Страница 130, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

551 Докажи, что фигуры A, B и C равновелики (имеют равные площади).

Для доказательства того, что фигуры равновелики, необходимо найти площадь каждой из них и убедиться, что они равны. Примем сторону одной клетки за 1 единицу, тогда площадь одной клетки будет равна 1 квадратной единице.

Фигура А

Фигура А представляет собой квадрат. Его площадь $S$ можно вычислить по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны квадрата.

Из рисунка видно, что сторона квадрата $a$ равна 4 клеткам.

Следовательно, площадь фигуры А составляет:

$S_A = 4^2 = 4 \cdot 4 = 16$ (квадратных единиц).

Ответ: Площадь фигуры А равна 16 квадратным единицам.

Фигура B

Фигура B имеет сложную форму. Однако можно заметить, что два полукруглых выступа с правой стороны по своей форме и площади в точности соответствуют двум полукруглым выемкам с левой стороны.

Если мысленно вырезать выступы справа и вставить их в выемки слева, то фигура B преобразуется в прямоугольник. Высота этого прямоугольника будет равна 4 клеткам, а ширина – также 4 клеткам.

Площадь полученного прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_B = 4 \cdot 4 = 16$ (квадратных единиц).

Так как при таком преобразовании площадь фигуры не изменилась, площадь исходной фигуры B также равна 16.

Ответ: Площадь фигуры B равна 16 квадратным единицам.

Фигура C

Фигура C – это параллелограмм. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ – длина основания, а $h$ – высота, проведенная к этому основанию.

Из рисунка на клетчатой бумаге видно, что длина основания $a$ параллелограмма равна 4 клеткам. Высота $h$, проведенная к этому основанию, также равна 4 клеткам.

Таким образом, площадь фигуры C составляет:

$S_C = 4 \cdot 4 = 16$ (квадратных единиц).

Ответ: Площадь фигуры C равна 16 квадратным единицам.

Вывод

Мы вычислили площади всех трех фигур: $S_A = 16$, $S_B = 16$ и $S_C = 16$.

Поскольку $S_A = S_B = S_C$, мы доказали, что фигуры А, В и С являются равновеликими, то есть имеют равные площади.

551 Докажи, что фигуры А, В и С равновелики (имеют равные площади):

552. а) Перечерти и вырежи из бумаги параллелограмм (рис. 91). Покажи, как его можно «перекроить» в прямоугольник.

б) Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны $a$ и длине перпендикуляра $h$, опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону (рис. 92).

а) Чтобы «перекроить» параллелограмм в прямоугольник, нужно мысленно или физически разрезать его. Для этого из одной из вершин верхнего основания (например, левой) опускаем перпендикуляр (высоту) на нижнее основание. Этот перпендикуляр отсечет от параллелограмма с одной стороны прямоугольный треугольник. Если этот отрезанный треугольник переместить и приставить к противоположной стороне параллелограмма, то гипотенуза треугольника совпадет с боковой стороной, а катет ляжет на продолжение основания. В результате получится прямоугольник. Длина этого прямоугольника будет равна основанию исходного параллелограмма, а ширина – его высоте. Таким образом, площадь параллелограмма равна площади полученного прямоугольника.

Ответ: Нужно отрезать от параллелограмма с одной стороны прямоугольный треугольник, проведя высоту из вершины к основанию, и приставить этот треугольник к другой стороне.

б) Как следует из преобразования в пункте а), площадь параллелограмма равна площади прямоугольника, полученного из него. Стороны этого прямоугольника равны стороне параллелограмма $a$ (которую называют основанием) и высоте $h$, опущенной на эту сторону. Площадь прямоугольника находится как произведение длин его смежных сторон. Следовательно, площадь параллелограмма $S$ равна произведению длины его основания $a$ на высоту $h$.

Формула для вычисления площади параллелограмма выглядит следующим образом:
$S = a \cdot h$

Ответ: $S = a \cdot h$.

