Страница 152, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

639 Построй окружность, симметричную данной относительно прямой $l$, если:

а) прямая $l$ не имеет с окружностью общих точек;

б) прямая $l$ касается окружности;

в) прямая $l$ пересекает окружность в двух точках.

Для построения окружности, симметричной данной относительно прямой, необходимо построить точку, симметричную центру данной окружности, и из этой точки как из центра провести новую окружность тем же радиусом. Осевая симметрия является движением, поэтому радиус окружности при таком преобразовании сохраняется.

а) прямая l не имеет с окружностью общих точек
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
1. Из центра $O$ опустим перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения $H$.
2. На продолжении отрезка $OH$ за точку $H$ отложим отрезок $HO'$, равный отрезку $OH$ ($OH = HO'$). Точка $O'$ является симметричной точке $O$ относительно прямой $l$.
3. Построим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.
Полученная окружность будет симметрична данной относительно прямой $l$. Она также не будет иметь общих точек с прямой $l$.
Ответ: Построена окружность с центром $O'$, симметричным центру $O$ исходной окружности относительно прямой $l$, и тем же радиусом $R$.

б) прямая l касается окружности
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которая касается прямой $l$ в точке $K$.
1. Для нахождения симметричного центра $O'$ нужно построить точку, симметричную $O$ относительно прямой $l$. В этом случае перпендикуляром из точки $O$ к прямой $l$ является радиус $OK$, проведенный в точку касания.
2. На продолжении радиуса $OK$ за точку $K$ отложим отрезок $KO'$, равный отрезку $OK$ ($OK = KO'$). Точка $O'$ — центр искомой окружности.
3. Построим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.
Так как расстояние от нового центра $O'$ до прямой $l$ равно длине отрезка $O'K$, и $O'K = OK = R$, то новая окружность также будет касаться прямой $l$ в той же самой точке $K$.
Ответ: Построена окружность, которая также касается прямой $l$ в той же точке, что и исходная.

в) прямая l пересекает окружность в двух точках
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которая пересекает прямую $l$ в двух точках, $A$ и $B$.
1. Построим точку $O'$, симметричную центру $O$ исходной окружности относительно прямой $l$, по алгоритму из пункта а).
2. Построим окружность с центром в $O'$ и радиусом $R$.
Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии $l$, поэтому при симметрии они отображаются сами в себя. Это означает, что точки $A$ и $B$ должны принадлежать как исходной, так и симметричной ей окружности. Следовательно, построенная окружность пройдет через те же точки $A$ и $B$, в которых исходная окружность пересекала прямую $l$.
Ответ: Построена окружность, которая пересекает исходную окружность в тех же двух точках, в которых исходную окружность пересекает прямая $l$.

639 Построй окружность, симметричную данной относительно прямой $l$, если:

а) прямая $l$ не имеет с окружностью общих точек;

б) прямая $l$ касается окружности;

в) прямая $l$ пересекает окружность в двух точках.

640. Перечерти фигуры в тетрадь в масштабе 2 : 1 и проведи их оси симметрии.

а) б) в)

Для решения этой задачи необходимо сначала проанализировать каждую фигуру на исходном изображении, чтобы определить ее ключевые размеры и свойства, в частности, оси симметрии. Затем нужно пересчитать все размеры для масштаба 2:1, что означает удвоение всех линейных величин (координат, радиусов, длин). Наконец, для каждой увеличенной фигуры нужно указать расположение ее осей симметрии.

Исходная фигура состоит из двух соединенных частей, напоминающих большую и малую окружности. Большая часть имеет радиус примерно 2 клетки и центр в точке $(2.5, 2)$. Меньшая часть имеет радиус 1 клетку и центр в точке $(3.5, 1)$.

При перечерчивании в масштабе 2:1 все размеры удваиваются. Центр большей части переместится в точку $(5, 4)$, а ее радиус станет равен 4 клеткам. Центр меньшей части переместится в точку $(7, 2)$, а ее радиус станет равен 2 клеткам. Фигуру нужно нарисовать, сохраняя плавность сопряжения кривых, как в оригинале.

Эта фигура имеет одну ось симметрии. Это прямая, проходящая через центры двух ее составных частей. В новом масштабе эта ось пройдет через точки $(5, 4)$ и $(7, 2)$.

