Страница 123, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

К 561 1) Какая разница между цифрами и однозначными числами?

2) Назови классы и разряды в записи чисел: 518, 1045, 27 019, 780 780, 1 230 456. Представь эти числа в виде суммы разрядных слагаемых.

1) Какая разница между цифрами и однозначными числами?

Основное различие заключается в том, что цифра — это знак или символ, используемый для написания чисел, в то время как число — это понятие, обозначающее количество.

Цифры — это графические символы. В привычной нам десятичной системе их всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры можно сравнить с буквами алфавита, из которых мы составляем слова. Аналогично, из цифр мы составляем числа.

Однозначные числа — это числа, для записи которых требуется только одна цифра. К ним относятся числа от 0 до 9. В этом случае понятие числа (количества) и записывающей его цифры (символа) очень близки. Например, цифра «5» используется для записи числа 5, которое обозначает количество из пяти предметов.

Разница становится более очевидной в многозначных числах. Например, в числе 25 используются две цифры: «2» и «5». Но цифра «2» здесь обозначает не число 2, а число 20 (два десятка), а цифра «5» — число 5 (пять единиц).

Ответ: Цифра — это знак для записи числа. Число — это абстрактное понятие, обозначающее количество. Однозначные числа — это числа, которые записываются с помощью одной цифры.

2) Назови классы и разряды в записи чисел: 518, 1045, 27 019, 780 780, 1 230 456. Представь эти числа в виде суммы разрядных слагаемых.

Число 518

• Классы: число состоит из одного класса — класса единиц.
• Разряды: 8 единиц (1-й разряд), 1 десяток (2-й разряд), 5 сотен (3-й разряд).
• Сумма разрядных слагаемых: $518 = 500 + 10 + 8$.

Число 1045

• Классы: класс тысяч и класс единиц.
• Разряды: 1 единица тысяч, 0 сотен, 4 десятка, 5 единиц.
• Сумма разрядных слагаемых: $1045 = 1000 + 40 + 5$.

Число 27 019

• Классы: класс тысяч и класс единиц.
• Разряды: 2 десятка тысяч, 7 единиц тысяч, 0 сотен, 1 десяток, 9 единиц.
• Сумма разрядных слагаемых: $27019 = 20000 + 7000 + 10 + 9$.

Число 780 780

• Классы: класс тысяч и класс единиц.
• Разряды: 7 сотен тысяч, 8 десятков тысяч, 0 единиц тысяч, 7 сотен, 8 десятков, 0 единиц.
• Сумма разрядных слагаемых: $780780 = 700000 + 80000 + 700 + 80$.

Число 1 230 456

• Классы: класс миллионов, класс тысяч, класс единиц.
• Разряды: 1 единица миллионов, 2 сотни тысяч, 3 десятка тысяч, 0 единиц тысяч, 4 сотни, 5 десятков, 6 единиц.
• Сумма разрядных слагаемых: $1230456 = 1000000 + 200000 + 30000 + 400 + 50 + 6$.

Ответ: Классы, разряды и суммы разрядных слагаемых для каждого числа представлены в решении выше.

561 1) Какая разница между цифрами и однозначными числами?

2) Назови классы и разряды в записи чисел: 518, 1045, 27 019, 780 780, 1 230 456. Представь эти числа в виде суммы разрядных слагаемых.

562 Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах N, Z, Q?

Основные арифметические законы и свойства

Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ справедливы следующие законы и свойства:

• Переместительный (коммутативный) закон

  • Сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
    $a + b = b + a$

  • Умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется.
    $a \cdot b = b \cdot a$

• Сочетательный (ассоциативный) закон

  • Сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.
    $(a + b) + c = a + (b + c)$

  • Умножения: чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
    $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

• Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения

  Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1)

  • Свойство нуля при сложении: существует число 0 (ноль), такое, что прибавление его к любому числу не меняет это число.
    $a + 0 = 0 + a = a$

  • Свойство единицы при умножении: существует число 1 (единица), такое, что умножение на него любого числа не меняет это число.
    $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

• Свойства обратных элементов

  • Существование противоположного элемента: для любого числа $a$ существует противоположное ему число $-a$, такое, что их сумма равна нулю.
    $a + (-a) = 0$

  • Существование обратного элемента: для любого ненулевого числа $a$ существует обратное ему число $a^{-1}$ (или $1/a$), такое, что их произведение равно единице.
    $a \cdot a^{-1} = 1$ (для $a \neq 0$)

Выполнение законов на множествах N, Z, Q

На множестве натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...}

• Переместительный закон (сложения и умножения): выполняется.

• Сочетательный закон (сложения и умножения): выполняется.

• Распределительный закон: выполняется.

• Свойство нейтрального элемента для сложения (нуля): не выполняется, так как ноль не является натуральным числом ($0 \notin N$).

• Свойство нейтрального элемента для умножения (единицы): выполняется, так как $1 \in N$.

• Существование противоположного элемента: не выполняется. Например, для натурального числа 3 противоположное ему число -3 не является натуральным.

• Существование обратного элемента: не выполняется (кроме числа 1). Например, для натурального числа 3 обратное ему число $1/3$ не является натуральным.

Ответ: На множестве натуральных чисел выполняются переместительный, сочетательный, распределительный законы и свойство единицы при умножении. Свойства, связанные с нулем, противоположными и обратными элементами (кроме 1), не выполняются.

На множестве целых чисел Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

• Переместительный, сочетательный и распределительный законы: выполняются.

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1): выполняются, так как $0 \in Z$ и $1 \in Z$.

