Страница 145, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

615 Являются ли фигуры центрально-симметричными относительно точки O? Проверь с помощью кальки.

а) $F_1$, $F_2$, $O$

б) $F_1$, $F_2$, $O$

в) $F$, $O$

Центральная симметрия фигуры относительно точки $O$ (центра симметрии) означает, что для каждой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также принадлежит этой фигуре. Другими словами, фигура должна совпадать сама с собой при повороте на $180°$ вокруг точки $O$. Проверим это для каждого случая.

а)

Фигура состоит из двух окружностей, $F_1$ и $F_2$. Чтобы эта составная фигура была центрально-симметричной относительно точки $O$, окружность $F_1$ при повороте на $180°$ вокруг $O$ должна полностью совпадать с окружностью $F_2$.

При повороте на $180°$ окружность переходит в окружность того же радиуса. Центр новой окружности будет в точке, симметричной центру исходной окружности относительно центра поворота. Судя по рисунку, центры окружностей $F_1$ и $F_2$ симметричны относительно точки $O$. Это значит, что после поворота на $180°$ вокруг $O$ центр окружности $F_1$ переместится в центр окружности $F_2$.

Однако для полного совпадения фигур необходимо, чтобы их радиусы были равны. На рисунке видно, что радиус окружности $F_1$ меньше радиуса окружности $F_2$. Следовательно, после поворота меньшая окружность не сможет совпасть с большей.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке окружность $F_1$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, то обведенная окружность окажется на месте $F_2$, но будет меньше ее по размеру.

Ответ: нет, фигуры не являются центрально-симметричными.

б)

Фигура состоит из двух прямоугольников, $F_1$ и $F_2$. Для центральной симметрии необходимо, чтобы прямоугольник $F_1$ при повороте на $180°$ вокруг точки $O$ совпал с прямоугольником $F_2$.

На рисунке прямоугольник $F_1$ расположен вертикально (высота больше ширины), а прямоугольник $F_2$ — горизонтально (ширина больше высоты).

Поворот на $180°$ сохраняет ориентацию сторон: вертикальные стороны остаются вертикальными, а горизонтальные — горизонтальными. Таким образом, при повороте вертикального прямоугольника $F_1$ на $180°$ получится снова вертикальный прямоугольник. Он не сможет совпасть с горизонтальным прямоугольником $F_2$.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке прямоугольник $F_1$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, то обведенный вертикальный прямоугольник не совпадет с горизонтальным прямоугольником $F_2$.

Ответ: нет, фигуры не являются центрально-симметричными.

в)

Фигура $F$ является трапецией, а точка $O$ — точкой пересечения ее диагоналей. Для того чтобы трапеция была центрально-симметричной относительно точки $O$, для каждой ее вершины симметричная ей относительно $O$ точка также должна быть вершиной трапеции. Это означает, что диагонали должны делиться точкой пересечения пополам.

Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. На рисунке изображена трапеция, у которой параллельные основания имеют разную длину, то есть она не является параллелограммом. В такой трапеции диагонали не делятся точкой пересечения пополам.

Следовательно, данная фигура не является центрально-симметричной относительно точки $O$.

Проверка с помощью кальки: если обвести на кальке трапецию $F$ и точку $O$, а затем повернуть кальку на $180°$ вокруг точки $O$, обведенная трапеция не совпадет с исходной. Ее короткое основание окажется на месте длинного основания исходной трапеции, и наоборот.

Ответ: нет, фигура не является центрально-симметричной.

615. Являются ли фигуры центрально-симметричными относительно точки $O$? Проверь с помощью кальки.

а) $F_1$, $O$, $F_2$

б) $F_1$, $O$, $F_2$

в) $F$, $O$

616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники, квадрат, параллелограмм, окружность. С помощью перегибаний и поворотов найди их оси симметрии и центры симметрии. Сделай рисунки. Какая из этих фигур является «самой симметричной»?