Ответ: Фигуру следует перечертить, удвоив все ее размеры. Она имеет одну ось симметрии — прямую, проходящую через центры ее двух основных частей (в новой системе координат это точки $(5, 4)$ и $(7, 2)$).

Исходная фигура представляет собой контур объединения двух одинаковых пересекающихся окружностей. Каждая окружность имеет радиус 2 клетки. Центры окружностей расположены в точках $(2, 2)$ и $(4, 2)$.

При перечерчивании в масштабе 2:1 мы получим фигуру, образованную двумя одинаковыми окружностями с радиусом $2 \times 2 = 4$ клетки. Их центры будут находиться в точках $(4, 4)$ и $(8, 4)$.

Эта фигура имеет две оси симметрии:
1. Горизонтальная ось, проходящая через центры обеих окружностей. В новой системе координат ее уравнение — $y=4$.
2. Вертикальная ось, проходящая посередине между центрами окружностей. В новой системе координат ее уравнение — $x=6$.

Ответ: Фигуру следует перечертить, удвоив все ее размеры. Она имеет две оси симметрии: горизонтальную прямую $y=4$ и вертикальную прямую $x=6$.

Исходная фигура представляет собой контур объединения двух одинаковых пересекающихся окружностей. Анализ по клеткам показывает, что это окружности радиусом 2 клетки с центрами в точках $(2, 2)$ и $(3, 3)$.

При перечерчивании в масштабе 2:1 мы получим фигуру, образованную двумя одинаковыми окружностями с радиусом $2 \times 2 = 4$ клетки. Их центры будут находиться в точках $(4, 4)$ и $(6, 6)$.

Эта фигура имеет две оси симметрии:
1. Прямая, проходящая через центры обеих окружностей, точки $(4, 4)$ и $(6, 6)$. Ее уравнение в новой системе координат — $y=x$.
2. Прямая, перпендикулярная первой оси и проходящая через середину отрезка, соединяющего центры. Эта ось проходит через точки пересечения окружностей. Ее уравнение в новой системе координат — $y = -x + 10$.

Ответ: Фигуру следует перечертить, удвоив все ее размеры. Она имеет две оси симметрии: прямую $y=x$ и прямую $y = -x + 10$.

640 Перечерти фигуры в тетрадь в масштабе $2 : 1$ и проведи их оси симметрии:

а) б) в)

641 На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой $l$, содержащей:

а) большую сторону;

б) меньшую сторону;

в) медиану, проведённую к его меньшей стороне.

Сначала начертим произвольный тупоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например угол $B$, больше $90°$. В таком треугольнике сторона, лежащая напротив тупого угла, является наибольшей. Следовательно, сторона $AC$ — самая длинная. Пусть для определённости сторона $AB$ будет наименьшей.

а) большую сторону

В этом случае осью симметрии $l$ является прямая, содержащая большую сторону треугольника, то есть прямая $AC$.

Порядок построения:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом $B$. Сторона $AC$ будет наибольшей.
2. Прямая $AC$ является осью симметрии $l$.
3. Поскольку вершины $A$ и $C$ лежат на оси симметрии, они отображаются сами в себя. То есть, точка $A'$, симметричная точке $A$, совпадает с $A$, а точка $C'$, симметричная точке $C$, совпадает с $C$.
4. Для построения точки $B'$, симметричной вершине $B$, проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Обозначим точку их пересечения как $H$.
5. На продолжении отрезка $BH$ за точку $H$ отложим отрезок $HB'$, равный отрезку $BH$. Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$.
6. Соединим вершины $A$, $B'$, $C$. Полученный треугольник $AB'C$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $AC$.

В результате исходный и построенный треугольники вместе образуют симметричную фигуру (дельтоид) $ABCB'$, где $AC$ — ось симметрии.

Ответ: Треугольник, симметричный данному, строится путем отражения вершины, противолежащей большей стороне, относительно этой стороны. Две другие вершины остаются на месте.

б) меньшую сторону

В этом случае осью симметрии $l$ является прямая, содержащая меньшую сторону треугольника. Мы договорились, что это сторона $AB$.

Порядок построения:

1. Начертим тот же тупоугольный треугольник $ABC$. Сторона $AB$ — наименьшая.
2. Прямая $AB$ является осью симметрии $l$.
3. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси симметрии, поэтому они отображаются сами в себя: $A' = A$, $B' = B$.
4. Для построения точки $C'$, симметричной вершине $C$, проведем через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Обозначим точку их пересечения как $K$.
5. На продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ отложим отрезок $KC'$, равный отрезку $CK$. Точка $C'$ будет симметрична точке $C$ относительно прямой $AB$.
6. Соединим вершины $A$, $B$, $C'$. Полученный треугольник $ABC'$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $AB$.

