $a = 40$ см
- Высота: $h_{куба} = 40$ см

Размеры пирамиды:
- Основание: квадрат со стороной $a = 40$ см (совпадает с верхней гранью куба).
- Высота: $h_{пирамиды}$. Высота пирамиды не указана на чертеже. Однако, из пропорций рисунка можно сделать обоснованное предположение, что высота пирамиды равна половине стороны её основания. Такое соотношение (когда боковые грани наклонены к основанию под углом 45°) часто используется в учебных задачах при отсутствии явных указаний. Таким образом, принимаем $h_{пирамиды} = 40 / 2 = 20$ см.

Общий объём тела $V$ равен сумме объёма куба $V_{куба}$ и объёма пирамиды $V_{пирамиды}$.

1. Вычислим объём куба:
$V_{куба} = a^3 = 40^3 = 64000 \text{ см}^3$.

2. Вычислим объём пирамиды. Формула объёма пирамиды: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пирамиды}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
$S_{осн} = a^2 = 40^2 = 1600 \text{ см}^2$.
$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 1600 \cdot 20 = \frac{32000}{3} \text{ см}^3$.

3. Найдём общий объём тела:
$V = V_{куба} + V_{пирамиды} = 64000 + \frac{32000}{3} = \frac{192000}{3} + \frac{32000}{3} = \frac{224000}{3} \text{ см}^3$.

Переведём неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{224000}{3} = 74666 \frac{2}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: Объём тела равен $\frac{224000}{3} \text{ см}^3$, или $74666 \frac{2}{3} \text{ см}^3$.

Требуется построить три ортогональные проекции тела: вид спереди, вид сверху и вид сбоку (слева) в масштабе 1:10.

Сначала найдём размеры для построения в заданном масштабе:
- Ширина (и глубина) основания: $40 \text{ см} / 10 = 4$ см.
- Высота кубической части: $40 \text{ см} / 10 = 4$ см.
- Высота пирамидальной части: $20 \text{ см} / 10 = 2$ см.
- Общая высота тела: $(40 + 20) \text{ см} / 10 = 6$ см.

Описание проекций:
- Вид спереди: квадрат размером 4x4 см, над которым расположен равнобедренный треугольник высотой 2 см.
- Вид сверху: квадрат размером 4x4 см с проведёнными диагоналями (которые являются проекциями рёбер пирамиды).
- Вид сбоку (слева): так как основание тела квадратное, а пирамида правильная, вид сбоку идентичен виду спереди.

Ниже представлен чертёж с тремя проекциями и указанием размеров в сантиметрах.

Ответ: Три проекции тела в масштабе 1:10, с указанием размеров, представлены на чертеже выше.

546 Найди объем тела, изображенного на рис. 89, и построй три его проекции в масштабе 1 : 10.

Рис. 89

Рис. 90

547 a) На изготовление какого из двух аквариумов на рис. 90 потребовалось больше стекла?

б) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором – на 5 см. В каком аквариуме больше воды?

Рис. 90

а)

Чтобы определить, на изготовление какого аквариума потребовалось больше стекла, необходимо вычислить площадь поверхности каждого аквариума. Так как аквариум открыт сверху, его поверхность состоит из площади дна и площади четырех боковых стенок.

Площадь поверхности ($S$) аквариума без крышки вычисляется по формуле:

$S = S_{дна} + S_{боковой~поверхности} = lw + 2(l+w)h$, где $l$ – длина, $w$ – ширина, $h$ – высота.

Для первого аквариума (слева):

Размеры: $l_1 = 45$ см, $w_1 = 32$ см, $h_1 = 50$ см.

Вычислим площадь его поверхности:

$S_1 = (45 \times 32) + 2 \times (45 + 32) \times 50 = 1440 + 2 \times 77 \times 50 = 1440 + 7700 = 9140$ см².

Для второго аквариума (справа):

Размеры: $l_2 = 50$ см, $w_2 = 32$ см, $h_2 = 45$ см.

Вычислим площадь его поверхности:

$S_2 = (50 \times 32) + 2 \times (50 + 32) \times 45 = 1600 + 2 \times 82 \times 45 = 1600 + 7380 = 8980$ см².

Сравним полученные площади: $9140 \text{ см}^2 > 8980 \text{ см}^2$.

Следовательно, на изготовление первого аквариума потребовалось больше стекла.

Ответ: На изготовление первого аквариума потребовалось больше стекла.

б)

Чтобы определить, в каком аквариуме больше воды, нужно найти объем воды в каждом из них. Объем воды ($V$) вычисляется как произведение площади дна на высоту уровня воды.

