Страница 157, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

674 Начерти треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 2 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$. Построй треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Является ли точка $B$ центром симметрии четырёх-угольника $ACA_1C_1$? Как это доказать?

Построение треугольника $ABC$ и центрально-симметричного ему треугольника $A_1B_1C_1$

1. Сначала построим треугольник $ABC$ по трём сторонам. С помощью линейки проведём отрезок $AC$ длиной 5 см. Затем с помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом 4 см (длина стороны $AB$), и окружность с центром в точке $C$ и радиусом 2 см (длина стороны $BC$). Точка пересечения этих двух окружностей будет вершиной $B$. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ построен.

2. Теперь построим треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Центром симметрии является точка $B$.

- Точка, симметричная вершине $A$ относительно $B$, — это точка $A_1$, для которой $B$ является серединой отрезка $AA_1$. Для её построения проведём луч $AB$ и отложим на нём от точки $B$ отрезок $BA_1$, равный отрезку $AB$. Таким образом, $AB = BA_1 = 4$ см.

- Точка, симметричная вершине $B$ относительно самой себя, — это сама точка $B$. Таким образом, вершина $B_1$ совпадает с вершиной $B$.

- Точка, симметричная вершине $C$ относительно $B$, — это точка $C_1$, для которой $B$ является серединой отрезка $CC_1$. Для её построения проведём луч $CB$ и отложим на нём от точки $B$ отрезок $BC_1$, равный отрезку $BC$. Таким образом, $BC = BC_1 = 2$ см.

3. Соединив точки $A_1$, $B_1$ (то есть $B$) и $C_1$, получим искомый треугольник $A_1BC_1$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.

Является ли точка B центром симметрии четырёхугольника $ACA_1C_1$?

Да, точка $B$ является центром симметрии четырёхугольника $ACA_1C_1$.

Ответ: Да, является.

Как это доказать?

Фигура симметрична относительно некоторой точки (центра симметрии), если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Для многоугольника это означает, что центр симметрии является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам.

Рассмотрим четырёхугольник $ACA_1C_1$. Его диагоналями являются отрезки $AA_1$ и $CC_1$.

1. По построению, точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно точки $B$. Это по определению означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AA_1$.

2. Аналогично, по построению, точка $C_1$ симметрична точке $C$ относительно точки $B$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $CC_1$.

3. Таким образом, диагонали $AA_1$ и $CC_1$ четырёхугольника $ACA_1C_1$ пересекаются в точке $B$ и делятся этой точкой пополам.

4. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ACA_1C_1$ — параллелограмм.

5. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Следовательно, точка $B$ является центром симметрии четырёхугольника (параллелограмма) $ACA_1C_1$.

Ответ: Доказательство основано на определении центральной симметрии и свойстве диагоналей параллелограмма (если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам в точке их пересечения, то этот четырёхугольник — параллелограмм, а точка пересечения диагоналей является его центром симметрии).

674 Начерти треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 4$ см, $BC = 2$ см, $AC = 5$ см. Построй треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Является ли точка $B$ центром симметрии четырехугольника $ACA_1C_1$? Как это доказать?

675 Построй орнамент, который получается при последовательном параллельном переносе трёх концентрических окружностей с радиусами 1 см, 2 см и 3 см на 3 см вправо. Начерти вектор $ \vec{d} $, задающий этот параллельный перенос. Раскрась орнамент, соблюдая «ритм».

Для решения этой задачи выполним последовательно все требуемые построения и действия.