Для определения осей и центров симметрии вырежем из бумаги указанные фигуры. Ось симметрии — это линия, при перегибании по которой части фигуры совпадают. Центр симметрии — это точка, при повороте вокруг которой на $180^\circ$ фигура совпадает сама с собой.

Равносторонний треугольник

Оси симметрии: Возьмем вырезанный равносторонний треугольник. Согнем его, совмещая две любые вершины. Линия сгиба является осью симметрии. Повторив это для всех пар вершин, мы получим три линии сгиба. Каждая из них является высотой, медианой и биссектрисой треугольника, проведенной из вершины к противоположной стороне. Таким образом, у равностороннего треугольника 3 оси симметрии.

Центр симметрии: Повернем треугольник на $180^\circ$ вокруг точки пересечения его осей симметрии (центра треугольника). Треугольник не совпадет сам с собой. Следовательно, у равностороннего треугольника нет центра симметрии.

Рисунок:

Ответ: 3 оси симметрии, центра симметрии нет.

Равнобедренный треугольник

Оси симметрии: У равнобедренного треугольника (не являющегося равносторонним) только одна ось симметрии. Чтобы ее найти, нужно согнуть треугольник так, чтобы совпали его равные стороны (и, соответственно, вершины при основании). Линия сгиба, проходящая через вершину, противолежащую основанию, и середину основания, и будет осью симметрии.

Центр симметрии: При повороте на $180^\circ$ вокруг любой точки равнобедренный треугольник не переходит в себя. Центра симметрии у него нет.

Рисунок:

Ответ: 1 ось симметрии, центра симметрии нет.

Квадрат

Оси симметрии: У квадрата 4 оси симметрии. Две из них можно найти, перегибая квадрат пополам, совмещая противоположные стороны. Эти оси проходят через середины противолежащих сторон. Еще две оси симметрии — это диагонали квадрата. Их можно найти, перегибая квадрат, совмещая противоположные вершины.

Центр симметрии: Точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата. Если повернуть квадрат на $180^\circ$ вокруг этой точки, он совпадет сам с собой.

Рисунок:

Ответ: 4 оси симметрии и 1 центр симметрии.

Параллелограмм

Оси симметрии: У параллелограмма, не являющегося прямоугольником или ромбом, нет осей симметрии. Как бы мы его ни перегибали, его части не совпадут.

Центр симметрии: Центр симметрии у параллелограмма есть. Это точка пересечения его диагоналей. Чтобы найти ее, можно провести диагонали. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки отобразит параллелограмм на себя.

Рисунок:

Ответ: осей симметрии нет, 1 центр симметрии.

Окружность

Оси симметрии: Любой диаметр окружности является ее осью симметрии. Если перегнуть круг по любому диаметру, две половинки круга (полукруги) совпадут. Так как диаметров можно провести бесконечно много, у окружности бесконечно много осей симметрии.

Центр симметрии: Центр окружности является ее центром симметрии. При повороте круга на $180^\circ$ (и вообще на любой угол) вокруг его центра, он совпадает сам с собой.

Рисунок:

Ответ: бесконечно много осей симметрии и 1 центр симметрии.

Какая из этих фигур является «самой симметричной»?

Степень симметричности фигуры можно оценить по количеству ее элементов симметрии (осей, центров, углов поворота).

• Равнобедренный треугольник: 1 ось симметрии.
• Параллелограмм: 1 центр симметрии (соответствует повороту на $180^\circ$).
• Равносторонний треугольник: 3 оси симметрии и симметрия поворота на $120^\circ$ и $240^\circ$.
• Квадрат: 4 оси симметрии, 1 центр симметрии (поворот на $180^\circ$) и симметрия поворота на $90^\circ$ и $270^\circ$.
• Окружность: бесконечное множество осей симметрии, 1 центр симметрии и симметрия поворота на любой угол.

Сравнивая фигуры, мы видим, что окружность обладает наибольшим, бесконечным, количеством осей симметрии и является симметричной относительно поворота на любой угол. Поэтому она является самой симметричной фигурой из перечисленных.

Ответ: самой симметричной фигурой является окружность.