Формула для объема воды: $V = l \times w \times h_{воды}$.

Для первого аквариума:

Размеры дна: $l_1 = 45$ см, $w_1 = 32$ см.

Высота аквариума $h_1 = 50$ см. По условию, уровень воды на 10 см ниже верхнего края, значит, высота столба воды: $h_{воды1} = 50 - 10 = 40$ см.

Найдем объем воды:

$V_1 = 45 \times 32 \times 40 = 1440 \times 40 = 57600$ см³.

Для второго аквариума:

Размеры дна: $l_2 = 50$ см, $w_2 = 32$ см.

Высота аквариума $h_2 = 45$ см. По условию, уровень воды на 5 см ниже верхнего края, значит, высота столба воды: $h_{воды2} = 45 - 5 = 40$ см.

Найдем объем воды:

$V_2 = 50 \times 32 \times 40 = 1600 \times 40 = 64000$ см³.

Сравним объемы воды в двух аквариумах: $64000 \text{ см}^3 > 57600 \text{ см}^3$.

Следовательно, во втором аквариуме воды больше.

Ответ: Во втором аквариуме больше воды.

547 a) На изготовление какого из двух аквариумов на рис. 90 потребовалось больше стекла?

b) Аквариумы заполнили водой так, что уровень воды в первом аквариуме ниже верхнего края на 10 см, а во втором – на 5 см. В каком аквариуме больше воды?

548 Сравни:

a) $40 \text{ см}^2$ и $4 \text{ дм}^2$;

$500 \text{ мм}^2$ и $5 \text{ см}^2$;

$8000 \text{ дм}^2$ и $8 \text{ м}^2$;

$10\ 000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ га}$;

б) $9000 \text{ дм}^3$ и $9 \text{ м}^3$;

$700 \text{ см}^3$ и $7 \text{ дм}^3$;

$20\ 000 \text{ мм}^3$ и $2 \text{ см}^3$;

$600\ 000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ м}^3$.

а)

Сравним $40 \text{ см}^2$ и $4 \text{ дм}^2$. Для этого приведем величины к одной единице измерения, например, к квадратным сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно $1 \text{ дм}^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$. Тогда $4 \text{ дм}^2 = 4 \times 100 \text{ см}^2 = 400 \text{ см}^2$. Сравниваем $40 \text{ см}^2$ и $400 \text{ см}^2$. Так как $40 < 400$, то $40 \text{ см}^2 < 4 \text{ дм}^2$.
Ответ: $40 \text{ см}^2 < 4 \text{ дм}^2$.

Сравним $500 \text{ мм}^2$ и $5 \text{ см}^2$. Приведем к квадратным миллиметрам. В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), значит в одном квадратном сантиметре $1 \text{ см}^2 = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$. Тогда $5 \text{ см}^2 = 5 \times 100 \text{ мм}^2 = 500 \text{ мм}^2$. Сравниваем $500 \text{ мм}^2$ и $500 \text{ мм}^2$. Величины равны.
Ответ: $500 \text{ мм}^2 = 5 \text{ см}^2$.

Сравним $8000 \text{ дм}^2$ и $8 \text{ м}^2$. Приведем к квадратным дециметрам. В одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$), значит в одном квадратном метре $1 \text{ м}^2 = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 100 \text{ дм}^2$. Тогда $8 \text{ м}^2 = 8 \times 100 \text{ дм}^2 = 800 \text{ дм}^2$. Сравниваем $8000 \text{ дм}^2$ и $800 \text{ дм}^2$. Так как $8000 > 800$, то $8000 \text{ дм}^2 > 8 \text{ м}^2$.
Ответ: $8000 \text{ дм}^2 > 8 \text{ м}^2$.

Сравним $10 000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ га}$. Гектар (га) — это единица площади, равная площади квадрата со стороной 100 м. Таким образом, $1 \text{ га} = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10 000 \text{ м}^2$. Сравниваем $10 000 \text{ м}^2$ и $10 000 \text{ м}^2$. Величины равны.
Ответ: $10 000 \text{ м}^2 = 1 \text{ га}$.

б)

Сравним $9000 \text{ дм}^3$ и $9 \text{ м}^3$. Для этого приведем величины к одной единице измерения, например, к кубическим дециметрам. Мы знаем, что $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, следовательно $1 \text{ м}^3 = 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 1000 \text{ дм}^3$. Тогда $9 \text{ м}^3 = 9 \times 1000 \text{ дм}^3 = 9000 \text{ дм}^3$. Сравниваем $9000 \text{ дм}^3$ и $9000 \text{ дм}^3$. Величины равны.
Ответ: $9000 \text{ дм}^3 = 9 \text{ м}^3$.

