Страница 138, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

$\Pi$ 589 Вычисли устно и найди следующее число в ряду ответов при условии сохранения закономерности.

$9,1$
$: 13$
$+ 0,9$
$\cdot 2,5$
$- 2,8$
$?$

$0,8$
$\cdot 1,2$
$: 0,16$
$- 4,8$
$\cdot 0,5$
$?$

$-0,4$
$- 0,8$
$\cdot 3$
$+ 1,6$
$: (-20)$
$?$

$-26$
$+ 17$
$: (-6)$
$- 3$
$\cdot 0,2$
$?$

$0,7$
$: 0,2$
$+ 1,5$
$\cdot 0,08$
$- 1$
$?$

$?$

Для решения задачи сначала выполним все вычисления в каждом из пяти столбцов.

Решение для первого столбца:

1. $9,1 : 13 = 0,7$
2. $0,7 + 0,9 = 1,6$
3. $1,6 \cdot 2,5 = 4$
4. $4 - 2,8 = 1,2$
Ответ: 1,2

Решение для второго столбца:

1. $0,8 \cdot 1,2 = 0,96$
2. $0,96 : 0,16 = 6$
3. $6 - 4,8 = 1,2$
4. $1,2 \cdot 0,5 = 0,6$
Ответ: 0,6

Решение для третьего столбца:

1. $-0,4 - 0,8 = -1,2$
2. $-1,2 \cdot 3 = -3,6$
3. $-3,6 + 1,6 = -2$
4. $-2 : (-20) = 0,1$
Ответ: 0,1

Решение для четвертого столбца:

1. $-26 + 17 = -9$
2. $-9 : (-6) = 1,5$
3. $1,5 - 3 = -1,5$
4. $-1,5 \cdot 0,2 = -0,3$
Ответ: -0,3

Решение для пятого столбца:

1. $0,7 : 0,2 = 3,5$
2. $3,5 + 1,5 = 5$
3. $5 \cdot 0,08 = 0,4$
4. $0,4 - 1 = -0,6$
Ответ: -0,6

Нахождение следующего числа в ряду ответов:

Полученные ответы образуют числовой ряд: $1,2$; $0,6$; $0,1$; $-0,3$; $-0,6$.
Чтобы найти закономерность, вычислим разность между соседними членами этого ряда:
$0,6 - 1,2 = -0,6$
$0,1 - 0,6 = -0,5$
$-0,3 - 0,1 = -0,4$
$-0,6 - (-0,3) = -0,3$
Мы видим, что разности образуют арифметическую прогрессию: $-0,6, -0,5, -0,4, -0,3, \dots$ с шагом прогрессии равным $0,1$.
Следовательно, следующая разность в этой последовательности будет: $-0,3 + 0,1 = -0,2$.
Чтобы найти следующее число в исходном ряду ответов, нужно к последнему полученному ответу ($-0,6$) прибавить следующую разность ($-0,2$):
$-0,6 + (-0,2) = -0,8$.
Ответ: -0,8

П 589

Вычисли устно и найди следующее число в ряду ответов при условии сохранения закономерности:

9,1

$: 13$

$+ 0,9$

$\cdot 2,5$

$- 2,8$

$?$

0,8

$\cdot 1,2$

$: 0,16$

$- 4,8$

$\cdot 0,5$

$?$

-0,4

$- 0,8$

$\cdot 3$

$+ 1,6$

$: (-20)$

$?$

-26

$+ 17$

$: (-6)$

$- 3$

$\cdot 0,2$

$?$

0,7

$: 0,2$

$+ 1,5$

$\cdot 0,08$

$- 1$

$?$

$?$

590 Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв:

a) модуль числа, противоположного удвоенному произведению чисел $a$ и $b$

$(a = -\frac{3}{7}; b = -1,4);$

б) сумма модулей чисел $c$ и $d$ $(c = -0,8; d = 0,7);$

в) модуль разности частного чисел $m$ и $n$ и утроенного числа $k$

$(m = 1,6; n = -3; k = -0,4).$

а) Требуется найти модуль числа, противоположного удвоенному произведению чисел $a$ и $b$. Составим выражение: $|-(2ab)|$.

Подставим данные значения $a = -\frac{3}{7}$ и $b = -1,4$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $-1,4 = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}$.