1. Построение орнамента при помощи параллельного переноса

Сначала строим исходную фигуру. Это три концентрические окружности с общим центром в точке $O_1$ и радиусами $r_1 = 1$ см, $r_2 = 2$ см и $r_3 = 3$ см.
Далее выполняем параллельный перенос этой фигуры на 3 см вправо. При параллельном переносе все точки фигуры смещаются на один и тот же вектор. Поэтому для переноса окружностей достаточно перенести их центр. Смещаем центр $O_1$ на 3 см вправо и получаем новый центр $O_2$. Вокруг точки $O_2$ строим такую же группу из трёх окружностей.
В задании указан «последовательный» перенос, что означает многократное повторение этой операции. Переносим центр $O_2$ на 3 см вправо, получаем $O_3$ и строим следующую группу окружностей, и так далее.
В результате образуется орнамент в виде цепочки из перекрывающихся групп окружностей. Так как расстояние между центрами ($3$ см) равно радиусу наибольшей окружности ($3$ см), то соседние большие окружности в орнаменте касаются друг друга.

2. Построение вектора $\vec{d}$

Параллельный перенос, описанный выше, задаётся вектором $\vec{d}$. Характеристики этого вектора:

• Направление: горизонтально, вправо.
• Длина (модуль): $|\vec{d}| = 3$ см.

Чтобы начертить вектор $\vec{d}$, можно соединить направленным отрезком центр исходной группы окружностей $O_1$ с центром следующей группы $O_2$.

3. Раскрашивание орнамента с соблюдением «ритма»

Раскрашивание с соблюдением «ритма» подразумевает использование повторяющегося цветового шаблона для каждого элемента орнамента. Выберем три цвета и будем раскрашивать каждую группу окружностей одинаково:

• Цвет 1 (жёлтый): центральный круг с радиусом $r_1 = 1$ см.
• Цвет 2 (синий): кольцо между окружностями с радиусами $r_1 = 1$ см и $r_2 = 2$ см.
• Цвет 3 (красный): внешнее кольцо между окружностями с радиусами $r_2 = 2$ см и $r_3 = 3$ см.

Повторение этого узора для каждой группы окружностей в цепочке создаёт единый ритмичный орнамент.

Ниже представлен результат всех построений.

Ответ:

Орнамент построен путём последовательного параллельного переноса на 3 см вправо группы из трёх концентрических окружностей с радиусами 1, 2 и 3 см. Он представляет собой горизонтальную цепочку из соприкасающихся и частично перекрывающихся элементов. Вектор переноса $\vec{d}$ — это горизонтальный вектор, направленный вправо, длиной 3 см. Орнамент раскрашен ритмично: в каждой группе окружностей центральный круг жёлтый, среднее кольцо — синее, а внешнее — красное, как показано на иллюстрации выше.

675. Построй орнамент, который получается при последовательном параллельном переносе трех концентрических окружностей с радиусами 1 см, 2 см и 3 см на 3 см вправо. Начерти вектор $\vec{d}$, задающий этот параллельный перенос. Раскрась орнамент, соблюдая «ритм».

676 На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси симметрии. Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии? При каких поворотах равносторонний треугольник переходит сам в себя?

Построение осей симметрии равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это правильный многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Оси симметрии — это прямые, при отражении относительно которых фигура переходит сама в себя.

У равностороннего треугольника есть три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны. Таким образом, осями симметрии равностороннего треугольника являются его медианы, которые также являются его высотами и биссектрисами.

Все три оси симметрии пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружностей, а также центром тяжести (центроидом) треугольника.

Ответ: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось является медианой (а также высотой и биссектрисой), проведенной из вершины к противоположной стороне.

Наличие центра симметрии у равностороннего треугольника

Центр симметрии фигуры — это такая точка, что любое отражение относительно нее переводит фигуру в саму себя. Это эквивалентно повороту фигуры на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Рассмотрим кандидата на роль центра симметрии — точку пересечения его осей симметрии (медиан). Если мы повернем треугольник на $180^\circ$ вокруг этой точки, то каждая вершина перейдет в точку, которая не является вершиной исходного треугольника. Следовательно, треугольник не перейдет сам в себя.

Таким образом, у равностороннего треугольника нет центра симметрии.

Ответ: У равностороннего треугольника нет центра симметрии.

