Страница 135, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

572 Чему равна градусная мера:

а) прямого угла;

б) острого угла;

в) тупого угла;

г) развёрнутого угла;

д) угла, вертикального углу $75^{\circ}$;

е) угла, смежного с углом $30^{\circ}$?

а) Прямой угол по определению — это угол, равный $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

б) Острым углом называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$. Если обозначить величину острого угла как $\alpha$, то его мера удовлетворяет неравенству $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
Ответ: больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$.

в) Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Если обозначить величину тупого угла как $\beta$, то его мера удовлетворяет неравенству $90^\circ < \beta < 180^\circ$.
Ответ: больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

г) Развёрнутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и являются дополнительными лучами. Его градусная мера по определению равна $180^\circ$.
Ответ: $180^\circ$.

д) Вертикальные углы — это пары углов, которые образуются при пересечении двух прямых и не имеют общих сторон. Согласно свойству вертикальных углов, они равны. Следовательно, угол, вертикальный углу $75^\circ$, также равен $75^\circ$.
Ответ: $75^\circ$.

е) Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Чтобы найти градусную меру угла, смежного с углом $30^\circ$, необходимо из $180^\circ$ вычесть $30^\circ$.
$180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
Ответ: $150^\circ$.

572 Чему равна градусная мера:

а) прямого угла;

б) острого угла;

в) тупого угла;

г) развернутого угла;

д) угла, вертикального углу $75^{\circ}$;

е) угла, смежного с углом $30^{\circ}$?

573 Найди ошибки в измерении углов.

$40^\circ$

$\alpha = 40^\circ$

$72^\circ$

$\alpha = 72^\circ$

$136^\circ$

$\alpha = 136^\circ$

Для первого рисунка ($\alpha = 40^\circ$)

Ошибка измерения заключается в том, что вершина измеряемого угла не совмещена с центром транспортира. Центр транспортира (обычно обозначается точкой или коротким перпендикуляром к основанию) должен точно совпадать с вершиной угла. Из-за смещения вершины влево от центра показание на шкале является неверным.
Ответ: Вершина угла не совмещена с центром транспортира, поэтому измерение неверно.

Для второго рисунка ($\alpha = 72^\circ$)

В этом случае транспортир расположен правильно: вершина угла находится в центре транспортира, а одна из его сторон совмещена с нулевой отметкой (на внутренней шкале). Однако показание со шкалы было считано с ошибкой. Вторая сторона угла чётко указывает на деление $70^\circ$ на внутренней шкале, а не $72^\circ$.
Ответ: Неверно считано показание со шкалы. Правильное значение угла: $\alpha = 70^\circ$.

Для третьего рисунка ($\alpha = 136^\circ$)

Здесь для измерения была выбрана неправильная шкала транспортира. Одна из сторон угла совмещена с началом отсчёта ($0^\circ$) на левой стороне транспортира, поэтому для измерения нужно использовать внешнюю шкалу. Угол $\alpha$ — острый (визуально меньше $90^\circ$). По внешней шкале его величина составляет примерно $44^\circ$. Значение $136^\circ$ было взято с внутренней шкалы, что соответствует измерению смежного с $\alpha$ угла, либо неверному выбору шкалы.
Ответ: Использована неверная шкала транспортира. Угол является острым, и его правильное значение примерно $\alpha \approx 44^\circ$.

573 Найди ошибки в измерении углов:

$\alpha = 40^\circ$

$\alpha = 72^\circ$

$\alpha = 136^\circ$

574. По рис. 100 определи градусные меры углов:

a) $AOC$, $AOD$, $AOE$, $AOF$, $AOK$;

б) $BOK$, $BOF$, $BOE$, $BOD$, $BOC$;

в) $COD$, $EOF$, $FOK$, $EOC$, $DOK$, $COF$.

Почему транспортир удобно прикладывать так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале?

Рис. 100

а) AOC, AOD, AOE, AOF, AOK;

Для определения градусных мер углов, у которых одной из сторон является луч $OA$, используем внешнюю шкалу транспортира, так как луч $OA$ совпадает с отметкой $0^\circ$ на этой шкале. Значение угла будет соответствовать отметке на шкале, через которую проходит вторая сторона угла.

• $\angle AOC$: луч $OC$ проходит через отметку $30^\circ$.
• $\angle AOD$: луч $OD$ проходит через отметку $60^\circ$.
• $\angle AOE$: луч $OE$ проходит через отметку $90^\circ$.
• $\angle AOF$: луч $OF$ проходит через отметку $120^\circ$.
• $\angle AOK$: луч $OK$ проходит через отметку $145^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 30^\circ$; $\angle AOD = 60^\circ$; $\angle AOE = 90^\circ$; $\angle AOF = 120^\circ$; $\angle AOK = 145^\circ$.