552 а) Перечерти и вырежи из бумаги параллелограмм (рис. 91). Покажи, как его можно «перекроить» в прямоугольник.

б) Запиши формулу для вычисления площади параллелограмма по длине его стороны a и длине перпендикуляра h, опущенного из вершины параллелограмма на эту сторону (рис. 92).

Рис. 91

Рис. 92

П 553 Назови тему и рему общих высказываний и переформулируй их, используя союз «если..., то...».

а) Куб является прямоугольным параллелепипедом.

б) Диаметр окружности является хордой этой окружности.

Построй обратные утверждения разными способами: меняя местами тему и рему и меняя местами условие и заключение. Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания.

а) Куб является прямоугольным параллелепипедом.

1. Тема и рема.
Тема (то, о чем говорится): куб.
Рема (то, что о нем говорится): является прямоугольным параллелепипедом.

2. Переформулировка с союзом «если..., то...».
Условие: геометрическое тело является кубом.
Заключение: оно является прямоугольным параллелепипедом.
Утверждение: Если геометрическое тело является кубом, то оно является прямоугольным параллелепипедом.

3. Построение обратных утверждений.
Способ 1 (меняем местами тему и рему): Прямоугольный параллелепипед является кубом.
Способ 2 (меняем местами условие и заключение): Если геометрическое тело является прямоугольным параллелепипедом, то оно является кубом.

4. Доказательство ложности обратных утверждений.
Обратное утверждение "Если геометрическое тело является прямоугольным параллелепипедом, то оно является кубом" является ложным. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример.
Контрпример: Прямоугольный параллелепипед с ребрами 3 см, 4 см и 5 см. Он является прямоугольным параллелепипедом, так как все его грани — прямоугольники. Однако он не является кубом, потому что у куба все ребра должны быть равны. Таким образом, существует прямоугольный параллелепипед, который не является кубом, что и доказывает ложность обратного утверждения.

5. Построение отрицания обратных утверждений.
Отрицанием для ложного утверждения "Если геометрическое тело является прямоугольным параллелепипедом, то оно является кубом" будет истинное утверждение.
Отрицание: Существует прямоугольный параллелепипед, который не является кубом. (Или: "Неверно, что любой прямоугольный параллелепипед является кубом").

Ответ: Тема — куб, рема — является прямоугольным параллелепипедом. Переформулировка: "Если геометрическое тело является кубом, то оно является прямоугольным параллелепипедом". Обратное утверждение: "Если геометрическое тело является прямоугольным параллелепипедом, то оно является кубом". Это утверждение ложно, так как существует прямоугольный параллелепипед (например, с ребрами 3, 4, 5), который не является кубом. Отрицание обратного утверждения: "Существует прямоугольный параллелепипед, который не является кубом".

б) Диаметр окружности является хордой этой окружности.

1. Тема и рема.
Тема (то, о чем говорится): диаметр окружности.
Рема (то, что о нем говорится): является хордой этой окружности.

2. Переформулировка с союзом «если..., то...».
Условие: отрезок является диаметром окружности.
Заключение: он является хордой этой окружности.
Утверждение: Если отрезок является диаметром окружности, то он является хордой этой окружности.

3. Построение обратных утверждений.
Способ 1 (меняем местами тему и рему): Хорда окружности является диаметром этой окружности.
Способ 2 (меняем местами условие и заключение): Если отрезок является хордой окружности, то он является диаметром этой окружности.

4. Доказательство ложности обратных утверждений.
Обратное утверждение "Если отрезок является хордой окружности, то он является диаметром этой окружности" является ложным. Для доказательства приведем контрпример.
Контрпример: Хорда — это любой отрезок, соединяющий две точки на окружности. Диаметр — это хорда, проходящая через центр окружности. Рассмотрим любую хорду, которая не проходит через центр окружности. Она является хордой, но не является диаметром. Следовательно, обратное утверждение ложно.