Повороты, при которых равносторонний треугольник переходит сам в себя

Равносторонний треугольник обладает поворотной симметрией 3-го порядка. Это означает, что он совмещается сам с собой при повороте на определенные углы вокруг своего центра (точки пересечения медиан).

Полный оборот составляет $360^\circ$. Поскольку у треугольника 3 одинаковые стороны и 3 одинаковых угла, он будет совмещаться сам с собой при поворотах на углы, кратные $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Такими поворотами являются:

• Поворот на $120^\circ$.
• Поворот на $240^\circ$ ($120^\circ \times 2$).
• Поворот на $360^\circ$ (или $0^\circ$), который является тождественным преобразованием и возвращает треугольник в исходное положение.

Ответ: Равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах вокруг своего центра на углы $120^\circ$, $240^\circ$ и $360^\circ$.

676 На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси симметрии.

Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии?

При каких поворотах равносторонний треугольник переходит сам в себя?

677 Реши уравнение:

a) $15x - 1 = 3(x - 5);$

б) $\frac{y - 4}{2} - \frac{2y + 6}{0.5} = -8 \frac{2}{5};$

в) $\frac{4}{m} - \frac{3}{1.5m} = -0.8.$

а)

Дано уравнение: $15x - 1 = 3(x - 5)$.

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 3 на каждый член в скобках:

$15x - 1 = 3 \cdot x - 3 \cdot 5$

$15x - 1 = 3x - 15$

Теперь соберем все слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в правой. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный:

$15x - 3x = -15 + 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$12x = -14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 12:

$x = \frac{-14}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = -\frac{7}{6}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа:

$x = -1\frac{1}{6}$

Ответ: $-1\frac{1}{6}$.

б)

Дано уравнение: $\frac{y - 4}{2} - \frac{2y + 6}{0,5} = -8\frac{2}{5}$.

Для удобства преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

$0,5 = \frac{1}{2}$

$-8\frac{2}{5} = -\frac{8 \cdot 5 + 2}{5} = -\frac{42}{5}$

Подставим эти значения в уравнение:

$\frac{y - 4}{2} - \frac{2y + 6}{\frac{1}{2}} = -\frac{42}{5}$

Упростим второй член в левой части. Деление на дробь $\frac{1}{2}$ эквивалентно умножению на обратную ей дробь, то есть на 2:

$\frac{y - 4}{2} - 2(2y + 6) = -\frac{42}{5}$

Раскроем скобки:

$\frac{y - 4}{2} - 4y - 12 = -\frac{42}{5}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 5, которое равно 10:

$10 \cdot \frac{y - 4}{2} - 10 \cdot 4y - 10 \cdot 12 = 10 \cdot (-\frac{42}{5})$

$5(y - 4) - 40y - 120 = 2(-42)$

$5y - 20 - 40y - 120 = -84$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(5y - 40y) - (20 + 120) = -84$

$-35y - 140 = -84$

Перенесем -140 в правую часть с противоположным знаком:

$-35y = -84 + 140$

$-35y = 56$

Найдем $y$, разделив обе части на -35:

$y = \frac{56}{-35} = -\frac{56}{35}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$y = -\frac{8}{5}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$y = -1,6$

Ответ: $-1,6$.

в)

Дано уравнение: $\frac{4}{m} - \frac{3}{1,5m} = -0,8$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $m \neq 0$ и $1,5m \neq 0$, что также означает $m \neq 0$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Для этого упростим вторую дробь:

$\frac{3}{1,5m} = \frac{3 \cdot 2}{1,5m \cdot 2} = \frac{6}{3m} = \frac{2}{m}$

Также представим десятичную дробь в правой части в виде обыкновенной:

$-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\frac{4}{m} - \frac{2}{m} = -\frac{4}{5}$

Выполним вычитание дробей в левой части:

$\frac{4-2}{m} = -\frac{4}{5}$

$\frac{2}{m} = -\frac{4}{5}$

Это пропорция. Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$2 \cdot 5 = m \cdot (-4)$

$10 = -4m$

Найдем $m$:

$m = \frac{10}{-4} = -\frac{5}{2}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$m = -2,5$

Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($m \neq 0$).