б) BOK, BOF, BOE, BOD, BOC;

Для определения градусных мер углов, у которых одной из сторон является луч $OB$, используем внутреннюю шкалу транспортира, так как луч $OB$ совпадает с отметкой $0^\circ$ на этой шкале.

• $\angle BOK$: луч $OK$ проходит через отметку $35^\circ$.
• $\angle BOF$: луч $OF$ проходит через отметку $60^\circ$.
• $\angle BOE$: луч $OE$ проходит через отметку $90^\circ$.
• $\angle BOD$: луч $OD$ проходит через отметку $120^\circ$.
• $\angle BOC$: луч $OC$ проходит через отметку $150^\circ$.

Ответ: $\angle BOK = 35^\circ$; $\angle BOF = 60^\circ$; $\angle BOE = 90^\circ$; $\angle BOD = 120^\circ$; $\angle BOC = 150^\circ$.

в) COD, EOF, FOK, EOC, DOK, COF.

Для нахождения градусной меры этих углов необходимо найти разность между градусными мерами углов, образованных их сторонами с одним и тем же начальным лучом (например, $OA$, используя внешнюю шкалу).

• $\angle COD = \angle AOD - \angle AOC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$.
• $\angle EOF = \angle AOF - \angle AOE = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$.
• $\angle FOK = \angle AOK - \angle AOF = 145^\circ - 120^\circ = 25^\circ$.
• $\angle EOC = \angle AOE - \angle AOC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
• $\angle DOK = \angle AOK - \angle AOD = 145^\circ - 60^\circ = 85^\circ$.
• $\angle COF = \angle AOF - \angle AOC = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $\angle COD = 30^\circ$; $\angle EOF = 30^\circ$; $\angle FOK = 25^\circ$; $\angle EOC = 60^\circ$; $\angle DOK = 85^\circ$; $\angle COF = 90^\circ$.

Почему транспортир удобно прикладывать так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале?

Когда одна из сторон измеряемого угла совмещена с нулевой отметкой ($0^\circ$) транспортира, градусную меру этого угла можно определить, просто посмотрев на значение шкалы, на которое указывает вторая сторона угла. Если же ни одна из сторон не совпадает с нулем, то для нахождения величины угла потребуется выполнить дополнительное действие — вычитание: из большего значения, на которое указывает одна сторона, вычесть меньшее, на которое указывает другая.

Ответ: Это позволяет определить градусную меру угла сразу, без дополнительных вычислений (вычитания), что упрощает процесс измерения и уменьшает вероятность совершения ошибки.

574 По рис. 100 определи градусные меры углов:

a) $AOC$, $AOD$, $AOE$, $AOF$, $AOK$;

б) $BOK$, $BOF$, $BOE$, $BOD$, $BOC$;

в) $COD$, $EOF$, $FOK$, $EOC$, $DOK$, $COF$.

Почему транспортир удобно прикладывать так, чтобы одна из сторон угла проходила через нулевую отметку на его шкале ?

Рис. 100

575 Определи на глаз величины углов и проверь себя, измерив углы транспортиром. Заполни таблицу.

Для решения этой задачи необходимо сначала визуально оценить величину каждого угла, а затем измерить его с помощью транспортира и вычислить разницу (ошибку) между оценкой и точным измерением. Ваши оценки "на глаз" могут отличаться, это нормально. Ниже приведен пример выполнения с конкретными измерениями.

∠AOB

1. Определим величину угла $\angle AOB$ на глаз. Угол является острым, его величина меньше $90^\circ$. Визуально он составляет примерно половину прямого угла. Предположим, что его величина равна $a = 40^\circ$.

2. Измерим угол $\angle AOB$ с помощью транспортира. Совместим центр транспортира с вершиной угла (точкой О), а одну из сторон угла (например, луч ОА) — с нулевой отметкой на шкале транспортира. Другая сторона угла (луч ОВ) пересечет шкалу на отметке $b = 35^\circ$.

3. Найдем ошибку измерения по формуле $d = |a - b|$. В нашем случае, $d = |40^\circ - 35^\circ| = 5^\circ$.

Ответ: на глаз $40^\circ$, измерение $35^\circ$, ошибка $5^\circ$.

∠CDE

1. Определим величину угла $\angle CDE$ на глаз. Угол является тупым, его величина больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Он выглядит как прямой угол плюс еще примерно половина прямого угла. Предположим, что его величина равна $a = 135^\circ$.

2. Измерим угол $\angle CDE$ с помощью транспортира. Совместим центр транспортира с вершиной D, а луч DE — с нулевой отметкой. Луч DC пересечет шкалу на отметке $b = 140^\circ$.