5. Построение отрицания обратных утверждений.
Отрицанием для ложного утверждения "Если отрезок является хордой окружности, то он является диаметром этой окружности" будет истинное утверждение.
Отрицание: Существует хорда окружности, которая не является диаметром этой окружности. (Или: "Неверно, что любая хорда окружности является ее диаметром").

Ответ: Тема — диаметр окружности, рема — является хордой этой окружности. Переформулировка: "Если отрезок является диаметром окружности, то он является хордой этой окружности". Обратное утверждение: "Если отрезок является хордой окружности, то он является диаметром этой окружности". Это утверждение ложно, так как существует хорда, не проходящая через центр окружности, и она не является диаметром. Отрицание обратного утверждения: "Существует хорда окружности, которая не является ее диаметром".

553 Назови тему и рему общих высказываний и переформулируй их, используя союз «если..., то...»:

а) Куб является прямоугольным параллелепипедом.

б) Диаметр окружности является хордой этой окружности.

Построй обратные утверждения разными способами: меняя местами тему и рему и меняя местами условие и заключение. Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания.

554 Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звёздочек пропущенные цифры:

a) $3 \frac{\text{*}}{11} - \frac{\text{*}}{22} = \text{*} \frac{13}{11} - 1 \frac{\text{**}}{22} = 2 \frac{26 - 15}{\text{*}} = 1 \frac{26 - 15}{22} = \frac{11}{22} = 1 \frac{\text{*}}{2} = 1,\text{*}$;

б) $\text{*} \text{,8} : 5 \frac{1}{\text{*}} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot \text{*}} = \frac{3 \cdot 3}{\text{*} \cdot 1} = \frac{\text{*}}{10} = \text{*} \text{,9}$.

а)

Для решения этого задания проанализируем цепочку равенств. Некоторые знаки равенства в условии, вероятно, используются для обозначения последовательности шагов вычисления, а не строгой математической эквивалентности всех частей. Восстановим пропущенные цифры, двигаясь преимущественно справа налево.

1. Начнем с конца цепочки: $1 \frac{11}{22} = 1 \frac{*}{2} = 1,*$.
2. Сократим дробную часть $1 \frac{11}{22}$, разделив числитель и знаменатель на 11: $1 \frac{11 \div 11}{22 \div 11} = 1 \frac{1}{2}$. Значит, в выражении $1 \frac{*}{2}$ вместо звёздочки должна быть цифра 1.
3. Преобразуем $1 \frac{1}{2}$ в десятичную дробь: $1 \frac{1}{2} = 1,5$. Значит, в выражении $1,*$ вместо звёздочки должна быть цифра 5.
4. Мы установили, что конечный результат вычисления равен $1 \frac{11}{22}$ или $1,5$.
5. Рассмотрим шаг $2 \frac{26}{*} - 1 \frac{15}{*} = 1 \frac{26-15}{22}$. Для выполнения вычитания знаменатели дробей должны быть одинаковы, то есть 22. Проверим: $2 \frac{26}{22} - 1 \frac{15}{22} = 1 \frac{11}{22}$. Это верно. Следовательно, вместо звёздочек в знаменателях должно стоять число 22.
6. Шаг $2 \frac{26}{22}$ получается путем "занимания" единицы у целой части. $2 \frac{26}{22} = 2 + \frac{22+4}{22} = 3 \frac{4}{22} = 3 \frac{2}{11}$. Это означает, что уменьшаемое в исходном примере было $3 \frac{2}{11}$. Значит, в выражении $3 \frac{*}{11}$ вместо звёздочки стоит цифра 2.
7. Вычитаемое при этом должно быть $1 \frac{15}{22}$. В условии же указано $\frac{15}{22}$. Вероятнее всего, это опечатка, и пропущена целая часть "1".
8. Выражение $1 \frac{**}{22}$ — это, по-видимому, просто результат, записанный в середине. Так как результат равен $1 \frac{11}{22}$, то вместо двух звёздочек должно стоять число 11.
9. Выражение $* \frac{13}{11}$ также, вероятно, является одним из промежуточных шагов. $3 \frac{2}{11}$ можно представить как $2 \frac{11+2}{11} = 2 \frac{13}{11}$. Следовательно, на месте звёздочки должна быть цифра 2.