• Существование противоположного элемента: выполняется. Для любого целого $a$ существует целое $-a$.

• Существование обратного элемента: не выполняется (кроме чисел 1 и -1). Например, для целого числа 3 обратное ему число $1/3$ не является целым.

Ответ: На множестве целых чисел выполняются все перечисленные законы и свойства, кроме существования обратного элемента для умножения (он существует только для 1 и -1).

На множестве рациональных чисел Q

Множество рациональных чисел включает все целые и дробные числа. Все перечисленные ниже законы и свойства для них выполняются.

• Переместительный, сочетательный и распределительный законы: выполняются.

• Свойства нейтральных элементов (0 и 1): выполняются.

• Существование противоположного элемента: выполняется.

• Существование обратного элемента: выполняется для любого ненулевого рационального числа.

Ответ: На множестве рациональных чисел выполняются все перечисленные арифметические законы и свойства.

562 Выпиши основные арифметические законы и известные тебе свойства арифметических действий. Выполняются ли они на множествах $N$, $Z$, $Q$?

563 $A = \{-2; 0.8; 15; -\frac{4}{11}; -36; 0; -1; 3\frac{1}{5}; 4\}$. Нарисуй диаграмму Эйлера - Венна множеств $N, Z, Q$ и отметь на ней элементы множества $A$.

Для того чтобы нарисовать диаграмму Эйлера — Венна, необходимо сначала классифицировать все элементы множества $A = \{-2; 0,8; 15; -\frac{4}{11}; -36; 0; -1; 3\frac{1}{5}; 4\}$ по их принадлежности к множествам натуральных ($N$), целых ($Z$) и рациональных ($Q$) чисел.

Вспомним соотношения между этими множествами. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел, в свою очередь, является подмножеством множества рациональных чисел. Это можно записать в виде $N \subset Z \subset Q$. Следовательно, на диаграмме Эйлера — Венна область для $N$ будет находиться внутри области для $Z$, а область для $Z$ — внутри области для $Q$.

Теперь распределим элементы множества $A$ по соответствующим областям:

• К множеству натуральных чисел $N$ (положительные целые числа) относятся: $4, 15$. Они будут расположены в самой внутренней области диаграммы.
• К множеству целых чисел $Z$, но не натуральных ($Z \setminus N$), относятся отрицательные целые числа и ноль: $-2, -36, 0, -1$. Они будут расположены в средней области (внутри $Z$, но снаружи $N$).
• К множеству рациональных чисел $Q$, но не целых ($Q \setminus Z$), относятся дробные числа: $0,8$ (равно $\frac{4}{5}$), $-\frac{4}{11}$, $3\frac{1}{5}$ (равно $\frac{16}{5}$). Они будут расположены во внешней области (внутри $Q$, но снаружи $Z$).

Ниже представлена диаграмма Эйлера — Венна, на которой отмечены элементы множества $A$ в соответствии с этой классификацией.

Ответ: Диаграмма Эйлера — Венна с расположенными на ней элементами множества A представлена выше. В области натуральных чисел ($N$) находятся $4$ и $15$. В области целых чисел ($Z$), за исключением натуральных, находятся $-1, -2, -36$ и $0$. В области рациональных чисел ($Q$), за исключением целых, находятся $-\frac{4}{11}, 0,8$ и $3\frac{1}{5}$.

563 $A = \{-2; 0.8; 15; -\frac{4}{11}; -36; 0; -1; 3\frac{1}{5}; 4\}$. Нарисуй диаграмму Эйлера-Венна множеств $N$, $Z$, $Q$ и отметь на ней элементы множества $A$.

564 Выбери из множества $A = \{5; -\frac{2}{7}; 0; -12; -7,8; 1\frac{6}{13}; -0,95; 8,6; 21; -3\frac{1}{5}\}$ подмножество:

1) B – положительных чисел;

2) C – отрицательных чисел;

3) D – целых чисел;

4) E – натуральных чисел;

5) F – неотрицательных целых чисел;

6) K – отрицательных дробных чисел.

Построй диаграмму Эйлера – Венна множеств $A$, $B$, $C$ и $D$. Обведи на ней красным карандашом множество $E$, зелёным – множество $F$, а жёлтым – множество $K$.

Для выполнения задания, в первую очередь, необходимо проанализировать исходное множество чисел $A$ и распределить его элементы по требуемым подмножествам.

Исходное множество: $A = \{5; -\frac{2}{7}; 0; -12; -7,8; 1\frac{6}{13}; -0,95; 8,6; 21; -3\frac{1}{5}\}$

1) B – положительных чисел

Положительные числа – это числа, которые больше нуля. Выберем из множества $A$ все такие числа.

Это числа: $5; 1\frac{6}{13}; 8,6; 21$.

Ответ: $B = \{5; 1\frac{6}{13}; 8,6; 21\}$.

2) C – отрицательных чисел

Отрицательные числа – это числа, которые меньше нуля. Выберем из множества $A$ все такие числа.

Это числа: $-\frac{2}{7}; -12; -7,8; -0,95; -3\frac{1}{5}$.

Ответ: $C = \{-\frac{2}{7}; -12; -7,8; -0,95; -3\frac{1}{5}\}$.

3) D – целых чисел

Целые числа – это натуральные числа, им противоположные и число ноль. Это числа без дробной части. Выберем из множества $A$ все целые числа.

Это числа: $5; 0; -12; 21$.

Ответ: $D = \{5; 0; -12; 21\}$.

4) E – натуральных чисел

Натуральные числа – это положительные целые числа, используемые для счёта предметов. Выберем из множества $A$ все натуральные числа.