616 Вырежи из бумаги равносторонний и равнобедренный треугольники, квадрат, параллелограмм, окружность. С помощью перегибаний и поворотов найди их оси симметрии и центры симметрии. Сделай рисунки. Какая из этих фигур является «самой симметричной»?

617 Плоскость $\alpha$ называют плоскостью симметрии, если пространственные фигуры «отражаются» в ней, как в зеркале. Какие из плоскостей, приведённых на рисунке, являются плоскостями симметрии данных фигур? Как можно было бы назвать этот вид симметрии?

a) б) в) г) д) е)

Плоскость $\alpha$ называют плоскостью симметрии пространственной фигуры, если она делит фигуру на две части, которые являются зеркальными отражениями друг друга. При отражении относительно этой плоскости фигура переходит сама в себя. Проанализируем каждый случай.

Любая плоскость, проходящая через центр шара, является его плоскостью симметрии. Такая плоскость (называемая диаметральной) делит шар на два равных полушария, которые симметричны друг другу относительно этой плоскости.

Ответ: является.

Изображена диагональная плоскость куба, проходящая через два его противоположных ребра. Она делит куб на две симметричные друг другу части (треугольные призмы). Данная плоскость является плоскостью симметрии куба.

Ответ: является.

Плоскость, проходящая через середины четырех параллельных ребер куба (и, следовательно, параллельная двум его граням), делит куб на два равных прямоугольных параллелепипеда. Эти части являются зеркальными отражениями друг друга. Это одна из плоскостей симметрии куба.

Ответ: является.

Плоскость, проходящая через ось прямого кругового цилиндра, называется осевой плоскостью. Любая осевая плоскость является плоскостью симметрии цилиндра, так как делит его на две зеркально-симметричные половины.

Ответ: является.

Плоскость, проходящая через ось прямого кругового конуса, является его осевой плоскостью. Она делит конус на две равные и зеркально-симметричные части. Это плоскость симметрии конуса.

Ответ: является.

Изображенная плоскость отсекает от прямоугольного параллелепипеда одну часть в виде тетраэдра (треугольной пирамиды), а другая, оставшаяся часть, является пятигранником. Эти две части не равны и не являются зеркальными отражениями друг друга. Следовательно, данная плоскость не является плоскостью симметрии.

Ответ: не является.

Описанный в задаче вид симметрии называется зеркальной симметрией или симметрией относительно плоскости. Это следует из определения, данного в условии задачи: «...фигуры «отражаются» в ней, как в зеркале», что и проиллюстрировано рисунком с кроликом.

617 Плоскость $\alpha$ называют плоскостью симметрии, если пространственные фигуры «отражаются» в ней, как в зеркале. Какие из плоскостей, приведенных на рисунке, являются плоскостями симметрии данных фигур? Как можно было бы назвать этот вид симметрии?

а) б) в) г) д) е)

618 Воспроизведи рисунок и укажи вектор $\vec{d}$, задающий параллельный перенос фигуры $F_1$ в фигуру $F_2$.

а) б) в)

Параллельный перенос фигуры $F_1$ в фигуру $F_2$ задается вектором $\vec{d}$, координаты которого можно найти, определив смещение любой соответствующей точки фигуры. Для этого выберем на каждой фигуре $F_1$ соответствующую ей точку на фигуре $F_2$ и найдем разность их координат.

а)

Возьмем верхнюю вершину треугольника $F_1$ и соответствующую ей верхнюю вершину треугольника $F_2$. Введем систему координат, где одна клетка соответствует единице. Пусть верхняя вершина фигуры $F_1$ имеет координаты $(x_1, y_1)$, а соответствующая ей вершина фигуры $F_2$ имеет координаты $(x_2, y_2)$.

По рисунку определяем координаты: для $F_1$ это точка $A_1(2, 3)$, для $F_2$ — точка $A_2(5, 2)$.

Координаты вектора параллельного переноса $\vec{d}$ равны разности координат соответствующих точек:

$\vec{d} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (5 - 2, 2 - 3) = (3, -1)$.