В результате исходный и построенный треугольники вместе образуют равнобедренный треугольник $ACC'$ с основанием $CC'$.

Ответ: Треугольник, симметричный данному, строится путем отражения вершины, противолежащей меньшей стороне, относительно этой стороны. Две другие вершины остаются на месте.

в) медиану, проведённую к его меньшей стороне

Осью симметрии $l$ является прямая, содержащая медиану, проведенную к меньшей стороне $AB$. Обозначим эту медиану как $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$.

Порядок построения:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$ с наименьшей стороной $AB$.
2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим ее точкой $M$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Проведем отрезок $CM$. Прямая, содержащая этот отрезок (медиану $CM$), является осью симметрии $l$.
4. Вершина $C$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама в себя: $C' = C$.
5. Теперь нужно построить точки $A'$ и $B'$, симметричные вершинам $A$ и $B$ относительно прямой $CM$.
6. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую $CM$. Назовем точку пересечения $P_A$. На продолжении отрезка $AP_A$ за точку $P_A$ отложим отрезок $P_A A'$, равный $AP_A$. Точка $A'$ — искомая.
7. Аналогично, из точки $B$ опустим перпендикуляр на прямую $CM$. Назовем точку пересечения $P_B$. На продолжении отрезка $BP_B$ за точку $P_B$ отложим отрезок $P_B B'$, равный $BP_B$. Точка $B'$ — искомая.
8. Соединим вершины $A'$, $B'$, $C$. Полученный треугольник $A'B'C$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $CM$.

Поскольку $M$ — середина $AB$ и лежит на оси симметрии (т.к. $M$ принадлежит прямой $CM$), то $M$ также будет серединой отрезка $A'B'$.

Ответ: Симметричный треугольник строится путем отражения двух вершин (концов меньшей стороны) относительно прямой, содержащей медиану, проведенную к этой стороне. Третья вершина (из которой проведена медиана) остается на месте.

641 На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой $l$, содержащей:

а) большую сторону;

б) меньшую сторону;

в) медиану, проведенную к его меньшей стороне.

642 Отметь на кальке точки $O$ и $A$ и поверни кальку вокруг точки $O$ на угол $\alpha$. Чем определяется положение точки $A_1$, полученной в результате поворота точки $A$? Сравни свои выводы с определением поворота на с. 149 учебника.

Чем определяется положение точки A₁, полученной в результате поворота точки A?

При выполнении поворота кальки с отмеченными точками $O$ и $A$ вокруг точки $O$, мы замечаем, что точка $A$ движется по дуге окружности. Центр этой окружности находится в точке $O$, а ее радиус равен расстоянию $OA$. Новое положение точки $A$, которое мы обозначим как $A_1$, определяется двумя ключевыми условиями:

1. Расстояние от центра поворота $O$ до новой точки $A_1$ равно исходному расстоянию от $O$ до $A$. Это означает, что отрезки $OA$ и $OA_1$ равны: $OA = OA_1$.
2. Угол, образованный лучами $OA$ и $OA_1$ с вершиной в центре поворота $O$, равен углу поворота $\alpha$. Это записывается как $\angle AOA_1 = \alpha$.

Таким образом, положение точки $A_1$ однозначно определяется ее принадлежностью к окружности с центром $O$ и радиусом $OA$, а также величиной угла поворота $\alpha$ относительно начального положения.

Ответ: Положение точки $A_1$ определяется двумя условиями: равенством расстояний от центра поворота ($OA_1 = OA$) и величиной угла поворота ($\angle AOA_1 = \alpha$).

Сравни свои выводы с определением поворота на с. 149 учебника.

Определение поворота из учебника (стандартное математическое определение) гласит: Поворотом плоскости вокруг данной точки (центра поворота) на данный угол является такое движение, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A_1$ так, что $OA = OA_1$ и угол $\angle AOA_1$ равен заданному углу $\alpha$.

Сравнивая выводы, полученные из практического задания с калькой, с этим определением, мы видим, что они полностью совпадают. Эксперимент наглядно демонстрирует оба условия, которые лежат в основе формального определения поворота:

• Сохранение расстояния до центра поворота ($OA = OA_1$).
• Образование заданного угла между начальным и конечным положением ($\angle AOA_1 = \alpha$).