Это числа: $5; 21$.

Ответ: $E = \{5; 21\}$.

5) F – неотрицательных целых чисел

Неотрицательные целые числа – это все целые числа, которые не являются отрицательными, то есть ноль и все натуральные числа. Выберем из множества $A$ такие числа.

Это числа: $5; 0; 21$.

Ответ: $F = \{5; 0; 21\}$.

6) K – отрицательных дробных чисел

Отрицательные дробные числа – это все отрицательные числа, которые не являются целыми. Выберем из множества $A$ такие числа.

Это числа: $-\frac{2}{7}; -7,8; -0,95; -3\frac{1}{5}$.

Ответ: $K = \{-\frac{2}{7}; -7,8; -0,95; -3\frac{1}{5}\}$.

Диаграмма Эйлера – Венна

На диаграмме множество $A$ является универсальным множеством (представлено прямоугольником). Множества $B$ (положительные числа) и $C$ (отрицательные числа) не пересекаются. Число $0$ не входит ни в $B$, ни в $C$. Множество $D$ (целые числа) пересекается с $B$ (положительные целые) и с $C$ (отрицательные целые), а также включает $0$.

• Множество E (натуральные числа) обведено красным. Это пересечение множеств $B$ и $D$.
• Множество F (неотрицательные целые числа) обведено зелёным. Это часть множества $D$, которая не пересекается с $C$.
• Множество K (отрицательные дробные числа) обведено жёлтым. Это часть множества $C$, которая не пересекается с $D$.

564 Выбери из множества $A=\{5; -\frac{2}{7}; 0; -12; -7,8; 1\frac{6}{13}; -0,95; 8,6; 21; -3\frac{1}{5}\}$ подмножество:

1) B – положительных чисел;

2) C – отрицательных чисел;

3) D – целых чисел;

4) E – натуральных чисел;

5) F – неотрицательных целых чисел;

6) K – отрицательных дробных чисел.

Построй диаграмму Эйлера-Венна множеств A, B, C и D. Обведи на ней красным карандашом множество E, зеленым – множество F, а желтым – множество K.

565 Является ли рациональным числом:

а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2;

б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2?

а)

Пусть сторона квадрата $a = 2$. Диагональ $d$ квадрата является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны сторонам квадрата. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$d^2 = a^2 + a^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$

Отсюда находим длину диагонали:

$d = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Произведение ненулевого рационального числа (2) и иррационального числа ($\sqrt{2}$) является иррациональным числом. Следовательно, длина диагонали не является рациональным числом.

Ответ: нет, длина диагонали квадрата не является рациональным числом.

б)

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a = 1$ и $b = 2$. Длину гипотенузы $c$ найдем по теореме Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

Отсюда находим длину гипотенузы:

$c = \sqrt{5}$

Поскольку число 5 не является полным квадратом целого числа, корень из 5, то есть $\sqrt{5}$, является иррациональным числом. Следовательно, длина гипотенузы не является рациональным числом.

Ответ: нет, длина гипотенузы не является рациональным числом.

565 Является ли рациональным числом:

а) длина диагонали квадрата со стороной, равной 2;

б) длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2?

566 Приведи примеры точек координатной прямой, координаты которых не принадлежат множеству рациональных чисел.

Координаты точек, которые не принадлежат множеству рациональных чисел, являются иррациональными числами. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Примеры точек с иррациональными координатами:

1. Точка с координатой $\sqrt{2}$. Это число является иррациональным, так как не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Его приближенное значение $ \approx 1.41421356... $. На координатной прямой эта точка расположена между 1 и 2.

2. Точка с координатой $\pi$ (пи). Это математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Число $\pi$ иррационально, его приближенное значение $ \approx 3.14159265... $. На координатной прямой эта точка расположена между 3 и 4.

3. Точка с координатой $-\sqrt{3}$. Так как 3 не является точным квадратом целого числа, $\sqrt{3}$ — иррациональное число. Соответственно, $-\sqrt{3}$ также является иррациональным. Его приближенное значение $ \approx -1.7320508... $. На координатной прямой эта точка расположена между -1 и -2.

4. Точка с координатой $1 + \sqrt{5}$. Сумма рационального числа (1) и иррационального числа ($\sqrt{5}$) всегда является иррациональным числом. Приближенное значение $ \approx 1 + 2.2360679... = 3.2360679... $. На координатной прямой эта точка расположена между 3 и 4.

Ответ: Примерами координат таких точек могут служить числа $\sqrt{2}$, $\pi$, $-\sqrt{3}$, $1 + \sqrt{5}$.

566 Приведи примеры точек координатной прямой, координаты которых не принадлежат множеству рациональных чисел.

567 Вычисли (устно).