Ответ: $-2,5$.

677 Реши уравнения:

a) $15x - 1 = 3(x - 5)$;

б) $\frac{y-4}{2} - \frac{2y+6}{0,5} = -8\frac{2}{5}$;

в) $\frac{4}{m} - \frac{3}{1,5m} = -0,8$.

678 Спортивная лодка, двигаясь против течения реки, проплыла расстояние от турбазы до города за 2 ч 15 мин, а обратный путь – за 1,5 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Чему равна собственная скорость лодки?

Пусть собственная скорость лодки равна $x$ км/ч. По условию, скорость течения реки равна $2$ км/ч. Тогда скорость лодки, движущейся против течения, составляет $(x - 2)$ км/ч, а скорость лодки по течению — $(x + 2)$ км/ч.

Время движения против течения составляет $2$ ч $15$ мин. Переведем это время в часы для удобства расчетов. Так как в одном часе $60$ минут, то $15$ минут — это $\frac{15}{60} = \frac{1}{4} = 0,25$ часа. Таким образом, общее время движения против течения равно $t_{против} = 2 + 0,25 = 2,25$ ч.

Время движения на обратном пути (по течению) составляет $t_{по} = 1,5$ ч.

Расстояние от турбазы до города и обратно одно и то же. Используя формулу расстояния $S = v \cdot t$ (расстояние равно скорости, умноженной на время), мы можем приравнять расстояние, пройденное против течения, к расстоянию, пройденному по течению:

$S_{против} = S_{по}$

$v_{против} \cdot t_{против} = v_{по} \cdot t_{по}$

Подставим в это уравнение известные нам выражения и значения:

$(x - 2) \cdot 2,25 = (x + 2) \cdot 1,5$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$ (собственную скорость лодки):

1. Раскроем скобки:

$2,25x - 2 \cdot 2,25 = 1,5x + 2 \cdot 1,5$

$2,25x - 4,5 = 1,5x + 3$

2. Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$2,25x - 1,5x = 3 + 4,5$

$0,75x = 7,5$

3. Найдем $x$:

$x = \frac{7,5}{0,75}$

$x = 10$

Следовательно, собственная скорость лодки составляет $10$ км/ч.

Ответ: $10$ км/ч.

678 Спортивная лодка, двигаясь против течения реки, проплыла расстояние от турбазы до города за 2 ч 15 мин, а обратный путь – за 1,5 ч. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Чему равна собственная скорость лодки?

679 В воскресный день Денис с друзьями отправляются на лодке от причала, предполагая вернуться назад через 4 ч. Перед возвращением они хотят побыть на берегу не менее 2 ч 30 мин. На какое наибольшее расстояние они могут отплыть, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч, а собственная скорость лодки – 7,5 км/ч?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Определим максимальное время, которое можно потратить на дорогу.

Общее время, которое Денис с друзьями планируют отсутствовать, составляет 4 часа. Время на берегу должно быть не менее 2 часов 30 минут. Чтобы отплыть на наибольшее расстояние, нужно потратить на дорогу максимально возможное время. Это означает, что на отдых нужно потратить минимально возможное время, то есть ровно 2 часа 30 минут.

Переведем время в часы:

$2$ ч $30$ мин $= 2 + \frac{30}{60}$ ч $= 2,5$ ч.

Теперь найдем время, которое можно потратить на плавание (туда и обратно):

$t_{\text{пути}} = 4 \text{ ч} - 2,5 \text{ ч} = 1,5$ ч.

2. Рассчитаем скорость лодки по течению и против течения.

Дано:

• Собственная скорость лодки ($v_{\text{собст}}$) = $7,5$ км/ч.
• Скорость течения реки ($v_{\text{теч}}$) = $2,5$ км/ч.