С учетом исправленной опечатки, восстановленное равенство выглядит так:

$3 \frac{2}{11} - 1\frac{15}{22} = 2 \frac{13}{11} - 1\frac{15}{22} = 2\frac{26}{22}-1\frac{15}{22}=1\frac{26-15}{22}=1\frac{11}{22}=1\frac{1}{2}=1,5$

Восстановленная исходная строка с заполненными пропусками (некоторые равенства в ней не являются строгими и показывают шаги преобразования):

$3 \frac{2}{11} - \frac{15}{22} = 2 \frac{13}{11} = 1 \frac{11}{22} = 2 \frac{26}{22} - 1 \frac{15}{22} = 1 \frac{26-15}{22} = 1 \frac{11}{22} = 1 \frac{1}{2} = 1,5$

Ответ: $3 \frac{2}{11} - \frac{15}{22} = 2 \frac{13}{11} = 1 \frac{11}{22} = 2 \frac{26}{22} - 1 \frac{15}{22} = 1 \frac{26-15}{22} = 1 \frac{11}{22} = 1 \frac{1}{2} = 1,5$.

б)

Проанализируем эту цепочку равенств, чтобы восстановить пропущенные цифры и числа. Будем двигаться справа налево.

1. Последнее равенство: $\frac{*}{10} = *,9$. Чтобы десятичная дробь заканчивалась на 9, числитель дроби со знаменателем 10 должен быть равен 9. Получаем $\frac{9}{10} = 0,9$. Значит, первая звёздочка (в числителе) – это 9, а вторая (в целой части) – это 0.
2. Предпоследнее равенство: $\frac{3 \cdot 3}{* \cdot 1} = \frac{9}{10}$. Так как числитель $3 \cdot 3 = 9$, то знаменатель $* \cdot 1$ должен быть равен 10. Отсюда, звёздочка в знаменателе равна 10.
3. Рассмотрим равенство $\frac{48 \cdot 3}{10 \cdot *} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 1}$. Это означает, что дробь $\frac{48 \cdot 3}{10 \cdot *}$ была сокращена. Числитель 48 был сокращен до 3. Это произошло при делении на 16 ($48 \div 16 = 3$). Значит, и в знаменателе число вместо звёздочки было сокращено на 16, в результате чего получилась 1. Следовательно, искомое число равно $16 \cdot 1 = 16$. Проверим: $\frac{48 \cdot 3}{10 \cdot 16} = \frac{(3 \cdot 16) \cdot 3}{10 \cdot 16} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 1}$. Всё верно. Звёздочка равна 16.
4. Теперь рассмотрим исходное выражение: $*,8 : 5 \frac{1}{*} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot 16}$.
   Представим деление в виде умножения дробей: $*,8 : 5 \frac{1}{*} = \frac{*,8}{1} \cdot \frac{1}{5 \frac{1}{*}} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot 16}$.
   Левая часть $*,8$ соответствует числителю 48, деленному на 10. Значит, $*,8 = 4,8$. Первая звёздочка – это 4.
   Вторая часть $5 \frac{1}{*}$ соответствует знаменателю 16, деленному на 3 (так как при делении дробь переворачивается). Значит, $5 \frac{1}{*} = \frac{16}{3}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$. Отсюда, вторая звёздочка – это 3.

Восстановленная цепочка равенств выглядит так:

$4,8 : 5 \frac{1}{3} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot 16} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 1} = \frac{9}{10} = 0,9$

Ответ: $4,8 : 5 \frac{1}{3} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot 16} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 1} = \frac{9}{10} = 0,9$.