Вычислим значение выражения:

$|-(2 \cdot (-\frac{3}{7}) \cdot (-1,4))| = |-(2 \cdot (-\frac{3}{7}) \cdot (-\frac{7}{5}))|$

Сначала найдем удвоенное произведение в скобках:

$2 \cdot (-\frac{3}{7}) \cdot (-\frac{7}{5}) = 2 \cdot (\frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 5}) = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5} = 1,2$

Теперь возьмем число, противоположное результату, и найдем его модуль:

$|-\frac{6}{5}| = \frac{6}{5} = 1,2$

Ответ: 1,2

б) Требуется найти сумму модулей чисел $c$ и $d$. Составим выражение: $|c| + |d|$.

Подставим данные значения $c = -0,8$ и $d = 0,7$.

Вычислим значение выражения:

$|-0,8| + |0,7| = 0,8 + 0,7 = 1,5$

Ответ: 1,5

в) Требуется найти модуль разности частного чисел $m$ и $n$ и утроенного числа $k$. Составим выражение: $|\frac{m}{n} - 3k|$.

Подставим данные значения $m = 1,6$, $n = -3$ и $k = -0,4$.

Вычислим значение выражения:

$|\frac{1,6}{-3} - 3 \cdot (-0,4)| = |-\frac{1,6}{3} - (-1,2)| = |-\frac{1,6}{3} + 1,2|$

Преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для точности вычислений: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ и $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

$|-\frac{8/5}{3} + \frac{6}{5}| = |-\frac{8}{5 \cdot 3} + \frac{6}{5}| = |-\frac{8}{15} + \frac{6}{5}|$

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$|-\frac{8}{15} + \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3}| = |-\frac{8}{15} + \frac{18}{15}| = |\frac{-8 + 18}{15}| = |\frac{10}{15}| = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

590 Запиши выражение и найди его значение при данных значениях букв:

а) модуль числа, противоположного удвоенному произведению чисел $a$ и $b$ ($a = -\frac{3}{7}$; $b = -1.4$);

б) сумма модулей чисел $c$ и $d$ ($c = -0.8$; $d = 0.7$);

в) модуль разности частного чисел $m$ и $n$ и утроенного числа $k$ ($m = 1.6$; $n = -3$, $k = -0.4$).

591 Переформулируй предложения, используя союз «если..., то...». Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания.

а) Четырёхугольник является многоугольником.

б) Квадрат отрицательного числа положителен.

а)

Переформулируем исходное утверждение «Четырёхугольник является многоугольником», используя союз «если..., то...»:

Если фигура является четырёхугольником, то она является многоугольником.

Обратное утверждение, полученное заменой условия и заключения местами, звучит так:

Если фигура является многоугольником, то она является четырёхугольником.

Это утверждение является ложным. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести контрпример. Например, треугольник является многоугольником, но не является четырёхугольником. Следовательно, обратное утверждение неверно.

Отрицание обратного утверждения формулируется следующим образом (условие истинно, а заключение ложно):

Существует многоугольник, который не является четырёхугольником.

Ответ:

б)

Переформулируем исходное утверждение «Квадрат отрицательного числа положителен» в условную форму:

Если число отрицательное, то его квадрат положителен.

Обратное утверждение:

Если квадрат числа положителен, то это число отрицательное.

Это утверждение является ложным. В качестве контрпримера можно взять любое положительное число, например, 3. Его квадрат $3^2 = 9$ положителен, но само число 3 не является отрицательным.

Отрицание обратного утверждения:

Существует число, квадрат которого положителен, но само число не является отрицательным.

Ответ:

591 Переформулируй предложения, используя союз «если..., то...». Докажи, что обратные утверждения являются ложными, и построй их отрицания:

а) Четырехугольник является многоугольником.

б) Квадрат отрицательного числа положителен.

592. Где расположена на координатной плоскости точка $M (x; y)$, если:

а) $x > 0, y > 0;$

б) $x < 0, y < 0;$

в) $x < 0, y > 0;$

г) $x = 0, y = 0;$

д) $x > 0, y < 0;$

е) $x = 0?$

Для определения положения точки $M(x; y)$ на координатной плоскости необходимо проанализировать знаки ее координат: абсциссы $x$ и ординаты $y$. Координатные оси $Ox$ (ось абсцисс) и $Oy$ (ось ординат) делят плоскость на четыре четверти (квадранта).