Скорость лодки по течению реки:

$v_{\text{по теч.}} = v_{\text{собст}} + v_{\text{теч}} = 7,5 + 2,5 = 10$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки:

$v_{\text{против теч.}} = v_{\text{собст}} - v_{\text{теч}} = 7,5 - 2,5 = 5$ км/ч.

3. Составим уравнение и найдем искомое расстояние.

Пусть $S$ (в км) — это наибольшее расстояние, на которое они могут отплыть от причала. Время, затраченное на путь от причала, и время на обратный путь в сумме должны быть равны 1,5 часа.

Неважно, в какую сторону они плывут сначала — по течению или против. Суммарное время будет одинаковым. Пусть они сначала плывут по течению, а возвращаются против.

Время в пути по течению: $t_1 = \frac{S}{v_{\text{по теч.}}} = \frac{S}{10}$ ч.

Время в пути против течения: $t_2 = \frac{S}{v_{\text{против теч.}}} = \frac{S}{5}$ ч.

Общее время в пути: $t_{\text{пути}} = t_1 + t_2$.

Составим уравнение:

$\frac{S}{10} + \frac{S}{5} = 1,5$

Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{S}{10} + \frac{2S}{10} = 1,5$

$\frac{3S}{10} = 1,5$

Теперь найдем $S$:

$3S = 1,5 \cdot 10$

$3S = 15$

$S = \frac{15}{3}$

$S = 5$ км.

Ответ: Наибольшее расстояние, на которое они могут отплыть, составляет 5 км.

679 В воскресный день Денис с друзьями отправляются на лодке от причала, предполагая вернуться назад через 4 ч. Перед возвращением они хотят побыть на берегу не менее 2 ч 30 мин. На какое наибольшее расстояние они могут отплыть, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч, а собственная скорость лодки – 7,5 км/ч?

680 Болельщик хочет успеть на стадион к началу матча. Если он пойдёт из дома пешком со скоростью $4 \text{ км/ч}$, то опоздает на $15 \text{ мин}$, а если поедет на велосипеде со скоростью $16 \text{ км/ч}$, то приедет на полчаса раньше. На каком расстоянии от дома находится стадион?

Пусть $S$ – искомое расстояние от дома до стадиона в километрах. Время в пути вычисляется по формуле $t = S/v$, где $v$ – скорость.

Время, которое болельщик потратит, если пойдёт пешком со скоростью $v_1 = 4$ км/ч, равно $t_1 = S/4$ часа. Время, которое он потратит, если поедет на велосипеде со скоростью $v_2 = 16$ км/ч, равно $t_2 = S/16$ часа.

По условию, если он идёт пешком, то опаздывает на 15 минут, а если едет на велосипеде, то приезжает на 30 минут (полчаса) раньше. Следовательно, разница во времени между этими двумя способами передвижения составляет $15 + 30 = 45$ минут.

Переведём эту разницу во времени в часы, так как скорость дана в км/ч:
$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени в пути ($t_1 - t_2$) к вычисленной разнице:
$t_1 - t_2 = \frac{3}{4}$
Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:
$\frac{S}{4} - \frac{S}{16} = \frac{3}{4}$

Для решения уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю 16:
$\frac{4S}{16} - \frac{S}{16} = \frac{3}{4}$
$\frac{3S}{16} = \frac{3}{4}$

Теперь выразим $S$. Умножим обе части уравнения на 16:
$3S = \frac{3}{4} \cdot 16$
$3S = 3 \cdot 4$
$3S = 12$
$S = \frac{12}{3}$
$S = 4$

Таким образом, расстояние от дома до стадиона составляет 4 км.

Ответ: 4 км.

680 Болельщик хочет успеть на стадион к началу матча. Если он пойдет из дома пешком со скоростью $4 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, то опоздает на $15 \text{ мин}$, а если поедет на велосипеде со скоростью $16 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, то приедет на полчаса раньше. На каком расстоянии от дома находится стадион?