554 Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры:

a) $3 \frac{*}{11} - * \frac{15}{22} = * \frac{13}{11} - 1 \frac{*}{22} = 2 \frac{26}{*} - 1 \frac{15}{*} = 1 \frac{26-15}{22} = * \frac{11}{22} = 1 \frac{*}{2} = 1,*$;

б) $*,8 : 5 \frac{1}{*} = \frac{48 \cdot 3}{10 \cdot *} = \frac{3 \cdot 3}{* \cdot 1} = \frac{*}{10} = *,9.$

555 Чем похожи и чем отличаются выражения? Найди их коэффициенты и буквенные части:

a) $(-3x)^2$, $-3x^2$ и $(-3x)^2x;

б) $(-\frac{1}{2}y)^3$, $-\frac{1}{2}y^3$ и $(-\frac{1}{2})^3 y.

а)

Для того чтобы сравнить выражения $(-3x)^2$, $-3x^2$ и $(-3)^2x$, найдем их коэффициенты и буквенные части, предварительно приведя каждое выражение к стандартному виду одночлена.

1. В выражении $(-3x)^2$ в квадрат возводится весь одночлен $-3x$. Используя свойство степени произведения, получаем: $(-3x)^2 = (-3)^2 \cdot x^2 = 9x^2$. Коэффициент этого выражения равен 9, а буквенная часть — $x^2$.

2. В выражении $-3x^2$ в квадрат возводится только переменная $x$. Это выражение уже записано в стандартном виде. Его коэффициент равен -3, а буквенная часть — $x^2$.

3. В выражении $(-3)^2x$ в квадрат возводится только число -3. Выполнив возведение в степень, получаем: $(-3)^2x = 9x$. Коэффициент этого выражения равен 9, а буквенная часть — $x$.

Сходство: все три выражения содержат число -3, переменную $x$ и операцию возведения во вторую степень. Отличие: выражения отличаются тем, какая именно часть возводится в степень (основание степени). Это приводит к тому, что после упрощения выражения имеют разные коэффициенты и/или буквенные части. Так, выражения $9x^2$ и $-3x^2$ имеют одинаковые буквенные части, но разные коэффициенты, а выражения $9x^2$ и $9x$ имеют одинаковые коэффициенты, но разные буквенные части.

Ответ: для выражения $(-3x)^2$ коэффициент 9, буквенная часть $x^2$; для выражения $-3x^2$ коэффициент -3, буквенная часть $x^2$; для выражения $(-3)^2x$ коэффициент 9, буквенная часть $x$.

б)

Рассмотрим выражения $(-\frac{1}{2}y)^3$, $-\frac{1}{2}y^3$ и $(-\frac{1}{2})^3y$ и приведем их к стандартному виду.

1. В выражении $(-\frac{1}{2}y)^3$ в куб возводится весь одночлен $-\frac{1}{2}y$. Получаем: $(-\frac{1}{2}y)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot y^3 = -\frac{1}{8}y^3$. Коэффициент равен $-\frac{1}{8}$, буквенная часть — $y^3$.

2. В выражении $-\frac{1}{2}y^3$ в куб возводится только переменная $y$. Выражение уже представлено в стандартном виде. Его коэффициент равен $-\frac{1}{2}$, а буквенная часть — $y^3$.

3. В выражении $(-\frac{1}{2})^3y$ в куб возводится только число $-\frac{1}{2}$. Выполнив возведение в степень, получаем: $(-\frac{1}{2})^3y = -\frac{1}{8}y$. Коэффициент этого выражения равен $-\frac{1}{8}$, а буквенная часть — $y$.

Сходство: все три выражения содержат число $-\frac{1}{2}$, переменную $y$ и операцию возведения в третью степень. Отличие: выражения отличаются основанием степени. В результате выражения, приведенные к стандартному виду, $-\frac{1}{8}y^3$ и $-\frac{1}{2}y^3$ имеют одинаковую буквенную часть, но разные коэффициенты, а выражения $-\frac{1}{8}y^3$ и $-\frac{1}{8}y$ имеют одинаковый коэффициент, но разные буквенные части.