• В I четверти обе координаты положительны: $x > 0$, $y > 0$.
• Во II четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна: $x < 0$, $y > 0$.
• В III четверти обе координаты отрицательны: $x < 0$, $y < 0$.
• В IV четверти абсцисса положительна, а ордината отрицательна: $x > 0$, $y < 0$.

Если одна из координат равна нулю, точка лежит на одной из осей. Если обе координаты равны нулю, точка совпадает с началом координат.

а)
Если $x > 0$ и $y > 0$, это означает, что абсцисса и ордината точки положительны. Точки с положительными координатами расположены в первой координатной четверти.
Ответ: Точка $M$ расположена в I четверти.

б)
Если $x < 0$ и $y < 0$, это означает, что абсцисса и ордината точки отрицательны. Точки с отрицательными координатами расположены в третьей координатной четверти.
Ответ: Точка $M$ расположена в III четверти.

в)
Если $x < 0$ и $y > 0$, это означает, что абсцисса точки отрицательна, а ордината положительна. Точки с такими координатами расположены во второй координатной четверти.
Ответ: Точка $M$ расположена во II четверти.

г)
Если $x = 0$ и $y = 0$, то точка имеет координаты $(0; 0)$. Это точка пересечения координатных осей, которая называется началом координат.
Ответ: Точка $M$ является началом координат.

д)
Если $x > 0$ и $y < 0$, это означает, что абсцисса точки положительна, а ордината отрицательна. Точки с такими координатами расположены в четвертой координатной четверти.
Ответ: Точка $M$ расположена в IV четверти.

е)
Если $x = 0$, то абсцисса точки равна нулю, а ордината $y$ может принимать любое значение. Все точки, у которых абсцисса равна нулю, лежат на оси ординат (оси $Oy$).
Ответ: Точка $M$ расположена на оси ординат ($Oy$).

592 Где расположена на координатной плоскости точка $M(x; y)$, если:

а) $x > 0, y > 0;$

б) $x < 0, y < 0;$

в) $x < 0, y > 0;$

г) $x = 0, y = 0;$

д) $x > 0, y < 0;$

е) $x = 0?$

593 Построй на координатной плоскости несколько точек $M (x; y)$, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 ($x \in Q, y \in Q$). Выскажи гипотезу о том, где расположены все такие точки. Где расположено множество точек, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5, меньше 5? Является ли проведённое исследование доказательством высказанных утверждений?

Условие задачи заключается в том, чтобы найти точки $M(x; y)$ с рациональными координатами ($x \in \mathbb{Q}$, $y \in \mathbb{Q}$), у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5. Это можно записать в виде уравнения: $x + y = 5$.

Построим несколько таких точек. Для этого выберем несколько рациональных значений для $x$ и найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $y = 5 - x$:

• Если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
• Если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5; 0)$.
• Если $x = 2$, то $y = 5 - 2 = 3$. Точка $(2; 3)$.
• Если $x = -1$, то $y = 5 - (-1) = 6$. Точка $(-1; 6)$.
• Если $x = 2.5$, то $y = 5 - 2.5 = 2.5$. Точка $(2.5; 2.5)$.
• Если $x = \frac{1}{2}$, то $y = 5 - \frac{1}{2} = 4\frac{1}{2}$. Точка $(\frac{1}{2}; 4\frac{1}{2})$.

Отметив эти точки на координатной плоскости, мы видим, что все они лежат на одной прямой.

Выскажи гипотезу о том, где расположены все такие точки.

Все точки с рациональными координатами, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5, расположены на прямой, заданной уравнением $x + y = 5$ (или, что то же самое, $y = 5 - x$).

Ответ: Все такие точки расположены на прямой $x+y=5$.

Где расположено множество точек, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5, меньше 5?

Прямая $x + y = 5$ делит всю координатную плоскость на две полуплоскости.

1. Множество точек, для которых сумма абсциссы и ординаты больше 5, описывается неравенством $x + y > 5$. Это открытая полуплоскость, расположенная "выше" (или "правее") прямой $x + y = 5$. Например, точка $(3; 3)$ удовлетворяет этому условию, так как $3 + 3 = 6 > 5$.

2. Множество точек, для которых сумма абсциссы и ординаты меньше 5, описывается неравенством $x + y < 5$. Это открытая полуплоскость, расположенная "ниже" (или "левее") прямой $x + y = 5$. Например, точка $(1; 1)$ удовлетворяет этому условию, так как $1 + 1 = 2 < 5$.