а) $0 - (-4,8)$

б) $-0,3 + 1,2 - 0,5 - 0,4$

в) $-0,2 \cdot (-0,5)$

г) $0,9 : (-1,8)$

$\frac{7}{12} - 1$

$2,6 - 2 + \frac{2}{5} - 0,8$

$4,5 \cdot (-\frac{2}{3})$

$-\frac{3}{20} : 0,15$

$-0,6 + 0,24$

$-1,5 - 2,25 + 1,9 - 0,25$

$-5,6 : 0,1$

$-80,8 \cdot (-0,25)$

а)

$0 - (-4,8)$
Вычитание отрицательного числа равносильно сложению с противоположным ему положительным числом.
$0 - (-4,8) = 0 + 4,8 = 4,8$
Ответ: 4,8

$\frac{7}{12} - 1$
Чтобы вычесть 1 из дроби, представим 1 как дробь со знаменателем 12.
$1 = \frac{12}{12}$
$\frac{7}{12} - 1 = \frac{7}{12} - \frac{12}{12} = \frac{7 - 12}{12} = -\frac{5}{12}$
Ответ: $-\frac{5}{12}$

$-0,6 + 0,24$
При сложении чисел с разными знаками, из модуля большего числа вычитается модуль меньшего, и ставится знак числа с большим модулем.
$|{-0,6}| = 0,6$ и $|{0,24}| = 0,24$. Так как $0,6 > 0,24$, результат будет отрицательным.
$-(0,6 - 0,24) = -0,36$
Ответ: -0,36

б)

$-0,3 + 1,2 - 0,5 - 0,4$
Сгруппируем положительные и отрицательные слагаемые для удобства вычислений.
$1,2 + (-0,3 - 0,5 - 0,4) = 1,2 + (-1,2) = 0$
Ответ: 0

$2,6 - 2 + \frac{2}{5} - 0,8$
Преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{2}{5} = 0,4$.
$2,6 - 2 + 0,4 - 0,8 = 0,6 + 0,4 - 0,8 = 1,0 - 0,8 = 0,2$
Ответ: 0,2

$-1,5 - 2,25 + 1,9 - 0,25$
Сгруппируем слагаемые.
$(-1,5 - 2,25 - 0,25) + 1,9 = (-1,5 - 2,5) + 1,9 = -4 + 1,9 = -2,1$
Ответ: -2,1

в)

$-0,2 \cdot (-0,5)$
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.
$0,2 \cdot 0,5 = 0,1$
Ответ: 0,1

$4,5 \cdot (-\frac{2}{3})$
Произведение чисел с разными знаками является отрицательным числом. Преобразуем $4,5$ в обыкновенную дробь.
$4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$
$\frac{9}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 3} = -\frac{9}{3} = -3$
Ответ: -3

$-5,6 : 0,1$
Деление на $0,1$ равносильно умножению на 10.
$-5,6 \cdot 10 = -56$
Ответ: -56

г)

$0,9 : (-1,8)$
Частное от деления положительного числа на отрицательное является отрицательным числом.
$-(0,9 : 1,8) = -(\frac{0,9}{1,8}) = -(\frac{9}{18}) = -\frac{1}{2} = -0,5$
Ответ: -0,5

$-\frac{3}{20} : 0,15$
Преобразуем десятичную дробь $0,15$ в обыкновенную.
$0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$
$-\frac{3}{20} : \frac{3}{20} = -1$
Ответ: -1

$-80,8 \cdot (-0,25)$
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножение на $0,25$ равносильно делению на 4.
$80,8 \cdot 0,25 = 80,8 : 4 = 20,2$
Ответ: 20,2

567 Вычисли (устно):

a) $0 - (-4,8)$

$\frac{7}{12} - 1$

$-0,6 + 0,24$

б) $-0,3 + 1,2 - 0,5 - 0,4$

$2,6 - 2 + \frac{2}{5} - 0,8$

$-1,5 - 2,25 + 1,9 - 0,25$

в) $-0,2 \cdot (-0,5)$

$4,5 \cdot (-\frac{2}{3})$

$-5,6 : 0,1$

г) $0,9 : (-1,8)$

$-\frac{3}{20} : 0,15$

$-80,8 \cdot (-0,25)$

568 Сравни числа A и B и их модули.

A $ \frac{(2\frac{5}{6} - 7\frac{1}{9}) \cdot (-0,54) : (-0,7)}{(\frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19}) - \frac{4}{23} \cdot (-1\frac{3}{19})) \cdot (-5,75)} $

B $ \frac{(-0,009 : 0,01) : (\frac{1}{6} - 0,8 + \frac{2}{3})}{( -3\frac{6}{25} + (-\frac{1}{4}) : (-0,02) - 4,76)} $

A

Для начала вычислим значение выражения A:

$A = \frac{(2\frac{5}{6} - 7\frac{1}{9}) \cdot (-0,54) : (-0,7)}{(\frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19}) - \frac{4}{23} \cdot (-1\frac{3}{19})) \cdot (-5,75)}$

1. Вычислим значение числителя. Сначала выполним действие в скобках:

$2\frac{5}{6} - 7\frac{1}{9} = \frac{17}{6} - \frac{64}{9} = \frac{17 \cdot 3}{18} - \frac{64 \cdot 2}{18} = \frac{51 - 128}{18} = -\frac{77}{18}$

Теперь выполним умножение и деление:

$(-\frac{77}{18}) \cdot (-0,54) : (-0,7) = (-\frac{77}{18}) \cdot (-\frac{54}{100}) : (-\frac{7}{10}) = \frac{77 \cdot 54}{18 \cdot 100} \cdot (-\frac{10}{7}) = -\frac{77 \cdot 54 \cdot 10}{18 \cdot 100 \cdot 7}$

Сократим дробь:

$-\frac{(11 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 18) \cdot 10}{18 \cdot (10 \cdot 10) \cdot 7} = -\frac{11 \cdot 3}{10} = -3,3$

2. Вычислим значение знаменателя. Вынесем общий множитель $\frac{4}{23}$ за скобки:

$\frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19}) - \frac{4}{23} \cdot (-1\frac{3}{19}) = \frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19} - (-\frac{22}{19})) = \frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19} + \frac{22}{19}) = \frac{4}{23} \cdot \frac{19}{19} = \frac{4}{23}$

Теперь выполним умножение:

$(\frac{4}{23}) \cdot (-5,75) = \frac{4}{23} \cdot (-5\frac{75}{100}) = \frac{4}{23} \cdot (-5\frac{3}{4}) = \frac{4}{23} \cdot (-\frac{23}{4}) = -1$

3. Найдем значение A:

$A = \frac{-3,3}{-1} = 3,3$

Ответ: $A = 3,3$.