Ответ: Выводы, сделанные на основе эксперимента с калькой, полностью соответствуют формальному определению поворота, приведенному в учебнике.

642 Отметь на кальке точки $O$ и $A$ и поверни кальку вокруг точки $O$ на угол $\alpha$.

Чем определяется положение точки $A_1$, полученной в результате поворота точки $A$? Сравни свои выводы с определением поворота на стр. 149 учебника.

643 Воспроизведи чертёж и поверни вокруг точки O:

а) точку A на угол $\alpha = -80^\circ$;

б) отрезок AB на угол $\alpha = 100^\circ$;

в) треугольник ABC сначала на угол $\alpha = 90^\circ$, а потом на угол $\alpha = -90^\circ$.

Что можно сказать о полученных треугольниках?

а) Чтобы повернуть точку $A$ вокруг точки $O$ на угол $\alpha = -80^\circ$, необходимо выполнить следующие действия:
1. Соединить точки $O$ и $A$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира отложить от луча $OA$ угол, равный $80^\circ$, по часовой стрелке (так как знак угла отрицательный). Получим новый луч $OA'$.
3. С помощью циркуля измерить расстояние $OA$ и отложить его на луче $OA'$ от точки $O$. Полученная точка $A'$ будет результатом поворота точки $A$ вокруг точки $O$ на угол $-80^\circ$.
В результате точка $A'$ будет расположена на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OA$, а угол $\angle AOA'$ будет равен $80^\circ$ (при измерении по часовой стрелке).
Ответ: Точка $A$ перейдет в точку $A'$ такую, что $OA' = OA$ и угол $\angle AOA'$, отсчитываемый по часовой стрелке, равен $80^\circ$.

б) Чтобы повернуть отрезок $AB$ вокруг точки $O$ на угол $\alpha = 100^\circ$, необходимо повернуть его концы — точки $A$ и $B$ — на этот угол, а затем соединить полученные точки.
Поворот точки A:
1. Соединяем точки $O$ и $A$ отрезком $OA$.
2. От луча $OA$ откладываем угол $100^\circ$ против часовой стрелки (так как знак угла положительный), получая луч $OA'$.
3. На луче $OA'$ откладываем отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
Поворот точки B:
1. Соединяем точки $O$ и $B$ отрезком $OB$.
2. От луча $OB$ откладываем угол $100^\circ$ против часовой стрелки, получая луч $OB'$.
3. На луче $OB'$ откладываем отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $B'$ — это образ точки $B$.
Наконец, соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ является результатом поворота отрезка $AB$ вокруг точки $O$ на угол $100^\circ$.
Ответ: Отрезок $AB$ перейдет в отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ получены поворотом точек $A$ и $B$ соответственно вокруг точки $O$ на угол $100^\circ$ против часовой стрелки.

в) Для решения этой задачи нужно выполнить два поворота исходного треугольника $ABC$ вокруг точки $O$ и сравнить результаты.

Первый поворот: на угол $\alpha = 90^\circ$ (против часовой стрелки).
Выполняем поворот каждой вершины треугольника ($A, B, C$) вокруг точки $O$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. Для этого для каждой вершины $V$ (где $V$ это $A, B$ или $C$) проводим отрезок $OV$, откладываем от него угол $90^\circ$ против часовой стрелки, получая луч $OV'$, и на этом луче откладываем отрезок $OV'$ равный $OV$. Получаем новые вершины $A'$, $B'$, $C'$. Соединив их, получаем треугольник $A'B'C'$.

Второй поворот: на угол $\alpha = -90^\circ$ (по часовой стрелке).
Выполняем поворот каждой вершины исходного треугольника ($A, B, C$) вокруг точки $O$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке. Алгоритм аналогичен, только угол откладывается в другую сторону. Получаем новые вершины $A''$, $B''$, $C''$. Соединив их, получаем треугольник $A''B''C''$.