3. Найдем ошибку измерения: $d = |a - b| = |135^\circ - 140^\circ| = |-5^\circ| = 5^\circ$.

Ответ: на глаз $135^\circ$, измерение $140^\circ$, ошибка $5^\circ$.

∠KLM

1. Определим величину угла $\angle KLM$ на глаз. Это очень острый угол, заметно меньше, чем $\angle AOB$. Предположим, что его величина равна $a = 25^\circ$.

2. Измерим угол $\angle KLM$ с помощью транспортира. Совместим центр с вершиной L, а луч LM — с нулевой отметкой. Луч LK пересечет шкалу на отметке $b = 20^\circ$.

3. Найдем ошибку измерения: $d = |a - b| = |25^\circ - 20^\circ| = 5^\circ$.

Ответ: на глаз $25^\circ$, измерение $20^\circ$, ошибка $5^\circ$.

∠SNT

1. Определим величину угла $\angle SNT$ на глаз. Это тупой угол, близкий к развернутому ($180^\circ$). Предположим, что его величина равна $a = 160^\circ$.

2. Измерим угол $\angle SNT$ с помощью транспортира. Совместим центр с вершиной N, а луч NS — с нулевой отметкой. Луч NT пересечет шкалу на отметке $b = 155^\circ$.

3. Найдем ошибку измерения: $d = |a - b| = |160^\circ - 155^\circ| = 5^\circ$.

Ответ: на глаз $160^\circ$, измерение $155^\circ$, ошибка $5^\circ$.

Заполненная таблица:

575 Определи на глаз величины углов и проверь себя, измерив углы транспортиром. Заполни таблицу.

576 Начерти луч OA. С помощью транспортира отложи от него углы $35^\circ$ и $120^\circ$.

Приведи все возможные варианты решения.

Задача состоит в том, чтобы, начав с луча ОА, построить два угла: один в $35^\circ$ и другой в $120^\circ$. Поскольку от луча можно откладывать углы в двух направлениях (в двух разных полуплоскостях, на которые прямая, содержащая луч ОА, делит плоскость), существует два возможных варианта решения.

Вариант 1. Оба угла отложены по одну сторону от луча ОА

В этом случае мы откладываем оба угла в одной и той же полуплоскости относительно луча ОА.

1. Начертим луч ОА.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой О, а отметка $0^\circ$ на его шкале — с лучом ОА.
3. В выбранной полуплоскости найдем на шкале транспортира отметку $35^\circ$ и поставим точку В. Проведем луч ОВ. Получим угол $\angle AOB = 35^\circ$.
4. Не меняя положения транспортира, найдем на той же шкале отметку $120^\circ$ и поставим точку С. Проведем луч ОС. Получим угол $\angle AOC = 120^\circ$.

При таком построении луч ОВ окажется расположенным внутри угла АОС. Угол между новыми лучами ОВ и ОС можно найти как разность величин углов АОС и АОВ.

$\angle BOC = \angle AOC - \angle AOB = 120^\circ - 35^\circ = 85^\circ$.

Ответ: Лучи ОВ и ОС, образующие с лучом ОА углы $35^\circ$ и $120^\circ$, находятся по одну сторону от луча ОА. Угол между лучами ОВ и ОС равен $85^\circ$.

Вариант 2. Углы отложены по разные стороны от луча ОА

В этом случае мы откладываем углы в разных полуплоскостях относительно луча ОА.

1. Начертим луч ОА.
2. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой О, а отметка $0^\circ$ — с лучом ОА.
3. В одной полуплоскости (например, над лучом ОА) найдем на шкале транспортира отметку $35^\circ$ и поставим точку В. Проведем луч ОВ. Получим угол $\angle AOB = 35^\circ$.
4. Теперь отложим второй угол в другой полуплоскости (под лучом ОА). Для этого можно перевернуть транспортир. Найдем на шкале отметку $120^\circ$ и поставим точку С. Проведем луч ОС. Получим угол $\angle AOC = 120^\circ$.

При таком построении луч ОА будет расположен между лучами ОВ и ОС. Угол между новыми лучами ОВ и ОС будет равен сумме величин углов АОВ и АОС.

$\angle BOC = \angle AOB + \angle AOC = 35^\circ + 120^\circ = 155^\circ$.

Ответ: Лучи ОВ и ОС, образующие с лучом ОА углы $35^\circ$ и $120^\circ$, находятся по разные стороны от луча ОА. Угол между лучами ОВ и ОС равен $155^\circ$.

576. Начерти луч $OA$. С помощью транспортира отложи от него углы $35^\circ$ и $120^\circ$.

Приведи все возможные варианты решения.