B

Теперь вычислим значение выражения B:

$B = \frac{(-0,009 : 0,01) : (\frac{1}{6} - 0,8 + \frac{2}{3})}{(-3\frac{6}{25} + (-\frac{1}{4}) : (-0,02) - 4,76)}$

1. Вычислим значение числителя. Выполним поочередно действия:

$-0,009 : 0,01 = -0,9$

$\frac{1}{6} - 0,8 + \frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{8}{10} + \frac{2}{3} = \frac{1}{6} - \frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 1 - 6 \cdot 4 + 10 \cdot 2}{30} = \frac{5 - 24 + 20}{30} = \frac{1}{30}$

$-0,9 : \frac{1}{30} = -\frac{9}{10} \cdot 30 = -27$

2. Вычислим значение знаменателя. Удобнее будет работать с десятичными дробями. Сначала выполним деление:

$(-\frac{1}{4}) : (-0,02) = -0,25 : (-0,02) = 12,5$

Переведем смешанную дробь в десятичную:

$-3\frac{6}{25} = -3\frac{24}{100} = -3,24$

Теперь выполним сложение и вычитание:

$-3,24 + 12,5 - 4,76 = 12,5 - (3,24 + 4,76) = 12,5 - 8 = 4,5$

3. Найдем значение B:

$B = \frac{-27}{4,5} = \frac{-270}{45} = -6$

Ответ: $B = -6$.

Сравнение чисел A и B и их модулей

Мы получили следующие значения: $A = 3,3$ и $B = -6$.

1. Сравнение чисел A и B.
Поскольку любое положительное число больше любого отрицательного, $3,3 > -6$.
Следовательно, $A > B$.

2. Сравнение модулей |A| и |B|.
Найдем модули чисел A и B:
$|A| = |3,3| = 3,3$
$|B| = |-6| = 6$
Сравним полученные значения: $3,3 < 6$.
Следовательно, $|A| < |B|$.

Ответ: $A > B$ и $|A| < |B|$.

568 Сравни числа А и В и их модули:

$\frac{(2 \frac{5}{6} - 7 \frac{1}{9}) \cdot (-0,54) : (-0,7)}{(\frac{4}{23} \cdot (-\frac{3}{19}) - \frac{4}{23} \cdot (-1 \frac{3}{19})) \cdot (-5,75)}$

$\frac{(-0,009 : 0,01) : (\frac{1}{6} - 0,8 + \frac{2}{3})}{(-3 \frac{6}{25} + (-\frac{1}{4}) : (-0,02) - 4,76)}$

П 519 а) Масштаб карты равен $1 : 100 000$. Каким отрезком на карте изображается расстояние на местности, равное 50 км?

б) Запиши масштаб карты, если отрезок в 3 км на местности изображается отрезком на карте в 2,4 см.

в) Рисунок сделан в масштабе $10 : 1$. Как изменены на нём реальные размеры предметов?

г) Запиши масштаб рисунка, если фигура на рисунке увеличена в 5 раз.

а) Масштаб карты 1 : 100 000 означает, что 1 см на карте соответствует 100 000 см на местности.
Сначала переведём расстояние на местности из километров в сантиметры, чтобы единицы измерения были одинаковыми.
В одном километре 1000 метров, а в одном метре 100 сантиметров.
$50 \text{ км} = 50 \times 1000 \text{ м} = 50 000 \text{ м}$
$50 000 \text{ м} = 50 000 \times 100 \text{ см} = 5 000 000 \text{ см}$
Теперь найдём, каким отрезком на карте будет изображено это расстояние. Для этого разделим реальное расстояние в сантиметрах на знаменатель масштаба:
$x = \frac{5 000 000}{100 000} = 50 \text{ см}$
Таким образом, расстояние в 50 км на местности будет изображено на карте отрезком длиной 50 см.
Ответ: 50 см.

б) Масштаб – это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.
Длина отрезка на карте = 2,4 см.
Длина отрезка на местности = 3 км.
Для нахождения масштаба необходимо, чтобы обе величины были выражены в одних и тех же единицах измерения. Переведём километры в сантиметры:
$3 \text{ км} = 3 \times 1000 \text{ м} = 3000 \text{ м}$
$3000 \text{ м} = 3000 \times 100 \text{ см} = 300 000 \text{ см}$
Теперь составим отношение длины на карте к длине на местности:
Масштаб = $2,4 : 300 000$
Для записи масштаба в стандартном виде (1 : N) разделим обе части отношения на 2,4:
$\frac{2,4}{2,4} : \frac{300 000}{2,4} = 1 : 125 000$
Ответ: 1 : 125 000.

в) Масштаб 10 : 1 показывает отношение размера на рисунке к реальному размеру.
В данном случае первое число (10) больше второго (1). Это означает, что изображение на рисунке увеличено по сравнению с реальным предметом.
Отношение 10 : 1 говорит о том, что каждый 1 см реального размера предмета на рисунке изображается как 10 см.
Следовательно, реальные размеры предметов увеличены в 10 раз.
Ответ: Реальные размеры предметов увеличены в 10 раз.