681. Найди 40 % от числа

$ \frac{-153.9 : (-3.8) - \left(2\frac{1}{4} - \frac{5}{6}\right) : \left(\frac{1}{6} - 3\right) + 156.8 \cdot (-0.25)}{(-0.6)^2 : 0.2^3 + (-5)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 - (-2)^4} $

Для того чтобы найти 40% от числа, заданного выражением, необходимо сначала вычислить значение этого выражения, а затем найти от него 40%.

1. Вычисление значения выражения.

Выражение представляет собой дробь:

$$ \frac{-153.9 : (-3.8) - (2\frac{1}{4} - \frac{5}{6}) : (\frac{1}{6} - 3) + 156.8 \cdot (-0.25)}{(-0.6)^2 : 0.2^3 + (-5)^3 \cdot (-\frac{2}{5})^2 - (-2)^4} $$

Сначала вычислим значение числителя, выполняя действия по порядку:

1) $-153.9 : (-3.8) = 153.9 : 3.8 = 1539 : 38 = 40.5$

2) $2\frac{1}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9}{4} - \frac{5}{6} = \frac{9 \cdot 3}{12} - \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{27-10}{12} = \frac{17}{12}$

3) $\frac{1}{6} - 3 = \frac{1}{6} - \frac{18}{6} = -\frac{17}{6}$

4) Результат действия в скобках: $(\frac{17}{12}) : (-\frac{17}{6}) = \frac{17}{12} \cdot (-\frac{6}{17}) = -\frac{6}{12} = -0.5$

5) $156.8 \cdot (-0.25) = 156.8 \cdot (-\frac{1}{4}) = -39.2$

6) Сложим полученные результаты для числителя: $40.5 - (-0.5) + (-39.2) = 40.5 + 0.5 - 39.2 = 41 - 39.2 = 1.8$

Итак, значение числителя равно 1.8.

Теперь вычислим значение знаменателя, выполняя действия по порядку:

1) $(-0.6)^2 : 0.2^3 = 0.36 : 0.008 = 360 : 8 = 45$

2) $(-5)^3 \cdot (-\frac{2}{5})^2 = -125 \cdot \frac{4}{25} = -5 \cdot 4 = -20$

3) $-(-2)^4 = -16$

4) Сложим полученные результаты для знаменателя: $45 + (-20) - 16 = 45 - 20 - 16 = 25 - 16 = 9$

Итак, значение знаменателя равно 9.

Найдем значение всей дроби:

$$ \frac{1.8}{9} = 0.2 $$

2. Нахождение 40% от полученного числа.

Чтобы найти 40% от числа, нужно умножить это число на 0.4 (поскольку $40\% = \frac{40}{100} = 0.4$).

$$ 0.2 \cdot 0.4 = 0.08 $$

Ответ: 0.08

681 Найди 40% от числа:

$\frac{-153.9 : (-3.8) - (2\frac{1}{4} - \frac{5}{6}) : (\frac{1}{6} - 3) + 156.8 \cdot (-0.25)}{(-0.6)^2 : 0.2^3 + (-5)^3 \cdot (-\frac{2}{5})^2 - (-2)^4}$

682 Найди число, 3,6 % которого равны $ \frac{3+4.2:0.1}{(1:0.3-2\frac{1}{3})\cdot0.3125} $.

683 Построй математическую модель задачи.

Для решения задачи необходимо выполнить два основных шага: сначала вычислить значение сложного числового выражения, а затем найти исходное число, зная его процент.

1. Вычисление значения выражения

Найдем значение выражения $$ \frac{3 + 4,2 : 0,1}{(1 : 0,3 - 2\frac{1}{3}) \cdot 0,3125} $$.