Ответ: Множество точек, у которых сумма координат больше 5, расположено в полуплоскости выше прямой $x+y=5$. Множество точек, у которых сумма координат меньше 5, расположено в полуплоскости ниже прямой $x+y=5$.

Является ли проведённое исследование доказательством высказанных утверждений?

Нет, проведённое исследование не является строгим математическим доказательством. Построение нескольких точек и наблюдение за тем, что они лежат на одной прямой, является методом индуктивного рассуждения, который позволяет сформулировать гипотезу. Однако он не доказывает, что все без исключения точки с указанным свойством будут лежать на этой прямой, и никакие другие точки не обладают этим свойством. Доказательство требует использования общих алгебраических методов. Например, тот факт, что все точки, удовлетворяющие уравнению $x+y=5$, лежат на прямой, следует из самого определения уравнения прямой в декартовых координатах. Аналогично, для доказательства утверждений о неравенствах используются методы аналитической геометрии, а не проверка отдельных точек.

Ответ: Нет, не является. Это лишь наглядная иллюстрация, позволяющая выдвинуть гипотезу.

593 Построй на координатной плоскости несколько точек $M (x; y)$, у которых сумма абсциссы и ординаты равна 5 ($x \in Q, y \in Q$). Выскажи гипотезу о том, где расположены все такие точки. Где расположено множество точек, сумма абсциссы и ординаты которых больше 5, меньше 5? Является ли проведенное исследование доказательством высказанных утверждений?

594 Упрости выражения. Что ты замечаешь?

а) $3(8a - 6) - 2(9 + 4b) + 8(b - 3a);$

б) $-0.5(8m - 7n) + 2.5(-2m + n) - 1.5(4n - 6m).$

а)

Чтобы упростить выражение $3(8a - 6) - 2(9 + 4b) + 8(b - 3a)$, раскроем скобки. Для этого умножим число перед каждой скобкой на каждый член внутри скобки:

$3 \cdot 8a - 3 \cdot 6 - 2 \cdot 9 - 2 \cdot 4b + 8 \cdot b - 8 \cdot 3a = 24a - 18 - 18 - 8b + 8b - 24a$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(24a - 24a) + (-8b + 8b) + (-18 - 18)$

Выполним вычисления:

$0 + 0 - 36 = -36$

Ответ: $-36$

б)

Чтобы упростить выражение $-0,5(8m - 7n) + 2,5(-2m + n) - 1,5(4n - 6m)$, также раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$-0,5 \cdot 8m - 0,5 \cdot (-7n) + 2,5 \cdot (-2m) + 2,5 \cdot n - 1,5 \cdot 4n - 1,5 \cdot (-6m) = -4m + 3,5n - 5m + 2,5n - 6n + 9m$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-4m - 5m + 9m) + (3,5n + 2,5n - 6n)$

Выполним вычисления в каждой группе:

$(-9m + 9m) + (6n - 6n) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что в результате упрощения обоих выражений все переменные взаимно уничтожаются. Это означает, что значение каждого из этих выражений является постоянной величиной (константой) и не зависит от значений переменных, входящих в него.

594 Упрости выражения. Что ты замечаешь?

a) $3(8a - 6) - 2(9 + 4b) + 8(b - 3a);$

б) $-0.5(8m - 7n) + 2.5(-2m + n) - 1.5(4n - 6m).$

595 Реши уравнения:

a) $6 - 2(x + 7) = 4(2x - 3) - 12x;$

б) $3.8y - 1.2(5 - 2y) = 2.6(y - 3) - 0.9(2 - 4y).$

а) $6 - 2(x + 7) = 4(2x - 3) - 12x$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки.

В левой части: $6 - 2 \cdot x - 2 \cdot 7 = 6 - 2x - 14$.

В правой части: $4 \cdot 2x - 4 \cdot 3 - 12x = 8x - 12 - 12x$.

Уравнение принимает вид:

$6 - 2x - 14 = 8x - 12 - 12x$

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(6 - 14) - 2x = -8 - 2x$.

В правой части: $(8x - 12x) - 12 = -4x - 12$.

Получаем упрощенное уравнение:

$-8 - 2x = -4x - 12$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть, меняя знаки при переносе на противоположные.