Сравнение полученных треугольников $A'B'C'$ и $A''B''C''$.
Пусть $R_{O, \alpha}$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$.
Треугольник $A'B'C'$ получен преобразованием $R_{O, 90^\circ}$ из треугольника $ABC$.
Треугольник $A''B''C''$ получен преобразованием $R_{O, -90^\circ}$ из треугольника $ABC$.
Чтобы перейти от треугольника $A'B'C'$ к треугольнику $ABC$, нужно выполнить обратное преобразование, то есть поворот $R_{O, -90^\circ}$. Чтобы затем из $ABC$ получить $A''B''C''$, нужно выполнить поворот $R_{O, -90^\circ}$.
Таким образом, чтобы перейти от $A'B'C'$ к $A''B''C''$, нужно выполнить композицию (последовательное применение) двух поворотов: $R_{O, -90^\circ}$ и еще раз $R_{O, -90^\circ}$.
Композиция двух поворотов вокруг одной и той же точки есть поворот на угол, равный сумме углов. Следовательно, преобразование, переводящее $A'B'C'$ в $A''B''C''$, является поворотом на угол $(-90^\circ) + (-90^\circ) = -180^\circ$.
Поворот на $-180^\circ$ (или $180^\circ$) является центральной симметрией относительно центра поворота, в данном случае — точки $O$. Это означает, что каждая вершина треугольника $A''B''C''$ симметрична соответствующей вершине треугольника $A'B'C'$ относительно точки $O$. Например, точка $O$ является серединой отрезка $A'A''$.
Ответ: Два полученных треугольника ($A'B'C'$ и $A''B''C''$) симметричны друг другу относительно центра вращения — точки $O$.

643 Воспроизведи чертеж и поверни:
а) точку A на угол $\alpha = -80^{\circ}$;
б) отрезок AB на угол $\alpha = 100^{\circ}$;
в) треугольник ABC сначала на угол $\alpha = 90^{\circ}$, а потом на угол $\alpha = -90^{\circ}$. Что можно сказать о полученных треугольниках?

644 Скопируй рисунок в тетрадь и построй отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$.

а) б) в)

Для построения отрезка, симметричного отрезку $AB$ относительно точки $O$, необходимо построить точки $A'$ и $B'$, симметричные соответственно точкам $A$ и $B$ относительно точки $O$, и соединить их отрезком.

Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$. Чтобы построить точку $X'$, нужно провести луч $XO$ и отложить на его продолжении отрезок $OX'$, равный отрезку $OX$. При работе на клетчатой бумаге удобно использовать смещение по клеткам.

1. Построение точки A'. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $A$, нужно сместиться на 3 клетки влево и на 2 клетки вверх. Следовательно, чтобы построить симметричную точку $A'$, нужно из точки $O$ сместиться в противоположных направлениях на те же расстояния: на 3 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Отмечаем полученную точку $A'$.

2. Построение точки B'. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $B$, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Следовательно, чтобы построить симметричную точку $B'$, нужно из точки $O$ сместиться на 2 клетки влево и на 3 клетки вниз. Отмечаем полученную точку $B'$.

3. Построение отрезка A'B'. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Полученный отрезок $A'B'$ является симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Ответ: Построен отрезок $A'B'$, где $A'$ получена смещением из точки $O$ на 3 клетки вправо и 2 вниз, а $B'$ — смещением из $O$ на 2 клетки влево и 3 вниз.

1. Построение точки A'. Точки $A$, $B$ и $O$ лежат на одной прямой. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $A$, нужно сместиться на 4 клетки влево по горизонтали. Следовательно, для построения симметричной точки $A'$ нужно из точки $O$ сместиться на 4 клетки вправо по той же горизонтали. Отмечаем точку $A'$.

2. Построение точки B'. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $B$, нужно сместиться на 1 клетку влево по горизонтали. Следовательно, для построения симметричной точки $B'$ нужно из точки $O$ сместиться на 1 клетку вправо по той же горизонтали. Отмечаем точку $B'$.

3. Построение отрезка A'B'. Соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Полученный отрезок $A'B'$ является симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Ответ: Построен отрезок $A'B'$, где точка $A'$ находится в 4 клетках справа от $O$ на той же прямой, а точка $B'$ — в 1 клетке справа от $O$.

1. Построение точки A'. Точка $O$ лежит на отрезке $AB$. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $A$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. Чтобы построить симметричную точку $A'$, нужно из точки $O$ сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Замечаем, что в этой точке находится точка $B$. Таким образом, точка $A'$, симметричная точке $A$, совпадает с точкой $B$.

2. Построение точки B'. Чтобы из точки $O$ попасть в точку $B$, нужно сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Чтобы построить симметричную точку $B'$, нужно из точки $O$ сместиться на 2 клетки влево и на 1 клетку вверх. В этой точке находится точка $A$. Таким образом, точка $B'$, симметричная точке $B$, совпадает с точкой $A$.