Сначала вычислим значение числителя:

$$ 3 + 4,2 : 0,1 = 3 + 42 = 45 $$

Теперь вычислим значение знаменателя. Для этого сначала выполним действия в скобках, предварительно преобразовав десятичные и смешанные дроби в обыкновенные для удобства расчетов:

$0,3 = \frac{3}{10}$

$2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$$ 1 : 0,3 - 2\frac{1}{3} = 1 : \frac{3}{10} - \frac{7}{3} = \frac{10}{3} - \frac{7}{3} = \frac{3}{3} = 1 $$

Далее умножим результат на 0,3125. Также представим это число в виде обыкновенной дроби:

$0,3125 = \frac{3125}{10000} = \frac{5}{16}$

Таким образом, значение знаменателя равно:

$$ 1 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{16} $$

Наконец, найдем значение всей дроби, разделив числитель на знаменатель:

$$ \frac{45}{\frac{5}{16}} = 45 : \frac{5}{16} = 45 \cdot \frac{16}{5} = \frac{45 \cdot 16}{5} = 9 \cdot 16 = 144 $$

Значение всего выражения равно 144.

2. Нахождение искомого числа

По условию, 3,6% искомого числа (обозначим его за $x$) равны 144. Чтобы найти число, составим уравнение. Сначала переведем проценты в десятичную дробь:

$3,6\% = \frac{3,6}{100} = 0,036$

Уравнение будет выглядеть так:

$$ 0,036 \cdot x = 144 $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$ x = \frac{144}{0,036} = \frac{144000}{36} = 4000 $$

Следовательно, искомое число — 4000.

Ответ: 4000

682 Найди число, 3,6% которого равны: $\frac{3 + 4.2 : 0.1}{(1 : 0.3 - 2\frac{1}{3}) \cdot 0.3125}$

683. Построй математическую модель задачи.

Поезд был задержан у семафора на 8 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 40 км, увеличив скорость на 15 км/ч. Чему равна скорость поезда по расписанию?

Построй математическую модель задачи.

Пусть $v$ (км/ч) — это скорость поезда по расписанию. Это искомая величина.

По условию, поезд увеличил скорость на 15 км/ч, следовательно, его новая скорость стала $(v + 15)$ км/ч.

Время, которое поезд должен был потратить на прохождение перегона в 40 км по расписанию, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. В нашем случае это $\frac{40}{v}$ часов.

Фактически поезд проехал этот же перегон со скоростью $(v + 15)$ км/ч, затратив на это $\frac{40}{v + 15}$ часов.

Задержка у семафора составила 8 минут. Чтобы использовать это значение в уравнении, переведем его в часы: $8 \text{ мин} = \frac{8}{60} \text{ ч} = \frac{2}{15} \text{ ч}$.

Поезд ликвидировал опоздание, это означает, что разница между временем по расписанию и фактическим временем в пути равна времени задержки.

Таким образом, математическая модель задачи (уравнение) выглядит так:

$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 15} = \frac{2}{15}$

Ответ: Математическая модель задачи: $\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 15} = \frac{2}{15}$, где $v$ — скорость поезда по расписанию в км/ч.

Чему равна скорость поезда по расписанию?

Для нахождения скорости поезда по расписанию решим составленное уравнение:

$\frac{40}{v} - \frac{40}{v + 15} = \frac{2}{15}$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$\frac{20}{v} - \frac{20}{v + 15} = \frac{1}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v + 15)$:

$\frac{20(v + 15) - 20v}{v(v + 15)} = \frac{1}{15}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{20v + 300 - 20v}{v(v + 15)} = \frac{1}{15}$

$\frac{300}{v^2 + 15v} = \frac{1}{15}$

Используя свойство пропорции, получим:

$v^2 + 15v = 300 \cdot 15$

$v^2 + 15v = 4500$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 15v - 4500 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$.

Теперь найдем корни уравнения:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 + 135}{2 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-15 - 135}{2 \cdot 1} = \frac{-150}{2} = -75$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -75$ не является решением задачи. Следовательно, скорость поезда по расписанию составляет 60 км/ч.

Ответ: 60 км/ч.

683 Построй математическую модель задачи:

«Поезд был задержан у семафора на 8 мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 40 км, увеличив скорость на 15 км/ч. Чему равна скорость поезда по расписанию?»