г) Масштаб показывает, во сколько раз размер на рисунке больше или меньше реального размера.
Если фигура на рисунке увеличена в 5 раз, это означает, что линейные размеры фигуры на рисунке в 5 раз больше её реальных размеров.
Масштаб записывается как отношение размера на рисунке к реальному размеру.
Пусть $L_{рисунок}$ – размер на рисунке, а $L_{реальный}$ – реальный размер.
По условию, $L_{рисунок} = 5 \times L_{реальный}$.
Тогда масштаб равен отношению $L_{рисунок} : L_{реальный} = (5 \times L_{реальный}) : L_{реальный} = 5 : 1$.
Ответ: 5 : 1.

$\Pi$ 519 а) Масштаб карты равен $1 : 100 000$. Каким отрезком на карте изображается расстояние на местности, равное 50 км?

б) Запиши масштаб карты, если отрезок в 3 км на местности изображается отрезком на карте в 2,4 см.

в) Рисунок сделан в масштабе $10 : 1$. Как изменены на нем реальные размеры предметов?

г) Запиши масштаб рисунка, если фигура на рисунке увеличена в 5 раз.

520 Счёт-тест (5 мин)

Вариант I

1) $\frac{3}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2}$;

2) $(-\frac{1}{2})^2$;

3) $1\frac{1}{8} : \frac{3}{4}$;

4) $-3\frac{1}{6} - (-1\frac{1}{2})$;

5) $-0.5 - 0.06$;

6) $17.2 \cdot 0.01$;

7) $-3.2 : (-0.08)$;

8) $(1 - 0.2) \cdot (-\frac{3}{8})$.

Вариант II

1) $\frac{9}{14} + \frac{8}{21} + \frac{1}{7}$;

2) $18 \cdot (-\frac{4}{9})$;

3) $1\frac{1}{5} : \frac{3}{10}$;

4) $-1\frac{3}{4} - (-2\frac{1}{3})$;

5) $-2.8 - 0.7$;

6) $15.6 : 0.01$;

7) $3.5 \cdot (-0.04)$;

8) $\frac{3}{5} : (-1 - 0.2)$.

Вариант I

1) $\frac{3}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2}$
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 5, 6 и 2 равно 30.
$\frac{3}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 6}{30} + \frac{5 \cdot 5}{30} + \frac{1 \cdot 15}{30} = \frac{18 + 25 + 15}{30} = \frac{58}{30}$
Сократим полученную дробь и выделим целую часть:
$\frac{58}{30} = \frac{29}{15} = 1\frac{14}{15}$
Ответ: $1\frac{14}{15}$

2) $(-\frac{1}{2})^2$
Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень ее числитель и знаменатель. Квадрат отрицательного числа является положительным.
$(-\frac{1}{2})^2 = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1^2}{2^2} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

3) $1\frac{1}{8} : \frac{3}{4}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$\frac{9}{8} : \frac{3}{4} = \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 3} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$
Ответ: $1\frac{1}{2}$

4) $-3\frac{1}{6} - (-1\frac{1}{2})$
Вычитание отрицательного числа заменяется сложением:
$-3\frac{1}{6} + 1\frac{1}{2}$
Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$-\frac{19}{6} + \frac{3}{2}$
Приведем к общему знаменателю 6:
$-\frac{19}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{19}{6} + \frac{9}{6} = \frac{-19+9}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $-1\frac{2}{3}$

5) $-0,5 - 0,06$
Складываем два отрицательных числа. Результат будет отрицательным. Сложим их модули:
$0,5 + 0,06 = 0,50 + 0,06 = 0,56$
Следовательно, $-0,5 - 0,06 = -0,56$.
Ответ: $-0,56$

6) $17,2 \cdot 0,01$
Умножение на 0,01 равносильно переносу запятой на два знака влево.
$17,2 \rightarrow 1,72 \rightarrow 0,172$
Ответ: $0,172$

7) $-3,2 : (-0,08)$
Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительный результат: $3,2 : 0,08$.
Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим делимое и делитель на 100:
$3,2 \cdot 100 : 0,08 \cdot 100 = 320 : 8 = 40$
Ответ: $40$

8) $(1 - 0,2) \cdot (-\frac{3}{8})$
Сначала выполним действие в скобках: $1 - 0,2 = 0,8$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Теперь умножим дроби:
$\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 8} = -\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = -\frac{3}{10}$
Ответ: $-0,3$

Вариант II

1) $\frac{9}{14} + \frac{8}{21} + \frac{1}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(14, 21, 7) = 42.
$\frac{9 \cdot 3}{42} + \frac{8 \cdot 2}{42} + \frac{1 \cdot 6}{42} = \frac{27 + 16 + 6}{42} = \frac{49}{42}$
Сократим дробь на 7 и выделим целую часть:
$\frac{49}{42} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$
Ответ: $1\frac{1}{6}$

2) $18 \cdot (-\frac{4}{9})$
Результат будет отрицательным. Умножим целое число на числитель дроби:
$18 \cdot (-\frac{4}{9}) = -\frac{18 \cdot 4}{9} = -\frac{2 \cdot 4}{1} = -8$
Ответ: $-8$

3) $1\frac{1}{5} : \frac{3}{10}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$.
Разделим дроби, умножив первую на дробь, обратную второй:
$\frac{6}{5} : \frac{3}{10} = \frac{6}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 4$
Ответ: $4$