Ответ: для выражения $(-\frac{1}{2}y)^3$ коэффициент $-\frac{1}{8}$, буквенная часть $y^3$; для выражения $-\frac{1}{2}y^3$ коэффициент $-\frac{1}{2}$, буквенная часть $y^3$; для выражения $(-\frac{1}{2})^3y$ коэффициент $-\frac{1}{8}$, буквенная часть $y$.

555 Чем похожи и чем отличаются выражения? Найди их коэффициенты и буквенные части:

а) $ (-3x)^2 $, $ -3x^2 $ и $ (-3)^2x $;

б) $ (-\frac{1}{2}y)^3 $, $ -\frac{1}{2}y^3 $ и $ (-\frac{1}{2})^3y $.

556 Выполни действия:

а) $-2^2 : (-0,25);$

б) $(-\frac{1}{3})^2 \cdot 1,8;$

в) $(-0,5)^3 \cdot 4,8;$

г) $-1\frac{7}{9} : (-\frac{2}{3})^3.$

а) Первым действием выполним возведение в степень. Так как знак минуса стоит перед числом и не в скобках, в степень возводится только 2: $2^2 = 4$. Выражение принимает вид: $-4 : (-0,25)$.
Представим десятичную дробь $-0,25$ в виде обыкновенной: $-0,25 = -\frac{25}{100} = -\frac{1}{4}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное число. $-4 : (-\frac{1}{4}) = 4 \cdot 4 = 16$.
Ответ: 16

б) Сначала возведем в степень дробь. Так как степень четная (2), результат будет положительным: $(-\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Представим десятичную дробь $1,8$ в виде неправильной обыкновенной дроби: $1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$.
Теперь выполним умножение: $\frac{1}{9} \cdot \frac{9}{5} = \frac{1 \cdot 9}{9 \cdot 5}$.
Сократим дробь на 9: $\frac{1 \cdot \cancel{9}}{\cancel{9} \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $\frac{1}{5} = 0,2$.
Ответ: 0,2

в) Первым действием выполним возведение в степень. Так как степень нечетная (3), результат будет отрицательным: $(-0,5)^3 = (-0,5) \cdot (-0,5) \cdot (-0,5) = 0,25 \cdot (-0,5) = -0,125$.
Теперь выполним умножение: $-0,125 \cdot 4,8$.
Можно выполнить умножение в столбик или перейти к обыкновенным дробям. $-0,125 = -\frac{1}{8}$ и $4,8 = \frac{48}{10} = \frac{24}{5}$.
$-\frac{1}{8} \cdot \frac{24}{5} = -\frac{1 \cdot 24}{8 \cdot 5} = -\frac{1 \cdot \cancel{24}^3}{\cancel{8}_1 \cdot 5} = -\frac{3}{5}$.
Переведем результат в десятичную дробь: $-\frac{3}{5} = -0,6$.
Ответ: -0,6

г) Сначала преобразуем все числа в неправильные дроби и выполним возведение в степень. Смешанное число: $-1\frac{7}{9} = -\frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = -\frac{16}{9}$.
Возведение в степень (степень нечетная, результат отрицательный): $(-\frac{2}{3})^3 = -\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
Теперь выполним деление: $-\frac{16}{9} : (-\frac{8}{27})$.
При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Заменим деление умножением на обратную дробь: $\frac{16}{9} \cdot \frac{27}{8}$.
Сократим дроби перед умножением: $\frac{\cancel{16}^2}{\cancel{9}_1} \cdot \frac{\cancel{27}^3}{\cancel{8}_1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

556 Выполни действия:

а) $-2^2 : (-0.25);$

б) $(-\frac{1}{3})^2 \cdot 1.8;$

в) $(-0.5)^3 \cdot 4.8;$

г) $-1\frac{7}{9} : (-\frac{2}{3})^3.$