Сравним $700 \text{ см}^3$ и $7 \text{ дм}^3$. Приведем к кубическим сантиметрам. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), значит в одном кубическом дециметре $1 \text{ дм}^3 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$. Тогда $7 \text{ дм}^3 = 7 \times 1000 \text{ см}^3 = 7000 \text{ см}^3$. Сравниваем $700 \text{ см}^3$ и $7000 \text{ см}^3$. Так как $700 < 7000$, то $700 \text{ см}^3 < 7 \text{ дм}^3$.
Ответ: $700 \text{ см}^3 < 7 \text{ дм}^3$.

Сравним $20 000 \text{ мм}^3$ и $2 \text{ см}^3$. Приведем к кубическим миллиметрам. В одном сантиметре 10 миллиметров ($1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$), значит в одном кубическом сантиметре $1 \text{ см}^3 = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 1000 \text{ мм}^3$. Тогда $2 \text{ см}^3 = 2 \times 1000 \text{ мм}^3 = 2000 \text{ мм}^3$. Сравниваем $20 000 \text{ мм}^3$ и $2000 \text{ мм}^3$. Так как $20 000 > 2000$, то $20 000 \text{ мм}^3 > 2 \text{ см}^3$.
Ответ: $20 000 \text{ мм}^3 > 2 \text{ см}^3$.

Сравним $600 000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ м}^3$. Приведем к кубическим сантиметрам. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), значит в одном кубическом метре $1 \text{ м}^3 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 1 000 000 \text{ см}^3$. Тогда $6 \text{ м}^3 = 6 \times 1 000 000 \text{ см}^3 = 6 000 000 \text{ см}^3$. Сравниваем $600 000 \text{ см}^3$ и $6 000 000 \text{ см}^3$. Так как $600 000 < 6 000 000$, то $600 000 \text{ см}^3 < 6 \text{ м}^3$.
Ответ: $600 000 \text{ см}^3 < 6 \text{ м}^3$.

548 Сравни:

a) $40 \text{ см}^2$ и $4 \text{ дм}^2$;

$500 \text{ мм}^2$ и $5 \text{ см}^2$;

$8000 \text{ дм}^2$ и $8 \text{ м}^2$;

$10\,000 \text{ м}^2$ и $1 \text{ га}$;

б) $9000 \text{ дм}^3$ и $9 \text{ м}^3$;

$700 \text{ см}^3$ и $7 \text{ дм}^3$;

$20\,000 \text{ мм}^3$ и $2 \text{ см}^3$;

$600\,000 \text{ см}^3$ и $6 \text{ м}^3$.

549 Из текста учебника выпиши формулы, выражающие зависимость между величинами в круге и в шаре. Пользуясь ими, реши задачи.

1) Радиус окружности равен 5 см. Чему равна длина этой окружности? Число $pi$ округли до сотых.

2) Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число $pi$ округли до целых.

3) Выполни измерения и найди площади заштрихованных фигур. Число $pi$ округли до десятых.

A

B

C

4) Радиус мяча равен 1,5 дм. Найди его объём и площадь поверхности. Число $pi$ округли до сотых, а полученные ответы – до десятых.

Основные формулы, выражающие зависимости между величинами в круге и в шаре:

• Длина окружности: $C = 2\pi R$ или $C = \pi D$, где $R$ – радиус, $D$ – диаметр.
• Площадь круга: $S = \pi R^2$.
• Объём шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
• Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$.

1)

Для нахождения длины окружности используется формула $C = 2\pi R$.
По условию, радиус окружности $R = 5$ см, а число $\pi$ необходимо округлить до сотых, то есть $\pi \approx 3,14$.
Подставим значения в формулу:
$C = 2 \cdot 3,14 \cdot 5 = 10 \cdot 3,14 = 31,4$ см.
Ответ: 31,4 см.

2)

Сначала найдем длину окружности колеса, которая равна расстоянию, проходимому за один оборот. Воспользуемся формулой $C = \pi D$.
По условию, диаметр колеса $D = 0,8$ м, а число $\pi$ нужно округлить до целых, то есть $\pi \approx 3$.
Длина окружности: $C \approx 3 \cdot 0,8 = 2,4$ м.
Теперь определим, сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км. Необходимо привести все единицы к метрам: $1,2$ км = $1200$ м.
Количество оборотов $N$ равно отношению общего пути к длине окружности колеса:
$N = \frac{1200}{2,4} = \frac{12000}{24} = 500$ оборотов.
Ответ: 500 оборотов.