4) $-1\frac{3}{4} - (-2\frac{1}{3})$
Заменим вычитание отрицательного числа сложением: $-1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{3}$.
Переведем смешанные числа в неправильные дроби: $-\frac{7}{4} + \frac{7}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$-\frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{7 \cdot 4}{12} = \frac{-21 + 28}{12} = \frac{7}{12}$
Ответ: $\frac{7}{12}$

5) $-2,8 - 0,7$
Складываем модули двух отрицательных чисел и ставим знак минус:
$-(2,8 + 0,7) = -3,5$
Ответ: $-3,5$

6) $15,6 : 0,01$
Деление на 0,01 равносильно умножению на 100, то есть переносу запятой на два знака вправо.
$15,6 \rightarrow 156 \rightarrow 1560$
Ответ: $1560$

7) $3,5 \cdot (-0,04)$
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.
$3,5 \cdot 0,04 = 0,140 = 0,14$.
$3,5 \cdot (-0,04) = -0,14$
Ответ: $-0,14$

8) $\frac{3}{5} : (-1 - 0,2)$
Выполним действие в скобках: $-1 - 0,2 = -1,2$.
Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$.
Выполним деление:
$\frac{3}{5} : (-\frac{6}{5}) = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{6}) = -\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $-0,5$

520 Счет-тест (5 мин).

1) $\frac{3}{5} + \frac{5}{6} + \frac{1}{2}$

2) $(-\frac{1}{2})^2$

3) $1\frac{1}{8} : \frac{3}{4}$

4) $-3\frac{1}{6} - (-1\frac{1}{2})$

5) $-0,5 - 0,06$

6) $17,2 \cdot 0,01$

7) $-3,2 : (-0,08)$

8) $(1 - 0,2) \cdot (-\frac{3}{8})$

1) $\frac{9}{14} + \frac{8}{21} + \frac{1}{7}$

2) $18 \cdot (-\frac{4}{9})$

3) $1\frac{1}{5} : \frac{3}{10}$

4) $-1\frac{3}{4} - (-2\frac{1}{3})$

5) $-2,8 - 0,7$

6) $15,6 : 0,01$

7) $3,5 \cdot (-0,04)$

8) $\frac{3}{5} : (-1 - 0,2)$

521 a) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3.

б) Раздели число 520 на три части в отношении $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$.

а) Чтобы разбить число 425 на два слагаемых, пропорциональных числам 2 и 3, введем коэффициент пропорциональности $k$. Тогда первое слагаемое будет равно $2k$, а второе — $3k$. Сумма этих слагаемых равна 425. Составим и решим уравнение:

$2k + 3k = 425$
$5k = 425$
$k = 425 \div 5$
$k = 85$

Теперь найдем искомые слагаемые:

Первое слагаемое: $2 \cdot k = 2 \cdot 85 = 170$.
Второе слагаемое: $3 \cdot k = 3 \cdot 85 = 255$.

Проверим: $170 + 255 = 425$.

Ответ: 170 и 255.

б) Чтобы разделить число 520 на три части в отношении $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4}$, сначала преобразуем это отношение в отношение целых чисел. Для этого умножим каждую дробь на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 4), которое равно 12.

$\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \cdot 12) : (\frac{1}{3} \cdot 12) : (\frac{1}{4} \cdot 12) = 6 : 4 : 3$

Теперь задача сводится к разделению числа 520 на части в отношении 6:4:3. Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$. Тогда искомые части равны $6k$, $4k$ и $3k$. Их сумма равна 520. Составим и решим уравнение:

$6k + 4k + 3k = 520$
$13k = 520$
$k = 520 \div 13$
$k = 40$

Теперь найдем искомые части:

Первая часть: $6 \cdot k = 6 \cdot 40 = 240$.
Вторая часть: $4 \cdot k = 4 \cdot 40 = 160$.
Третья часть: $3 \cdot k = 3 \cdot 40 = 120$.

Проверим: $240 + 160 + 120 = 520$.

Ответ: 240, 160 и 120.

521 a) Разбей число 425 на два слагаемых пропорционально числам 2 и 3.

б) Раздели число 520 на три части в отношении $ \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} $.

522 Акциями предприятия владеют фирмы A, B и C. Количество их акций находится в отношении $3 : 5 : 7$ и составляет 60 % от числа всех акций предприятия. Остальными 200 000 акций владеют работники предприятия. Сколько акций имеет каждая фирма?

Для того чтобы найти, сколько акций имеет каждая фирма, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Сначала определим, какой процент акций принадлежит работникам предприятия. Поскольку фирмы А, В и С владеют 60% всех акций, на долю работников приходится оставшаяся часть: $100\% - 60\% = 40\%$.

2. В условии сказано, что эти 40% составляют 200 000 акций. Используя эту информацию, мы можем найти общее количество акций ($X$) предприятия, решив уравнение:

$0.40 \cdot X = 200,000$

$X = \frac{200,000}{0.40} = 500,000$ акций.

3. Теперь вычислим общее количество акций, которыми владеют фирмы А, В и С. Эта доля составляет 60% от общего числа акций:

$500,000 \cdot 0.60 = 300,000$ акций.

4. Эти 300 000 акций распределены между фирмами в отношении $3:5:7$. Для дальнейших расчетов найдем общее количество частей в данном отношении:

$3 + 5 + 7 = 15$ частей.

5. Далее рассчитаем, сколько акций приходится на одну часть:

$\frac{300,000}{15} = 20,000$ акций.

6. Зная, сколько акций содержится в одной части, можно найти количество акций для каждой фирмы:

Фирма А (3 части): $3 \cdot 20,000 = 60,000$ акций.

Фирма В (5 частей): $5 \cdot 20,000 = 100,000$ акций.