3. Построение отрезка A'B'. Искомый отрезок, симметричный отрезку $AB$, это отрезок $A'B'$, который совпадает с отрезком $BA$. Отрезок $BA$ — это тот же самый отрезок, что и $AB$. Следовательно, отрезок $AB$ симметричен сам себе относительно точки $O$.

Ответ: Отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$, совпадает с самим отрезком $AB$.

644 Скопируй рисунок в тетрадь и построй отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$.

а) б) в)

645. Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник $ABC$. Построй треугольник, симметричный треугольнику $ABC$:

а) относительно точки $O$, лежащей вне треугольника $ABC$;

б) относительно середины $M$ стороны $BC$;

в) относительно вершины $A$.

Для решения задачи сначала начертим на бумаге произвольный треугольник $ABC$. Построения будем выполнять с помощью циркуля и линейки.

а) относительно точки O, лежащей вне треугольника ABC

Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти симметричную ей точку.

1. Соединим вершину $A$ с точкой $O$ отрезком. На продолжении этого отрезка за точку $O$ отложим отрезок $OA_1$, равный отрезку $AO$. Точка $A_1$ будет симметрична точке $A$ относительно $O$.
2. Аналогично построим точку $B_1$, симметричную вершине $B$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OB_1$, равный $BO$.
3. Таким же образом построим точку $C_1$, симметричную вершине $C$. Проведем луч $CO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OC_1$, равный $CO$.
4. Соединим полученные точки $A_1, B_1, C_1$.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. При центральной симметрии фигура переходит в равную ей фигуру, поэтому $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$, вершины которого $A_1, B_1, C_1$ симметричны соответственно вершинам $A, B, C$ треугольника $ABC$ относительно точки $O$.

б) относительно середины M стороны BC

Центром симметрии в данном случае является точка $M$ — середина стороны $BC$.

1. Сначала найдем середину $M$ стороны $BC$. Это можно сделать, измерив отрезок линейкой и разделив его пополам, либо с помощью построения серединного перпендикуляра циркулем и линейкой.
2. Найдем точки, симметричные вершинам $A, B, C$ относительно точки $M$.
   • Для вершины $A$: проведем луч $AM$ и на его продолжении отложим отрезок $MA_2$, равный отрезку $AM$. Точка $A_2$ будет симметрична $A$ относительно $M$.
   • Для вершины $B$: точка, симметричная точке $B$ относительно середины отрезка $BC$ (точки $M$), — это точка $C$.
   • Для вершины $C$: аналогично, точка, симметричная точке $C$ относительно $M$, — это точка $B$.
3. Вершинами нового треугольника будут точки $A_2$, $C$ и $B$. Соединив их, получим треугольник $A_2BC$.

Четырехугольник $ABA_2C$ является параллелограммом, так как его диагонали $AA_2$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам.

Ответ: Треугольник $A_2BC$, где точка $A_2$ симметрична вершине $A$ относительно середины $M$ стороны $BC$.

в) относительно вершины A

Центром симметрии в этом случае является сама вершина $A$ треугольника $ABC$.

1. Найдем точки, симметричные вершинам $A, B, C$ относительно точки $A$.
   • Для вершины $A$: точка, симметричная точке $A$ относительно самой себя, — это и есть точка $A$.
   • Для вершины $B$: проведем луч $BA$ и на его продолжении за точку $A$ отложим отрезок $AB_3$, равный отрезку $BA$.
   • Для вершины $C$: проведем луч $CA$ и на его продолжении за точку $A$ отложим отрезок $AC_3$, равный отрезку $CA$.
2. Вершинами нового треугольника будут точки $A, B_3$ и $C_3$. Соединив их, получим треугольник $AB_3C_3$.

Треугольник $ABC$ и треугольник $AB_3C_3$ равны и симметричны относительно точки $A$.

Ответ: Треугольник $AB_3C_3$, где точка $B_3$ симметрична вершине $B$ относительно вершины $A$, а точка $C_3$ симметрична вершине $C$ относительно вершины $A$.

645. Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник $ABC$. Построй треугольник, симметричный треугольнику $ABC$:

а) относительно точки $O$, лежащей вне треугольника $ABC$;

б) относительно середины $M$ стороны $BC$;

в) относительно вершины $A$.