3)

Для нахождения площадей заштрихованных фигур необходимо выполнить измерения. Так как измерения по изображению на экране могут быть неточными, будем использовать предполагаемые, наиболее вероятные для школьной задачи, значения. Число $\pi$ округлим до десятых: $\pi \approx 3,1$.

Для фигуры A (кольцо):
Предположим, что внешний радиус $R = 1,5$ см, а внутренний радиус $r = 1$ см.
Площадь кольца $S_A$ вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов: $S_A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$.
$S_A \approx 3,1 \cdot (1,5^2 - 1^2) = 3,1 \cdot (2,25 - 1) = 3,1 \cdot 1,25 = 3,875$ см$^2$.
Ответ: Площадь фигуры A примерно равна 3,875 см$^2$.

Для фигуры B (квадрат с круглым отверстием):
Предположим, что сторона квадрата $a = 3$ см, а радиус внутреннего круга $r = 1$ см.
Площадь фигуры $S_B$ равна площади квадрата минус площадь круга: $S_B = a^2 - \pi r^2$.
$S_B \approx 3^2 - 3,1 \cdot 1^2 = 9 - 3,1 = 5,9$ см$^2$.
Ответ: Площадь фигуры B примерно равна 5,9 см$^2$.

Для фигуры C (квадрат со скругленными углами):
Предположим, что сторона исходного квадрата $a = 3$ см, а радиус скругления каждого из четырех углов $r = 1$ см.
Четыре вырезанные четверти круга вместе составляют один целый круг радиусом $r$. Площадь фигуры $S_C$ равна площади квадрата минус площадь этого круга: $S_C = a^2 - \pi r^2$.
$S_C \approx 3^2 - 3,1 \cdot 1^2 = 9 - 3,1 = 5,9$ см$^2$.
Ответ: Площадь фигуры C примерно равна 5,9 см$^2$.

4)

Найдём объём и площадь поверхности мяча (шара) с радиусом $R = 1,5$ дм. По условию, $\pi \approx 3,14$, а полученные ответы нужно округлить до десятых.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (1,5)^3 = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot 3,375$.
$V = 4 \cdot 3,14 \cdot \frac{3,375}{3} = 4 \cdot 3,14 \cdot 1,125 = 12,56 \cdot 1,125 = 14,13$ дм$^3$.
Округляем до десятых: $V \approx 14,1$ дм$^3$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$.
$S = 4 \cdot 3,14 \cdot (1,5)^2 = 4 \cdot 3,14 \cdot 2,25$.
$S = 9 \cdot 3,14 = 28,26$ дм$^2$.
Округляем до десятых: $S \approx 28,3$ дм$^2$.
Ответ: объём мяча примерно равен 14,1 дм$^3$, а площадь его поверхности – 28,3 дм$^2$.

549 Из текста учебника выпиши формулы, выражающие зависимости между величинами в круге и в шаре. Пользуясь ими, реши задачи:

1) Радиус окружности равен 5 см. Чему равна длина этой окружности? Число $\pi$ округли до сотых.

2) Сколько оборотов сделает колесо на участке пути в 1,2 км, если диаметр колеса равен 0,8 м? Число $\pi$ округли до целых.

3) Выполни измерения и найди площади заштрихованных фигур. Число $\pi$ округли до десятых.

A

B

C

4) Радиус мяча равен 1,5 дм. Найди его объем и площадь поверхности. Число $\pi$ округли до сотых, а полученные ответы – до десятых.

550. Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса $r$ больше площади круга того же радиуса?

Для того чтобы определить, во сколько раз площадь поверхности шара больше площади круга с одинаковым радиусом $r$, необходимо найти отношение этих двух площадей.

1. Запишем формулу площади поверхности шара.
Площадь поверхности шара (или сферы) с радиусом $r$ вычисляется по формуле:
$S_{шара} = 4\pi r^2$

2. Запишем формулу площади круга.
Площадь круга с радиусом $r$ вычисляется по формуле:
$S_{круга} = \pi r^2$

3. Найдем отношение площади поверхности шара к площади круга.
Чтобы узнать, во сколько раз одна величина больше другой, нужно разделить большую величину на меньшую:
$\frac{S_{шара}}{S_{круга}} = \frac{4\pi r^2}{\pi r^2}$

Сократим общие множители $\pi r^2$ в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{4\cancel{\pi r^2}}{\cancel{\pi r^2}} = 4$

Таким образом, площадь поверхности шара ровно в 4 раза больше площади круга того же радиуса.
Ответ: в 4 раза.

550 Во сколько раз площадь поверхности шара радиуса $r$ больше площади круга того же радиуса?