Фирма С (7 частей): $7 \cdot 20,000 = 140,000$ акций.

Ответ: фирма А имеет 60 000 акций, фирма В — 100 000 акций, фирма С — 140 000 акций.

522 Акциями предприятия владеют фирмы A, B и C. Количество их акций находится в отношении $3 : 5 : 7$ и составляет $60\%$ от числа всех акций предприятия. Остальными 200 000 акций владеют работники предприятия. Сколько акций имеет каждая фирма?

523 Три каменщика за выполненное вместе задание получили 4700 р. Первый каменщик может выполнить всё задание за 3 дня, второй – за 4, а третий – за 5. Как распределить между ними выплаченную сумму пропорционально их производительности?

Для того чтобы распределить полученную сумму пропорционально производительности каменщиков, необходимо сначала определить производительность каждого из них. Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени (в данном случае, за один день). Примем весь объем работы за 1.

1. Определение производительности каждого каменщика

• Производительность первого каменщика, который может выполнить всю работу за 3 дня, составляет $P_1 = \frac{1}{3}$ работы в день.
• Производительность второго каменщика, который может выполнить всю работу за 4 дня, составляет $P_2 = \frac{1}{4}$ работы в день.
• Производительность третьего каменщика, который может выполнить всю работу за 5 дней, составляет $P_3 = \frac{1}{5}$ работы в день.

2. Нахождение соотношения производительностей

Сумму в 4700 р. необходимо разделить в том же соотношении, что и производительности работников: $P_1 : P_2 : P_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{5}$.
Чтобы работать с целыми числами, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3, 4 и 5 равно 60. Умножим каждую часть отношения на 60: $(\frac{1}{3} \cdot 60) : (\frac{1}{4} \cdot 60) : (\frac{1}{5} \cdot 60) = 20 : 15 : 12$.
Таким образом, деньги нужно разделить в соотношении $20:15:12$.

3. Расчет общего количества частей

Сложим все части отношения, чтобы найти общее количество долей: $20 + 15 + 12 = 47$ частей.

4. Расчет стоимости одной части

Общая сумма в 4700 р. приходится на 47 частей. Найдем, сколько рублей составляет одна часть: $4700 \div 47 = 100$ рублей на одну часть.

5. Распределение суммы между каменщиками

Теперь умножим количество частей каждого каменщика на стоимость одной части:

• Доля первого каменщика: $20 \cdot 100 = 2000$ р.
• Доля второго каменщика: $15 \cdot 100 = 1500$ р.
• Доля третьего каменщика: $12 \cdot 100 = 1200$ р.

Проверка: $2000 + 1500 + 1200 = 4700$ р. Сумма верна.

Ответ: первый каменщик должен получить 2000 р., второй — 1500 р., а третий — 1200 р.

523 Три каменщика за выполненное вместе задание получили 4700 р. Первый каменщик может выполнить все задание за 3 дня, второй – за 4, а третий – за 5. Как распределить между ними выплаченную сумму пропорционально их производительности?

524 При строительстве дома по известным размерам стены можно вычислить, сколько кирпичей потребуется для её укладки. Для этого используется формула

$N = 61lh$,

где $N$ – количество кирпичей, $l$ м – длина стены и

$h$ м – высота стены.

а) Найди $N$, если $l = 8$, $h = 3,5$.

б) Найди $l$, если $N = 2440$, $h = 2,5$.

в) Найди $h$, если $N = 5000$, $l = 4$. (Ответ округли с точностью до десятых.)

В каждом случае придумай соответствующую задачу.

а) Пример задачи: Строители возводят стену длиной 8 метров и высотой 3,5 метра. Сколько кирпичей им понадобится для кладки?
Для нахождения количества кирпичей $N$ воспользуемся формулой $N = 61lh$. Подставим в нее известные значения длины $l = 8$ м и высоты $h = 3,5$ м.
$N = 61 \cdot 8 \cdot 3,5 = 61 \cdot 28 = 1708$.
Ответ: 1708 кирпичей.

б) Пример задачи: На постройку стены высотой 2,5 метра ушло 2440 кирпичей. Какова длина этой стены?
Чтобы найти длину стены $l$, выразим ее из формулы $N = 61lh$.
$l = \frac{N}{61h}$
Подставим известные значения $N = 2440$ и $h = 2,5$ м.
$l = \frac{2440}{61 \cdot 2,5} = \frac{2440}{152,5} = 16$.
Ответ: 16 м.

в) Пример задачи: В наличии есть 5000 кирпичей. Стену какой высоты можно построить, если ее длина должна быть 4 метра? (Ответ округлите с точностью до десятых.)
Чтобы найти высоту стены $h$, выразим ее из формулы $N = 61lh$.
$h = \frac{N}{61l}$
Подставим известные значения $N = 5000$ и $l = 4$ м.
$h = \frac{5000}{61 \cdot 4} = \frac{5000}{244} \approx 20,4918...$
Округляя до десятых, получаем $h \approx 20,5$.
Ответ: 20,5 м.

524. При строительстве дома по известным размерам стен можно вычислить, сколько кирпичей потребуется для ее укладки. Для этого используется формула

$N = 61lh$,

где $N$ – количество кирпичей, $l$ м – длина стены и $h$ м – высота стены.

а) Найди $N$, если $l = 8$, $h = 3,5$.

б) Найди $l$, если $N = 2440$, $h = 2,5$.

в) Найди $h$, если $N = 5000$, $l = 4$. (Ответ округли с точностью до десятых.)

В каждом случае придумай соответствующую задачу.