Это означает, что фигура $F_1$ была смещена на 3 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: $\vec{d}(3, -1)$.

б)

Возьмем левую вершину ромба $F_1$ и соответствующую ей левую вершину ромба $F_2$. Пусть их координаты будут $B_1(x_1, y_1)$ и $B_2(x_2, y_2)$ соответственно.

По рисунку определяем координаты: для $F_1$ это точка $B_1(0, 2)$, для $F_2$ — точка $B_2(3, 2)$.

Найдем координаты вектора переноса $\vec{d}$:

$\vec{d} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (3 - 0, 2 - 2) = (3, 0)$.

Это означает, что фигура $F_1$ была смещена на 3 единицы вправо по горизонтали.

Ответ: $\vec{d}(3, 0)$.

в)

Возьмем левую нижнюю вершину квадрата $F_1$ и соответствующую ей левую нижнюю вершину фигуры $F_2$. Пусть их координаты будут $C_1(x_1, y_1)$ и $C_2(x_2, y_2)$ соответственно.

По рисунку определяем координаты: для $F_1$ это точка $C_1(1, 1)$, для $F_2$ — точка $C_2(3, 0)$.

Найдем координаты вектора переноса $\vec{d}$:

$\vec{d} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) = (3 - 1, 0 - 1) = (2, -1)$.

Это означает, что фигура $F_1$ была смещена на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

Ответ: $\vec{d}(2, -1)$.

618 Воспроизведи рисунок и укажи вектор $ \vec{d} $, задающий параллельный перенос фигуры $ F_1 $ в фигуру $ F_2 $:

а) б) в)

619 Построй бордюр, который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических (имеющих один центр) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо.

Для построения бордюра, который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических окружностей, необходимо выполнить следующие действия. Исходной фигурой является пара окружностей с общим центром, радиусы которых составляют $r_1 = 1$ см и $r_2 = 2$ см.

Процесс построения узора:

1. Начертим прямую линию. На ней выберем произвольную точку $O_1$, которая будет служить центром для первой пары окружностей. С центром в $O_1$ построим окружность радиусом 1 см и окружность радиусом 2 см.

2. Далее выполним параллельный перенос построенной фигуры (пары окружностей) на 2 см вправо вдоль этой прямой. Центр $O_1$ переместится в новую точку $O_2$, расположенную на расстоянии 2 см от $O_1$.

3. С центром в точке $O_2$ построим вторую пару таких же концентрических окружностей с радиусами 1 см и 2 см.

4. Повторяя эту операцию многократно, то есть каждый раз сдвигая последнюю построенную пару окружностей на 2 см вправо и достраивая новую, мы получим непрерывный узор — бордюр.

Полученный бордюр имеет характерные особенности, которые определяются соотношением радиусов окружностей и величины переноса:

Во-первых, расстояние между центрами соседних пар окружностей ($2$ см) в точности равно радиусу большей окружности ($r_2 = 2$ см). Это означает, что каждая большая окружность в узоре проходит через центры двух соседних с ней пар окружностей.

Во-вторых, расстояние между центрами ($2$ см) также равно диаметру меньшей окружности ($d_1 = 2 \cdot r_1 = 2 \cdot 1 = 2$ см). Из этого следует, что меньшие окружности двух соседних пар касаются друг друга в точке, которая находится ровно посередине между их центрами.

Ниже приведено схематическое изображение полученного бордюра, где красными точками отмечены центры пар окружностей.

Ответ: Искомый бордюр представляет собой цепочку из перекрывающихся колец, образованных парами концентрических окружностей с радиусами 1 см и 2 см. Центры этих пар располагаются на одной прямой на расстоянии 2 см друг от друга. В результате такого построения каждая внешняя окружность узора проходит через центры двух соседних, а каждая внутренняя окружность касается двух соседних внутренних окружностей.

619 Построй бордюр, который получается при последовательном параллельном переносе двух концентрических (имеющих один центр) окружностей радиусами 1 см и 2 см на 2 см вправо.