$-2x + 4x = -12 + 8$

Приведем подобные слагаемые еще раз:

$2x = -4$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-4}{2}$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

б) $3,8y - 1,2(5 - 2y) = 2,6(y - 3) - 0,9(2 - 4y)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения.

В левой части: $3,8y - 1,2 \cdot 5 - 1,2 \cdot (-2y) = 3,8y - 6 + 2,4y$.

В правой части: $2,6 \cdot y + 2,6 \cdot (-3) - 0,9 \cdot 2 - 0,9 \cdot (-4y) = 2,6y - 7,8 - 1,8 + 3,6y$.

Уравнение принимает вид:

$3,8y - 6 + 2,4y = 2,6y - 7,8 - 1,8 + 3,6y$

Приведем подобные слагаемые в каждой части уравнения.

В левой части: $(3,8y + 2,4y) - 6 = 6,2y - 6$.

В правой части: $(2,6y + 3,6y) - (7,8 + 1,8) = 6,2y - 9,6$.

Получаем упрощенное уравнение:

$6,2y - 6 = 6,2y - 9,6$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.

$6,2y - 6,2y = -9,6 + 6$

Приведем подобные слагаемые:

$0 \cdot y = -3,6$

$0 = -3,6$

Полученное равенство является неверным, так как 0 не равно -3,6. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (корней) ни при каком значении $y$.

Ответ: нет корней.

595 Реши уравнения:

а) $6 - 2(x + 7) = 4(2x - 3) - 12x$;

б) $3,8y - 1,2(5 - 2y) = 2,6(y - 3) - 0,9(2 - 4y)$.

596. а) Раздели число 360 в отношении $2 : 2.5 : 4.5$.

б) Площади трёх участков земли находятся в отношении $0.4 : 1\frac{2}{3} : \frac{14}{15}$, а сумма их площадей равна 90 га. На сколько гектаров третий участок больше первого?

а)

Чтобы разделить число 360 в отношении 2 : 2,5 : 4,5, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти сумму всех частей отношения:

$2 + 2,5 + 4,5 = 9$

Всего 9 частей.

2. Определить, какое значение приходится на одну часть. Для этого разделим данное число на сумму частей:

$360 : 9 = 40$

Значение одной части равно 40.

3. Найти каждое из чисел, умножив значение одной части на соответствующее ему количество частей:

Первое число: $2 \cdot 40 = 80$

Второе число: $2,5 \cdot 40 = 100$

Третье число: $4,5 \cdot 40 = 180$

Для проверки можно сложить полученные числа: $80 + 100 + 180 = 360$.

Ответ: 80, 100, 180.

б)

1. Для удобства вычислений преобразуем данное отношение $0,4 : 1\frac{2}{3} : \frac{14}{15}$ к отношению целых чисел. Сначала представим все его члены в виде обыкновенных дробей:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь отношение выглядит так: $\frac{2}{5} : \frac{5}{3} : \frac{14}{15}$.

2. Чтобы избавиться от дробей, умножим каждую часть отношения на их наименьший общий знаменатель. Для знаменателей 5, 3 и 15 наименьшим общим знаменателем является 15.

$\frac{2}{5} \cdot 15 = 2 \cdot 3 = 6$

$\frac{5}{3} \cdot 15 = 5 \cdot 5 = 25$

$\frac{14}{15} \cdot 15 = 14$

Таким образом, мы получили отношение целых чисел: $6 : 25 : 14$.

3. Найдем общее количество частей в полученном отношении:

$6 + 25 + 14 = 45$ (частей)

4. Общая площадь составляет 90 га, что соответствует 45 частям. Найдем, сколько гектаров приходится на одну часть:

$90 : 45 = 2$ (га)

5. Теперь найдем площади первого и третьего участков:

Площадь первого участка (6 частей): $6 \cdot 2 = 12$ га.

Площадь третьего участка (14 частей): $14 \cdot 2 = 28$ га.

6. Вычислим, на сколько гектаров третий участок больше первого:

$28 - 12 = 16$ (га)

Ответ: на 16 гектаров.

596 а) Раздели число 360 в отношении $2 : 2,5 : 4,5$.

б) Площади трех участков земли находятся в отношении $0,4 : 1\frac{2}{3} : \frac{14}{15}$, а сумма их площадей равна 90 га. На сколько гектаров третий участок больше первого?